北师大版九年级数学下册 同步练习切线长定理

《切线长定理》分层练习◆基础题1．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A=10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．222．如图，P A，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°3．已知P为⊙O外一点，P A，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P=70°，C为⊙O 上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA=（）A．35°C、145°B．110°、70°C．55°、125°D．110°4．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．385．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD 的长为．6．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于．7．已知P是⊙O外一点，P A切⊙O于A，PB切⊙O于B．若P A=6，则PB= ．8．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE （不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O 的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为．9．如图所示，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交P A、PB于E、F点，已知P A=8cm，求：△PEF的周长．10．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC=5时，求AD的长．◆能力题1．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，则BE+CG的长等于（）A．13 B．12 C．11 D．102．如图，正方形ABCD边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A．12 B．24 C．8 D．63．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB=CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB=CD=CE4．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm．5．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC 开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是cm （结果保留根号）．6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE= ．7．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC；（2）求∠AOD的度数．8．如图，P A、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）P A的长；（2）∠COD的度数．◆提升题1．P是⊙O外一点，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交P A、PB于点D、E．若P A=4，则△PDE的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．不能确定2．如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图所示，⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．（1）△AEF的周长是；（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是．5．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．6．已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O 的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：DE=12 BC；（2）若AC=6，BC=8，求S△ACD：S△EDF的值．答案和解析◆基础题1．【答案】C解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=P A+PB=10+10=20．2．【答案】B解：连接OA，BO,∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．3．【答案】C解：如图；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，∴∠BOA=180°﹣∠P=110°，∴∠AEB=12∠AOB=55°；∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，∴∠AFB=180°﹣∠AEB=125°，①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA=∠AEB=55°；②当C点在劣弧AB上运动时，∠BCA=∠AFB=125°．4．【答案】B解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．5．【答案】2解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB ﹣AP=5﹣3=2．6．【答案】1解：∵P A、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO=∠BPO=12∠APB，∠P AO=90°,∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∵PO=2，∴AO=1．7．【答案】6解：∵P A、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；∴P A=PB，即PB=6．8．【答案】8cm解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm．9．解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O 的切线，交P A、PB于E、F点，∴P A=PB，EA=EQ，FB=FQ，∵P A=8cm，∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=P A+PB=8+8=16（cm）．10．解：连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA=∠ODA=90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD=AC=5．◆能力题1．【答案】D解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC，∴BE+CG=10．2．【答案】D解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4，EF=EC，设EF=EC=x，则DE=4﹣x，AE=4+x，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1，∴CE=1，∴DE=4﹣1=3，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6．3．【答案】A解：∵∠1=60°，∠2=65°，∴∠ABC=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣60°﹣65°=55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC=CD，BC=CE，∴AB＞CE＞CD．4．【答案】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB =12∠CAB =60°,∵AB =3cm ，∴OA =6cm ，∴由勾股定理得OB ，∴光盘的直径．5．【答案】40 解：连接OD 、BD ，作DE ⊥AB ，∵BC 与水平面的夹角为60°，∴∠DBE =60°，∴∠BDE =30°，设BE =x ，则BD =2x ，∴由勾股定理得4x 2﹣x 2=25，解得x ，∴OD =AE =40．6．【答案】25解：设BC 的中点为O ，连接AO ，交BE 于F ．由于AB 、AE 分别切⊙O 于B 、E ，则AB =AE ，且∠BAF =∠EAF ．又∵AF =AF ，∴△ABF ≌△AEF ．∴AO 垂直平分BE ．在Rt △ABO 中，BF ⊥AO ，则∠FBO =∠BAO ，易知BO =2，AB =5，∴tan ∠BAO =tan ∠CBE =25．7．（1）证明：∵⊙O 切梯形ABCD 于E 、M 、F 、N ，由切线长定理：AE =AN ，BE =BM ，DF =DN ，CF =CM ，∴AE +BE +DF +CF =AN +BM +DN +CM ，∴AB +DC =AD +BC ；（2）解：连OE 、ON 、OM 、OF ，∵OE =ON ，AE =AN ，OA =OA ，∴△OAE ≌△OAN ，∴∠OAE =∠OAN ．同理，∠ODN =∠ODF ．∴∠OAN +∠ODN =∠OAE +∠ODE ．又∵AB ∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=12×180°=90°，∴∠AOD=180°﹣90°=90°．8．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA=CE，同理DE=DB，P A=PB，∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=P A+PB=2P A=12，即P A的长为6；（2）∵∠P=60°，∴∠PCE+∠PDE=120°，∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE=∠OCA=12∠ACD；同理：∠ODE=12∠CDB，∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB）=120°，∴∠COD=180﹣120°=60°．◆提升题1．【答案】B解：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD=DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC=EB，又直线P A和直线PB为圆O的切线，所以P A=PB=4，则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=P A+PB=4+4=8．2．【答案】A解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，∵BC=BE+CE=6，∴BD+CF=6，∵AD=AF，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF=DF，∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，∵BD+CF=6，∴AD+AF=4，∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD=12×4=2．3．解：∵CD是⊙O的切线，∴CD2=CB•CA，∵AB=CD=2，∴4=BC（BC+2），解得BC=﹣CD 是⊙O 的切线，BE 为⊙O 的切线，∴∠CBE =∠CDO =90°，∴△BCE ∽△DCO ，∴OD CDBE BC =，即12CE =-，解得，CE =52-．4．【答案】8；9解：（1）如图1所示：连接ED ，DG ，FD ，CD ，∵AB ，AC 分别与⊙D 相切于点B ，C ，∴AB =AC ，∠ABD =∠ACD =90°，∵⊙D 的半径为3，A 是圆D 外一点且AD =5，∴AB ==4，∵过G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，∴BE =EG ，FG =FC ，则△AEF 的周长是：AE +EG +FG +AF =AB +AC =8．（2）如图2，AG =AD ﹣DG =5﹣3=2．∵在△AEG 和△ADB 中，∠ABD =∠AGD =90°，∠BAD =∠EAG ，∴△AEG ∽△ADB ，∴E G A G B D A B =，∴EG =32，∴EF =2EG =3，∴S △AEF =12EF •AG =12×3×2=3．又∵S 四边形ABDC =2S △ABD =AB •BD =3×4=12，∴S 五边形DBEFC =12﹣3=9．5．解：（1）△OBC 是直角三角形．证明：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G ，∴∠OBE =∠OBF =12∠EBF ，∠OCG =∠OCF =12∠GCF ，∵AB ∥CD ，∴∠EBF +∠GCF =180°，∴∠OBF +∠OCF =90°，∴∠BOC =90°，∴△OBC 是直角三角形；（2）∵在Rt △BOC 中，BO =6，CO =8，∴BC =10；（3）∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G ，∴OF ⊥BC ，∴OF =6810BO CO BC ⋅⨯==4.8． 6．（1）证明：∵EC 、ED 都是⊙O 的切线，∴EC =ED ，∠ECD =∠EDC ．∵∠EDC +∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，∴∠EDB=∠B．∴ED=BE．∴DE=BE=EC．∴DE=12 BC．（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，根据射影定理可得：AD=AC2÷AB=3.6，∴BD=BC2÷AB=6.4，∴S△ACD：S△BCD=AD：BD=9：16，∵ED=EB，EF⊥BD，∴S△EDF=12S△EBD，同理可得S△EBD=12S△BCD，∴S△EDF=14S△BCD，∴S△ACD：S△EDF=94．。

