北师大版九年级数学下册 3.7 切线长定理 同步测试题(有答案)

*3.7 切线长定理1. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ， 则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm3.如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．4.如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．P B AO6. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．7. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长．8. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．9．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．10.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。

北师版九年级数学下册3.7《切线长定理》培优训练一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：①PA＝PB；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④AB被OP垂直平分，其中正确结论的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( ) A．9 B．10 C．12 D．143. 如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为( )A．33B．12C．32D． 34. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 cm，AC＝12 cm，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F 是切点，则⊙O的面积是( )A．πcm2B．2πcm2 C. 4πcm2D．6πcm25．一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的半径为25 cm，∠MPN ＝60°，则OP等于( )C.5033cm D ．50 3 cm6．如图，PA ，PB 分别是切⊙O 于点A ，B ，C 是ACB ︵上的点，∠C ＝64°，∠P 的度数为( ) A ．26° B ．62° C ．65° D ．52°7．如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切于点L ，M ，N ，P.若四边形ABCD 的周长为20，则AB ＋CD 等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．128．如图，已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，点C 是AB ︵上一动点，过点C 作⊙O 的切线交PA 于点M ，交PB 于点N ，已知∠P ＝56°，则∠MON ＝ ( ) A ．56° B ．60° C ．62° D ．不可求9. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ABC 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．210．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD ，OC.下列结论：①∠DOC ＝90°；②AD ＋BC ＝CD ；③S △AOD ∶S △BOC ＝AD 2∶AO 2；④OD ∶OC ＝DE ∶EC ；⑤OD 2＝DE·CD.其中正确的有( )二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为__________.12．如图所示，若△ABC的边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆圆O切AB，BC，AC于D，E，F，则AF的长是_______.13．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是___________.14．如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点是D，E，F，若AF，BE的长是方程x2－13x＋30＝0的两根，则S△ABC＝__________.15．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB，若∠ABC＝30°，则AM＝____________.16. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB 于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为_______.17. 如图，一圆内切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为_______.18．如图，△ABC的内切圆与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是_______.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC ＝BC.20．(6分)为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5 cm，求铁环的半径．21．(6分) 如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；(2)填空：①当DP＝1cm时，四边形AOBD是____________；②当DP＝2－1cm时，四边形AOBP是____________．22．(6分) 如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm.求⊙O的直径．23．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BE＝2，DE＝4，求⊙O的半径及AC的长．24.(8分)如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.求⊙O的半径．25．(8分) 如图，⊙O与△ABC的AB、AC边相切于点D、C，与BC边分别交于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．若BD＝4，EC＝6，求AC的长．参考答案：1-5DDACA 6-10 DACBC 11. 52 12. 5 13. 8 14. 30 15. 33 16．8 17．34 18．76°19. 解：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC.又∵PC ＝PC ， ∴△APC ≌△BPC ，∴AC ＝BC 20. 解：设圆心为O ，连接OA ，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO ＝60°.又∵PA 与⊙O 相切，∴∠OPA ＝90°，∴∠POA ＝30°. ∵PA ＝5 cm ，∴OP ＝5 3 cm. 即铁环的半径为5 3 cm21. 解：(1)连接OA.∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.在Rt △AOP 中，∠AOP ＝90°－∠APO ＝90°－30°＝60°，∴∠ACP ＝12∠AOP ＝12×60°＝30°，∴∠ACP ＝∠APO.∴AC ＝AP.∴△ACP 是等腰三角形 (2) 菱形；正方形22. 解：如答图，连接OE ，OA ，OB.∵AC ，AB 都是⊙O 的切线，切点分别是点E ，B ， ∴∠OBA ＝90°，∠OAE ＝∠OAB ＝12∠BAC.∵∠CAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝12×120°＝60°，∴∠BOA ＝30°，∴OA ＝2AB ＝16(cm)．∴⊙O 的直径是16 3 cm.23. 解：(1)直线CD 与⊙O 相切．理由如下：连接OC. ∵CB ＝CD ，CO ＝CO ，OB ＝OD ，∴△OCB ≌△OCD(SSS)． ∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴OD ⊥CD. ∴直线CD 与⊙O 相切． (2)设⊙O 的半径为r.在Rt △OBE 中，∵OE 2＝OB 2＋EB 2，∴(4－r)2＝r 2＋22. 解得r ＝1.5，即⊙O 的半径为1.5.∵tan E ＝OB BE ＝CD DE ，∴1.52＝CD4.∴CD ＝BC ＝3.24. 解：设⊙O 的半径是r cm. 连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF.∵⊙O 为△ABC 的内切圆，切点是D ，E ，F ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， OD ＝OE ＝OF ＝r cm.∵AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB ＝10 cm. ∵S △ACB ＝S △OAC ＋S △OBC ＋S △OAB ， ∴12AC·BC ＝12AC·r ＋12BC·r ＋12AB·r. 即12×6×8＝12×6r ＋12×8r ＋12×10r ，解得r ＝2. 即⊙O 的半径是2 cm.25. 解：∵∠EDC ＝90°，∴∠DCE ＋∠CED ＝90°.∵AB 是⊙O 的切线，∴∠BDO ＝90°. ∴∠BDE ＋∠ODE ＝90°. ∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED. ∴∠DCE ＝∠BDE. 又∵∠B ＝∠B ，∴△BDC ∽△BED. ∴BD BE ＝BCBD. ∴BD 2＝BE·BC. 设BE ＝x ，∵BD ＝4，EC ＝6，∴42＝x(x ＋6)，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)．∴BE ＝2. ∴BC ＝BE ＋EC ＝8. ∵AD ，AC 是⊙O 的切线，∴AD ＝AC.设AD ＝AC ＝y ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴(4＋y)2＝y 2＋82，解得y ＝6. ∴AC ＝6.。

