201x-201x学年九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理同步练习 北师大版

3.7切线长定理一、选择题1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．182. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ， 则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( )A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点4.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°5.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60 ，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm 6．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°PB(1) (2)7．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ） A ．180°-a B ．90°-a C ．90°+a D ．180°-2a 二、填空题8. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O ，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．9.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．10. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，则△ABC 的周长是 ．11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，弦AB 的长为------．三、解答题：12. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．13. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 为⊙O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，则有一下结论：（1）CO ⊥DO ；（2）四边形OFEG 是矩形.试说明理由.14. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长．15. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．参考答案1. C2. B (提示：②④错误)3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）4. C5. D6. C7.D8. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA =）os300=ABAC∴AB=10. ∠P=60011. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）12. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)13. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)14. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40 14 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝15 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯=。

第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题（附答案）1．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°2．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3C．2D．33．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交P A，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，P为⊙O外一点，P A，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交P A，PB于点C，D．若P A＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P5．已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA＝4cm，MB＝3cm，则M到AB的距离是（）A．cm B．cm C．cm D．cm6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3C．3D．7．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF＝BG②CG＝CH③AB+CD＝AD+BC④BG＜CG．A．1B．2C．3D．48．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°9．已知P为⊙O外一点，P A，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA＝（）A．35°、145°B．110°、70°C．55°、125°D．110°10．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF 的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④11．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④12．如图△ABC内接于⊙O，P A，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）A．B．C．D．13．如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB 于点E，则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为．14．如图，P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若P A＝10cm，则△PEF的周长是cm，若∠P＝35°，则∠AOB＝（度），∠EOF＝（度）．15．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．16．如图，四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H．（1）请探索四边形ABCD四边AB、BC、CD、AD之间的关系；（2）圆的外切平行四边形是形；（3）圆的外切矩形是形；（4）若AB：BC：CD：DA＝1：3：4：x，且四边形ABCD的周长为20cm，则x＝，AD＝．17．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）求证：AO2＝AE•AD；（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．19．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．20．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．21．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．参考答案1．解：∵P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，即∠P AE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，∵∠P＝40°，∴∠P AE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．故选：D．2．解：∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴P A+PB＝2，∴P A＝PB＝，链接P A和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝P A＝PB＝．故选：A．3．解：∵P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交P A，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，P A＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝P A＝PB＝2P A＝3r，∴P A＝r，则的值是：＝．故选：D．4．解：∵P A、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴P A＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2P A，即△PCD的周长＝2P A＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥P A，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．故选：C．5．解：如图，∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB＝∠O2BA＝90°，∵O1A＝O1M，O2B＝O2M，∴∠O1AM＝∠O1MA，∠O2BM＝∠O2MB，∴∠BAM+∠AMO1＝90°，∠ABM+∠BMO2＝90°，∴∠AMB＝∠BMO2+∠AMO1＝90°，∴AM⊥BM，∵MA＝4cm，MB＝3cm，∴由勾股定理得，AB＝5cm，由三角形的面积公式，M到AB的距离是＝cm，故选：B．6．解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6∴OP＝AB＝3，∵OQ＝2，∴PQ＝＝，故选：D．7．解：如图，连接OE、OF、OH、OG．①∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，∴BF＝BG、AF＝AE，只有当点F是边AB的中点时，AF＝BF＝BG，否则，等式AF＝BG不成立；故本选项不一定正确；②根据题意，知，CG、CH都是⊙O的切线，∴CG＝CH．故本选项正确；③根据题意，知AF＝AE，DH＝DE，BF＝BG，CG＝CH，则AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE，即AB+CD＝AD+BC．故本选项正确；④当点G是边BC的中点时，BG＝CG．