初三-第13讲-切线长定理与圆的相关计算（提高）-教案

初中数学切线长定理教案教学目标：1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理。

2. 通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。

3. 通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。

教学重点：理解并掌握切线长定理。

教学难点：应用切线长定理解决问题。

教学准备：多媒体计算机、黑板、粉笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，如圆的轴对称性、圆的切线与半径的关系等。

2. 提问：从圆外一点可以引几条切线？它们的性质是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍切线长的概念：圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。

2. 引导学生观察图形，猜想切线长定理。

3. 引导学生通过几何画图和度量，验证猜想。

4. 引导学生运用代数方法证明切线长定理。

三、例题分析（15分钟）1. 给出一个应用切线长定理的例题，引导学生分析解题思路。

2. 引导学生一起解答例题，注意引导学生运用切线长定理。

3. 总结解题方法，强调切线长定理在解题中的应用。

四、课堂练习（15分钟）1. 给出几道练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生相互讨论，解答练习题。

3. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确解题思路。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结切线长定理的性质和应用。

2. 强调切线长定理在几何解题中的重要性。

六、课后作业（课后自主完成）1. 深化理解切线长定理，尝试解决更复杂的几何问题。

2. 撰写一篇关于切线长定理的学习心得，分享自己的学习体会。

教学反思：本节课通过引导学生观察、猜想、证明和应用，使学生掌握了切线长定理。

在教学过程中，注意调动学生的学习积极性，培养学生的几何思维和代数解题能力。

通过例题分析和课堂练习，让学生更好地理解和运用切线长定理。

在今后的教学中，要继续关注学生的学习情况，针对不同学生制定合适的教学策略，提高教学效果。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13 讲 - 切线长定理与圆的相关计算授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 理解切线长定理，并能熟练应用；② 运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。