初中数学试卷桑水出品北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测一、选择题1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38答案：B解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．30答案：D解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化答案：A解析：解答：如图：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11答案：D解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选：D．分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：D解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．16答案：A解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．故选A．分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A．4 B．8 C．4√3 D．8√3答案：B解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°答案：D解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案：C解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：D解析：解答：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=23：4= 3：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= 3：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC•PO答案：D解析：解答：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：PA2=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．分析：由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P） B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P答案：C解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∴∠AOB=180°-∠P，∴∠COD=90°-12∠P．故选：C．分析：根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=12∠AOB．A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，∴MN=12（AB+CD），根据切线长定理得：DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=12（AB+CD），∴CD=MN，而MN=8，∴CD=8．故选C．分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8答案：C解析：解答：如图：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．故选：C．分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE 的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞BC．故选A，分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．二、填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm.答案：5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为答案：16解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．故答案为16．分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是答案：2 3解析：解答：连接PO，AO，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长=3r，∴PA=PB=1.5r，∴tan 12∠APB=AO: PA =r :1.5r =23，故答案为：2 3．分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为答案：8cm解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是答案：14解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，故答案为：14．分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．答案：2解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形ABCD的面积为：1 2×EO×AD+12OM×DC+12GO×BC+12FO×AB=12EO（AD+AB+BC+DC）=12EO×24=24，解得：EO=2．故r=2．分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.答案：2解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为：2．分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.答案：3解析：解答：连接OA、OB，则OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠P=90°，∴∠AOB=90°，∴四边形APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是3，故答案为：3．分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，求∠CPD.答案：60°解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠CPD=60°，故答案为：60°．分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.答案：2解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．。

