九年级数学 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

九年级数学 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线2yax2xc经过,,ABC三点，已知1,0,0,3.AC

1求此抛物线的关系式；

2设点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段BC于点,D当BCP的面积最大时，求点D的坐标；

3点M是抛物线上的一动点，当2中BCP的面积最大时，请直接写出使45PDM的点M的坐标

【答案】（1）2yx2x3；（2）点33,22D；（3）点M的坐标为0,3或113113,22

【解析】

【分析】

（1）由2yax2xc经过点,1,00,3AC，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.

（2）首先设点2,23,Pttt令2230xx，求得3,0B，然后设直线BC的关系式为ykxb，由待定系数法求得BC的解析式为3yx，可得22,3,2333DttPDttttt，BCP的面积为21333,22SPDtt利用二次函数的性质即可求解；

（3）根据PDy轴，45PDM，分别设DMyxb，DMyxb，根据点33D(22，）坐标即可求出b，再与抛物线联系即可得出点M的坐标．

【详解】

1将,1,00,3AC分别代入22,yaxxc

可解得1,3,ac

即抛物线的关系式为2yx2x3．

2设点2,23,Pttt令2230,xx

解得121,3,xx

则点3,0B．

设直线BC的关系式为(ykxbk为常数且0k)，

将点,BC的坐标代入，

可求得直线BC的关系式为3yx．

点22,3,2333DttPDttttt

设BCP的面积为,S

则21333,22SPDtt

当32t时，S有最大值，此时点33,22D．

3∵PDy轴，45PDM

第一种情况：令DMyxb,33D(22，）

解得：b=0

∴223yxyxx

解得：113x2

∴113113M22（，）

第二种情况：令DMyxb,33D(22，）

解得：b=3

∴2323yxyxx

解得：x=0或x=3（舍去）

∴M03（，）

满足条件的点M的坐标为0,3或113113,22

【点睛】

此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，-3）．

【解析】

【分析】

（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；

（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴93030abccabc，解得：123abc，

所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立223yxmyxx，消掉y得，x2+3x+m-3=0，

当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE的周长最大；

（3）设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC．

∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=3

∴点M（-2，3）或（-2，-3）．

【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

3．如图，已知点1,2A、5,0Bnn，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数0kyxx的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”

（1）当1n时．

①求线段AB所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

【答案】（1）①1944yx；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x时，k有最大值8116；当1x时，k有最小值2；（2）109n；

【解析】

【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；

②由①得直线AB为1944yx，则21944kxx，利用二次函数的性质，即可求出答案；

（2）根据题意，求出直线AB的直线为21044nnyx，设点P为（x，kx），则得到221044nnkxx，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba，即可求出n的取值范围．

【详解】

解：（1）当1n时，点B为（5，1），

①设直线AB为yaxb，则

251abab，解得：1494ab，

∴1944yx；

②不完全同意小明的说法；理由如下：

由①得1944yx，

设点P为（x，kx），由点P在线段AB上则

1944kxx，

∴22191981()444216kxxx；

∵104，

∴当92x时，k有最大值8116；

当1x时，k有最小值2；

∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在92x的位置时k值最大．

（2）∵1,2A、5,Bn，

设直线AB为yaxb，则

25ababn，解得：24104nanb，

∴21044nnyx，

设点P为（x，kx），由点P在线段AB上则

221044nnkxx，

当204n，即n=2时，2kx，则k随x的增大而增大，如何题意；

当n≠2时，则对称轴为：101042242nnxnn；

∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．

即k在15x≤≤中，k随x的增大而增大；

当204n时，有

∴20410124nnn，解得：26nn，

∴不等式组的解集为：2n；

当204n时，有

∴20410524nnn，解得：1029n，

∴综合上述，n的取值范围为：109n．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．

4．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣215．

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；