故本选项错误；综上所述，正确的说法有2个；故选：B．8．解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：A．9．解：如图；连接OA、OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠BOA＝180°﹣∠P＝110°，∴∠AEB＝∠AOB＝55°；∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝125°，①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA＝∠AEB＝55°；②当C′点在劣弧AB上运动时，∠BC′A＝∠AFB＝125°；故选：C．10．解：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE∴DE∥OF故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE∴AB+CD＝BC故②正确；∵OD＝OF∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了．故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC故④正确．故正确的是：①②④．故选：C．11．解：连接OD，DE，EB，CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，∵OC＝OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD＝∠COB，∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，∴AD∥OC，故①正确；∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB＝GB，由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，∴∠BCE＝∠GBA，而∠CFE＝∠ABF+∠F AB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠F AB（等弧所对的圆周角相等），∴∠AGB＝∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB＝AB•CF，又∵FB＝GB，∴CE•FB＝AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．12．解：连接OA，OB．则OA⊥AP，OB⊥PB，∴在四边形APBO中，∠P+∠AOB＝180°，又∵∠AOB＝2∠ACB，∠ABC＝2∠P，设∠ACB＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣4∠P，∴∠AOB＝360°﹣8∠P，∴∠P+∠AOB＝∠P+（360°﹣8∠P）＝180°，∴∠P＝，∴∠ACB＝180﹣4×＝，∴∠ACB的弧度数为．故选：A．13．解：根据切线长定理得，BE＝EF，DF＝DC＝AD＝AB＝BC．设EF＝x，DF＝y，则在直角△AED中，AE＝y﹣x，AD＝CD＝y，DE＝x+y．根据勾股定理可得：（y﹣x）2+y2＝（x+y）2，∴y＝4x，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x＝6：7，故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为：6：7．故答案为：6：7．14．解：∵P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴P A＝PB＝10cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝P A+PB＝20（cm）；∵P A、PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣35°＝145°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°．故答案为20；145；72.5．15．解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．16．解：（1）∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H，∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AH+DH+CF+BF＝DG+CG+AE+BE，即AD+BC＝AB+DC；（2）由（1）得，圆的外切四边形对边和相等，则圆的外切平行四边形是：菱形；故答案为：菱；（3）由（1）得，圆的外切四边形对边和相等，则圆的外切矩形是正方形；故答案为：正方；（4）∵AB：BC：CD：DA＝1：3：4：x，AD+BC＝AB+DC，∴1+4＝3+x，则x＝2，∵四边形ABCD的周长为20cm，∴20÷（1+3+4+2）＝2，∴AD＝2×2＝4（cm）．故答案为：2，4cm．17．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．18．（1）证明：根据切线长定理可知：∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ADO，∴＝，即AO2＝AE•AD；（2）解：在Rt△AOD中，OD＝＝3（cm），∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD即5×EO＝4×3，∴EO＝（cm），∵OE是⊙O的半径，∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．19．解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，解得：x＝，即BC＝；②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC+CG＝5，∴AE：EG＝4：5，在Rt△ABG中，AG＝＝3，∴EG＝AG＝．20．（1）证明：连接BD．由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD．又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD．∴AD∥OE．即OE∥AC．又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴BE＝EC，∴EB＝EC＝ED．（4分）（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°﹣2∠C．①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件．在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F 即为所求．这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DEF∽△DCE．∴DE2＝DF•DC．即（BC）2＝DF•DC∴BC2＝4DF•DC．（6分）②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF•DC．（7分）③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）21．证明：（1）连接OB，∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴P A＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，在Rt△POA和Rt△POB中，∵，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴∠POA＝∠POB，∵∠POB＝2∠PCB，∴∠POA＝2∠PCB；（2）过B作BE⊥PC于E，∵PB＝P A＝4，OB＝OA＝3，∴PO＝5，∴PO•BE＝OB•PB，∴BE＝，由勾股定理得：OE＝＝，∴CE＝OC+OE＝3+＝，在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．。

适用精选文件资料分享九年级数学下 3.7 切线长定理课时练习（北师大有答案和解说）北师大版数学九年级下册第 3 章第 7 节切线长定理同步检测一、选择题 1. 如图，一圆内切四边形 ABCD，且 BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A ．32 B．34 C．36 D．38 答案： B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（ 7+10）=34．应选： B．解析：依据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2. 以以以下图， P 为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点C、D，若 PA=15，则△ PCD的周长为（） A ．15 B．12 C．20 D．30 答案： D 解析：解答：∵P为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于 A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点 C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△ PCD的周长为： PA+PB=30．应选： D．解析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，从而求出答案． 3. 如图，△ ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是此中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形（△ AMN），则剪下的△ AMN的周长为（） A ．20cmB．15cmC．10cm D．随直线 MN的变化而变化答案： A 解析：解答：如图：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D是此中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F 分别是⊙O 的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．应选：A．解析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，从而得出答案． 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A ．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形 ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．应选： D．解析：依据圆外切四边形的性质对边和相等从而得出 AD的长． 