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】*3.7 切线长定理1. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ， 则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm3.如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．4.如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P __PBAO___度．6. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．7. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长．8. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．9．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．10.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是()A.4B.4√3C.8D.8√32.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD等于()A.5B.8C.10D.123.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,若OP=4,PA=2√3,则∠AOB的度数为()A.60°B.90°C.120°D.无法确定4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=6,∠DAC=∠DCA,则CE=.5.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,其切点分别为P,C,D,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.6.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形.(2)求AC的长.【能力巩固】7.如图,有一张三角形纸片ABC,☉O是它的内切圆,D是其中的一个切点,已知AD=5 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为()A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.随直线MN的变化而变化8.如图,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O切AB,BC,AC于点D,E,F,则AF的长为()A.5B.10C.7.5D.49.如图,PA,PB是☉O的切线,其切点分别为A,B,点C,D在☉O上.若∠PAD+∠C=220°,则∠P的度数为°.10.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为.11.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E,交BC于点D,若BE=4,BD=2,求☉O的半径和边AC的长.【素养拓展】12.如图,一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5 cm 的圆环,当滚到与坡面BC 开始相切时停止.AB=40 cm,BC 与水平面的夹角为60°.试问其圆心所经过的路线长是多少?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.C2.C3.C4.65.26.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B∴PA=PB ,且∠P=60° ∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.∵BC 是☉O 的直径,PB 是☉O 的切线 ∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30° ∴AC=2×√33=2√33cm .【能力巩固】 7.C 8.A 9.100 10.9 11.解:如图,连接OE.∵AB 与☉O 相切 ∴OE ⊥AB ∴∠BEO=90°. 设☉O 的半径为r在Rt △BEO 中,由勾股定理得OB 2=OE 2+BE 2.∵BE=4,BD=2∴(2+r )2=r 2+42,解得r=3 ∴CD=6∴BC=BD+CD=2+6=8.∵∠C=90°,OC为☉O的半径∴AC与☉O相切∴AC=AE.设AC=AE=x∴AB=BE+AE=4+x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2 ∴(4+x)2=x2+82,解得x=6∴AC=6.【素养拓展】12.解:如图,连接OD,BD,作DE⊥AB于点E.∵BC与水平面的夹角为60°∴∠DBE=60°,∴∠BDE=30°.设BE=x,则BD=2x∴由勾股定理得4x2-x2=25解得x=5√33∴OD=AE=40-5√3(cm).3)cm.答:其圆心所经过的路线长是(40−5√33。

3.7 切线长定理同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A.32B.34C.36D.382. PA，PB切⊙O于点A，B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是()A.10B.18C.20D.223. 已知四边形ABCD是梯形，且AD // BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A.大于B.等于C.小于D.不能确定4. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O两点，若PA=3，则PB=（）A.5B.4C.3D.25. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A.8B.9C.10D.116. 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P．若四边形ABCD的周长为20，则AB+CD等于（）A.5B.8C.10D.127. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，过圆上点C作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA=4，则△PEF的周长是()A.4B.8C.10D.12̂上任一点，过C的切线分别交PA，PB 8. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是AB于D，E．若⊙O的半径为6，PO=10，则△PDE的周长是（）A.16B.14C.12D.109. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF=BG②CG=CH③AB+CD=AD+BC④BG<CG．A.1B.2C.3D.410. 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA、PB分别于M、N，若⊙O的半径为2，∠P=60∘，则△PMN的周长为（）A.4B.6C.4√3D.6√3二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若圆外切四边形ABCD的面积为20平方厘米，AD+BC=10厘米，则该圆半径为________．。

北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上． 同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。

《切线长定理》同步练习3
一、选择题
1.下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
2．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比（ ）
(A)15∶ (B)25∶ (C)35∶ (D)54∶
二、填空题
3．如图1，点A ，B ，D 在O 上，25A =∠，OD 的延长线交直线BC 于点C ，且40OCB =∠，直线BC 与⊙O 的位置关系为
_________．
三、解答题
4．如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，CD 交⊙O 于点D ，且30A C ∠=∠=︒．
（1）说明CD 是⊙O 的切线；
（2）请你写出线段BC 和AC 之间的数量关系，并说明理由．
A B C
D O A O
B C D
参考答案
1．C 2． B 3．相切
4．解：（1）连结OD ． AB ∵是直径，90ADB ∠=︒∴． 30A ∠=︒∵，
60ABD ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形． 而ABD C BDC ∠=∠+∠， 30BDC ABD C ∠=∠-∠=︒∴， 90ODC ∠=︒∴，
即OD DC ⊥，故DC 是⊙O 的切线．
（2）13
BC AC =． OD DC ⊥∵，且30C ∠=︒，BD BC =∴． 又在ABD △Rt 中，30A ∠=︒， 12BD AB =
∴，12BC AB =∴， 13
BC AC =
∴．。

