高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布问题导学案 新人教A版选修23

2．4 正态分布[学习目标]1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题． [知识链接]1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是频率组距，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线． 2．正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 中的参数μ，σ有何意义？ 答 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E (X )＝μ；σ>0表示标准差，D (X )＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e 为常数，x 为自变量，x ∈R . 3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？答 若X ～N (μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x 可知，X 可取(a ，b ]内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． [预习导引] 1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4 .要点一正态曲线例1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝12π·e －（x －20）24，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2.规律方法 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪演练 1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0. 由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)． 要点二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1，22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6 (2)∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)]＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. 规律方法 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （μ－b <X ≤μ＋b ）2.跟踪演练2 若η～N (5，1)，求P (5＜η＜7)．解 ∵η～N (5，1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x ＝5对称，∴P (5＜η＜7)＝12×P (3＜η＜7)＝12×0.954 4＝0.477 2.要点三 正态分布的实际应用例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解 μ＝110，σ＝20，P (X ≥90)＝P (X －110≥－20)＝P (X －μ≥－σ)， ∵P (X －μ＜－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝2P (X －μ＜－σ)＋0.682 6＝1， ∴P (X －μ＜－σ)＝0.158 7，∴P (X ≥90)＝1－P (X －μ＜－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人． ∵P (X ≥130)＝P (X －110≥20)＝P (X －μ≥σ)， ∴P (X －μ≤－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝0.682 6＋2P (X －μ≥σ)＝1. ∴P (X －μ≥σ)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈9(人)， 即130分以上的人数约为9人．规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪演练3 工厂制造的某机械零件的尺寸X 服从正态分布N (4，19)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 解 ∵X ～N (4，19)，∴μ＝4，σ＝13，∴不属于区间(3，5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5)＝1－P (4－1＜X ＜4＋1) ＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个.1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( ) A ．σ1>1>σ2>σ3>0 B ．0<σ1<σ2<1<σ3 C ．σ1>σ2>1>σ3>0 D ．0<σ1<σ2＝1<σ3 答案 D2．把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b .下列说法中不正确的是( )A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2 答案 D3．正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＜P 2C ．P 1＞P 2D ．不确定 答案 A解析 根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得 在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P 1，P 2相等．4．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率． 解 依题意μ＝104，σ＝400.∴P (104－800<X ≤104＋800)＝P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 由正态分布性质知P (X ≤104－800)＝P (X >104＋800) 故2P (X >10 800)＋P (104－800<X ≤104＋800)＝1， ∴P (X >10 800)＝1－0.954 42＝0.022 8，故使用时间超过10 800小时的概率为0.022 8.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P （μ－b <X <μ＋b ）2.一、基础达标1．设某长度变量X ～N (4，16)，则下列结论正确的是( ) A ．E (X )＝D (X )＝D （X ） B ．D (X )＝D （X ） C ．E (X )＝D （X ） D ．E (X )＝D (X ) 答案 C2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ<0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 答案 A解析 P (ξ≤4)＝0.84，故P (ξ>4)＝0.16.P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.16.3．设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x )＝ 16πe －x 2－4x ＋46，则( )A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝ 3 答案 C解析 由φ(x )＝12π×3e －（x －2）22（3）2，得μ＝2，σ＝ 3. 故选C.4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2π D.2π答案 C解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π.5．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝________. 答案 2解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.6．