适用精选文件资料分享九年级数学下 3.7 切线长定理课时练习（北师大有答案和解说）北师大版数学九年级下册第 3 章第 7 节切线长定理同步检测一、选择题 1. 如图，一圆内切四边形 ABCD，且 BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A ．32 B．34 C．36 D．38 答案： B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（ 7+10）=34．应选： B．解析：依据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2. 以以以下图， P 为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点C、D，若 PA=15，则△ PCD的周长为（） A ．15 B．12 C．20 D．30 答案： D 解析：解答：∵P为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于 A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点 C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△ PCD的周长为： PA+PB=30．应选： D．解析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，从而求出答案． 3. 如图，△ ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是此中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形（△ AMN），则剪下的△ AMN的周长为（） A ．20cmB．15cmC．10cm D．随直线 MN的变化而变化答案： A 解析：解答：如图：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D是此中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F 分别是⊙O 的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．应选：A．解析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，从而得出答案． 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A ．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形 ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．应选： D．解析：依据圆外切四边形的性质对边和相等从而得出 AD的长． 5. 圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A ．4 B．8 C．12 D．16 答案： D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．应选： D．解析：直接利用圆外切四边形对边和相等，从而求出即可． 6. 如图，⊙O是△ ABC的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、 AC上的点，且 DE为⊙O的切线，若△ ABC的周长为 25，BC的长是 9，则△ ADE的周长是（） A ．7 B．8 C．9 D．16 答案： A 解析：解答：∵ AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG， CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC 的周长 - （BG+EH+BC）=25- 2×9=7．应选 A．解析：依据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长 -（BG+EH+BC），据此即可求解． 7. 如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B．假如∠ APB=60°， PA=8，那么弦AB的长是（）A ．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠ P=60°，∴△ PAB是等边三角形，即 AB=PA=8，应选 B．解析：依据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8. 如图，PA、PB分别是⊙O 的切线， A、B 为切点， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°答案： D 解析：解答：依据切线的性质定理得∠ PAC=90°，∴∠ PAB=90° - ∠BAC=90° - 35°=55°．依据切线长定理得 PA=PB，所以∠ PBA=∠PAB=55°，所以∠ P=70°．应选 D．解析：依据切线长定理得等腰△ PAB，运用内角和定理求解． 9. 如图， AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠ A=70°，则∠ BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案： C 解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线， B、C是切点，∴∠ B=∠C=90°，∠BOC=180° - ∠A=110°．应选 C．解析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，切点是 A、B．假如 OP=4，PA= ，那么∠ AOB等于（） A ．90° B．100° C．110° D．120°答案： D 解析：解答：∵△ APO≌△ BPO（HL），∴∠ AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，∴∠ AOP=60°．∴∠ AOB=120°．应选 D．解析：由切线长定理知△ APO≌△ BPO，得∠ AOP=∠BOP．可求得 sin ∠AOP=：2，所以可知∠ AOP=60°，从而求得∠ AOB的值． 11. 如图， PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，OP交⊙O于 C，以下结论中，错误的选项是（）A．∠ 1=∠2 B． PA=PBC．AB⊥OPD． =PC?PO答案： D 解析：解答：连接 OA、OB，AB，∵PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ ABP是等腰三角形，∵∠ 1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故 A，B，C正确，依据切割线定理知： =PC? （PO+OC），所以 D错误．应选 D．解析：由切线长定理可判断出 A、B选项均正确．易知△ ABP是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的特色，可求出 AB⊥OP，故 C 正确．而 D选项明显不切合切割线定理，所以 D错误． 12. 如图， P为⊙O外一点， PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA，PB于点 C，D．若 PA=5，则△ PCD的周长和∠ COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+ C．10，90° - ∠P D． 10，90°+ ∠P 答案： C 解析：解答：∵ PA、PB切⊙ O于 A、B，CD切⊙O于 E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△ PCD 的周长 =PD+DE+PC+CE=2PA，即△ PCD的周长 =2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△ AOC≌△ EOC（ SAS），△ EOD≌△ BOD（ SAS），∴∠ AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠ COD=∠AOB，∴∠ AOB=180°- ∠P，∴∠ COD=90°- ∠P．应选： C．解析：依据切线长定理，即可获得 PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长 =2PA；连接 OA、OE、OB依据切线性质，∠ P+∠AOB=180°，再依据 CD为切线可知∠ COD=∠AOB． 13. 圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，∴MN= （AB+CD），依据切线长定理得： DE=DH，CF=CH，而且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），∴CD=MN，而 MN=8，∴CD=8．应选 C．解析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，依据中位线定理可以获得上下底之和，此后利用切线长定理可以获得一腰长等于中位线，由此即可解决问题． 14. 如图，⊙O为△ ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E分别为 BC，AC上的点，且 DE为⊙O的切线，则△ CDE 的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 答案： C 解析：解答：如图：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，依据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-，xAN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8 ，解得：x=5.5 ．