2015届高三数学一轮复习教案：8函数与方程 必修一

江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案一.知识梳理1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)二.课堂练习1.已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为A.0B.1C.2D.32.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是A.B.C.D.3.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是A.B.C.D.4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是A.B.C.D.5.函数的零点个数为．6.若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____．7.设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．8.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是．9.已知函数，且曲线在处的切线经过点．求实数的值；若函数，试判断函数的零点个数并证明．10.已知函数．求函数在上的零点之和；证明：在上只有1个极值点．三.例题选讲[例1]已知函数是自然对数的底数求的单调递减区间；若函数，证明在上只有两个零点．参考数据：[参考]解：，定义域为R．由得，解得Z的单调递减区间为Z证明：，令，当时，当时，．在上单调递增，在上单调递减，又，，，，，使得，，且当或时，当时，，在和上单调递减，在上单调递增．，．，，又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，函数在上有两个零点．[解析]本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题[例2]已知函数．当时，判断函数的单调性；讨论零点的个数．[参考]解：因为，所以，又，设，又，所以在为单调递增，在为单调递减，所以的最大值为，所以，所以在单调递减；因为，所以是一个零点，设，所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1，当时，由可知，单调递减，又是零点，所以此时有且只有一个零点；当时，单调递增，又，，又，所以，综上可知，在有一个零点且，所以此时有两个零点；又，所以当，在单调递增，在单调递减，的最大值为，又，，又，所以在有一个零点，在也有一个零点且，所以此时，共有3个零点；又，所以当时，在单调递增，在单调递减，的最大值为，所以没有零点，此时，共有1个零点．综上所述，当时，共有1个零点；当0时，共有3个零点；当时，有两个零点．[解析]本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力[例3]已知，解不等式；若方程有三个不同的解，求实数a的取值范围．[答案]解：，当时，解不等式得：，当时，解不等式得：，综合得：不等式的解集为：．，即．作出函数的图象如图所示：当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以．所以实数a的取值范围是．[解析]本题考查了分段函数及数形结合的思想方法四.反思与总结在复习过程中，我掌握了，还存在等问题.自我知识梳理：。

《函数与方程》活动导学案【学习目标】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．【重难点】函数与方程的相互转化，数形结合思想的运用【活动过程】一、自学质疑1．函数零点的定义： 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图像与x 轴的交点， 零点3．二分法：1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋4)，x <0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为________．2、已知函数f (x )＝x ＋log 2x ，则f (x )在[12，2]内的零点的个数是______． 3、.若函数()(xf x a x a a =-->0且1)a ≠有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 4、若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两个实根,αβ满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围是 ．5、用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．二、互动研讨活动1、设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，其中0b >，c R ∈．当且仅当2x =-时，函数()f x 取得最小值2-（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()f x x a =+()a R ∈至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．2、若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，求实数a 的取值范围3、设函数,223,2)1(,)(2b c a a f c bx ax x f >>-=++=且 （1）求证：4330-<<->a b a 且；（2）求证：函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，求12||x x -的范围。

必修Ⅰ—08 函数与方程１、函数的零点与方程的根：一般地，对于函数()f x ，如果存在实数c ，当x c =时，()0f c =，那么把x c = 叫做函数()f x 的零点.解方程()0f x =，即得()f x 的所有零点.２、二分法的基本思想：（１）先找到a b 、，使(),()f a f b 异号，说明在区间()a b 、内一定有零点，然后求()2a b f +. （２）假设()0,()0,f a f b a b <><，如果()2a b f +=0，该点就是零点；如果()2a b f +<0，则在区间(,)2a b b +内有零点，如果()2a b f +>0，则在区间(,)2a b a +内有零点， （３）按上述方法再求该区间中点的函数值，这样就可以不断接近零点.通过每次把()f x 的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法.３、函数的零点存在性：如果函数()f x 在区间(,)a b 上是连续不间断的，且()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间(,)a b 上存在实数c ，当x c =时，()0f c =， x c =称为函数()f x 在区间(,)a b 上的一个零点.它只能判定函数在区间上有零点，但不能判定具体个数.例1、 已知函数2()log f x x =，问方程()0f x =在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有没有实数根，为什么？例2、 用二分法求函数3()3f x x =-的一个正实数零点（精确到0．１）.例3、 若函数2()f x x ax b =++的两零点为—２和３，则方程(2)0f x -=的解是 .例4、 已知二次函数2()f x ax bx c =++.若,a b c >>且(1)0f =，试证明()f x 必有两个零点.。

