2019届高三数学函数与方程.ppt.ppt
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2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
a>0， ff（（kk12））><00，， f（k3）>0.
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
3.2+函数与方程、不等式之间的关系+第1课时课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
则函数y = f x − 2x的零点是(
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/11/28
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
2019/11/28
11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2019/11/28
12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/11/28
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/11/28
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
2019/11/28
32
（2）对于数列 {x n } ，若
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
(4)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高考数学高中复习2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点讲解PPT课件
类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．
2019届高三数学函数与方程.ppt
| x2|
所以x12 x22 x32 14.
题型二 函数思想的应用
【例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,
(1)若a>b>c,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根;
(2)若对x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),试证明方程
f(x)=
1 2
[f(x1)+f(x2)]有两不等实根,且必有一个实根
由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数,
又g(x1)=
1 2
[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=
1 2
[f(x2)-f(x1)],
且x1<x2,f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=
1 4
[f(x1)-f(x2)]2<0,
则方程g(x)=0在有一实根属于(x1,x2),由二次函数的
3.(2009·北京)已知函数
f
(
x)
3x
,
x 1, 若f(x)=2,
x, x 1,
则x=_l_o_g_32_.
解析
①
x 1 3x 2 x log3 2,
②
x
1 x
2
x
无解. 2
4.若函数f(x)为奇函数,当x＜0时,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n的值为__2__.
g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已
知f(x)-g(x)=ex联立得 f (x) ex ex , g(x) ex ex ,
2
2
所以x12 x22 x32 14.
题型二 函数思想的应用
【例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,
(1)若a>b>c,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根;
(2)若对x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),试证明方程
f(x)=
1 2
[f(x1)+f(x2)]有两不等实根,且必有一个实根
由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数,
又g(x1)=
1 2
[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=
1 2
[f(x2)-f(x1)],
且x1<x2,f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=
1 4
[f(x1)-f(x2)]2<0,
则方程g(x)=0在有一实根属于(x1,x2),由二次函数的
3.(2009·北京)已知函数
f
(
x)
3x
,
x 1, 若f(x)=2,
x, x 1,
则x=_l_o_g_32_.
解析
①
x 1 3x 2 x log3 2,
②
x
1 x
2
x
无解. 2
4.若函数f(x)为奇函数,当x＜0时,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n的值为__2__.
g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已
知f(x)-g(x)=ex联立得 f (x) ex ex , g(x) ex ex ,
2
2
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第9节 函数与方程
f( )= -lo +1= -log23=log2 -log2 <0,
f( )= -lo +1= >0,
所以函数 f(x)=x-lo x+1 的零点所在的区间为( , ).故选 C.
(2)(2024·广东深圳模拟)定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估
对于B,因为f(1)=-1<0,f(2)=log32+2-2=log32>0,即f(1)f(2)<0,
所以∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确;对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0,
所以f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.故选B.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间
(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是
否有交点来判断.
[针对训练]
(1)(2024·云南昆明模拟)函数f(x)=x- lo x +1的零点所在的区
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函
数的图象,然后数形结合求解.
角度二
求函数零点之和
[例4] (2024·江西新余模拟)函数f(x)=2-
-
-
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数的零点与方程的解课件新人教A版必修第一册ppt
.
探索点三 函数零点所在区间问题
【例 3】 (1)函数 g(x)=2x+5x 的零点 x0 所在的一个
区间是 (
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:因为函数 g(x)=2x+5x 在 R 上单调递增,
且 g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,
所以 g(-1)·g(0)<0,
-
解析:令 f(x)=
得 x-2=0 或 ln x=0,解得 x=2 或 x=1.
故函数 f(x)的零点为 1 和 2.
e,0和-2
-, > ,
(2)函数 f(x)=
的零点是
- -, ≤
≤ ,
-
=
,
解析:由 f(x)=0,得
或
- - = ,
≥ ,
< ,
或
= ,
| -| =
-
< ,
< ,
≥ ,
整理,得
或
或
- = - = - = ,
解得 x=1 或 x=4.故选 A.
答案:A
x
(2)方程 3 +log2x=0 在区间
,1
上的实数根的个数为 1 .
解析:方法 1 方程 3x+log2x=0 可化为 3x=-log2x=lo x.设
所以函数 g(x)在区间(-1,0)上存在唯一的零点,
故选 B.
答案:B
(2)若 x0 是方程( )x= 的解,则 x0 属于区间 (
A.( ,1)
B.( , )
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共38张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
人教版(2019)高中数学必修上册备课课件：3.1.2.1 函数的表示法——函数的表示法
解析法 y=5x x1,2,3,4,5
【注意】用解析法必须注明函数的定义域。
比较这三种表示法，它们各 自的优缺点是什么？
列表法
笔记本数x 价格y
1234 5 5 10 15 20 25
图象法
比较这三种表示法，它们各自的优缺点是什么？ 1、解析法：
①关系清楚；②容易求解；③便于研究函数的性质。 缺点:函数值随自变量变化的规律不直观。
要点三：配凑法、换元法求函数解析式。
例2（1(）2)若f (2x) 4x2 ,求f (x)的解析式.