5. 圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A ．4 B．8 C．12 D．16 答案： D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．应选： D．解析：直接利用圆外切四边形对边和相等，从而求出即可． 6. 如图，⊙O是△ ABC的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、 AC上的点，且 DE为⊙O的切线，若△ ABC的周长为 25，BC的长是 9，则△ ADE的周长是（） A ．7 B．8 C．9 D．16 答案： A 解析：解答：∵ AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG， CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC 的周长 - （BG+EH+BC）=25- 2×9=7．应选 A．解析：依据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长 -（BG+EH+BC），据此即可求解． 7. 如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B．假如∠ APB=60°， PA=8，那么弦AB的长是（）A ．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠ P=60°，∴△ PAB是等边三角形，即 AB=PA=8，应选 B．解析：依据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8. 如图，PA、PB分别是⊙O 的切线， A、B 为切点， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°答案： D 解析：解答：依据切线的性质定理得∠ PAC=90°，∴∠ PAB=90° - ∠BAC=90° - 35°=55°．依据切线长定理得 PA=PB，所以∠ PBA=∠PAB=55°，所以∠ P=70°．应选 D．解析：依据切线长定理得等腰△ PAB，运用内角和定理求解． 9. 如图， AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠ A=70°，则∠ BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案： C 解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线， B、C是切点，∴∠ B=∠C=90°，∠BOC=180° - ∠A=110°．应选 C．解析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，切点是 A、B．假如 OP=4，PA= ，那么∠ AOB等于（） A ．90° B．100° C．110° D．120°答案： D 解析：解答：∵△ APO≌△ BPO（HL），∴∠ AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，∴∠ AOP=60°．∴∠ AOB=120°．应选 D．解析：由切线长定理知△ APO≌△ BPO，得∠ AOP=∠BOP．可求得 sin ∠AOP=：2，所以可知∠ AOP=60°，从而求得∠ AOB的值． 11. 如图， PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，OP交⊙O于 C，以下结论中，错误的选项是（）A．∠ 1=∠2 B． PA=PBC．AB⊥OPD． =PC?PO答案： D 解析：解答：连接 OA、OB，AB，∵PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ ABP是等腰三角形，∵∠ 1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故 A，B，C正确，依据切割线定理知： =PC? （PO+OC），所以 D错误．应选 D．解析：由切线长定理可判断出 A、B选项均正确．易知△ ABP是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的特色，可求出 AB⊥OP，故 C 正确．而 D选项明显不切合切割线定理，所以 D错误． 12. 如图， P为⊙O外一点， PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA，PB于点 C，D．若 PA=5，则△ PCD的周长和∠ COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+ C．10，90° - ∠P D． 10，90°+ ∠P 答案： C 解析：解答：∵ PA、PB切⊙ O于 A、B，CD切⊙O于 E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△ PCD 的周长 =PD+DE+PC+CE=2PA，即△ PCD的周长 =2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△ AOC≌△ EOC（ SAS），△ EOD≌△ BOD（ SAS），∴∠ AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠ COD=∠AOB，∴∠ AOB=180°- ∠P，∴∠ COD=90°- ∠P．应选： C．解析：依据切线长定理，即可获得 PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长 =2PA；连接 OA、OE、OB依据切线性质，∠ P+∠AOB=180°，再依据 CD为切线可知∠ COD=∠AOB． 13. 圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，∴MN= （AB+CD），依据切线长定理得： DE=DH，CF=CH，而且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），∴CD=MN，而 MN=8，∴CD=8．应选 C．解析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，依据中位线定理可以获得上下底之和，此后利用切线长定理可以获得一腰长等于中位线，由此即可解决问题． 14. 如图，⊙O为△ ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E分别为 BC，AC上的点，且 DE为⊙O的切线，则△ CDE 的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 答案： C 解析：解答：如图：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，依据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-，xAN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8 ，解得：x=5.5 ．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．应选：C．解析：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M．依据切线长定理得到 NC=MC，QE=DQ．所以三角形 CDE的周长即是 CM+CN的值，再进一步依据切线长定原由三角形 ABC的三边进行求解即可． 15. 已知四边形 ABCD是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与 AB、AD、CD分别相切于点 E、F、G，圆心 O在 BC上，则 AB+CD与 BC的大小关系是（）A．大于 B ．等于 C．小于 D．不可以确立答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵ AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵ AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞ BC．应选 A，解析：连接 OF，则 OF是梯形的高，则 AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不可以同时成立，据此即可证得．二、填空题 16. 如图，PA、PB分别切圆 O于 A、B，并与圆 O的切线，分别订交于 C、D，已知△ PCD的周长等于 10cm，则 PA=cm. 答案： 5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为 E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得： DE=DA，CE=CB；则△ PCD的周长 =PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为： 5．解析：因为 DA、DC、BC都是⊙O的切线，可依据切线长定理，将△PCD的周长变换为PA、PB的长，然后再进行求解． 17. 如图， PA、PB、DE分别切⊙O 于 A、B、C，DE分别交 PA，PB于 D、E，已知 P 到⊙O的切线长为 8cm，那么△ PDE的周长为答案： 16 解析：解答：∵ PA、 PB、DE分别切⊙O 于 A、 B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△ PDE的周长为16．故答案为16．解析：因为PA、PB、DE都是⊙O的切线，可依据切线长定理将切线PA、PB的长转变成△PDE的周长．18. 如图，PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，若⊙O的半径为 r ，△ PCD的周长等于 3r ，则 tan ∠APB的值是答案：解析：解答：连接 PO，AO，∵PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，∴∠ APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长 =3r ，∴，∴tan ∠APB=AO: PA=r :1.5r = ，故答案为：．解析：利用切线长定理得出，再联合锐角三角函数关系得出答案． 19. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB，BC分别相切于点 D、E，过劣弧 DE（不包含端点 D，E）上任一点 P 作⊙O的切线MN与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙O的半径为 4cm，则 Rt△MBN的周长为答案： 8cm 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是 Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ ABC=90°，∴∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形 ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形 ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切 AB于 D，切 BC于 E，切 MN于 P，NP与 NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM， NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．