函数与方程【知识导图】知识讲解知识点一 函数零点的定义一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α= 则α叫做这个函数的零点.重点强调：①零点不是点，是一个实数；②等价关系：函数()y f x =有零点⇔()0f x =有实数根⇔函数()y f x =图像与x 轴有公共点；③求函数零点的步骤：令()0f x =⇒解方程()0f x =⇒写出零点. 知识点二 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间（a ,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根. 注意：①存在性定理只能判出有零点，定理不成立不能说没有零点；②存在性定理只能判出有零点，不能判出零点的个数；③函数存在性定理判出的都是变号零点.知识点三 二分法二分法求零点：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4.注意：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 例题讲解类型一 求函数的零点【例题1】若函数f (x )的零点与g (x )＝2x －2的零点相同，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝x 2＋4x －5D ．f (x )＝x 2－1【解析】令g (x )＝2x －2＝0，得x ＝1，∴g (x )的零点为1.由题意知方程f (x )＝0只有x ＝1一个根．只有选项B 中函数f (x )＝(x －1)2满足．【答案】 B【例题2】已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1【解析】∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C.【答案】C【例题3】方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)【解析】设函数f (x )＝e x －x －2，计算易得f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．【答案】C类型二 零点个数的判断【例题1】函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D【例题2】若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【解析】 由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．【答案】 B【例题3】函数x x g x x x x x f -=⎩⎨⎧>≤-=3)(,1,lg 1,12)(，则函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0【答案】A【解析】函数)(x h 的零点满足0)()(=-x g x f ，即)()(x g x f =，绘制函数f (x )与g (x )的图像，交点的个数即函数零点的个数，如图所示，观察可得：函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是2.类型三 求参数取值【例题1】已知函数()22,032,0x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A . 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B . 1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C . [)2,+∞D . [)0,2 【解析】函数g (x )=f (x )−a 恰有三个不同的零点，即y =f (x )和y =a 恰有三个不同的交点，画出函数f (x )的图象，如图所示： ，x >0时,f (x )的最小值是−14， 结合图象,−14<a <2. 【答案】B【例题2】若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)课堂练习基础1.下列函数没有零点的是( )A ．f (x )＝0B ．f (x )＝2C ．f (x )＝x 2－1 D ．f (x )＝x －1x 2.方程lgx +x =3的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)3.若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fB ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c fC ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fD ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f4.函数()1lg 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭零点的个数为（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 答案与解析1.【答案】B【解析】函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点．2. 【答案】C【解析】利用零点与方程的联系，利用存在性定理解答；也可做出x y lg =与x y -=3的图象，看两个图象交点个数.3. 【答案】C【解析】由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”.4.【答案】B 【解析】函数()1lg 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0f x =，可得1lg 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和lg y x =的图象，可得它们有1个交点，则()f x 的零点个数为1，故选B .巩固1.已知函数f (x )＝x 2－2 015x ＋2 016与x 轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)的值为________．2.若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >13.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k 的取值范围为________.4. 函数()223,02,0x x x f x lnx x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案与解析1.【答案】2 016【解析】由题意，f (m )＝m 2－2 015m ＋2 016＝0，f (n )＝n 2－2 015n ＋2 016＝0，mn 是方程x 2－2 015x ＋2 016＝0的两根，mn ＝2 016，∴(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)＝mn ＝2 016.2.【答案】 A【解析】设方程的两根为x 1，x 2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆<=,044,0121a a x x ∴0,1,0<⇒⎩⎨⎧<<a a a . 3.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛3221，【解析】.设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎪⎩⎪⎨⎧><>,0)2(,0)1(,0)0(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-,012424,01221,012k k k k k∴12<k <23. 4.【答案】C【解析】由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ． 拔高1.