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．应选：C．解析：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M．依据切线长定理得到 NC=MC，QE=DQ．所以三角形 CDE的周长即是 CM+CN的值，再进一步依据切线长定原由三角形 ABC的三边进行求解即可． 15. 已知四边形 ABCD是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与 AB、AD、CD分别相切于点 E、F、G，圆心 O在 BC上，则 AB+CD与 BC的大小关系是（）A．大于 B ．等于 C．小于 D．不可以确立答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵ AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵ AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞ BC．应选 A，解析：连接 OF，则 OF是梯形的高，则 AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不可以同时成立，据此即可证得．二、填空题 16. 如图，PA、PB分别切圆 O于 A、B，并与圆 O的切线，分别订交于 C、D，已知△ PCD的周长等于 10cm，则 PA=cm. 答案： 5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为 E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得： DE=DA，CE=CB；则△ PCD的周长 =PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为： 5．解析：因为 DA、DC、BC都是⊙O的切线，可依据切线长定理，将△PCD的周长变换为PA、PB的长，然后再进行求解． 17. 如图， PA、PB、DE分别切⊙O 于 A、B、C，DE分别交 PA，PB于 D、E，已知 P 到⊙O的切线长为 8cm，那么△ PDE的周长为答案： 16 解析：解答：∵ PA、 PB、DE分别切⊙O 于 A、 B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△ PDE的周长为16．故答案为16．解析：因为PA、PB、DE都是⊙O的切线，可依据切线长定理将切线PA、PB的长转变成△PDE的周长．18. 如图，PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，若⊙O的半径为 r ，△ PCD的周长等于 3r ，则 tan ∠APB的值是答案：解析：解答：连接 PO，AO，∵PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，∴∠ APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长 =3r ，∴，∴tan ∠APB=AO: PA=r :1.5r = ，故答案为：．解析：利用切线长定理得出，再联合锐角三角函数关系得出答案． 19. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB，BC分别相切于点 D、E，过劣弧 DE（不包含端点 D，E）上任一点 P 作⊙O的切线MN与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙O的半径为 4cm，则 Rt△MBN的周长为答案： 8cm 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是 Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ ABC=90°，∴∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形 ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形 ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切 AB于 D，切 BC于 E，切 MN于 P，NP与 NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM， NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．解析：连接 OD、OE，求出∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=4cm，依据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN得出 BD+BE，求出即可． 20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰 CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰 AB为 5，则该梯形的周长是答案：14 解析：解答：依据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14，故答案为：14．解析：由切线长定理可知： AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题 21. 已知四边形 ABCD外切于⊙ O，四边形 ABCD的面积为24，周长 24，求⊙O的半径．答案： 2 解析：解答：设四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，切点分别为： F，G，M，E，连接 FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形 ABCD的面积为：×EO×AD+OM×DC+GO×BC+ FO×AB = EO（AD+AB+BC+DC）= EO×24 =24，解得：EO=2．故 r=2 ．分析：利用切线的性质从而利用三角形面积求法得出⊙O 的半径． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若 AD=2，∠ DAC=∠DCA，求 CE. 答案： 2 解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点 D、E，∴CD=CE，∵∠ DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为： 2．解析：由条件可得 AD=CD，再由切线长定理可得： CD=CE，所以 AD=CE，问题得解． 23. 如图，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径 .答案：3解析：解答：连接OA、OB，则 OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠ P=90°，∴∠ AOB=90°，∴四边形 APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是 3，故答案为： 3．解析：连接OA、OB，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，由切线的性质及切线长定理可得： PA=PB，∠ OAP=∠OBP=90°，再由已知∠ P=90°，所以得到四边形 APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即 PA的长．24. 如图，P是⊙O的直径 AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点 C、D．若 PA=6，⊙O的半径为 2，求∠ CPD. 答案： 60°解析：解答：∵ PA=6，⊙O的半径为 2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点 C、D．∴∠ OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin ∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠ CPD=60°，故答案为： 60°．解析：依据切线的性质定理和切线长定理求出 OP=4，∠ OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠ OPC=30°，即可得出答案． 25. 如图，⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，且∠ ACB=90°，∠ A，∠ B，∠C所对的边长挨次为3，4，5，求⊙O的半径 . 答案：2 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD， OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ ACB=90°，∴四边形ODCE 是正方形，设 OD=r，则 CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r ，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r ，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r ，r=2 ，则⊙O的半径是 2．故答案为： 2．解析：先连接 OD、OE依据⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，得出 AF=AD，BE=BF，CE=CD，再依据 OD⊥AD，OE⊥BC，∠ ACB=90°，得出四边形 ODCE是正方形，最后设 OD=r，列出 5+3-r=4+r ，求出 r=2 即可．。