授课日期及时段体系搭建知识梳理、知识概念一）切线长定理1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．3、注意：( Textbook -Based) 同步课堂切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．4、切线长定理包含着一些隐含结论①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系把一个圆分成 n（n 是大于 2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3 、计算公式（ 1）圆周长公式： C=2πR ；弧长公式：（ 3 ）圆面积公式： S=πR（4）扇形面积公式：（ 5）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（6）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．A．∠ 1=∠2例 2、如图，直线 AB 、CD 、BC 分别与⊙ O 相切于 E 、F 、G ，且 AB ∥CD ，若OB=6cm ，OC=8cm ，则 BE+CG① AF=BG ； ② CG=CH ； ③ AB +CD=AD +BC ； ④ BG <CG ．A ． 1B ．2C ．3D ．4解析】∵⊙ O 是四边形 ABCD 的内切圆， ∴AF=AE ，BF=BG ，CG=CH ，DH=DE ，∴AB +CD=AF +BF+CH+DH=AE +BG+CG+DE=AD +BC ． ① AF=BG ；④ BG <CG 无法判断．的长等于（A ． 13B ．12C ．11D ．10解析】∵ AB ∥CD ，∴∠ ABC +∠ BCD=180 °，∵ CD 、BC ， AB 分别与⊙ O 相切于 G 、F 、E ， ∴∠ OBC=ABC ，∠OCB= ∠BCD ，BE=BF ，CG=CF ，∴∠ OBC +∠OCB=90 °，∴∠ BOC=90 °， ∴BC==10，∴ BE+CG=10（ cm ）．故选 D ．例 3、如图， PA 、PB 切⊙ O 于点 A 、B ，PA=8，CD 切⊙O 于点 E ，交 PA 、PB 于 C 、 D 两点，则△ PCD 的周长是（ ）A ． 8B ．18C ．16D ．14解析】△ PCD 的周长 =PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB +PD=PA +PB=16 ．故选： C ．考点二： 圆外切四边形例 1、 如图，一圆内切四边形 ABCD ，且 AB=16 ， CD=10 ，则四边形的周长为（ A ．50B ．52C ．54D ． 56【解析】四边形的周长 =2（16+10） =52．故选 B ．例 2、 如图，⊙ O 是四边形 ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：正确的有②③ ，故选 B ．考点三： 圆内接正多边形解析】 C ．例 3、若正三角形、 正方形、正六边形的周长相等， 它们的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则下列关系成立的是 （ ）∴S 1<S 2< S 3．故选 C ．考点四： 弧长、阴影面积计算何？（例 2、如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，∠ CDB=30 °， CD=2 ，则阴影部分的面积为（例 1、 已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为（ A ．1 B ． C ．2 D ．2解析】 B ．例 2、 如果圆形纸片的直径是 8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ A ．2cmB ． 2 cmC ．4cmD ． 4 CmA ．S 1=S 2=S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2< S 3D ． S 2>S 3> S 1解析】设正三角形的边长为 a ，则正方形的边长为 ∵正三角形的边长为 a ，，正六边形的边长为 ∴其高为，∴S1= a×1； S 2=；）2；；∵正六边形的边长为 ∴把正六边形分成六个三角形，其高为 ， ∴S 3=6× × ×3××× ，=． =． 例 1、如图，有一圆 O 通过△ ABC 的三个顶点． 若∠ B=75°，∠ C=60°，且 的长度为 4π，则 BC 的长度为A ．8B ．8C ．16D ．16解析】连接 OB ， OC ，∵∠ B=75 °，∠ C=60°，∴∠ A=45 °，∴∠ BOC=90 °， ∵ 的长度为 4π，∴ =4π，∴ OB=8 ，∵，S 3=，故选B ．∴BC=A．2πB．πC．D．解析】∵∠ CDB=30 °，∴∠COB=60 °，又∵弦 CD ⊥AB ，CD=2 ，∴ OC=，故选D．例 3、如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A （﹣ 2，0），点 B 在原点，把正六边形ABCDEF沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60°，经过2016 次翻转之后，点 C 的坐标是（A．