已知函数1)(,ln )(,2)(--=+=+=x x x h x x x g x x f x 的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是（ ）A . 312x x x <<B . 321x x x <<C . 231x x x <<D . 132x x x <<2. 已知a x x x f －－－32=)(2，问a 取何值时分别满足下列条件．（1）有2个零点；（2）有3个零点；（3）有4个零点．3.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()[]20,1f x f x x =+∈，当时， ()2f x x =，若方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B . []0,2C . ()1,2D . [)1,+∞答案与解析1.【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出函数1,ln ,2,--===-=x y x y y x y x 的图象，如图所示：由图可知321x x x <<.故选B .2.【答案】当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点； 当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 【解析】函数a x x x f －－－32=)(2的零点，即函数32=)(2－－x x x g 与函数a x h =)(的交点 的横坐标．作函数32=)(2－－x x x g 的图象，可知 （1）当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点； （2）当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；（3）当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 3.【答案】A【解析】由()()2f x f x =+可得函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()2f x x =，又()f x 为偶函数，则当[]1,0x ∈-时， ()2f x x =-，由()0(0)ax a f x a +-=>得()f x ax a =+，作出()y f x =和y ax a =+即()1y a x =+的图象，可知直线()1y a x =+斜率为a 且过定点()1,0-.要使方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线()1y a x =+的斜率必须满足AC AB k a k <<，由题意可得()()()1,0,1,2,3,2A B C -，则12AC k =， 1AB k =．即有112a <<．故选A ． 达标训练基础1. 函数442y x x =--的零点所在区间为（ ）A.)01(，-，(0,1)B.)12(--，，(1,2)C.)01(，-，(1,2)D.)12(--，，(0,1)2.函数f (x )＝x ＋x1的零点个数为( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 33. 函数()()()22232f x x x x =--+的零点是____________. 4.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是. 答案与解析1.【答案】C【解析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f （-1），f （0），f （1），f （2），f （-2）等的符号情况即可．2.【答案】A 【解析】令10x x +=，即210x x +=，显然该方程无解，即函数()1f x x x=+的零点个数为0；故选A .3.2.【解析】由f (x )=(x 2−2)(x 2−3x +2)=0，得x 2−2=0，或x 2−3x +2=0，解得123412x x x x ===，.4.【答案】()0,3【解析】由于函数()22x f x a x =--在()1,2上单调递增，且函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则有()10f a =-<且()230f a =->，解得03a <<.巩固1. 函数xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为( ) A . 3 B . 2 C . 1 D . 02. 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间(),1k k +内，则正整数k 的值为___________.3. 函数2()(21)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,另一个零点比1小,则实数a 的取值范围是.4.已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根．答案与解析1.【答案】C【解析】函数f (x )的定义域为[0,+∞)21x y = 在定义域上为增函数,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21在定义域上为增函数 ∴函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21在定义域上为增函数， 而021)1(,01)0(>=<-=f f ， 故函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为1个 本题选择C 选项.1. 【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数，且f (2)=ln 2+2−4<0,f (3)=ln 3+3−4>0，故有f (2)f (3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点.结合所给的条件可得，故k =2.3.【答案】23a < 【解析】由于二次函数图像开口向上，只需令0)1(<f 即可.4.【答案】6【解析】由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－2<x 1<－1，x 2＝0,1<x 3<2.令g (x )＝x 1，由g (x )图象可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根，令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根．拔高1.设二次函数)0()(2>+-=a a x x x f ,若0)(<m f ,则)1(-m f 的值为 ( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能2. 设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在],[b a x ∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“关联函数”，区间],[b a 称为“关联区间”．若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在]3,0[上是“关联函数”，则实数m 的取值范围为 （）A ．]4,49[- B.]4,49(- C. ]2,49[-- D. ]2,49(-- 3. 已知函数f (x )＝|x 2－2x －2 018|，若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________．答案与解析1. 【答案】A【解析】)0()1()(2>+-=+-=a a x x a x x x f ，设)1()(-=x x x g 的零点是0,1,与x 轴交点为（0，0）、（1，0），)(x f 函数图象可看作由)(x g 向上平移a 个单位长度得到的，由于a >0，易得0)0(>f ，0)1(>f ，与x 轴交点的区间长度小于1，0)(<m f ，所以)1(-m f >0.2. 【答案】D【解析】略3.【答案】4【解析】不妨设x1＜x2＜x3＜x4，则x1＋x4＝2，x2＋x3＝2. x1＋x2＋x3＋x4＝4。

