2014届高三二轮专题突破-函数与方程及函数的应用

必考问题2 函数与方程及函数的实际应用1．高考定位高考对本部分的考查有：(1)①确定函数零点及函数零点的个数；②根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．(2) 函数与向量、数列、不等式、解析几何等知识综合考查函数的基本性质．(3) 函数的实际应用问题．对函数零点问题及用函数解决实际应用问题的考查是显性的，而队运用函数思想解决问题和函数与其他知识综合问题的考查是隐性的。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．2.必备知识与方法2.1零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．2.2应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．对函数零点问题，常用的处理方法有：（1）直接解方程；（2）利用零点存在定理判断；（3）运用化归与转化思想和数形结合思想处理()0f x=的根⇔()()g x h x=的根⇔函数()y g x=和函数()y h x=图像交点的横坐标。

3．典型例题分析3.1确定函数零点及函数零点的个数【例1】函数221(0),()ln(0)x x xf xx x⎧+-≤=⎨>⎩与函数()2g x=图像交点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3方法一：直接作出两个函数的图像，看交点个数；方法二：令()()()h x f x g x =-，则223(0),()ln 2(0)x x x h x x x ⎧+-≤=⎨->⎩直接解方程()0h x =；方法三：利用零点存在定理判断函数()y h x =的零点。

第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2． 函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点例1 (1)(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x (x >0)，2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. (2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根． 设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性． 答案 A解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1， 则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确． 对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确． 对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确． 对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx (x <0)，log 3x (x >0)，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)， 若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π(－x 0)＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C. 考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值． 解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8(0<x ≤4)，2x ＋28x －1(x >4).当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m (0<x ≤4)，m (x ＋14)2x －2(x >4)，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m(2x －2)2<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可， 即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1． 已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x －log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )． 又∵f (a )f (b )f (c )<0， 则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0， 或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ， 若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ， 故x 0>c 不可能成立，故选D. 2． 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析 根据方程与函数关系． 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有 两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点． 如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2． 若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立． 对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D. 3． (2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1， 令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是 ( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析令f(x)＝|x2－6x|，作图象如下：知f(x)＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，它与直线y＝a交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16答案 C解析f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.7． 函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点； 又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8． 若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.9． 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________． 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值． 解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋2， 因为|x |≥0，所以0<⎝⎛⎭⎫12|x |≤1， 即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程， 当x >0时，由2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2， 即x ＝log 2(1＋2)．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )． 解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3， 所以Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a <92，4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)． 13．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解 (1)f ′(x )＝e x －m －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m >0，f (0)f (m )<0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． ∵f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0，∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．。

函数与方程及函数的实际应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )．A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数f (x )( )．A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知0＜a ＜1，函数f (x )＝a x－|log a x |的零点个数为________．7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．8．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t－10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 10．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .11．(12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．参考答案1．B [根据函数的零点存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果，根据函数的零点存在定理得到f (1)·f (2)＜0.故选B.] 2．D [令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－58<0. 故下一步可断定该根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.]3．D [∵f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝13e－ln 1e ＝1＋13e ＞0，f (1)＝13－ln 1＝13＞0， f (e)＝e 3－ln e ＜0，所以f (x )在(1，e)内有零点．]4．B [在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数是2，选B.]5．B [若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80.] 6．解析 分别画出函数y ＝a x(0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象，如图所示．答案 27．解析 当x ＝x 0时，f (x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 0－log 3x 0＝0，当0＜x 1＜x 0时，f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1－log 3x 1＞0，如图所示．答案 ＞8．解析 由函数图象知，1＜x 0＜2.答案 19．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12|t －10| ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧＋t －t ，0≤t ＜10，－t－t ，10≤t ≤20.(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时， y 的取值范围是[600,1 200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．10．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数． ∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f－，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12.(2)∵0≤t ＜10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6＜t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8＜t ＜10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0， 解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172， 8,9满足条件．11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0； 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ； 故当f (2)＞0或f (1)＜0时， 方程f (x )＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.。