（4032，0）B．（4032，2 ）C．（4031，D ．（4033，）解析】∵每次翻转60°，∴每 6 次翻转为一个循环组循环，∵ 2016÷6=336 ，∴经过2016次翻转为第 336循环，点 C 在开始时的位置，∵ A （﹣ 2， 0），∴AB=2 ，∴前进的距离 =2×2016=4032，如图，过点 C 作 CG⊥x 于 G，则∠CBG=60 °，∴AG=2 × =1，BG=2×=，∴ OG=4032 +1=4033，∴点 B 的坐标为（ 4033，）．故选 D．实战演练课堂狙击P(Practice-Oriented) ——实战演练1、如图， PA、PB分别切⊙ O 于A、B，PA=10cm，C 是劣弧 AB 上的点不与点 A、B重合），过点 C的切线分别交 PA、PB于点 E、F．则△ PEF的周长为（A ． 10cm B ．15cmC． 20cmD ． 25cm解析】C．2、如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD 、下底 BC以及腰 AB 均相切，切点分别是 D ，C ，E ．若半圆 O 的半径为 2，梯形的腰 AB 为 5，则该梯形的周长是 （ ）解析】 D ．在三角形 ADE 中由勾股定理得： （4﹣ x ）2+42=（4+x ）2，∴ x=1cm ，∴ CE=1cm ，∴ DE=4﹣1=3cm ，∴S △ADE =AD ?DE ÷2=3× 4÷2=6cm 2．故选 D ． 4、若正六边形的半径长为 4，则它的边长等于（设点 G 为 AB 与⊙O 的切点，连接 OG ，则 OG ⊥AB ，∴ OG=OA ?sin60°=2×6、正六边形的边心距为 ，则该正六边形的外接圆半径为（A ．9B ．10C ．12D ．143、如图，正方形 ABCD 边长为 4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆 的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC 相交于 E 点，则△ ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．6解析】∵ AE 与圆 O 切于点 F ，显然根据切线长定理有 AF=AB=4cm ， EF=EC ， 设 EF=EC=xcm ，则 DE= （ 4﹣ x ）cm ， AE= （4+x ）cm ， A ．4 B ．2C ．2D ．4解析】 A ．5、如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 （ A ． C ．2B ． D ．解析】∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ AOB=60 °，∴△ OAB 是等边三角形， OA=OB=AB=2 ，∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN = × 2× ﹣ = ﹣．故选 A ．A．B．2 C．3 D．2 解析】∵AB ∥ CD ，∴∠ EBF+∠GCF=180°，∴∠ OBF+∠OCF=90°，∴∠ BOC=90 °，∴△ OBC 是直角三角形；2）解：∵在 Rt△BOC 中， BO=6 ，CO=8 ，∴ BC= =10；3）解：∵ AB 、 BC 、 CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，∴OF⊥BC，OF= =4.8．9、如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=4，以 AB 为直径的半圆 O与 DC相切于点 E ，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）【解析】阴影部分的面积 =S△BCD﹣（ S正方形OBCE﹣ S扇形OBE）×2×4﹣（2×2﹣π×2×2） =π．课后反击1、如图， P为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙ O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E，分别交 PA、 PB于点C、D，若 PA=5 ，则△ PCD 的周长为（）A． 5 B．7 C．8 D．10【解析】 D ．2、如图，从⊙ O 外一点 P引圆的两条切线 PA、PB，切点分别是 A 、B，如果∠APB=60 °，线段 PA=10，那么弦 AB 的长是（）A． 1 0 B．12解析】 C．8、如图， AB 、BC、CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，且 AB ∥CD，BO=6，CO=8．1）判断△ OBC 的形状，并证明你的结论；2）求 BC 的长；解析】（1）答：△ OBC 是直角三角形．证明：∵ AB 、BC 、CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，∴∠ OBE= ∠OBF= EBF，∠ OCG= ∠ OCF= ∠GCF，解析】 A ．解析】 D ．5、正六边形的边心距与边长之比为（解析】∵ AB=25 ，BD=15 ，∴ AD=10 ，解析】A ．D．103、如图，⊙ O是△ ABC 的内切圆，点 D、E分别为边 AC、BC 上的点，且O 的切线，若△ ABC 的周长为 25， BC 的长是 9，则△ ADE 的周长是A．