巧用判别式求解代数式的最值问题

第40卷第2期 2021年3月数学教学研究43数学最值题巧解显神奇王晖(安徽省灵璧县黄湾中学234213)摘要：结合高考等实际数学案例，归纳总结了 14种求数学最值问题的方法，以求更好地掌握和理解最值问题的巧妙解法.关键词：解法归类；最值；解法例析大家在学习数学知识的过程中，经常会遇到有关求最值的问题，对于此类问题只要开拓思维，活用 方法，常常可以巧妙、简捷获解.下面举例分析，希望 读者从中能够受到有益的启示.1利用一次函数的增减性求最值一次函数>;=々了+6(6夫0)的自变量T的取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大(小）值；不过，当w时.此时的一次函数的图像变成了一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大(小）值了.例1某工程队要招聘甲、乙两个工种的个工人150人，甲、乙工种的工人的月工资分别是1600 元和2000元.现要求乙工种的人数不少于甲工种人数的2倍.问甲、乙工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解析设招聘甲工种的工人为x人，则乙工种的工人为（150 —x)人.由题意可得150 —j：>2_r，所以0<_r<50.设所招聘的工人共需付月工资^元，则有：y=1600+2000 (150—j)=—400jt+300000 (0<x<50).因为y随x的增大而减小，所以当x=50时.y m i…=100000(元）.2利用二次函数最值公式求最值二次函数^二“:^+^+以“^“为常数且“夫0)性质中有：①若a〉0，当：r=_厂时，；y有最小值，l a'—4ac— b2②若a<0，当J：=一 f时，31有最大值，ia_ia c~b2^m»x_4a•利用二次函数的上述性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决问题的目的.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得〃次测量分别得到a,，a2共 »个数据.我们规定所测得物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定从U l，a2，…，a,,推出《 =解析由题意A = (a 一a , )'+ (a—a2)2 +•.. +(〇 —a…)~=ncT_2(u i+a2+…十a…)aa\~\~a\~\~•m•^a2,, »于是由二次函数性质，当------1时，An有最小值.即应填广+a2+，"+夂n例3 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每曰 最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产1只玩具熊猫的成本为R(元），售价每只P (元），且尺，P与J的关系式分别为i? =500 +30j:，P=170-2jt.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为收稿日期：2020-08-2444数学教学研究第40卷第2期 2021年3月1750 元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解析（1)根据题意有1750 =R r—i?，B P(170 — 2x)x— (500 +30j:)=1750，整理得•r2— 70 :r+1125 =0,解得■r1=25，:r2=45(不合题意，舍去）.(2)由题意知，利润为P x-i? =—2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950.所以当_r=35时，最大利润为1950元.3利用判别式求最值利用判别式求最值是一种较为常用的方法，过程简捷，易于理解.例4求丨的最大值与最小值.x~\~x~r1解析本题要直接求最大值与最小值可谓困难重重.若能够根据题意构造一个关于未知数i的一元二次方程，再根据x是实数，推得A>0,进而求出>的取值范围，并由此得出 > 的最值.设:-J- +1+7T TP整理得一x+1=y x2+yx+y,即 (1—y)x2_(1+3;)x+1一3;=0.因为i是实数，所以即(l+：y)2—4 (1—_y)2>0，解得所以~r:=-r|l的最大值是3,最小值是JT十JT十1 〇4利用圆锥曲线定义求最值当最值问题与圆锥曲线有关时，利用圆锥曲线定义求解最值，不仅直观简便.而且快捷明了.22例5 已知椭圆k+^=l,定点A(2,0), B(—1,1),M为椭圆上任一点，求2|iW A | +丨的最小值.解析由椭圆定义.注意到离心率为可求出]^(-^—,1)，2|从4| +丨]^6|的最小值为9，如图1所示.5构造函数求最值最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数.例6求代数式1^/1^的最大值与最小值.