上石桥高中201５届高三数学第一轮复习计划安排高三数学组2014.8.28一、背景分析2014年，我们数学复习资料选取以《创新导学案》和课本为主，结合近几年高考试题；高考复习结合高考的实际，结合学生的实际，了解学生的全面情况，实行综合指导。

可能有的学生应专攻薄弱环节，而另一些学生则应扬长避短。

了解学生要加强量的分析，建立档案；了解学生，才有利于个别辅导，因材施教，对于好的学生，重在提高；对于差的学生，重在补缺。

资料可根据各自班级作适当增减。

2014年，我校文理科数学高考平均分、本一、本二、本三进线都位居第二。

近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前三年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现新课标的特色：1、试题题型平稳、突出对主干知识的考查、重视对新增内容的考查；2、充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性；3、重视对数学思想方法的考查；4、深化能力立意，考查考生的学习潜能；5、重视基础，以教材为本6、重视应用题设计，考查考生数学应用意识；二教学指导原则1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。

在复习课中要认真落实双基，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

高三第一轮复习教案—函数与方程一．考试说明：1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

高三数学一轮复习教学计划（精选10篇）什么是教学安排？教学安排（课程安排）是课程设置的整体规划，它规定不同课程类型相互结构的方式，也规定了不同课程在管理学习方式的要求及其所占比例，同时，对学校的教学、生产劳动、课外活动等作出全面支配，详细规定了学校应设置的学科、课程开设的依次及课时安排，并对学期、学年、假期进行划分。

高三数学一轮复习教学安排（精选10篇）时间是箭，去来迅疾，为了以后教学质量不断提高，不如为接下来的教学做个教学安排吧。

信任写教学安排是一个让很多人都头痛的事情，下面是我收集整理的高三数学一轮复习教学安排（精选10篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习教学安排1一、指导思想：加强学习、更新观念，确立新课程标准的基本理念，坚决不移地实施以培育学生创新意识，探究意识和实践实力为重心的素养教化，转变教研理念，改进教研方法，优化教研模式，主动探究在新课程改革背景下中学数学教学工作新体系二、工作目标：本学期是高三一轮复习的主要时间，在本学期的教学活动中，老师要狠抓备课，坚持说课，多参与听评课活动，为学生基础学问的扎实驾驭做出自己的贡献。

三、工作措施：1、狠抓集体备课，深化教材探讨。

2、各数学老师仔细拟定教学安排和辅导学生安排。

在教学中，要特殊重视对学生的学习方法指导和良好习惯培育，激励学生大胆创新，不卑视、压制、挖苦学生。

3、抓好学习，更新观念，各老师留意学习2006届《考纲》，依据改变刚好驾驭教学方向，把握高考的命题特点。

4、探讨学情，盯紧层面生。

各老师要多与层面生交谈，了解其学习状态。

层面生的辅导与试卷的批改要刚好到位。

四、详细支配：本备课组重点探讨开放题，应用题教学中学生创新实力培育的探讨与探究。

紧扣考纲，立足双基，编织网络，夯实基础，总结规律，不断提高运算实力，逻辑思维实力，空间想象实力，学习实力，探究实力，创新实力。

高三数学一轮复习教学安排2一、数学的“双基”是指数学的基础学问、基本技能和数学思想方法。

高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。

学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。

通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。

教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。

2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。

3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。

教学重点1、理解零点的概念与性质。

2、应用函数解不等式的步骤与方法。

教学难点函数与方程、不等式之间的关系。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。

在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。

二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。

具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。

【考纲解读】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数与方程知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数与方程,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.函数的零点：f a ,则a叫做这个函数的零点.(1)一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于0,即()0(2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.复第二、三、四步.【例题精析】考点求函数的零点例. (2012年高考北京卷文科5)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 【变式训练】(2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【易错专区】问题：函数的零点定义及定理理解不透例. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【课时作业】1. （2010年高考天津卷文科4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( ) (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）2．（2010年高考福建卷文科7）函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.03．（2010年高考上海卷文科17）若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟) 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是__ ___.5. （2009年高考山东卷理科第14题）若函数f(x)=xa x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .6．(山东省济南市2012年2月高三定时练习)函数x x x f lg cos )(-=零点的个数为 .【考题回放】1.（2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1(,0)4- B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)242. (2010年高考浙江卷文科9)已知x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则( )（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞03. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为( )A .2B .4 C.5 D. 84. （2011年高考山东卷文科16)已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.（2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f （x ）=e x-2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________。