7 B．C．9 D．16A．1：2 B．： 2 ：2 解析】D ．6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为120°，25cm，贴纸部分的宽BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（2 A ． 175πcm2B ． 350πcmAB 长为C ．πcm2 2D ． 150πcm∴ S 贴纸=2 ×() =2×175π=350πcm2，故选B ．7、如图，已知：射线 PO与⊙ O交于 A 、B两点， PC、PD分别切⊙于点 C、D．1）请写出两个不同类型的正确结论；2）若 CD=12，tan∠CPO= ，求 PO 的长．解析】（1）不同类型的正确结论有：2① PC=PD，② ∠CPO=∠DP，③ ACD ⊥BA，④ ∠ CEP=90 °，⑤PC2=PA?PB；2)连接 OC∵PC、PD 分别切⊙ O于点 C、D∴PC=PD，∠ CPO=∠DPA∴CD ⊥AB ，∵ CD=12，∴ DE=CE= CD=6．∵ tan∠ CPO= ，4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（A．1：2：B．2：3：4 C． 1：：D．1：2：A B D ） A C cm 2A ，B 直击中考 CDEF 的顶点C 是 1、【2016?深圳】如图，在扇形 AOB 中∠AOB=90 °，正方形的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为C ．2π﹣8 A ． 2 π﹣ 4 B ． 4π﹣ 8D ．4π﹣ 4 ∴阴影部分的面积 =扇形 BOC 的面积﹣三角形 ODC 的面积 2、【2008?深圳】如图，边长为 1的菱形 ABCD 绕点 A 旋转，当 B 、C 两点恰解析】 C ．3、【2009?深圳】如图，已知点 C ，D 均在已知圆上， AD ∥ BC ，AC 平分 的周长为 10cm ．图中阴影部分的面积为（ ∠BCD ，ABCD 平分∠ BCD ，∠ ADC=120 °，所以∠ ACD= ∠DAC=30 °， ∵AD ∥ BC ，AC ∴ = ，∴∠ ∴四边形 ABCD 解析】∵在扇形 AOB 中∠ AOB=90 °，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点， 在 Rt △OPC 中，∵ tan ∠ CPO= ，∴ ∴在 Rt △EPC 中， PE=12，∴由勾股定理得 CP=6 ，∴ OC=3 ，∴OP= cm 2 解析】∵ AC 平分∠ BCD ，∴ = ， = =15 ． ∴ OC= =4， 的长度等于（ ）C ．2 时，则阴影部分的面积为（ ）的周长 =AB +BC +CD +AD= BC ×3+BC=10，解得 BC=4cm ，BAC=90 °∠B=60°，∴ BC=2AB ， COD=45 °，好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC ∵PC 切⊙O 于点 C ，∴∠ OCP=90° π﹣ D ． cm 2×π×42 ×（ 2 ） 2=2 π﹣4．故选： A ． cm 2 B ．（ ∠ ADC=120 °，四边形∴圆的半径 = × 4=2cm ，∴S 阴影=S 半圆﹣S △ACE =12.5π﹣21×4×2 ∴阴影部分的面积 =（ π× 2 2×2× π﹣ cm 2．故选： B ．4、【 2016?资阳】在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=2 ，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB 于 点 D ，若点 D 为 AB 的中点， 则阴影部分的面积是（B ． 4 ﹣C ．2 ﹣D ．解析】∵ D 为 AB 的中点，∴ BC=BD= AB ，∴∠ A=30 °，∠ B=60 °．∵AC=2 ，∴ BC=AC ?tan30°=2 =2，∴S 阴影=S △ABC ﹣ S 扇形 CBD = ×2 × 2﹣ =2 ﹣ π．故选 A ．5、【 2011?深圳】如图 1，已知在⊙ O 中，点 C 为劣弧 AB 上的中点，连接 AC 并延长至 D ，使 CD=CA ，连 接 DB 并延长 DB 交⊙ O 于点 E ，连接 AE ．1）求证： AE 是⊙O 的直径；2）如图 2，连接 EC ，⊙ O 半径为 5，AC 的长为 4，求阴影部分的面积之和． （结果保留 π与根号）解析】（1）证明：连接 CB ，AB ，CE ，∵点 C 为劣弧 AB 上的中点，∴ CB=CA ，又∵ CD=CA ，∴ AC=CD=BC ，∴∠ ABC= ∠BAC ，∠ DBC= ∠ D ，∵ Rt △斜边上的中线等于斜边的一半，∴∠ ABD=90 °，∴∠ ABE=90 °，即弧 AE 的度数是 180°，∴ AE 是⊙O 的直径；2)解：∵ AE 是⊙O 的直径，∴∠ ACE=90 °，∵ AE=10 ，AC=4 ，∴根据勾股定理得： CE=2 ， =12.5π﹣ 4 ．S(Summary -Embedded)——归纳总结重点回顾1、切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系；2、圆与正多边形的关系；3、弧长、不规则阴影面积的计算。