北师大版九年级数学（下册）第三章圆3.7切线长定理课时练习1.过圆外一点作圆的切线,能画条.2.过圆外一点作圆的切线,和之间的线段长叫做这点到圆的切线长.3.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长.4.如图3-7-1所示,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )图3-7-1A.4B.8C.4D.85.如图3-7-2所示,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD,下底BC以及腰AB 均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB的长为5,则该梯形的周长是( )图3-7-2A.9B.10C.12D.146.如图3-7-3所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )图3-7-3A.65°B.130°C.50°D.100°7.如图3-7-4所示,☉I为△ABC的内切圆,AB=9,BC=8,AC=10,点D,E分别为AB,AC上的点,且DE为☉I的切线,则△ADE的周长为.图3-7-48.如图3-7-5所示,AB,AC切☉O于点B,C,D为☉O上一点,且∠A=2∠D,若BC=10,则AB的长为.图3-7-59.如图3-7-6所示,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO,与☉O相交于点C,连接AC,BC,求证：AC=BC.图3-7-610.如图3-7-7所示,一圆内切于四边形ABCD,AB=16,CD=10,则四边形的周长为( )图3-7-7A.50B.52C.54D.5611.如图3-7-8所示,PA,PB是☉O的两条切线,切点是A,B.如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于( )图3-7-8A.90°B.100°C.110°D.120°12.一个钢管放在V形架内,其截面图如图3-7-9所示,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm,∠MPN=60°,则OP=( )图3-7-9A.50 cmB.25 cmC. cmD.50 cm13.如图3-7-10所示,PA,PB分别切☉O于点A,点B,点E是☉O上一点,且∠AEB=60°,则∠P=°.图3-7-1014.如图3-7-11所示,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,已知∠P=60°,OA=3,那么AB的长为.图3-7-1115.如图3-7-12所示,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.(1)求∠P的大小;(2)若AB=2,求PA的长.(结果保留根号)图3-7-12参考答案1.两2.这点切点3.相等4.B5.D6.C7.118.59.证明：连接AO,BO.∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB.又∵PO=PO,∴Rt△APO≌Rt△BPO,∴∠AOP=∠BOP.∴AC=BC.10.B11.D12.A13.6014.315.解：(1)如图,连接BC,OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∴∠AOC=120°.∵PA,PC是☉O的切线,∴∠PAO=∠PCO=90°,∴∠P=360°-∠PAO-∠PCO-∠AOC= 60°.(2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AB=2,∴AC=.∵PA,PC是☉O的切线,∴PA=PC.由(1)知∠P=60°,∴△PAC为等边三角形,∴PA=AC=.。