解析：连接 OD、OE，求出∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=4cm，依据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN得出 BD+BE，求出即可． 20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰 CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰 AB为 5，则该梯形的周长是答案：14 解析：解答：依据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14，故答案为：14．解析：由切线长定理可知： AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题 21. 已知四边形 ABCD外切于⊙ O，四边形 ABCD的面积为24，周长 24，求⊙O的半径．答案： 2 解析：解答：设四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，切点分别为： F，G，M，E，连接 FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形 ABCD的面积为：×EO×AD+OM×DC+GO×BC+ FO×AB = EO（AD+AB+BC+DC）= EO×24 =24，解得：EO=2．故 r=2 ．分析：利用切线的性质从而利用三角形面积求法得出⊙O 的半径． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若 AD=2，∠ DAC=∠DCA，求 CE. 答案： 2 解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点 D、E，∴CD=CE，∵∠ DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为： 2．解析：由条件可得 AD=CD，再由切线长定理可得： CD=CE，所以 AD=CE，问题得解． 23. 如图，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径 .答案：3解析：解答：连接OA、OB，则 OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠ P=90°，∴∠ AOB=90°，∴四边形 APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是 3，故答案为： 3．解析：连接OA、OB，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，由切线的性质及切线长定理可得： PA=PB，∠ OAP=∠OBP=90°，再由已知∠ P=90°，所以得到四边形 APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即 PA的长．24. 如图，P是⊙O的直径 AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点 C、D．若 PA=6，⊙O的半径为 2，求∠ CPD. 答案： 60°解析：解答：∵ PA=6，⊙O的半径为 2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点 C、D．∴∠ OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin ∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠ CPD=60°，故答案为： 60°．解析：依据切线的性质定理和切线长定理求出 OP=4，∠ OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠ OPC=30°，即可得出答案． 25. 如图，⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，且∠ ACB=90°，∠ A，∠ B，∠C所对的边长挨次为3，4，5，求⊙O的半径 . 答案：2 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD， OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ ACB=90°，∴四边形ODCE 是正方形，设 OD=r，则 CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r ，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r ，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r ，r=2 ，则⊙O的半径是 2．故答案为： 2．解析：先连接 OD、OE依据⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，得出 AF=AD，BE=BF，CE=CD，再依据 OD⊥AD，OE⊥BC，∠ ACB=90°，得出四边形 ODCE是正方形，最后设 OD=r，列出 5+3-r=4+r ，求出 r=2 即可．。

北师大版九年级数学（下册）第三章圆3.7切线长定理课时练习1.过圆外一点作圆的切线,能画条.2.过圆外一点作圆的切线,和之间的线段长叫做这点到圆的切线长.3.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长.4.如图3-7-1所示,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )图3-7-1A.4B.8C.4D.85.如图3-7-2所示,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD,下底BC以及腰AB 均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB的长为5,则该梯形的周长是( )图3-7-2A.9B.10C.12D.146.如图3-7-3所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )图3-7-3A.65°B.130°C.50°D.100°7.如图3-7-4所示,☉I为△ABC的内切圆,AB=9,BC=8,AC=10,点D,E分别为AB,AC上的点,且DE为☉I的切线,则△ADE的周长为.图3-7-48.如图3-7-5所示,AB,AC切☉O于点B,C,D为☉O上一点,且∠A=2∠D,若BC=10,则AB的长为.图3-7-59.如图3-7-6所示,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO,与☉O相交于点C,连接AC,BC,求证：AC=BC.图3-7-610.如图3-7-7所示,一圆内切于四边形ABCD,AB=16,CD=10,则四边形的周长为( )图3-7-7A.50B.52C.54D.5611.如图3-7-8所示,PA,PB是☉O的两条切线,切点是A,B.如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于( )图3-7-8A.90°B.100°C.110°D.120°12.一个钢管放在V形架内,其截面图如图3-7-9所示,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm,∠MPN=60°,则OP=( )图3-7-9A.50 cmB.25 cmC. cmD.50 cm13.如图3-7-10所示,PA,PB分别切☉O于点A,点B,点E是☉O上一点,且∠AEB=60°,则∠P=°.图3-7-1014.如图3-7-11所示,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,已知∠P=60°,OA=3,那么AB的长为.图3-7-1115.如图3-7-12所示,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.(1)求∠P的大小;(2)若AB=2,求PA的长.(结果保留根号)图3-7-12参考答案1.两2.这点切点3.相等4.B5.D6.C7.118.59.证明：连接AO,BO.∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB.又∵PO=PO,∴Rt△APO≌Rt△BPO,∴∠AOP=∠BOP.∴AC=BC.10.B11.D12.A13.6014.315.解：(1)如图,连接BC,OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∴∠AOC=120°.∵PA,PC是☉O的切线,∴∠PAO=∠PCO=90°,∴∠P=360°-∠PAO-∠PCO-∠AOC= 60°.(2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AB=2,∴AC=.∵PA,PC是☉O的切线,∴PA=PC.由(1)知∠P=60°,∴△PAC为等边三角形,∴PA=AC=.。