切线长教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．证明：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。

（1）若PA=12，则△PCD周长为____。

（2）若△PCD周长=10，则PA=____。

（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E 、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

初中切线长定理教案切线长定理教案教学反思3篇第1篇：初中切线长定理教案1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称*，它为*线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的*和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、*，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以观察猜想*剖析应用归纳为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，掌握;2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和*，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极*，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点:的灵活运用是教学难点教学过程设计:(一)观察、猜想、*，形成定理1、切线长的概念.如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点p的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导学生直观判断，猜想图中pa是否等于pb.pa=pb.4、*猜想，形成定理.猜想是否正确。

需要*.组织学生分析*方法.关键是作出辅助线oa，ob，要*pa=pb.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论?∠opa=∠opb(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条*质与一起归纳切线的*质6、的基本图形研究如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点.直线op交⊙o于点d，e，交ap于c(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)写出图中所有的相似三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思例1、已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径.求*：ac∥op.分析：从条件想，由p是⊙o外一点，pa、pb为⊙o的切线，a，b是切点可得pa=pb，∠apo=∠bpo，又由条件bc是直径，可得ob=oc，由此联想到与直径有关的定理垂径定理和直径所对的圆周角是直角等.于是想到可能作辅助线ab.从结论想，要*ac∥op，如果连结ab交op于o，转化为*ca⊥ab，op⊥ab，或从od为△abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来*，可获得多种*法.*法一.如图.连结ab.pa，pb分别切⊙o于a，b∴pa=pb∠apo=∠bpo∴op⊥ab又∵bc为⊙o直径∴ac⊥ab∴ac∥op(学生板书)*法二.连结ab，交op于dpa，pb分别切⊙o于a、b∴pa=pb∠apo=∠bpo∴ad=bd又∵bo=do∴od是△abc的中位线∴ac∥op*法三.连结ab，设op与ab弧交于点epa，pb分别切⊙o于a、b∴pa=pb∴op⊥ab∴=∴∠c=∠pob∴ac∥op反思：教师引导学生比较以上*法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要*质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的*质：对角互补.p120练习：练习1填空如图,已知⊙o的半径为3厘米，po=6厘米，pa，pb分别切⊙o于a，b，则pa=_______，∠apb=________练习2已知：在△abc中，bc=14厘米，ac=9厘米，ab=13厘米，它的内切圆分别和bc，ac，ab切于点d，e，f，求af，ad和ce的长.分析：设各切线长af，bd和ce分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合*较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结1、提出问题学生归纳(1)这节课学习的具体内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应注意哪些概念之间的区别?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材p131习题7.4a组1.(1)，2，3，4.b组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.提示：在图1中，连结pc、pd，则pc、pd都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点o应在圆上.在图2中，设p1a=p1b=a，p2b=p2c=b，p3a=p3c=c，则有a=p1a=p1p3+p3a=p1p3+c①c=p3c=p2p3+p3a=p2p3+b②a=p1b=p1p2+p2b=p1p2+b③将②代人①式得a=p1p3+(p2p3+b)=p1p3+p2p3+b，∴a-b=p1p3+p2p3由③得a-b=p1p2得∴p1p2=p2p3+p1p3∴p1、p2、p3应重合，故图2是错误的。

第23章《圆》第10课时 切线（2）——切线长定理和内切圆初三（ ）班 学号 姓名 2005年 月 日 学习目标：1、掌握切线长定理，并会简单应用2、了解三角形内切圆的相关概念3、会画任意三角形内切圆，并会写作法 学习过程： 一、温故知新 1、如右图，BD 是⊙O 的切线，直径AC 的延长线交DB 于B ， ∠ADB=120°， ∠ADO= ，∠A= ，∠B= 2、如右图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做⊙O 的 。

△ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。

3、三角形的三边的 交于一点，三角形的三个内角的 交于一点，二、新课学习 1、切线长定理图1（1），P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．得到图1（2），设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条____，PB 是⊙O 的一条_____，则有P A PB 、∠APO ∠BPO图1①切线长：圆的切线上某一点与 点之间的线段的长叫做这点到圆的如图1（2），线段 、 的长就是点P 到⊙O 的切线长．②切线长定理：从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角．2、内切圆 ①内切圆相关概念如图2，与三角形各边都 的圆叫做三角形的 ，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ．这个三角形叫做圆的 ．三角形的内心就是三角形三条内角 的交点．即：如图2，如果⊙I 与△ABC 的三边 ，则⊙I 叫做△ABC 的 ，圆心I 叫做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做⊙I 的 。

△ABC 的内心就是△ABC 的三个 的 交点。

②内切圆的作法已知△ABC ，画它的内切圆⊙O 作法：1、分别作∠A ，∠B 的 ，两平分线交于点2、过点O 作AB 的垂线段，交AB于D 3、以点 为圆心，以的长为半径，画圆 那么，所画的⊙O 就是△ABC 的分组练习（A 组）图2B CBCAP1、如右图，P A ，PB 分别为⊙O 为的切线，P A =3cm ， ∠APB=60°，则∠APO= ，PB = ， ∠AOP=2、如图，P A ，PB 分别为 ⊙O 为的切线，PO=13， OB=5，∠AOB=150°， 则∠APO= ，PA= 。

切线长定理教案范文教学目标：1.理解切线长定理的概念和原理；2.能够运用切线长定理解决相关问题；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学准备：1.教师准备黑板、白板或PPT等教学工具；2.准备学生练习的题目和答案；3.预先了解学生对切线长定理的基本知识。

教学步骤：引入（10分钟）1.通过引导学生回顾圆的基本知识，例如：圆心、直径、半径等；2.提问学生在绘制两条切线的过程中遇到的问题或困惑；3.引出本课的主题，切线长定理，并激发学生的学习兴趣。