解析y =x y1— x1，一再令：r=sin a，一贝lj有y=x v1—*r2 =sin a VT—sin“a=sin a •cos a=—sin2a.所以 > 的最大值为I,最小值为一|.即的最大值为I,最小值为一6利用非负数的性质求最值在实数范围内，显然有厂+々>々，当且仅当^=6==0时，等号成立，即y+M+z i:的最小值为k.例7设a，6为实数，那么a2+a6+62—a—2b 的最小值为______.解析 a2+a6+62—a—2/;=a l J r i b-l)a Jr b2-2b=(a+¥)2++62-吾卜+=(a H—)~+— (/;—l)2—— 1.Z4当a+’’2 1 =0，/)—1=0，即《=〇，/)=1 时，上式等号成立.故a2+a/?+//—“一2/;的最小值为一1.7利用讨论法求最值通过讨论然后进行比较判断是求最值常用的一种方法.例8求函数—11 —U+4I—5的最大第40卷第2期 2021年3月数学教学研究45值.解析先用零区间讨论法消去函数^中的绝对值符号，然后求出^在各个区间上的最大值，再加以 比较，从中确定出整个定义域上的最大值.易知该函数有两个零点x=l，:r=—4.当 _r<—4 时，3；=— (jr— l)+(x+4) —5 =0;当一4<:c<l 时，:y=—(:r—1) —U+4)—5 =—2x—8，得一10<;y=— 2x— 8^0;当 _r>l 时，：y=(_r—1)—(:r+4)—5=—10.综上所述，当x<— 4时有最大值,y m a x=0.例9 (2015年湖北卷）设R，[x]表示不超过x的最大正整数.若存在实数h使得[f]=l，[/2] =2，_",[/"]=，；同时成立，则正整数n的最大值是().(A)3 (B)4 (05(D)6解析由[f] =l，得 l<z<2;由[f2] =2,得 2<，<3;由[«4] =4,得 4<广<5;所以d•由|>3] =3,得 3<;3<4,所以 6<^<4V5■.由|>5] =5, 得5々5<6,这与6<f5<4A矛盾，故正整数》的 最大值是4.应选B.例10(2014年辽宁卷）已知定义在[0，1]上的函数/(•r)满足：①/(0)=/(1)=0;②对所有X d 6[0，1]，且 _r关:y，有 |/(：1.)—/(：y) |<I.综上，l/h )—/(>)|<+，所以应选 B.8利用不等式与判别式求最值在不等式中，:r=a是最大值，在不等式x中，是最小值.例11已知：r，3>为实数，且满足x+y+w= 5，_r：y+：y w+/H x = 3,求实数w的最大值与最小值.解析由题意可得X + y= b — m,■sxy = 3 — r w(x+3^)= 3 — w(5 — m )=m z—5w+3.所以：r，：y是关于/的方程纟2— (5 —w)r+ (m2— 5爪 + 3)=0的两个实数根.所以A=[-(5-//i)]2-4(w2-5m+3)>0,即3w2—10m—13^0,解得一所以，《的最大值是的最小值是一i.例12(2014年辽宁卷）对于(•>0,当非零实数a，/)满足4a - — 2a6+ 4/厂一c=0 且使|2a+6|最大时，一 一 —H的最小值为.a b c解析设2a+ 6 =/，则2a =〖一 /?，因为4““_ 2ab-\~i b~—c=0，所以将2a=/—代人整理可得6心2—3"出2—c=0(1)若对所有：r，3；6[0，l]，l/(:r)_/(：y；)|<a 恒成立，则々的最小值为（)•(A)j(B)t(C)^(d)I由A>0解得一当 |2“+M 取最大值时，z=，代人（1)式得6解析不妨令当+时，|/(_r)—/(3〇|<去丨.厂_y丨<+;当了<1—时，=l[/(x)-/(l)]-[/(^)-/(〇)]l<|/(_r)—/(l)I+1/(3；)—/(0)|<Y |x — l l+y l^;—〇|=j(l-_r) + }广+ +}(厂 x)<|.再由2a=〖一6,得，所以3 4 , 5 ZyiO4/10" ,5-----—---------------------1---u b c f f c5 2/1〇 _V5c VF v r-V2)2-2^—2,当且仅当r=|■时等号成立.9数形结合求最值在解决问题的过程中，将数量关系与图形性质结合起来考虑，以“形”助数.可使问题变得简单、直46数学教学研究第40卷第2期 2021年3月观，降低解题难度，从而易于求解.例13求满足k+ 3 — 3i|的辐角主值最小的复数.解析满足条件的复数是以（一#，■#)为圆 心、半径为W的圆上的点，如图2所示.于是问题转化为求过原点与圆相切的直线的切点坐标.法，使用时需要一定的技巧变形，使之达到：和或积为常数；能取到等号.例16母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角p为（）.(A)^,(0^2"7r(D)解析设圆锥底面半径为r、高为/z，则有r^-\~h z=l,V=— • 7rr2/z,V = j i,2r A h22：=3(cos120°+isin120°)3V3 .—r—1例14已知l d=2,则|z— i|的最大值为（）.(A)l(B)2 (05(D)3解析如图3所7K，显见|z—i|max为圆心到点(0，1)的距离与半径的和.故应选D.10利用夹逼法求最值在求解某些数学问题时.