*3.7切线长定理基础题知识点切线长定理1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4 3D.8 32.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC 相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3C.2D.33.如图，P A，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，P A＝23，则∠AOB的度数为(C)A.60°B.90°C.120°D.无法确定4.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60°，那么OP＝(A)A.50 cmB.25 3 cmC.5033cm D .50 3 cm5.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD ，CE 分别与⊙O 相切于点D ，E .若AD ＝2，∠DAC ＝∠DCA ，则CE ＝2.6.(教材P 96习题T 1变式)如图，P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E 且分别交P A ，PB 于点C ，D.若P A ＝4，则△PCD 的周长为8.7.如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长.解：∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP . 又∵∠P ＝60°，∴∠P AB ＝60°. ∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.8.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量). (1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程).解：(1)根据切线长定理，知AB ＝A C. (2)连接OB ，O A.∵∠BAC ＝120°，∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3A B. ∴圆的直径为23A B.即只需测得AB 的长，就可求得圆的直径.中档题9.(教材P 95想一想变式)如图，一圆内切于四边形ABCD ，AB ＝16，CD ＝10，则四边形的周长为(B )A .50B .52C .54D .5610.(2017·济南)把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB ＝60°.若量出AD ＝6 cm ，则圆形螺母的外直径是(D )A .12 cmB .24 cmC .6 3 cmD .12 3 cm11.如图，P A ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan 12∠APB 的值是23.12.如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积.解：设AF ＝x .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥A B. 又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是圆的切线.∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点， ∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1. ∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x .在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2， 即(1＋x )2＝1＋(1－x )2，解得x ＝14.∴DF ＝1－x ＝34.∴S △CDF ＝12×1×34＝38.13.如图，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°. (1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积.解：(1)∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.∵P A，PB分别切⊙O于A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°.∴∠APB＝60°.(2)∵P A，PB分别切⊙O于A，B，∴P A＝P B.∴点P在AB的垂直平分线上.同理，点O在AB的垂直平分线上.∴PO垂直平分A B.∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，∴∠OPB＝∠OP A＝30°，∠POB＝∠POA＝60°. ∵PO＝20 cm，∴OB＝10 cm.∴OD＝OB·cos∠POB＝5 cm.BD＝OB·sin∠POB＝5 3 cm.∴AB＝2BD＝10 3 cm.∴S△AOB＝12×103×5＝253(cm2).综合题14.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥C D.BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ； (2)求BE 和CG 的长.解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ， ∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DC B. ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DC B.∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB )＝12×180°＝90°.∴∠BOC ＝90°，∴BO ⊥CO . (2)连接OF ，则OF ⊥B C.∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ， ∴BC ＝62＋82＝10(cm ).易证Rt △BOF ∽Rt △BCO ，∴BF BO ＝BOBC .∴BF 6＝610，∴BF ＝3.6 cm . ∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切， ∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF . ∵CF ＝BC －BF ＝10－3.6＝6.4(cm )， ∴CG ＝CF ＝6.4 cm .。

北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是()A.4B.4√3C.8D.8√32.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD等于()A.5B.8C.10D.123.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,若OP=4,PA=2√3,则∠AOB的度数为()A.60°B.90°C.120°D.无法确定4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=6,∠DAC=∠DCA,则CE=.5.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,其切点分别为P,C,D,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.6.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形.(2)求AC的长.【能力巩固】7.如图,有一张三角形纸片ABC,☉O是它的内切圆,D是其中的一个切点,已知AD=5 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为()A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.随直线MN的变化而变化8.如图,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O切AB,BC,AC于点D,E,F,则AF的长为()A.5B.10C.7.5D.49.如图,PA,PB是☉O的切线,其切点分别为A,B,点C,D在☉O上.若∠PAD+∠C=220°,则∠P的度数为°.10.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为.11.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E,交BC于点D,若BE=4,BD=2,求☉O的半径和边AC的长.【素养拓展】12.如图,一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5 cm 的圆环,当滚到与坡面BC 开始相切时停止.AB=40 cm,BC 与水平面的夹角为60°.试问其圆心所经过的路线长是多少?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.C2.C3.C4.65.26.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B∴PA=PB ,且∠P=60° ∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.∵BC 是☉O 的直径,PB 是☉O 的切线 ∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30° ∴AC=2×√33=2√33cm .【能力巩固】 7.C 8.A 9.100 10.9 11.解:如图,连接OE.∵AB 与☉O 相切 ∴OE ⊥AB ∴∠BEO=90°. 设☉O 的半径为r在Rt △BEO 中,由勾股定理得OB 2=OE 2+BE 2.∵BE=4,BD=2∴(2+r )2=r 2+42,解得r=3 ∴CD=6∴BC=BD+CD=2+6=8.∵∠C=90°,OC为☉O的半径∴AC与☉O相切∴AC=AE.设AC=AE=x∴AB=BE+AE=4+x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2 ∴(4+x)2=x2+82,解得x=6∴AC=6.【素养拓展】12.解:如图,连接OD,BD,作DE⊥AB于点E.∵BC与水平面的夹角为60°∴∠DBE=60°,∴∠BDE=30°.设BE=x,则BD=2x∴由勾股定理得4x2-x2=25解得x=5√33∴OD=AE=40-5√3(cm).3)cm.答:其圆心所经过的路线长是(40−5√33。

课时作业(二十七)[第三章*7 切线长定理]一、选择题1．2017·红桥区期末如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O 于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是链接听课例1归纳总结( )图K－27－1A．10 B．18 C．20 D．222．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()图K－27－2A．5 B．10 C．7.5 D．43．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()A．4 B．4 2 C．4 3 D．2 34．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )链接听课例2归纳总结图K－27－3A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )图K－27－4A．2个 B．3个C．4个 D．5个二、填空题6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．图K－27－57．2017·昌平区期末如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC 长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图K－27－68．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图K－27－79．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.