探究（30分钟）1.通过幻灯片或板书等方式向学生简要介绍切线长定理的概念和原理；2.示意图：绘制一个圆，画出圆上的一条切线，并在切点处引出垂线；3.说明如何推导出切线长定理，即证明切线长度平方等于切点至圆心线段与切点至切线上特定点线段的乘积；4.通过几个基本的习题帮助学生理解和掌握切线长定理的应用，例如求切线长度、求圆心角度数等。

拓展（15分钟）1.利用白板或幻灯片向学生展示一些应用切线长定理解决问题的例子，例如圆与正方形的关系、切线定理与余弦定理的关系等；2.引导学生分析这些例子中如何运用切线长定理，并思考如何将切线长定理应用到其他几何问题中。

讲解（20分钟）1.通过多个几何例子详细讲解切线长定理的应用方法；2.针对学生容易出现的错误和疑惑，进行解答和澄清；3.鼓励学生积极思考，提出问题并与教师和同学进行讨论。

总结（5分钟）1.回顾本课的学习内容，强调切线长定理的重要性和应用价值；2.鼓励学生总结切线长定理的特点和应用方法；3.帮助学生解决最后的疑惑，激发学生对几何学习的兴趣。

作业布置：1.布置一些与切线长定理相关的题目，并要求学生在规定时间内完成，并准备下节课进行讲解和讨论；2.鼓励学生用自己的语言总结切线长定理的应用方法和特点。

教学反思：1.教师应在每个环节中引导学生主动思考和参与讨论，建立学生的自主学习意识；2.注意针对学生的理解程度进行差异化教学，帮助弱势学生理解掌握切线长定理；3.合理利用教学工具和资源，创设合作学习和探究式学习的环境，提高学生的学习兴趣和参与度。

《切线长定理》教学设计教学设计：《切线长定理》一、教学目标：1.理解《切线长定理》的概念和性质；2.掌握求解圆内切、圆外切问题的方法；3.能够灵活运用《切线长定理》解决相关的几何问题。

二、学情导入：1.复习圆的性质，包括圆心角、弧长、互弦垂直、半径垂直等；2.提出一个问题，如何判断一个点在圆内部还是外部？请同学们讨论。

三、新课内容展示：1.引入《切线长定理》的概念：什么是切线？什么是弦？切线是与圆相切于圆的一条直线，与半径垂直；弦是圆上两点之间的线段。

2.学习《切线长定理》的表述及证明：表述：两条切线长度相等，或两条切线中较近的切线的长等于切点到圆心的距离。

证明：构造圆心角相等的两个弧，再利用弧长等于圆心角的定理。

四、示例讲解：1.举例解释圆内切问题的求解方法：将一张纸折成U形，底边是个较长的直线段，底端固定不动，然后将纸折成圆弧，使圆弧与底边相切，这样底边上的两端的端点就是圆内切问题的切点。

2.举例解释圆外切问题的求解方法：将两段不同长度的线段放在一张已知圆的上方，固定一端，另一端在圆上移动，当两线段相切时，两线段长度相等。

五、知识巩固：1.教师请同学们进行一些练习题，包括圆内切和圆外切的问题，并提醒他们运用《切线长定理》；2.教师在黑板上列出几道练习题，请同学们自己思考并解答，并让其中表现出色的同学上台讲解解题过程。

六、拓展应用：1.教师引导同学们根据已学知识，自己设计一个切线长的问题，并提出解决思路；2.教师组织同学们进行小组讨论，并让每个小组派代表上台分享他们的问题和解决思路。

七、归纳总结：1.让同学们回顾本节课所学内容，总结《切线长定理》的应用；2.教师帮助同学们归纳总结，将重要的知识点和解题方法写在黑板上。

八、作业布置：1.布置一道拓展题作为课后作业；2.要求同学们再次巩固《切线长定理》的应用，自主设计一个题目，并提供解题思路。

九、教学反思：本节课采用了以问题为导向的教学法，让同学们自己思考并解决问题，既培养了他们的思考能力和独立解决问题的能力，又能够拓展他们的应用思维。