北师大版九年级数学下3.7 切线长定理（含答案）一、选择题1．如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB等于()图1A．2 B．3 C．4 D．52．如图2，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()图2A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图3，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，则AF的长为()图3A．5 B．10 C．7.5 D．44．如图4，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图4A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO5．2019·深圳模拟如图5，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是()图5A．32°B．48°C．60°D．66°6．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧AB上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是()图6A．56°B．60°C．62°D．不可求7．把直尺、三角尺和圆形螺母按图7所示放置在桌面上，∠CAB＝60°，D为切点，若量得AD＝6 cm，则圆形螺母的外直径是()图7A．12 cm B．24 cmC．6 3 cm D．12 3 cm二、填空题8．如图8，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．图89．如图9所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的长为8，BC的长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图910．如图10，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图1011．如图11所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.图1112．如图12所示，⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图12三、解答题13．一个夹角为120°的墙角处放置了一个圆柱形的容器，俯视图如图13，在俯视图中⊙O与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱形容器的直径不易直接测量)．(1)写出图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出⊙O的直径的测量方法(写出主要解题过程)．图1314．如图14，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的长；(2)△ABC的周长．图1415．如图15，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD 上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．图15附加题如图16，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E，连接OE.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，找出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图16参考答案1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] A设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.4．[解析] D如图，连接OA，OB.∵P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴P A＝PB，∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△P AD ∽△POA ， ∴P A ∶PO ＝PD ∶P A ，∴P A 2＝PD ·PO . 故D 错误．5．[解析] D ∵CA ，CD 是⊙O 的切线， ∴CA ＝CD ， ∴∠CAD ＝∠CDA . ∵∠ACD ＝48°， ∴∠CAD ＝∠CDA ＝66°. ∵CA ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴∠DBA ＋∠DAB ＝90°，∠CAD ＋∠DAB ＝90°， ∴∠DBA ＝∠CAD ＝66°. 6．[答案] C7．[解析] D 设圆形螺母的圆心为O ，与AB 切于点E ，连接OD ，OE ，OA ，如图所示．∵AD ，AB 为圆O 的切线，∴AO 为∠DAB 的平分线，OD ⊥AC . 又∵∠CAB ＝60°，∴∠OAE ＝∠OAD ＝12∠DAB ＝60°.在Rt △AOD 中，∠OAD ＝60°，AD ＝6 cm ， ∴tan ∠OAD ＝tan60°＝3，即OD6＝3， ∴OD ＝6 3 cm ，∴圆形螺母的外直径为12 3 cm. 8．[答案] 44[解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，∴AD ＋BC ＝AB ＋CD ＝22，∴四边形ABCD 的周长＝AD ＋BC ＋AB ＋CD ＝44.。

北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.7切线长定理 同步俩习题一、选择题(9分×3＝27分)1．如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )A ．8B ．12C ．16D ．不能确定,第1题图) ,第2题图)2．如图，已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边、AB 的延长线、AC 的延长线相切，则∠BOC 等于()A ．∠AB ．90°＋∠AC ．90°－12∠AD ．180°－12∠A3．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r二、填空题(9分×3＝27分)4．如图所示，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝__________，BD＝________ ，CE＝______ ．5．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为______．,第5题图),第6题图)6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB.若∠ABC＝30°，则AM＝______．三、解答题(14分＋15分＋17分＝46分)7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求AC的长．8．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．9．如图①，直线y ＝－34x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C(m ，n)是第二象限内一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.(1)当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；(2)如图②，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径．答案:1. C2. C3. C4. 6cm4cm2cm5. 26. 337. 解：(1)连接OA ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵OP 平分∠APB ，∴∠POA ＝∠POB ，而∠BOA ＝∠C ＋∠OAC ，而∠OAC ＝∠C ，∴∠POB ＝∠C ，∴AC ∥OP(2)证△PAB 为等边三角形，可求∠ABC ＝30°，又BC ＝10，∴AC ＝5cm8. 解：(1)连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝12∠AOE ，∵∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE.(2)OF ＝12CD.理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，由(1)得∠ADO ＝∠EDO ，∴2∠EDO ＋2∠OCE ＝180°，即∠EDO ＋∠OCE ＝90°，在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝12CD.9. 解：(1)连接CB、CE、CF、AC，则∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝5，CE＝OB＝3，∴C的坐标为(－5，3)(2)连接CD、CE、CF，∵∠CEO＝∠CDO＝90°，又∠DOE＝90°，∴四边形CEOD为矩形，又CE＝CD，得正方形CEOD，∴CE＝DO＝R，又BO＝3，∴BD＝3－R，∵BF、BD为切线，∴FB＝BD＝3－R，同理AE＝AF，即R＋4＝3－R＋5，∴R＝2.。