链接听课例1归纳总结图K－27－810．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图K－27－9三、解答题11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.链接听课例2归纳总结图K－27－1012．2017·孝感模拟如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径.链接听课例1归纳总结图K－27－1113．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE；(2)△ABC的周长．图K－27－1214．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为5，AD＝2.(1)求BC的长；(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．图K－27－13探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图K－27－14详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] C ∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ， ∴PA ＝PB ＝10，CA ＝CE ，DE ＝DB ，∴△PCD 的周长是PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋AC ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝10＋10＝20.故选C.2．[解析] A 设AF ＝x ，根据切线长定理得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5.3．[解析] C 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点．∵OA ＝4，PO ＝8，∴AP ＝82－42APB ＝2∠APO ＝60°， ∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝AP 4．[解析] D 如图，连接OA ，OB .∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ， ∴△ABP 是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB ⊥OP .故A ，B ，C 均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△PAD ∽△POA ，∴PA ∶PO ＝PD ∶PA ，∴PA 2＝PD ·PO .故D 错误．5．[解析] C 连接OE .∵AD ，BC ，CD 分别与⊙O 切于点A ，B ，E ，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，DA ＝DE ，EC ＝BC ，∠ADO ＝∠EDO ，∠ECO ＝∠BCO ，∴∠OAD ＝∠OED ＝∠OEC ＝∠OBC ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ，∠BOC ＝∠EOC .①∵∠AOD ＋∠EOD ＋∠BOC ＋∠EOC ＝180°，∴∠DOC ＝∠EOD ＋∠EOC ＝90°，∴①正确；②∵DA ＝DE ，EC ＝BC ，∴AD ＋BC ＝DE ＋EC ＝CD ，∴②正确；③∵∠AOD ＋∠BOC ＝90°，∠AOD ＋∠ADO ＝90°，∴∠BOC ＝∠ADO .又∵∠OAD ＝∠CBO ＝90°，∴△OAD ∽△CBO ，∴S △AOD ∶S △BOC ＝AD 2∶BO 2＝AD 2∶AO 2，∴③正确；④∵△OAD ∽△CBO ，∴OD OC ＝AD OB ＝DEOB.∵OB ≠EC ，∴④不正确；⑤∵∠DOC ＝∠OED ＝90°，∴∠EOD ＋∠EDO＝90°，∠CDO ＋∠DCO ＝90°，∴∠EOD ＝∠DCO ，∴△OED ∽△COD ，∴OD CD ＝DEOD，即DE ·CD ＝OD 2，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.6．[答案] 44[解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，∴AD ＋BC ＝AB ＋CD ＝22，∴四边形ABCD 的周长＝AD ＋BC ＋AB ＋CD ＝44. 7．[答案] 6[解析] ∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝17，∴△ABC 的内切圆⊙O的直径为15×817＋15＋8×2＝6.故答案为6.8．[答案] 60[解析] 连接OC .∵PA ＝6，⊙O 的半径为2，∴OP ＝PA －OA ＝6－2＝4.∵PC ，PD 分别切⊙O 于点C ，D ，∴∠OPC ＝∠OPD ，OC ⊥PC ，∴sin ∠OPC ＝24＝12，∴∠OPC ＝30°，∴∠CPD ＝60°.9．[答案] 30 65[解析] ∵PA ，PB ，EF 分别切⊙O 于点A ，B ，D ， ∴PA ＝PB ＝15 cm ，ED ＝EA ，FD ＝FB ，∴PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋ED ＋PF ＋FD ＝PA ＋PB ＝30 cm ，即△PEF 的周长是30 cm ；连接OA ，OB ，OD .∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，而∠P ＝50°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt △OAE ≌Rt △ODE ，Rt △OFD ≌Rt △OFB ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝12∠AOB ＝65°，即∠EOF ＝65°.10．[答案] 2[解析] 如图，设⊙O 与AB ，AC 的延长线及BC 边分别相切于点F ，D ，E .连接OD ，OE .∵⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，∴AF ＝AD ，BE ＝BF ，CE ＝CD ，OD ⊥AD ，OE ⊥BC .∵∠ACB ＝90°，∴四边形ODCE 是正方形．设OD ＝r ，则CD ＝CE ＝r .∵BC ＝3，∴BE ＝BF ＝3－r .∵AB ＝5，AC ＝4，∴AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ，AD ＝AC ＋CD ＝4＋r ，∴5＋3－r ＝4＋r ，解得r ＝2，则⊙O 的半径是2.11．证明：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC ，∴AC ＝BC .12．解：(1)连接OF .根据切线长定理，得BE ＝BF ，CF ＝CG ，∠OBF ＝∠OBE ，∠OCF ＝∠OCG .∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴∠OBF ＋∠OCF ＝90°， ∴∠BOC ＝90°.(2)由(1)知，∠BOC ＝90°. ∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，∴由勾股定理，得BC ＝OB 2＋OC 2＝10 cm ， ∴BE ＋CG ＝BC ＝10 cm.(3)∵OF ⊥BC ，由三角形的面积公式，得12OB ·OC ＝12BC ·OF ，∴OF ＝OB ·OCBC ＝4.8 cm.13．解：(1)∵△ABC 外切于⊙O ，切点分别为D ，E ，F ，∴BF ＝BD ，CE ＝CD ，∴BF ＋CE ＝BD ＋CD ＝BC ＝7.(2)如图，连接OE ，OF ，OA .∵△ABC 外切于⊙O ，切点分别为D ，E ，F ， ∴∠OEA ＝90°，∠OAE ＝12∠BAC ＝30°，∴OA ＝2OE ＝2 3.由勾股定理，得AF ＝AE ＝OA 2－OE 2＝3，∴△ABC 的周长是AB ＋BC ＋AC ＝AF ＋AE ＋CE ＋BF ＋BC ＝3＋3＋7＋7＝20， 即△ABC 的周长是20.14．[解析] (1)过点D 作DF ⊥BC 于点F ，由切线长定理可得DE ＝AD ＝2，CE ＝BC .设BC ＝x ，在Rt △DCF 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，即可得方程(2＋x )2＝(x －2)2＋(2 5)2，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE ∽△GCE ，由相似三角形的对应边成比例，可得AE ∶EG ＝4∶5，由勾股定理即可求得AG 的长，继而求得答案．解：(1)过点D 作DF ⊥BC 于点F . ∵∠DAB ＝∠ABC ＝90°，∴四边形ABFD 是矩形，AD 与BC 是⊙O 的切线，∴DF ＝AB ＝2 5，BF ＝AD ＝2. ∵DE 与⊙O 相切， ∴DE ＝AD ＝2，CE ＝BC .设BC ＝x ，则CF ＝BC －BF ＝x －2，DC ＝DE ＋CE ＝2＋x .在Rt △DCF 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，即(2＋x )2＝(x －2)2＋(2 5)2，解得x ＝52，即BC ＝52.(2)∵∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴AD ∥BC ，∴△ADE ∽△GCE ， ∴AD GC ＝DE CE ，AE EG ＝ADGC.∵AD ＝DE ＝2，∴GC ＝CE ＝BC ＝52，∴BG ＝BC ＋CG ＝5，AE EG ＝45.在Rt △ABG 中，AG ＝AB 2＋BG 2＝3 5，∴EG ＝59AG ＝535.[点评] 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．[素养提升][解析] (1)连接BD ，已知ED ，EB 都是⊙O 的切线，由切线长定理可证得OE 垂直平分BD ，而BD ⊥AC (圆周角定理)，则OE ∥AC .由于O 是AB 的中点，可证得OE 是△ABC 的中位线，即E 是BC 的中点，那么在Rt △BDC 中，DE 就是斜边BC 的中线，由此可证得所求的结论．(2)由(1)知：BC ＝2BE ＝2DE ，则所求的比例关系式可转化为(BC 2)2＝DF ·DC ，即DE 2＝DF ·DC ，那么只需作出与△DEC 相似的△DFE 即可，这两个三角形的公共角为∠CDE ，只需作出∠DEF ＝∠C 即可．①当∠DEC ＞∠C ，即180°－2∠C ＞∠C ，0°＜∠C ＜60°时，∠DEF 的EF 边与线段DC 相交，那么交点即为所求的点F ；②当∠DEC ＝∠C ，即180°－2∠C ＝∠C ，∠C ＝60°时，点F 与点C 重合，点F 仍在线段DC 上，此种情况也成立；③当∠DEC ＜∠C ，即180°－2∠C ＜∠C ，60°＜∠C ＜90°时，∠DEF 的EF 边与线段DC 的延长线相交，与线段CD 没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F .解：(1)证明：连接BD .∵ED ，EB 是⊙O 的切线，由切线长定理，得ED ＝EB ，∠DEO ＝∠BEO ， ∴OE 垂直平分BD . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BD ，∴AD ∥OE ，即OE ∥AC . 又O 为AB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线， ∴EB ＝EC ，∴EB ＝EC ＝ED .(2)存在．在△DEC 中，∵ED ＝EC ， ∴∠C ＝∠CDE ，∴∠DEC ＝180°－2∠C .①当∠DEC ＞∠C 时，有180°－2∠C ＞∠C ，即0°＜∠C ＜60°时，在线段DC 上存在满足条件的点F .在∠DEC 内，以ED 为一边，作∠DEF ，使∠DEF ＝∠C ，且EF 交DC 于点F ，则点F 即为所求．证明：在△DCE 和△DEF 中，∠CDE ＝∠EDF ，∠C ＝∠DEF ，∴△DEF ∽△DCE ，∴DE DC ＝DF DE， ∴DE 2＝DF ·DC ，即(12BC )2＝DF ·DC ，∴BC 2＝4DF ·DC .②当∠DEC ＝∠C 时，△DEC 为等边三角形，即∠DEC ＝∠C ＝60°，此时，点C 即为满足条件的点F ， 于是，DF ＝DC ＝DE ，仍有BC 2＝4DE 2＝4DF ·DC . ③当∠DEC ＜∠C ，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.。