*3.7 切线长定理1. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ， 则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm3.如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．4.如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．6. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．7. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长．8. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．9．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．10.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步达标测评（附答案）一．选择题（共6小题，满分30分）1．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．472．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（）A．6圈B．5圈C．4.5圈D．4圈3．如图，P A，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交P A，PB于点M，N，若P A＝7.5cm，则△PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm4．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC ＝8cm，则BE+CG的长等于（）A．13B．12C．11D．105．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．66．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．二．填空题（共8小题，满分40分）7．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB＝CD＝2，则CE＝．8．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为．9．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为cm．10．如图，切线P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交P A、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段P A的长为．11．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为．12．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．13．如图，P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB＝．14．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．三．解答题（共6小题，满分50分）15．已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．16．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．17．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知AD＝3，BC＝4，求CD．18．如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．20．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．参考答案一．选择题（共6小题，满分30分）1．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．2．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等∴圆在菱形的边上转了4圈∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．故选：B．3．解：∵直线P A、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝P A+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．4．解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝10，∴BE+CG＝10（cm）．故选：D．5．解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故选：A．6．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）7．解：∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝CB•CA，∵AB＝CD＝2，∴4＝BC（BC+2），解得BC＝﹣1+，∵CD是⊙O的切线，BE为⊙O的切线，∴∠CBE＝∠CDO＝90°，∴△BCE∽△DCO，∴＝，即＝，解得，CE＝，故答案为．8．解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．故答案为：3．9．解：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝10cm，AD＝4cm，∴AD＝AF＝4cm，BE＝BD，CF＝CE，即BD+CF＝BE+CE＝BC＝10cm，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝AD+BD+BC+CF+AF＝4cm+10cm+10cm+4cm＝28cm，故答案为：28cm．10．解：∵EA，EC都是圆O的切线，∴EC＝EA，同理FC＝FB，P A＝PB，∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝P A+PB＝2P A＝6，∴P A＝3；故答案为：3．11．解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，∵⊙O内切于菱形ABCD，∴OE＝OF，∴OB平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，同理得∠BAO＝60°，∴∠AOB＝90°，∴AO＝AB＝2，OB＝2，∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，4OE＝2×，OE＝，故答案为：．12．解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．13．解：连接BO并延长交P A的延长线于F，连接OA，∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，∴P A＝PB，CE＝CA，DE＝DB，∴P A+PB＝PC+PD+CD＝4r，∴P A＝PB＝2r，∵P A，PB切⊙O于A、B，∴∠F AO＝∠FBP＝90°，又∠AFO＝∠BFP，∴△F AO∽△FBP，∴＝＝，∴FB＝2F A，∴F A2+r2＝（2F A﹣r）2，解得，F A＝r，则FB＝r，∴tan∠APB＝＝，故答案为：．14．解：连接AB，∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵∠P＝102°，∴∠P AB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠P AD+∠C＝∠P AB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．三．解答题（共6小题，满分50分）15．解：（1）连接OE，∵P A、PB与圆O相切，∴P A＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝P A+PB＝12；（2）∵P A PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB＝65°．16．解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，∴DH⊥DE，∵D、E是切点，∴BD＝BE，∵∠B＝60°，∴△DBE是正三角形，∴∠BDE＝∠BAC＝60°，∴DE∥AC，DH⊥AC，由已知得，AM＝EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，∴AH⊥HE，即AH是切线，∴AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，∴AC与EH的交点O是圆心，∴OE＝OF，∵∠COE＝90°﹣∠C＝30°，∴∠OEF＝75°，∵∠DEO＝∠EOC＝30°，∴∠DEF＝30°+75°＝105°法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．∵BC为切线∴O为圆心，OE⊥BC．∵OE＝OF∴∠OFE＝∠OEF．∴∠OEF＝∠C+∠FEC，∠FEC＝∠OEF﹣∠C又∵∠OEC＝90°，∴∠OEF+∠FEC＝90°即2∠OEF﹣∠C＝90°．∵∠C＝60°，∴∠OEF＝75°，∠CEF＝15°．又∵AC∥DE，∠C＝60°，∴∠DEC＝120°．∵∠CEF＝15°，∴∠DEF＝105°17．解：如图，连接OE、OA、OF、OB、OG，∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切，∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，∵AB∥CD，∴OF是梯形ABCD的高，∴×AD×OE+×AB×OF+×BC×OG＝×（AB+CD）×OF，∴×（AB+3+4）×OF＝×（AB+CD）×OF，解得，CD＝7．18．解：（1）∵P A，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠P AB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠P AC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．19．解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x＝，∴DF＝1﹣x＝，∴S△CDF＝×1×＝．20．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．。