通过转化、变形和估值，将有关量限制在某一数值范围内.再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法.例15不等边A A B C的两边上的高分别为 4 和12,且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.解析设^2,/：)，£'3边上高分别为4，12，/;.因为2S aabc=，所以“=36.又因为r<a+/，=4/，，代人126 = 4，得12/>< 4M,所以/;>3.又因为r>a—6 = 26,代人12/) = t'/!，得126> 2M，所以/i<6.所以3</;<6,故整数A的最大值为 5.11利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是求解此类问题常用方2221 ^273^* 27^^当且仅当7=时取等号，/!V3 V6.此时$丌■应选D.例 17 设复数2：=3cos (9+2isin <9,求函数_y= (9一a rg z的最大值以及对应的(9值.解析根据题意、2tan 沒、^7：tan(arg z)=—-—>0(0*<(9<—),tan3;=tan(d— arg z)=tan0—tan(arg2)1 +tan d •tan(arg z)tan63 +2tan6tan d■h2tan62^6V612此时由^= 2 —=f，得V6_V60=arg tan例18 圆柱轴截面的周长为定值Z，那么圆柱第40卷第2期 2021年3月数学教学研究47的体积的最大值是（）.(A)(4-):,7r(B)^-(4-)37t〇9 2所以 /i+A=y+l+l—^ =2—.y+y.根据圆的方程可得(C)( +)3t t(D)2(y)37T解析设圆柱底面半径为/•，高为/i，则由轴截面周长为/，可得4r+2/2 =/，即2r+/! =体积V=Jrr2/i<;r(^±i)3=(|)37rjO D当且仅当/•=/! 时取等号.故应选A.6例19要建造一个容积为8立方米、深为2米 的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为______元.解析水池底长为《米、宽为6米，则由题意知a6=4,总造价：y=120c/6 +320(u +6)=480+320 (a+/))>480+640V^"=1760 元，当且仅当u=6 =2时取等号.12利用三角函数的恒等变换根据题意，利用三角恒等变换，再结合三角函数的有界性，常常可以顺利求解一类问题的最值.例20 (2017年全国卷H1 )在矩形A B C D中，x=—sin d：y=—cos d»V5 V5所以21.u+A=2----cos---sin6V5 V5=2----Vicos d—sin6)V5=2— sin(.9—<p),显然（/u+A)m a x= 3.故应选A.点评本题主要考査平面向量的基本定理以及三角函数恒等变换求最值问题.考查推理能力和计算能力.平面向量既有数的特征也有形的特征，利用 平面向量的数的特征.通过建立坐标系可以巧妙地解决具有平面几何特征的平面向量问题.13利用导数和函数的单调性求最值例21 (2014年北京卷）已知函数/(x)=:rcos:r.r r丌i—sin :r，x6(1)求证:/(■!)<0;(2)若 a---■</•> 对 >r€■ [0，-^]恒成立，求 ax LA B=1，AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若=+,则A的最大值为（）.(A)3 (B)2V2 (C)V5 (D)2解析根据已知条件.以C为圆心.B C为x 轴.C D为y轴建立平面直角坐标系.设圆的半径是r.由题意知=|,利用等面积法可得S A/JC D=r XV^=2,解得r=g.所以圆的方程是5由题意得《(—2,0)，4(一2，1)，0(0,1).设尸(■r,：y),因为 =所以(_r +2，_y— 1)=A(0.一1)+/乂（2,0)，|j+2=2« .即丨l：y—1=—A.的最大值与的最小值.思路分析（1)首先观察函数式，求出其导函数，根据导函数判断其单调性，从而进一步判断/(•r)与0的大小关系.（2)根据不等关系，可以构造含参数u 4的不等式.根据区间范围.利用导函数即可求出参数的范围或取值.解析（1)由/(jt)=x c o s_r—sin j•，得/(x)=cos x—xsin x— cos x=—xsin j：.因为在区间（0,f)上/"(O')=—:r sin:r 0，所以/(■r)在区间[0,|]上单调递减.从而/(x)</(0)=0.si n t(2)当：时，~_>a”等价于“sinXsin r>0”；“:—<6”等价于“sin _r—/«•<0”.X48数学教学研究第40卷第2期 2021年3月令 g(:r)=sin:r—c r，贝lj g '(:r)=c o s:r—c.当时，^■(:?:)〉0对任意:r6(0，y)恒成立•当时，因为对任意c o s x—r<0,所以g(:r)在区间[0，音]上单调递减.从而^'(jt)<#(0)=0对任意了 6(0，|)恒成立•当0<f<l时，存在唯一的_1-。