北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上． 同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。

《切线长定理》同步练习3
一、选择题
1.下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
2．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比（ ）
(A)15∶ (B)25∶ (C)35∶ (D)54∶
二、填空题
3．如图1，点A ，B ，D 在O 上，25A =∠，OD 的延长线交直线BC 于点C ，且40OCB =∠，直线BC 与⊙O 的位置关系为
_________．
三、解答题
4．如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，CD 交⊙O 于点D ，且30A C ∠=∠=︒．
（1）说明CD 是⊙O 的切线；
（2）请你写出线段BC 和AC 之间的数量关系，并说明理由．
A B C
D O A O
B C D
参考答案
1．C 2． B 3．相切
4．解：（1）连结OD ． AB ∵是直径，90ADB ∠=︒∴． 30A ∠=︒∵，
60ABD ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形． 而ABD C BDC ∠=∠+∠， 30BDC ABD C ∠=∠-∠=︒∴， 90ODC ∠=︒∴，
即OD DC ⊥，故DC 是⊙O 的切线．
（2）13
BC AC =． OD DC ⊥∵，且30C ∠=︒，BD BC =∴． 又在ABD △Rt 中，30A ∠=︒， 12BD AB =
∴，12BC AB =∴， 13
BC AC =
∴．。

北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.7切线长定理 同步俩习题一、选择题(9分×3＝27分)1．如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )A ．8B ．12C ．16D ．不能确定,第1题图) ,第2题图)2．如图，已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边、AB 的延长线、AC 的延长线相切，则∠BOC 等于()A ．∠AB ．90°＋∠AC ．90°－12∠AD ．180°－12∠A3．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r二、填空题(9分×3＝27分)4．如图所示，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝__________，BD＝________ ，CE＝______ ．5．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为______．,第5题图),第6题图)6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB.若∠ABC＝30°，则AM＝______．三、解答题(14分＋15分＋17分＝46分)7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求AC的长．8．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．9．如图①，直线y ＝－34x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C(m ，n)是第二象限内一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.(1)当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；(2)如图②，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径．答案:1. C2. C3. C4. 6cm4cm2cm5. 26. 337. 解：(1)连接OA ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵OP 平分∠APB ，∴∠POA ＝∠POB ，而∠BOA ＝∠C ＋∠OAC ，而∠OAC ＝∠C ，∴∠POB ＝∠C ，∴AC ∥OP(2)证△PAB 为等边三角形，可求∠ABC ＝30°，又BC ＝10，∴AC ＝5cm8. 解：(1)连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝12∠AOE ，∵∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE.(2)OF ＝12CD.理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，由(1)得∠ADO ＝∠EDO ，∴2∠EDO ＋2∠OCE ＝180°，即∠EDO ＋∠OCE ＝90°，在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝12CD.9. 解：(1)连接CB、CE、CF、AC，则∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝5，CE＝OB＝3，∴C的坐标为(－5，3)(2)连接CD、CE、CF，∵∠CEO＝∠CDO＝90°，又∠DOE＝90°，∴四边形CEOD为矩形，又CE＝CD，得正方形CEOD，∴CE＝DO＝R，又BO＝3，∴BD＝3－R，∵BF、BD为切线，∴FB＝BD＝3－R，同理AE＝AF，即R＋4＝3－R＋5，∴R＝2.。

3.7切线长定理一、夯实基础1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A ．21B ．20C ．19D ．182.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°3. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( )A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点4. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O ，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．6. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长是．二、能力提升7.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60 ，则OP =( )A．50 cm B．253cm C．3350cm D．503cm 8．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60° B．75° C．105° D．120°P(1) (2)9．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，弦AB 的长为------．三、课外拓展11. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．12. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长．13. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长；(2)计算△ABC 的面积．四、中考链接1. （2016·湖北荆州·3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D 是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°2.（2016·四川攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．答案1. C2. C3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）4. A（提示：∠MPN=600可得∠OPM=300可得OP=2OM=50）连接OB，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠35=OBOA=）os300=ABAC∴AB=6. ∠P=6007. D 8. C 9.D10. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）11. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE ，∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=4012. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30° ∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120° ∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30° ∴AP ＝tan 30OA°＝．13. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= 中考链接： 1.解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°，故选：C．2.解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为：．。