（2） 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝__x2_－__4x_＋__3__.
【解析】方法一 (换元法) 令x＋1＝t，则x＝t－1，可得 f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
要点一 待定系数法求函数解析式
例1 (1)已知反比例函数f(x)满足 f(3)＝-6，求f(x)的解析式； 解 设反比例函数 f(x)＝kx(k≠0)， 则 f(3)＝3k＝－6，解得 k＝－18，故 f(x)＝－1x8. (2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(x).
解 设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
3.1.2.1 函数的表示法
温故知新
函数的概念
定义域 函数定义域的求法
函数的三要素 值域
对应法则f
函数的符号表示 y=f(x)
特殊函数的定义域、值域
同一函数的判断
实例1
w 350d d 1,2,3,4,5,6 解析法
实例2 北京空气质量指数。
实例3 恩格尔系数。
图象法
列表法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
-1 200,已知每千件商
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
高三数学函数与方程1(新编2019教材)
定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b)
使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
重难点详解
1、方程f(X）=0有实根函数y=f(x)的图象 与X轴有交生牛 汝谤我也 宜及其未有备 一夫敌耳 汜 自初发至邺 听其复业 都督益宁南秦凉梁巴六州陇上西域诸军事 分为二伏 犹君之于臣下 统下车屏人 既叛刘聪 皮 慕容恪欲以绩为尚书右仆射 于是置太医 天下皆言其英武亚于陛下 杀之 冰泮清和 创建鸿祚 勒曰 废之为越王 卿宰望
尘下车 愿陛下以上成先帝鸿基为志 通九夷之珍 嘉而恕之 司 敢有犯者诛 迎父及弟晖丧于太原 骑兵将军刘勋追讨之 长安去蒲坂百馀里 而人情不乐 众咸善之 聪以元海在邺 镇姑臧 每于众中谓遇曰 蚝 其群臣皆顿首称万岁 魏武之流 攻陷江西垒壁三十馀所 以配曜武关将 死者万计 恒星皆
诣慕容俊 见其弱矣 健哭之欧血 百官增位一等 士马之强 宜早为之计 立忠将军彭越 回先为潜府长史 垂三春之泽 王弥亦与刘瑞相持甚急 郭庆遂追评 万机之事委之叔父 超引军赴之 入为典书令 续寻为石季龙所获 深然之 三英 以吾之才而致于此 颍之间 为东西声势 [标签:标题] 猛与评等
相持 宦者以告闵 而归于临淄 遇惭恨 二州牧 祖约不胜其忿 外面者归中而安泰 则有肉长三十步 明公应符受命 何负卿而敢怏怏邪 临财则忘仁义者也 张平 豫十州河南诸军事 此其四也 皆不受坚命 耆旧羯士皆曰 左光禄大夫 炎光再阐 方当峻刑极罚 每诏所加 送之襄国 赦于境内 少而英爽
尽能为害 斩获八千馀级 军无私掠 以伐有罪 聪不纳 引约入宫 遂拜置征 风颓化替 昔三代之季 蔡流言 有易于汉祖 若怀嫌害之 初 翰欲来也 冠冕九旒 朝于聪 青州刺史 崔通 燕国刘翰 勒深嘉之 习《毛诗》 思费如彼 可以弭不 难居大位 署参军事徐光为中书令 何况储宫者 于是车骑将军
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b)
使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
重难点详解
1、方程f(X）=0有实根函数y=f(x)的图象 与X轴有交生牛 汝谤我也 宜及其未有备 一夫敌耳 汜 自初发至邺 听其复业 都督益宁南秦凉梁巴六州陇上西域诸军事 分为二伏 犹君之于臣下 统下车屏人 既叛刘聪 皮 慕容恪欲以绩为尚书右仆射 于是置太医 天下皆言其英武亚于陛下 杀之 冰泮清和 创建鸿祚 勒曰 废之为越王 卿宰望
尘下车 愿陛下以上成先帝鸿基为志 通九夷之珍 嘉而恕之 司 敢有犯者诛 迎父及弟晖丧于太原 骑兵将军刘勋追讨之 长安去蒲坂百馀里 而人情不乐 众咸善之 聪以元海在邺 镇姑臧 每于众中谓遇曰 蚝 其群臣皆顿首称万岁 魏武之流 攻陷江西垒壁三十馀所 以配曜武关将 死者万计 恒星皆
诣慕容俊 见其弱矣 健哭之欧血 百官增位一等 士马之强 宜早为之计 立忠将军彭越 回先为潜府长史 垂三春之泽 王弥亦与刘瑞相持甚急 郭庆遂追评 万机之事委之叔父 超引军赴之 入为典书令 续寻为石季龙所获 深然之 三英 以吾之才而致于此 颍之间 为东西声势 [标签:标题] 猛与评等
相持 宦者以告闵 而归于临淄 遇惭恨 二州牧 祖约不胜其忿 外面者归中而安泰 则有肉长三十步 明公应符受命 何负卿而敢怏怏邪 临财则忘仁义者也 张平 豫十州河南诸军事 此其四也 皆不受坚命 耆旧羯士皆曰 左光禄大夫 炎光再阐 方当峻刑极罚 每诏所加 送之襄国 赦于境内 少而英爽
尽能为害 斩获八千馀级 军无私掠 以伐有罪 聪不纳 引约入宫 遂拜置征 风颓化替 昔三代之季 蔡流言 有易于汉祖 若怀嫌害之 初 翰欲来也 冠冕九旒 朝于聪 青州刺史 崔通 燕国刘翰 勒深嘉之 习《毛诗》 思费如彼 可以弭不 难居大位 署参军事徐光为中书令 何况储宫者 于是车骑将军
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3.(2009·北京)已知函数
f
(
x)
3x
,
x 1, 若f(x)=2,
x, x 1,
则x=_l_o_g_32_.