北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上． 同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。

北师大版九年级数学下册3.7切线长定理同步练习*7切线长定理知识点切线长定理1．如图3－7－1，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B.已知⊙O的半径为1，OP＝2，则切线长PA＝________，∠APB＝________°.图3－7－13－7－22．如图3－7－2，四边形ABCD的四边分别与⊙O相切，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为()A．50 B．52 C．54 D．56图3－7－33．如图3－7－3所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的度数是()4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为()A．12 cm2B．24 cm2C．8 cm2D．6 cm2图3－7－77．如图3－7－7，△ABC的周长为16，∠A＝60°，BC＝6.若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于点E，F，D，则DF的长为________．8．[2019·孝感模拟]如图3－7－8，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．图3－7－8详解详析1.3602．B[解析] 根据切线长定理可证AB＋CD＝AD＋BC，∴四边形ABCD的周长＝2×(16＋10)＝52.故选B.3．D[解析] 连接OD.∵CA，CD是⊙O 的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC ＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝360°－∠C －∠OAC－∠ODC＝150°.∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB＝12∠AOD＝75°.故选D.4．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，∴PA＝6.(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.∵CA ，CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝∠OCA ＝12∠ACD . 同理∠ODE ＝12∠CDB ，∴∠OCE ＋∠ODE ＝12(∠ACD ＋∠CDB )＝120°， ∴∠COD ＝180°－120°＝60°.5．D [解析] ∵PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点F 且分别交PA ，PB 于点C ，D ，∴CA ＝CF ，DF ＝DB ，PA ＝PB ，∴PC ＋CF ＋DF ＋PD ＝PA ＋PB ＝2PA ＝3r ，∴PA ＝32r ，∴OA PA ＝r 32r ＝23.故选D. 6．D [解析] 设DE ＝x cm ，则CE ＝(4－x )cm ，根据题意知EF ＝CE ＝(4－x )cm ，AF ＝AB ＝4 cm ，∴AE ＝(8－x )cm.在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴△ADE的面积＝12×AD×DE＝12×4×3＝6(cm2)．7．2.8．解：(1)如图，连接OF.根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)由(1)知，∠BOC＝90°.∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，∴由勾股定理，得到BC＝OB2＋OC2＝10 cm，∴BE＋CG＝BC＝10 cm.(3)由(1)知，OF⊥BC，OB⊥OC，∴OF＝OB·OCBC＝4.8 cm.即⊙O的半径为4.8 cm.。