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x、x2；1（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的取值X围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴B⊆A．若B＝φ，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，∴－1＜a ＜2； 若B ≠φ，解法一：△＝4a 2－4（a ＋2）≥0， ∴a ≥2或a ≤－1．∵方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根为x 1，2＝a ±a 2―a ―2 ．则B ＝{x |a －a 2―a ―2 ≤x ≤a ＋a 2―a ―2 }，由题意知⎩⎨⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187］． 解法二：f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2－4（a ＋2）≥0f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥01≤a ≤4解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187］． ［例2］已知x 的不等式4x －x 2 ＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值．解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2 和y 2＝ax 的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1． 解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2．∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a 2＝2，∴a ＝1． 当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a ＜0舍去．综上知a ＝1．［例3］已知函数f （x ）＝x 2＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由．解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋12 ，又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故△＝4b 2－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．（2）f （x ）＝x 2＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1， 从而c －4＜m －4＜－3＜c ，∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．Ⅲ.课后作业1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是（－∞，－12 ）∪（13，＋∞），求ab 的值 解析：方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12 、13， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧．＝－，＝－－61261aa b ∴⎩⎨⎧．＝－，＝－212b a ∴ab ＝24．2．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，某某数a 的取值X 围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ． 方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜52 ． 3．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a 则所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16或x ＞1．4．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧05)52(20222＜＋＋＋，＞－－k k x x x 的整数解的集合为{－2}，某某数k 的取值X 围． 解析：不等式组可化为⎩⎨⎧0))(52(12＜＋＋＜－或＞k x x x x ，∵x ＝－2，（如下图）∴（2x ＋5）（x ＋k ）＜0必为－25＜x ＜－k ，－2＜－k ≤3，得－3≤k ＜2．。

专题08 函数与方程1.考查函数零点的个数和取值X围；2.利用函数零点求解参数的取值X围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．1．函数的零点(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．(3)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)＝0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)<0，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．高频考点一函数零点个数的判断例1、(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)令f (x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点．答案 (1)2 (2)B【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．答案 2高频考点二、函数零点所在区间的判断例2、(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)解析(1)∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值X围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．法二易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．答案(1)A (2)B【方法规律】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0. 故f (x )的零点x 0∈(2，3)． 答案 C高频考点三、 函数零点的应用例3、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值X 围．由函数的图象(如图)，必须有⎩⎪⎨⎪⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎪⎨⎪⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值X 围是(6，10)．【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数X 围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【变式探究】(1)(已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)(2)(2016·某某卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值X 围是________．解析 (1)当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f (x )＝e x＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x(x ≤0)，则－1≤a <0.(2)在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (1)D (2)(3，＋∞)高频考点四、 二次函数的零点问题例4、已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，某某数a 的取值X 围．【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】若函数f(x)＝(m －2)x2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 答案 C解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，f －1·f 0<0，f 1·f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m<121.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2.【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<．3.【2016高考某某理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值X 围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数的去X 围是123[,]{}334，故选C.4.【2016年高考理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值X 围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值X 围是(,1)-∞-．【2015高考某某，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值X 围是.【答案】),1()0,(+∞-∞ .【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值X 围是),1()0,(+∞-∞ .【2015高考某某，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点（2014·某某卷）已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e【答案】B【解析】依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m－12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．（2014·某某卷）已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值X 围为________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)（2014·某某卷）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D．c >9 【答案】C【解析】由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.（2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0] 【答案】D【解析】方法一：若x≤0，|f(x)|＝|－x 2＋2x|＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变为a≥x－2，而x －2<－2，可得a≥－2；若x>0，|f(x)|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax，可得a≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h(x)＝ln （x ＋1）x ，则h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g(x)＝xx ＋1－ln(x ＋1)，则 g′(x)＝－x（x ＋1）2<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，可得h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x2<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0， 所以h(x)>0，a≤0.综上可知，－2≤a≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f(x)|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y′＝2x －2，所以y′|x ＝0＝－2，所以－2≤a≤0.（2013·某某卷）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f(x)＝x 1或f(x)＝x 2，当x 1是极大值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．（2013·某某卷）函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值X 围是( )图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 【答案】B【解析】问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值X 围是{2，3，4}．（2013·某某卷）函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.（2013·某某卷）设函数f(x)＝xe 2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数． 【解析】解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x.由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是－∞，12，单调递减区间是12，＋∞，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －1＋c.(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c ，x∈(0，＋∞)．①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2xe2xx＋2x －1.因为2x －1>0，e2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2x －e2xx＋2x －1.因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e2xx<－1.又2x －1<1，所以－e2xx ＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0； 当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1； 当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.（2013·某某卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值X 围．【解析】解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2. 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)， 即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为 y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.② 由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1.设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)， 则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0.所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数． 则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1， 所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大， 所以a 的取值X 围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值X 围是(－ln 2－1，＋∞)．（2013·某某卷）函数f(x)＝2x|log 0.5x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B1．函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(－2，－1) D ．(－1，0) 解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点． 答案 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3.答案 C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值X 围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)． 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．答案 D6．已知f (x )＝⎩⎨⎧e －x，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值X 围是________．7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，18．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值X 围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题； 依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根，(2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 11．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值X 围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.。