一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。

利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

所以，答案为C．有两个不相等的实数根。

应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。

下面介绍其中的六种常见应用。

应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。

解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。

应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。

例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。

解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。

又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。

例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。

解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。

又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。

换元法求最值判别式换元法求最值是一种常见的数学方法，可以在解决一些特定的问题时帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

在这篇文章中，我将为大家介绍换元法求最值的基本原理和应用方法，并结合判别式的概念，展示它们在数学问题中的实际运用。

1. 换元法求最值的基本原理换元法求最值的基本原理是通过将问题中涉及的自变量进行一定的替换，从而将原问题转化为一个更容易求解的形式。

这个方法可以使计算过程更加简洁，求解过程更加直观。

2. 判别式的概念及其与换元法求最值的关联在代数学中，判别式指的是由一定系数的多项式的各项系数所构成的一个参数。

它可以帮助我们判断多项式的性质和性质的变化，有助于我们解决一些与最值相关的问题。

3. 换元法求最值的应用示例现在，让我们通过一个具体的数学问题来展示换元法求最值的应用。

考虑以下函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a ≠ 0。

我们的目标是求出这个二次函数f(x)的最小值或最大值。

我们可以通过求导的方法得到该函数的极值点：f'(x) = 2ax + b令f'(x) = 0，可以解得极值点x0的值：x0 = -b / 2a在这里，我们可以通过换元法进行转换：令y = x - x0那么，x = y + x0将x带入原函数f(x)中，我们可以得到：f(y) = a(y + x0)^2 + b(y + x0) + c现在，我们的目标是求f(y)的最小值或最大值。

由于x0是极值点，所以它对应的y值为0。

我们可以将y替换为0，得到：f(y) = a(x0)^2 + b(x0) + c通过这种换元法，我们将原问题转化为了一个更容易求解的形式。

现在我们只需要计算f(y)即可得到函数f(x)的最小值或最大值。

4.个人观点与理解换元法求最值是数学中一项重要且实用的技巧。

通过合理地选择变量替代，我们可以将原问题转化为更简单的形式。

换元法不仅能够帮助我们解决一些最值问题，还能够提高我们数学分析的能力和思维的灵活度。

巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。

由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。

x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。

代数最值问题（答案）一 简单分式函数的最值问题1 判别式法例 当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_________________. 提示：可设22365112x x x x ++++=t ，化方程为关于x 的一元二次方程利用判别式求解，也可以将22365112x x x x ++++化简为226(1)1x -++，结果为当x=-1时，最小值为4.2 配方法例 设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是__________.提示：2221(1)1y x x x x =-+=-++，当x=1时，最小值为1。

3基本不等式a b +≥例 函数()9180y x x x=--+>的最大值是（ ） A.24 B.18 C.12D.2 答案：C二 简单的绝对值函数最值例 设x 是实数，11y x x =-++.下列四个结论：①y 没有最小值；②只有一个x 使y 取到最小值；③有有限多个x （不止一个）使y 取到最小值；④有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是（ ）A .① B.② C.③ D.④提示：亦可以画出图象求解较为直观，选D.关于含一次式绝对值函数的最值有如下重要结论：设12n a a a <<< ，那么，函数12n y x a x a x a =-+-++- ，（1） 若n 为偶数，则当x 取122n na x a +≤≤时，有min 2112222n n n n y a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2） 若n 为奇数，则当x 取12nx a +=时，有min 35121222n n n n y a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭补充：图像法例 若x 是实数，{}min 21,2,6y x x x =++-+，求y 的最大值.提示：X=-2时，有最小值的最大值为4三 多元函数最值问题常用策略1 消元法例 已知,,x y z 为实数，且26,23x y z x y z +-=-+=.那么222x y z ++的最小值是________.答：142 因数分解法例 设,,a b c 是互不相等的自然数，且231350ab c =.则a b c ++的最大值是__________. 答：1543 配方法例 求实数,x y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值.答案：164 利用最值范围例 设,,a b c 均为不小于3的实数.1的最小值是_________.答：25 基本不等式法例 若1xy =，那么，代数式44114x y +的最小值是__________.答案：16 夹值法例 已知三个非负数,,a b c 满足325,231a b c a b c ++=+-=，若37m a b c =+-，则m 的最小值为____________，则m 的最大值为____________.答案：最小值57-，最大值111-7 参数法例 设,x y 是实数，且223x xy y ++=.求22x xy y -+的最值.答：最大值为9，最小值为1。