北师大版九年级数学下3.7 切线长定理（含答案）一、选择题1．如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB等于()图1A．2 B．3 C．4 D．52．如图2，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()图2A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图3，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，则AF的长为()图3A．5 B．10 C．7.5 D．44．如图4，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图4A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO5．2019·深圳模拟如图5，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是()图5A．32°B．48°C．60°D．66°6．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧AB上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是()图6A．56°B．60°C．62°D．不可求7．把直尺、三角尺和圆形螺母按图7所示放置在桌面上，∠CAB＝60°，D为切点，若量得AD＝6 cm，则圆形螺母的外直径是()图7A．12 cm B．24 cmC．6 3 cm D．12 3 cm二、填空题8．如图8，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．图89．如图9所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的长为8，BC的长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图910．如图10，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图1011．如图11所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.图1112．如图12所示，⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图12三、解答题13．一个夹角为120°的墙角处放置了一个圆柱形的容器，俯视图如图13，在俯视图中⊙O与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱形容器的直径不易直接测量)．(1)写出图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出⊙O的直径的测量方法(写出主要解题过程)．图1314．如图14，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的长；(2)△ABC的周长．图1415．如图15，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD 上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．图15附加题如图16，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E，连接OE.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，找出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图16参考答案1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] A设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.4．[解析] D如图，连接OA，OB.∵P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴P A＝PB，∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△P AD ∽△POA ， ∴P A ∶PO ＝PD ∶P A ，∴P A 2＝PD ·PO . 故D 错误．5．[解析] D ∵CA ，CD 是⊙O 的切线， ∴CA ＝CD ， ∴∠CAD ＝∠CDA . ∵∠ACD ＝48°， ∴∠CAD ＝∠CDA ＝66°. ∵CA ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴∠DBA ＋∠DAB ＝90°，∠CAD ＋∠DAB ＝90°， ∴∠DBA ＝∠CAD ＝66°. 6．[答案] C7．[解析] D 设圆形螺母的圆心为O ，与AB 切于点E ，连接OD ，OE ，OA ，如图所示．∵AD ，AB 为圆O 的切线，∴AO 为∠DAB 的平分线，OD ⊥AC . 又∵∠CAB ＝60°，∴∠OAE ＝∠OAD ＝12∠DAB ＝60°.在Rt △AOD 中，∠OAD ＝60°，AD ＝6 cm ， ∴tan ∠OAD ＝tan60°＝3，即OD6＝3， ∴OD ＝6 3 cm ，∴圆形螺母的外直径为12 3 cm. 8．[答案] 44[解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，∴AD ＋BC ＝AB ＋CD ＝22，∴四边形ABCD 的周长＝AD ＋BC ＋AB ＋CD ＝44.。

北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.7切线长定理 同步俩习题一、选择题(9分×3＝27分)1．如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )A ．8B ．12C ．16D ．不能确定,第1题图) ,第2题图)2．如图，已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边、AB 的延长线、AC 的延长线相切，则∠BOC 等于()A ．∠AB ．90°＋∠AC ．90°－12∠AD ．180°－12∠A3．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r二、填空题(9分×3＝27分)4．如图所示，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝__________，BD＝________ ，CE＝______ ．5．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为______．,第5题图),第6题图)6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB.若∠ABC＝30°，则AM＝______．三、解答题(14分＋15分＋17分＝46分)7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求AC的长．8．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．9．如图①，直线y ＝－34x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C(m ，n)是第二象限内一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.(1)当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；(2)如图②，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径．答案:1. C2. C3. C4. 6cm4cm2cm5. 26. 337. 解：(1)连接OA ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵OP 平分∠APB ，∴∠POA ＝∠POB ，而∠BOA ＝∠C ＋∠OAC ，而∠OAC ＝∠C ，∴∠POB ＝∠C ，∴AC ∥OP(2)证△PAB 为等边三角形，可求∠ABC ＝30°，又BC ＝10，∴AC ＝5cm8. 解：(1)连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝12∠AOE ，∵∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE.(2)OF ＝12CD.理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，由(1)得∠ADO ＝∠EDO ，∴2∠EDO ＋2∠OCE ＝180°，即∠EDO ＋∠OCE ＝90°，在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝12CD.9. 解：(1)连接CB、CE、CF、AC，则∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝5，CE＝OB＝3，∴C的坐标为(－5，3)(2)连接CD、CE、CF，∵∠CEO＝∠CDO＝90°，又∠DOE＝90°，∴四边形CEOD为矩形，又CE＝CD，得正方形CEOD，∴CE＝DO＝R，又BO＝3，∴BD＝3－R，∵BF、BD为切线，∴FB＝BD＝3－R，同理AE＝AF，即R＋4＝3－R＋5，∴R＝2.。