第1讲函数与方程思想【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，某某数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝10a 1＋a 102，∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1，∴S n ＝n 3n ＋1. ∵S n ＋1－S n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝13n ＋43n ＋1>0，∴数列{S n }是递增数列． 当n ≥3时，(S n )min ＝S 3＝310，依题意，得m ≤310，∴m 的最大值为310.类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值X 围．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． ∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值X 围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f0<0f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值X 围是(－1,1]．研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．当a 为何值时，方程lg(3－x )＋lg(x －1)＝lg(a －x )有两解？一解？无解？解 当⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，即1<x <3时，方程化为(x －1)(3－x )＝a －x ，即－x 2＋5x －3＝a .(*)作出函数y ＝－x 2＋5x －3 (1<x <3)的图象(如图)，该图象与直线y ＝a 的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解． 由图形易看出：当3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解．类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例3 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.证明 (1)方法一 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二 当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)方法一 记h (x )＝f (x )－9x －1x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋52＝2＋x 2x －54x ＋52<x ＋54x －54x ＋52＝x ＋53－216x4x x ＋52. 令G (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此G (x )在(1,3)内是减函数．又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是减函数． 又h (1)＝0，所以h (x )<0. 于是当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.方法二 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －1＋x ＋5⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减． 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9x －1x ＋5.根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．(1)函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值X 围是__________．(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤4916，8125 (2)4解析 (1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4x ＋1，要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧h 4<0，h5≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125. (2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22. (1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围，若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F (c,0)，直线l ：x －y －c ＝0， 由坐标原点O 到l 的距离为22， 得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1. 又e ＝ca ＝22，故a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0≤m ≤1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形． 因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k x －1，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.显然Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k2. ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1.即－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2， ∵k 2>0，∴0<m <12.本题主要考查直线方程、直线的斜率与倾斜角的关系、椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想等知识，多知识点、多章节知识的交汇是综合题的出题方向．要熟练数学思想方法的应用．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值X 围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解 由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，①∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134，∴OA →·OB →的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. (3)证明 ∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)， 直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0得x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x 1x 2－4x 1＋x 2x 1＋x 2－8，将①代入上式得x ＝1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X 围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则下列关系正确的是________．(填序号)①x ＋y ≥0 ②x ＋y ≤0 ③x －y ≤0 ④x －y ≥0 答案 ②解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .2．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝33＋n 2－n ，∴a n n＝33n＋n －1. 设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上单调递增， 在(0，33)上单调递减． ∵n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴a n n 的最小值为a 66＝212. 4．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案233解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cosα，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )， 即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233. 5．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 a ≤4解析 由题意，得当x ∈(0，＋∞)时，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x. 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.6．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围为________．答案 [9，＋∞)解析 方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1>0， 即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－t －3]2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1或t ≥9t >3t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 7．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆 G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点．(1)求t ＝|PM →|的取值X 围；(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)， ∴y 20＝(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos∠EPF＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1)＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2|PM →|2－1|PM |2－1 ＝(t 2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2－1t 2－1 ＝t 2＋2t2－3，∴f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)．对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(t>0)，显然在t∈(0，42]时，f(t)单调递减，在t∈[42，＋∞)时，f(t)单调递增．因此，对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)，当a>42＋1，即a－1>42时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12；当1＋2≤a≤42＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3；当1<a<1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。

函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2013·某某模拟)函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2图象的交点为(a ，b )，则a 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，从而f (1)f (2)＜0，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零【解析】 当x >0时，f (x )＝(15)x－log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0. 【答案】 C3．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )．其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】∵2a＝3,3b＝2，∴a >1,0<b <1，则f (x )在R 上是增函数． 又f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，∴f (x )在(－1,0)内有唯一零点，取n ＝－1. 【答案】 B4．(2013·黄冈模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】 对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sin π＝0；再由T ＝3，∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0；f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0；f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0；f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3， －1＜x ≤0，f x －1＋1， x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2【解析】g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x －1＜x ≤0，f x －1－x ＋1 x ＞0，当－1＜x ≤0时，由x 3－x ＝0得x ＝0，则x ＝0是函数g (x )的一个零点． 当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，则g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝(x －1)3－x ＋1 令g (x )＝0，即(x －1)3－(x －1)＝0得x ＝1，即x ＝1是函数g (x )的一个零点 当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，－1＜x －2≤0，g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝f (x －2)－x ＋2＝(x －2)3－(x －2)令g (x )＝0，即(x －2)3－(x －2)＝0得x ＝2，即x ＝2是函数g (x )的一个零点 同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C. 【答案】 C 二、填空题 6．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值X 围是________．【解析】 令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|，∵|x －1|≥0，∴0<(12)|x －1|≤1，即0<m ≤1.【答案】 (0,1]7．(2013·某某模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗＝加满油后已行驶距离，可继续行驶距离＝汽车剩余油量当前油耗平均油耗＝指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)．①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．【解析】 实际用油为7.38(升)，行驶距离＜7.38÷9.6×100＝76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行驶的距离⎩⎪⎨⎪⎧L S ＝9.5，L ＋ΔLS ＋ΔS ＝9.6，得L ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS,9.5S ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS ，ΔL ＝0.1S ＋9.6ΔS ，ΔL ΔS ＝0.1S ΔS ＋9.6＞9.6.所以③正确，④错误．⑤由②知错误．【答案】②③8．(2013·某某模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．【解析】 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．【答案】 7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.【解】f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． (1)∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f (52)＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈(52，3)．取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且|114－52|＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e2x时取等号．∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点． (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． 如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其对称轴x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点． 必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．【解】 (1)对于模型y ＝f (x )＝x150＋2，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数．f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， ∴f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，不满足f (x )≤x5.故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于模型y ＝g (x )＝10x －3a x ＋2＝10－3a ＋20x ＋2.当3a ＋20>0，即a >－203时函数递增，为使g (x )≤9对于x ∈[10,1 000]恒成立， 即要g (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，即a ≥9823.为使g (x )≤x5对于x ∈[10,1 000]恒成立，即要10x －3a x ＋2≤x 5，即x 2－48x ＋15a ≥0恒成立．即(x －24)2＋15a －576≥0(x ∈[10,1 000])恒成立． 又24∈[10,1 000]，故只需15a －576≥0即可，所以a ≥1925.综上，a ≥1925，故最小的正整数a 的值为39.。