北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测一、选择题1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38答案：B解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．30答案：D解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化答案：A解析：解答：如图：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11答案：D解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选：D．分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：D解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．16答案：A解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．故选A．分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．8答案：B解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB 的长．8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°答案：D解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案：C解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：D解析：解答：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=23：4= 3：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= 3：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO答案：D解析：解答：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．分析：由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P）B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P答案：C解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∴∠AOB=180°-∠P，∴∠COD=90°-12∠P．故选：C．分析：根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=12∠AOB．13.圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，∴MN=12（AB+CD），根据切线长定理得：DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=12（AB+CD），∴CD=MN，而MN=8，∴CD=8．故选C．分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8答案：C解析：解答：如图：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．故选：C．分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞BC．故选A，分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．二、填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则PA= cm.答案：5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O 的切线长为8cm，那么△PDE的周长为答案：16解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．故答案为16．分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是答案：2 3解析：解答：连接PO，AO，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长=3r，∴PA=PB=1.5r，∴tan 12∠APB=AO: PA =r :1.5r =23，故答案为：2 3．分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为答案：8cm解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是答案：14解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，故答案为：14．分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O 的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．答案：2解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形ABCD的面积为：1 2×EO×AD+12OM×DC+12GO×BC+12FO×AB=12EO（AD+AB+BC+DC）=12EO×24=24，解得：EO=2．故r=2．分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.答案：2解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为：2．分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.答案：3解析：解答：连接OA、OB，则OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠P=90°，∴∠AOB=90°，∴四边形APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是3，故答案为：3．分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O 的半径为2，求∠CPD.答案：60°解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠CPD=60°，故答案为：60°．分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.答案：2解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．。

3.7切线长定理一、夯实基础1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A ．21B ．20C ．19D ．182.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°3. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( )A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点4. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O ，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．6. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长是．二、能力提升7.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60 ，则OP =( )A．50 cm B．253cm C．3350cm D．503cm 8．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60° B．75° C．105° D．120°P(1) (2)9．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，弦AB 的长为------．三、课外拓展11. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．12. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长．13. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长；(2)计算△ABC 的面积．四、中考链接1. （2016·湖北荆州·3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D 是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°2.（2016·四川攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．答案1. C2. C3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）4. A（提示：∠MPN=600可得∠OPM=300可得OP=2OM=50）连接OB，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠35=OBOA=）os300=ABAC∴AB=6. ∠P=6007. D 8. C 9.D10. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）11. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE ，∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=4012. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30° ∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120° ∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30° ∴AP ＝tan 30OA°＝．13. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= 中考链接： 1.解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°，故选：C．2.解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为：．。