第四课时函数与方程考点梳理函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想.[典型例析]例1函数21sin(),10(),0xx xf xe xπ-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2,f f a+=则a的所有可能值为_____________________（1）1 （2）2-（3）1,2- （4）1,2例2已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设k>1，解关于x 的不等式；xk x k x f --+<2)1()(例3已知,a R ∈函数2().f x x x a =-（Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.例4已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，(Ⅰ)求t 的取值范围.（Ⅱ）当t 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．随堂训练：1、两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于2、求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．3、已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t -（2t >-）,设(2),()f m f t n -==.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数； （Ⅱ）试判断,m n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.。

2.8函数与方程1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与零点的关系3．二分法对于在区间『a ，b 』上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示．所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点的充分不必要条件． 『试一试』1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 『解析』∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.『答案』0，－122．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是________．(填序号) ①(－2，－1) ②(－1,0) ③(0,1) ④(1,2)『答案』②1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a，b』上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．『练一练』(2014·南京一模)若方程lg|x|＝－|x|＋5在区间(k，k＋1)(k∈R)上有解，则满足所有条件的k 的值的和为________．『解析』利用数形结合思想，画出草图(如图)即可知方程在(－5，－4)，(4,5)这两个区间上有解，即此时k＝－5，k＝4，从而满足所有条件的k的值的和为－1.『答案』－11.函数f (x )＝x 2－3x －18在区间『1,8』上________(填“存在”或“不存在”)零点． 『解析』法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， x ∈『1,8』，∴(x －6)(x ＋3)＝0. ∵x ＝6∈『1,8』，x ＝－3∉『1,8』， ∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点． 『答案』存在2．(2013·徐州期中)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.『解析』记f (x )＝e x －x －2，则从表中数据可知f (1)<0，f (2)>0，所以k 的值为1. 『答案』13．(2014·朝阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．『解析』由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 『答案』(0,3)『备课札记』 『类题通法』判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．『典例』(1)(2014·镇江模拟)方程2x－x＝2的实根个数为________．(2)(2013·南通三模)在区间『－a，a』(a>0)上不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(－a，a)上零点的个数是________．『解析』(1)由2x－x＝2得2x－2＝x.设f1(x)＝2x－2，f2(x)＝x.在同一直角坐标系中画出两函数图像可观察得出有一个交点．即原方程只有1个实根．(2)由于f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，故函数f(x)在(0，a)上有且仅有一个零点．又由于函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在(－a,0)上有且仅有一个零点，从而函数f(x)在区间(－a，a)上有2个零点．『答案』(1)1(2)2『备课札记』『类题通法』函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．『针对训练』(2013·镇江12月统考)方程x＋log2x＝0的根的个数为________．『解析』由x＋log2x＝0，得log2x＝－x，画出等号两侧在(0，＋∞)上的函数图像即可得出原方程有1个根．『答案』1『典例』若函数f(x)＝x ln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．『解析』令g(x)＝x ln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x <1e ；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.『答案』 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 『备课札记』『解析』函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即为关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0，化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，所以关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 『答案』(－∞，－1) 『类题通法』已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 『针对训练』(2013·南京三模)已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图像恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是____________．『解析』在直角坐标系中，作出函数f (x )的图像(如图)，欲使函数y ＝mx 与y ＝f (x )的图像恰有3个不同的公共点，只需直线y ＝mx 与f (x )的图像在第一象限内有两个公共点即可．于是联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋1，y ＝mx ，得x 2－2mx ＋2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.『答案』(2，＋∞)『课堂练通考点』1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．『解析』当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 『答案』02．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是『－1,1』上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在『－1,1』内有________个不同的实数根．『解析』由f (x )在『－1,1』上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在『－1,1』上有唯一实数根． 『答案』13．(2013·苏锡常镇二调)方程x lg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根． 『解析』方程变形为lg(x ＋2)＝1x ，根据函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的定义域为(－2，＋∞)的图像(如图)的交点个数知方程根的个数． 『答案』24．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．『解析』由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 『答案』(2,3)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．『解析』∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．。

第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』 由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』 显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』 由题意知2a ＋b ＝0， 即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增． 由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』 在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』 解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』 由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五 用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。