九年级 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)
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九年级 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，二次函数22yaxbx的图象与x轴交于点(4,0)A，(1,0)B，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线22yaxbx上的任意一点，过点P作x轴的垂线PD，直线PD交直线AC于点D．
①是否存在点P，使得PAC的面积是ABC面积的45？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②点Q是坐标平面内的任意一点，若以O，C，Q，D为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)213222yxx
(2)①存在，点P的坐标为(222,12)，(222,12)，(2,3)
②1816,55Q，2(2,1)Q，34525,55Q，44525,55Q
【解析】
【分析】
(1)将(4,0)A，(1,0)B两点坐标代入解析式中求解即可；
(2)①先求出△PAC的面积为4，再求出直线AC的解析式为122yx．设点P的横坐标为(t,213222tt)，利用21442PACPDCPDASSSOAPDtt即可求解；
②先设出D点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解．
【详解】
解：(1)由题意得,将(4,0)A，(1,0)B两点坐标代入解析式中：
1642020abab，解得：1232ab．
∴此抛物线的解析式为213222yxx，
故答案为213222yxx．
(2)①存在点P，使得PAC的面积是ABC面积的45．理由如下：
作出如下所示示意图：
∵点(4,0)A，(1,0)B，
∴4OA，5AB，
令0x，则2y，
∴(0,2)C，∴2OC，
∴1152522ABCSABOC，
∴445545PACABCSS，
设直线AC的解析式为ymxn，
则有402mnn，解得：122mn，
∴直线AC的解析式为122yx．
设点P的横坐标为t，则其纵坐标为213222tt，
即213,222Pttt．
∵PDx轴，则点D的坐标为1,22tt．
∴2213112222222PDttttt．
∵22111424222PACPDCPDASSSOAPDtttt．
∴244tt，即2440tt或2440tt，
解得：1222t，2222t，32t．
∴点P的坐标为(222,12)，(222,12)，(2,3)，
故答案为：(222,12)或(222,12)或(2,3)．
②分类讨论：
情况一：当OC为菱形的对角线时，此时DO=DC，即D点在线段OC的垂直平分线，
∴D点坐标(-2,-1)，将△OCD沿y轴翻折，此时四边形ODCQ为菱形，故此时Q点坐标为(2,-1)，如下图一所示，
情况二：当OQ为对角线时，DO=DQ，如下图二所示，
DQ=OC=OD=2，设D点坐标1,22xx，则EO=-x，DE=122x，
在Rt△EDO中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²，
故221(2)42xx，解得80(),5舍xx，此时Q点坐标为816,55，
情况三：当OD为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：
设D点坐标1,22mm，则EO=|m|，DE=122m，QE=2-(122m)=12m，
在Rt△QDO中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²，
故221()()42mm，解得124545,55mm，此时Q点坐标为4525,55或4525,55，
综上所述，Q点的坐标为1816,55Q，2(2,1)Q，34525,55Q，44525,55Q．
故答案为1816,55Q，2(2,1)Q，34525,55Q，44525,55Q．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'．
①写出点M'的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．
【答案】（1）2yx2x3；（2）21525228Sm ，258；（3）①57,24M；②45°
【解析】
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．
【详解】
（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，
∴y＝3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3
＝﹣12（m﹣52）2+258，
∴当m＝52时，S取得最大值258．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝90，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧'BMH上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（52，74），
∴由勾股定理可求得：AB＝10，M′B＝554，M′A＝854，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG＝x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，
∴8516﹣（10﹣x）2＝12516﹣x2，
∴x＝5108，
cos∠M′BG＝'BGBM＝22，∠M′BG= 45
此时图像如下所示，
∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1
∴∠B M′P=∠BCA＝90，
又∵∠M′BG=∠CBA= 45
∴∠BAC＝45．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)yaxbxca的顶点坐标为3, 6C，并与y轴交于点0, 3B，点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求ABP的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作30ACD交抛物线于点D,求出D点的坐标;并探究:在y轴上是否存在点Q,使60CQD?若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由．
【答案】（1）21233yxx；（2）当92n时，PBAS最大值为818；（3）存在，Q点坐标为0,330,33或，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P21,233nnn求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.
(3) 求点D的坐标，设D21,233ttt,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点Q,使60CQD?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.
【详解】
解：1抛物线顶点为3,6
可设抛物线解析式为236yax
将0,3B代入236yax得
396a
13a
抛物线21363yx，即21233yxx
2连接,3, 3OPBOOA，
PBABPOPAOABOSSSS
设P点坐标为21,233nnn
1133222BPOxSBOPnn