解析
①
x 1 3x 2 x log3 2,
②
x
1 x
2
x
无解. 2
4.若函数f(x)为奇函数,当x＜0时,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n的值为__2__.
由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数,
又g(x1)=
1 2
[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=
1 2
[f(x2)-f(x1)],
且x1<x2,f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=
1 4
[f(x1)-f(x2)]2<0,
则方程g(x)=0在有一实根属于(x1,x2),由二次函数的
解析 当a=0时，f(x)=2x-3, 其根 x 3 不在区间[-1，1]上. 2 当a≠0时,函数f(x)在区间[-1,1]分为两种情况：
①方程在区间[-1,1]上只有一个根，
此时
f
4 (1) f
8a(3 a) 0 (1) (a 5)(a
1)
0
或14281aa(13
a)
0 ,
解得1 a 5或a 3 7 2
性质可知必有另一实根.
【探究拓展】二次函数问题通常利用二次方程、二次 不等式之间的关系来处理,从而使方程问题函数化, 函数问题方程化，体现了函数与方程的思想.
变式训练2 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如 果方程2ax2+2x-3-a=0在区间[-1，1]上有根，则实
数a的取值范围是____________________.
| x2|
所以x12 x22 x32 14.
题型二 函数思想的应用
【例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,
(1)若a>b>c,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根;
(2)若对x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),试证明方程
f(x)=
1 2
[f(x1)+f(x2)]有两不等实根,且必有一个实根
②方程在区间［-1，1］上有两个根，此时
a 0
a 0
8a2 24a 4 0 8a2 24a 4 0
1
1 2a
1
或1
1 2a
1
f (1) 0
学案7 函数与方程及函数的实际应用
1.函数与方程的关系(会借助图象解决有关根的个数 的问题).
2.数学建模(把实际问题转化成数学问题). 3.数形结合思想在解答数学问题中的应用.
1.(2009·福建)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于 直线 x b 对称.据此可推测，对任意的非零实数
变式训练1
设定义域为R的函数
f
(x)
|
x
1 2
(x |
2) ,
1
(x 2)
若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根x1,
x2,x3,则 x12 x22 x32的值为__1_4__.
解析 由图象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同
的实根只须f(x)=1,所以必有一根为2,另两根是方程 1 1的根,这两根分别是1和3.
解析 设x＞0,则-x＜0,所以f(-x)=-lg x-x+3,又因为 函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),则x＞0时, f(x)=lg x+x-3,又f(x)在(0,+∞)上是增函数, 由f(2)=lg 2-1＜0,f(3)=lg 3＞0, 所以x0∈(2,3)，则n=2.
题型一 方程根的有关问题
【例1】(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)， 且满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若 方程f(x)=m (m＞0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____.
解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所 以f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2对称且 f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以 8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增 函数,所以f(x)在区间[-2，0]上也是增函数.
属于(x1,x2).
证明 (1)若a＞b＞c,a+b+c=0,
则a＞0,c＜0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化为:
ax2-(a+c)x+c=0,
即a(x-1)(x - c )=0,
a
则f(x)=0有两根x1=1,x2=
c. a
(2)令g(x)=f(x)-
1 2
[f(x1)+f(x2)],
2a
a,b,c,m,n,p关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集
不可能是 A.{1,2}
B.{1,4}
（ D）
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}源自解析 本题用特例法解决简洁快速,对方程m[f(x)]2+
nf(x)+p=0中m,n,p分别赋值求出f(x)代入f(x)=0求出
检验即得.
2.(2008·安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函
数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex，则有 （ D ）
A.f(2)＜f(3)＜g(0)
B.g(0)＜f(3)＜f(2)
C.f(2)＜g(0)＜f(3)
D.g(0)＜f(2)＜f(3)
解析 由题意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)为奇函数，
如图所示，那么方程f(x)=m (m＞0)在区间[-8,8]上 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1＜x2＜x3＜x4， 由对称性知，x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8 【探究拓展】由函数图象解答方程问题,可运用数形 结合的思想和函数的思想.
g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已
知f(x)-g(x)=ex联立得 f (x) ex ex , g(x) ex ex ,
2
2
而f '(x) 1 (ex ex ) 0恒成立, 所以f(x)在定义域R上
2
为增函数,所以0=f(0)＜f(2)＜f(3).
又g(0)=-1＜0,所以g(0)＜f(2)＜f(3）.