运用一元二次方程根的判别式解数学竞赛中的最值问题本学期第三周天荣中学的数学老师来我们学校进行课堂教学的交流，很荣幸地是，在这次交流活动中我上了题为《九年级数学——一元二次方程根的判别式》的公开课供大家一起交流探讨。

在这次交流探讨中我获益良多，对如何更好地开展本课的有效教学有了更多的体会和认识。

一、课后的总结与思考：“一堂顺利的数学课，往往散发出自然，人与自然，难受的享用。

每一位教师在教材处置，教学方法，学法指导等诸方面都存有自己的独有设计，在教学过程可以发生闪光点。

”，这就是我在一本数学杂志上看见的一段话，我很赞成作者的观点，一堂顺利的数学课，往往给教师自己本身和听讲的学生以自然，人与自然，难受的享用。

学生是课堂教学实施之本，课堂实施是否成功还要看课堂教学是否让不同的学生得到不同的发展。

因此，在准备本课的教学时我充分考虑了任教班级学生的特点。

本课任教的班级是初三（8）班，这是一个平行班，在年级的平行班中处于中等水平，学生原有的数学底子较为薄弱，学生课后的学习习惯差，但是在课堂上，有老师的督促，大部分学生在课堂上还是较为自觉地学习数学。

针对班级的实际情况，我同意在本课教学实行的过程中没实行小组讨论的问题探讨模式积极开展本课的课堂教学，而是比较传统地，使学生先练后谈再练习这样的讲练融合的模式积极开展教学。

1、为了让学生能自主地体会“方程的解与什么有关系？”，让学生能把新知识当旧知识来理解，在学习新知前，先让学生解方程，通过练习来复习用公式法解方程，并把结果填写在预先设计的表格，通过表格直观自然地体会方程的解与b？4ac的值有关。

从而很自然地进入本课所研究的重点内容。

第三章一：（一）解方程并讨论方程的解与什么有关系？（1）、用公式法求解：（1）x？3x？1？0（2）4x？4x？1？0（3）x？x？1？0（2）、根据上述结果核对下表中：思考：从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？2、师生共同小结本课自学的科学知识要点：（1）b2？4ac叫做一元二次方程ax2？bx？c？0根的判别式，通常用“△” 则表示；（2）一元二次方程ax2？bx？c？0（a？0）的根的情况：3、师明确提出问题，自学根的判别式对于我们存有什么促进作用？利用根的判别式又可以帮忙我们化解一些什么样的数学问题？（1）利用根的判别式可以使我们“不解方程也能判别方程的根的情况”；基准1、不解方程，辨别方程2x？4x？35？0的根的情况（2）利用根的判别式求出一些方程中待定系数的取值范围。

高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。

最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。

例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。

解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。

又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。

由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。

评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。

二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。

特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。

例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。

解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。

当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。

利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 例：求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是]21,103[错因：把21=y 代入方程（＊）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）（1）当21=y 时，方程（＊）无解； （2）当21≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。

综合（1）、（2）知此函数的值域为)21,103[ 二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2：求函数63422-+++=x x x x y 的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2=+--+-y x y x y（1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，∴3-=x ，故1=y 属于值域；（2）当1≠y 时， 0)25(2≥-=∆y ，综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值。

所以正确答案为1|{≠y y ，且}52≠y 。

三、注意变形后函数值域的变化例3：求函数21x x y -+=的值域。

错解：由已知得21x x y -=- ①，两边平方得221)(x x y -=- ②整理得012222=-+-y yx x ，由0)1(8)2(22≥---=∆y y ，解得22≤≤-y 。