《切线长定理》同步练习1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．382.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．303.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．115.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16◆选择题6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．167.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．88.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P）B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P13.圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．1014.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．815.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定◆填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则PA= cm.17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O 的切线长为8cm，那么△PDE的周长为18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是◆解答题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O 的半径为2，求∠CPD.25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测一、选择题1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38答案：B解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．30答案：D解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化答案：A解析：解答：如图：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11答案：D解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选：D．分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：D解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．16答案：A解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．故选A．分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．8答案：B解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB 的长．8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°答案：D解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案：C解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：D解析：解答：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=23：4= 3：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= 3：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO答案：D解析：解答：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．分析：由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P）B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P答案：C解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∴∠AOB=180°-∠P，∴∠COD=90°-12∠P．故选：C．分析：根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=12∠AOB．13.圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，∴MN=12（AB+CD），根据切线长定理得：DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=12（AB+CD），∴CD=MN，而MN=8，∴CD=8．故选C．分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8答案：C解析：解答：如图：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．故选：C．分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞BC．故选A，分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．二、填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则PA= cm.答案：5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O 的切线长为8cm，那么△PDE的周长为答案：16解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．故答案为16．分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是答案：2 3解析：解答：连接PO，AO，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长=3r，∴PA=PB=1.5r，∴tan 12∠APB=AO: PA =r :1.5r =23，故答案为：2 3．分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为答案：8cm解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是答案：14解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，故答案为：14．分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O 的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．答案：2解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形ABCD的面积为：1 2×EO×AD+12OM×DC+12GO×BC+12FO×AB=12EO（AD+AB+BC+DC）=12EO×24=24，解得：EO=2．故r=2．分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.答案：2解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为：2．分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.答案：3解析：解答：连接OA、OB，则OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠P=90°，∴∠AOB=90°，∴四边形APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是3，故答案为：3．分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O 的半径为2，求∠CPD.答案：60°解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠CPD=60°，故答案为：60°．分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.答案：2解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．。

北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理概述在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。

切线长定理指出了当直线与圆相切时，切线在圆上所切割的弧长与切线外部的剩余弧长之间存在着一种特殊的关系。

在本文中，我们将详细讨论切线长定理在数学中的应用。

切线长定理的表述设在平面直角坐标系中，原点为圆心，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。

对于圆上的任意一点P(x, y)，若以圆心O为顶点，OP的斜率为k且通过P 点，则切线的方程为y = kx + b，其中b为常数。

则点P处的切线在圆上所切割的弧长等于切点到圆心的距离所对应的圆心角的弧长的一半。

切线长定理的证明首先，我们先证明切线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = r^2相切。

设点P(x, y)为圆上的一点。

由于切线与圆相切，则切线过点P且与圆的切点只有一个交点，也就是说切线与圆只有一个交点。

因此，我们可以通过解方程组来判断切线与圆是否相切。

将切线方程代入圆的方程中，得到(x^2 + (kx + b)^2) - r^2 = 0. 经过化简，得到(k^2 + 1)x^2 + 2bkx + (b^2 - r^2) = 0。

由于切线与圆只有一个交点，所以该方程只有一个解，即判别式D = (2bk)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2) = 0。

解方程D = 0，得到b = r^2 / (2k)。

代入切线方程y = kx + b，得到切线方程为y = kx + r^2 / (2k)。

同时，由于切线过点P(x, y)，所以点P满足切线方程，即y = kx + r^2 / (2k)。

将此方程代入圆的方程x^2 + y^2 = r2中，得到x2 + (kx + r^2 / (2k))^2 = r2。

经过化简，得到x2 + k^2*x^2 + r22 / (4k^2) + 2k2x r2 / (2k) = r^2。

合并同类项，得到(k^2 + 1)x^2 + r22 / (4k^2) + k2r^2 = r^2。

《切线长定理》习题一、选择题1．⊙O 是△ABC 的内切圆，∠ACB =90°，∠BOC =105°，BC =20cm ，则AC =（ ） A ．20cm B ．203 C ．40cm D ．15cm2．已知：如图，AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，D 是⊙O 上一点，∠D =40°，则∠ACB 的度数等于（ ）A ．40° B120° C ． 100° D ． 80°3．如图1，P A 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB =30°，则∠ACB =（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°BAC PO BA C DPO BA CE D O（1） （2） （3）二、填空题4．如图2，P A 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，已知P A =7cm ，则△PCD 的周长等于_________．5．如图3，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______． 6．如图3，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，若⊙o 的半径OF =2，AB =10，则△ABC 的面积是7．如图， ∠APB =75°，OP =4cm ，⊙o 的半径为2cm ，射线P A 绕点P 作顺时针旋转，当旋转 度时，P A 与相切．三、解答题8．已知：如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．9．已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．（1）若∠P=40°，求∠COD；（2）若△PCD的周长为20cm，求P A的长PAo10．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆．（1）若∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；（2）若AC=b，BC=a，AB=c，△ABC的面积为S，求⊙O的半径r．11．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：（1）AB=AD；（2）DE=BC．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。