一次函数的实际应用专题(中考复习)

一次函数的实际应用专题复习 学习对象 使用场景 建议课时 制作人

学生 教师 预科 同步复习 专题复习 2

【对象】 一次函数的实际应用 【课程目标】 1.能够从实际问题中抽象出函数模型，并根据题目中条件列出一次函数解析式；

2.能通过函数图象获取信息，将提取的有效信息分析、整合、转化，解决一次函

数的实际应用问题；

3.能够理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组及一元一次不等式（组）

之间的关系；

4.能够规范书写一次函数的实际应用题的解答步骤，理解一次函数的实际应用中

变量的取值要符合实际意义；

5.掌握一次函数的实际应用的三大常考题型（方案问题，分段函数问题和行程问

题）. 【先验知识】

【导入】 1.在持续高温无雨的季节，红星水库蓄水量数日内逐渐减少，干旱的天数t（天）

与蓄水量v（万米）之间的关系如下图所示：

请回答问题：

（1）当干旱持续10天后，蓄水量为

____________？如果再连续干旱20天后

蓄水量为_________________？

（2）当水库蓄水量小于400万立方米时，

就属于严重干旱，会自动警报，那么干旱___________天后就会发出严重干旱警

报？

（3）根据这样的规律，持续____________天后水库就干涸了？ 【一次函数的实际应用】 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是不是一次

函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式， 再应

用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 考点1：方案问题 【知识讲解】： 选择最佳方案是指某一问题中,符合条件的方案有多种，一般要利用数学知

识经过分析猜想、判断，筛选出最佳方案.常涉及的问题类型有利润最大、路程

最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，结合方程(组)或不等式的知识

进行求解.

用一次函数选择最佳方案的一般步骤

1）“析”:分析题意,弄清数量关系；

2）“列”:列出函数解析式、不等式或方程；

3）“求”:求出自变量在不同值对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值；

4）“选”:结合实际需要选择最佳方案. 【典型例题】 1.（2020·河南·中考真卷） 疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进A，B两

种型号的口罩．若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口

罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．

(1)求A，B两种型号的口罩每盒各需多少元？ (2)若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购

进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方

案，并说明理由．

【分析】

问题识别：

二元一次方程组与一次函数的方案问题

问题分析1：

读题，①本题不知道两种型号的口罩的单价，故设两个未知数：设A型口罩x

元；B型口罩y元.

②逐句将文字信息转化为数学表达式：

“若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元”转化为数学表达式：10x+5y=1000. “若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元”转化为数学表达式：4x+3y=550.

解得：�x=25，y=150. 问题分析2

由“两种型号的口罩共计200盒”：设购买A型口罩a盒，则购买B型口罩(200

−a）盒. 逐句将文字信息转化为数学表达式：

“要求购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍”，转化为数学表达式：

m≤6(200−m)，解得m≤17137

由题意易知：总费用=A型口罩的总费用+B型口罩的总费用，设总费用为w

列出数学表达式为：w=25m+150(200−m)=−125m+30000 由一次函数w=-125m+30000的图象可知，w的值随着m的值的增大而减小，则

当x取最大值时，w取最小值.

【答案】

解：(1)购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，

依题意，得：�10x+5y=1000，4x+3y=550，

解得：�x=25，y=150.

答：购进A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元．

(2)设购进m盒A型口罩，则购进(200−m)盒B型口罩， 依题意，得：m≤6(200−m)， 解得：m≤17137，

设该学校购进这批口罩共花费w元，

则w=25m+150(200−m)=−125m+30000，

∵−125<0，

∴w随m的增大而减小， 又∵m≤17137，且m为整数，

∴当m=171时，

w取得最小值，此时200−m=29，

∴最省钱的购买方案为： 购进171盒A型口罩，29盒B型口罩． 【强化练习】： 1.（2020·福建·中考真卷） 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价

为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由

于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产

的销售量都不超过20吨．

（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司

分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 2.（2020·内蒙古·中考真卷） 某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比

B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．

（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？

（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超

过7800元．已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进

货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 【内容小结】 解决方案问题的基本思路是：

（1）先根据题意求出相关函数的表达式；

（2）再根据自变量的取值范围及一次函数的增减性质（可结合一次函数图象）

确定其最大值（或最小值）. 考点2：分段函数问题 【知识讲解】： 分段函数指的是对于一个变量在一个变化过程中，要用几个解析式表示，在图象上表示出来就是由几条线段（或射线）组成．解决分段函数问题时，一定要

注意自变量的取值范围，因为自变量的取值不同，相对应的函数解析式不同，求

得的结果不同． 【典型例题】 1. （2020·上海·中考真卷） 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的

折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数

关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需

步行________米． 【分析】

问题识别：

分段函数问题

问题分析：

由题干中“图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时

间t（分钟）的函数关系”可知：OA与OB是两段速度不同的匀速运动；

由图象易知A（8,960）为折线OAB的拐点，其既在第一段函数上，也在第二段

函数上，并且为第一、二段函数的分界；时间t小于8或者路程小于960时，在

OA段所对应的函数上时间t大于8或者路程大于960时，在OB段所对应的函数

上；

所以若求“步行15分钟时，到学校还需步行________米”，需求出时间t为15

分钟时对应的路程s为何值，即需要求出OB段所对应的函数解析式，利用待定

系数法，设s=kt+b，将(8, 960)，(20, 1800)代入， 得：�8k+b=960,20k+b=1800, 解得：�k=70,b=400, 【答案】

解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，

将(8, 960)，(20, 1800)代入， 得：�8k+b=960,20k+b=1800, 解得：�k=70,b=400, ∴ s=70t+400；

当t=15时，s=1450，

则1800−1450=350（米），

∴ 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350. 【强化练习】 1.（2019·新疆·中考真卷） 某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销

售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）

与销售量x（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：

（1）降价前苹果的销售单价是________元/千克；

（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出

自变量的取值范围；

（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？

2.（2020·湖北·中考真卷） 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出

水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内

既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间

x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）

A.32 B.34 C.36 D.38 【内容小结】 解决分段函数问题的基本思路是：

（1）根据图象确定有几段函数组成；

（2）依据拐点及其坐标确定每一段对应的自变量及函数值的范围；

（3

）从函数图象中找出两对数据，即函数的两个点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的表达式；

（4）求解.

考点3：行程问题 【知识讲解】 行程问题中建立一次函数表达式的方法：

1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式，路程=速度x时间等.

2）若题目中已明确给出两变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式；

3）若题目中已明确给出两变量变化关系的图象，则可先由图象分辨出其函数类

型，然后用待定系数法求出函数表达式. 【典型例题】 1.（行程问题）：（2020·江苏·中考真卷） 甲、乙两地的路程为290千米，一辆

汽车早上8:00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续

前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12:00准时到达乙地．设

汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之

间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为________千

米/小时；

（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由． 【分析】

问题识别：