对于标准正态分布N (0，1)的概率密度函数f (x )＝12π·e －x 22，下列说法正确的有________． ①f (x )为偶函数； ②f (x )的最大值是12π；③f (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数； ④f (x )关于x ＝1对称． 答案 ①②③7．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π.(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比． 解 (1)∵正态分布曲线在(0，80)上是增函数， 在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为 φμ，σ(x )＝182πe －（x －80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72， μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X 位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%. 二、能力提升8．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( ) A ．(90，110] B ．(95，125] C ．(100，120] D ．(105，115]答案 C解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，60×0.997 4≈60(人)．9．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案 C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.11．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数． 解 依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03. 即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布密度函数为f (x )＝106π·e －50（x －10）23.12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例； (2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例． 解 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70，102)， 则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占总人数的15.87%. (2)成绩在80～90内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为13.59%. 三、探究与创新13．(2013·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得 p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900)＝12＋12P (700＜X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6)． 由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。

用图与转化解决正态分布问题正态分布是自然界最常见的一种连续型概率分布，又称为常态分布，许多分布都可以用正态分布来近似描述．虽然是新加盟高中数学的“新成员”，但与此相关的试题背景新颖、生活气息浓，倍受命题者重视．高考常以选择题、填空题的形式出现，难度虽然不大，但也不可忽视．解答正态分布问题只需具有用图形和转化意识，就可以轻松求解．一、认识正态密度函数总体概率密度函数是f (x )＝ 1 2πσe －(x －μ)22σ2，这样的总体称为正态总体，或说总体服从正态分布，记为N (μ，σ)，f (x )中有两个参数μ(总体平均数)、σ(总体标准差)，其图象称为正态(密度)曲线，又称为钟型曲线，顾名思义其图象如古代大钟的轴截面，中间高两边低，其对称轴为x ＝μ，最高点的坐标(μ， 1 2πσ)，正态曲线与x 轴围成区域的面积为1． 若随机变量ξ~N (μ，σ)，则P (ξ＜x 0)＝F (x 0)等于直线x ＝x 0的左侧、正态曲线下方、x 轴上方围成区域的面积．当μ＝0，σ＝1时，N (0，1)称为标准正态分布，此时P (ξ＜x 0)记为Φ(x 0)，当x 0≥0时，Φ(x 0)可通过查“标准正态分布表”获得，当x 0＜0时，通过转化亦可求Φ(x 0)的值，Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)；非标准正态分布N (μ，σ)可转化为标准正态分布，公式为P (x ＜ξ)＝F (ξ)＝Φ(ξ－μσ)． 二、识图与用图我们知道：性质决定图象，图象反映性质．给出正态曲线，我们应该能迅速从中看出相关性质．已知满足正态分布的随机变量在给定区间内取值的概率，求在另一区间内取值的概率，只需用好图形的对称性，进行简单的转化，便可求解． 例1(08安徽)：设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则有A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：由正态曲线的对称轴为x ＝μ，最高点的坐标(μ，1 2πσ )，观察图象可知：μ1＜μ2， 1 2πσ1 ＞ 1 2πσ2 ，∴σ1＜σ2，故选A ． 点评：正态分布的总体平均数决定对称轴的位置，总体标准差(方差的平方根)决定正态曲线的高、矮(σ越小， 1 2πσ越大)，“体积”相等“身材高”的必然“瘦”、矮的自然就“胖”． 例2：设随机变量ξ~N (2，σ2)，若P (ξ＜1)＝0.4，那么P (ξ＜3)，P (ξ＜2)，P (ξ＜0)，P (ξ＜－3)中一定可求出具体值的是 ．解析：由ξ~N (2，σ2)及P (ξ＜1)＝0.4，知：正态曲线的对称轴为x ＝2，且直线x ＝1左侧区域的面积为0.4，所以直线x ＝3右侧区域的面积也为0.4，且对称轴x ＝2左侧区域的面积为0.5，所以P (ξ＜3)，P (ξ＜2)可求．点评：若ξ~N (μ，σ2)(σ＞0)，则P (ξ＜μ)＝P (ξ＞μ)＝0.5，给出P (ξ＜t )的值，根据对称性还可求出P (ξ＜2μ－t )的值，用图也不是说每个图形都要画出来，心中有图才是最高境界．例3：已知随机变量ξ~N (1，σ2)，且P (ξ＜－2)＋P (ξ＞6)＝0.201，则P (－4＜ξ＜4)＝ ．解析：如图，依题意P (ξ＜－2)＋P (ξ＞6)＝S 1＋S 2＋S 5＝0.201，∵S 2＝S 4，P (－4＜ξ＜4)＝S 2＋S 3＝S 4＋S 3，∴[P (ξ＜－2)＋P (ξ＞6)]＋P (－4＜ξ＜4)＝(S 1＋S 2＋S 5)＋(S 4＋S 3)＝1，所以P (－4＜ξ＜4)＝1－(S 1＋S 2＋S 5)＝1－0.201＝0.799．点评：将以上图形语言转化为符号语言就是：P (－4＜ξ＜4)＝1－P (ξ＜－4)－P (ξ＞4)＝1－P (ξ＜－2)＋P (－4＜ξ＜－2)－P (ξ＞4)＝1－P (ξ＜－2)＋P (4＜ξ＜6)－P (ξ＞4)＝1－P (ξ＜－2)－P (ξ＞6)＝0.799，观其图，胜听其言．例4：设随机变量ξ~N (μ，σ2)(σ＞0)，则随变量σ的增大，概率P (|ξ－μ|＜b )的值A ．单调增加B ．单调减小C ．保持不变D ．增减性不确定解析：P (|ξ－μ|＜b )＝P (μ－b ＜ξ＜μ＋b )＝P (ξ＜μ＋b )－P (ξ＜μ－b )，P (|ξ－μ|＜b )表示直线x ＝μ＋b 与x ＝μ－b 之间、x 轴上方、正态曲线下方区域的面积，由于正态曲线与x 轴围成区域的面积为定值1，当σ增大，曲线最高点的纵坐标 1 2πσ减小，其他地方曲线小幅度升高，最高点附近的条形区域的面积减小量必然大于其增加量，故选B ．点评：合情推论应对选择题、填空题足矣，严格的证明参照例7．四、转化与应用生活中有许多变量都近似服从(一般)正态分布，其有关计算可化为标准正态总体N (0，1)来研究．对任一正态总体N (μ，σ2)，取值小于x 的概率P (ξ＜x )＝F (x )＝Φ(x －μσ)． 例5：某市学生的高考成绩服从正态分布，平均成绩480，方差为10000，若全市高考录取率为0.4，则录取分数线为(已知Φ(0.25)＝0.6)A .525B .501C .505D .495解：设录取分数线为ξ，x 为考生的成绩，μ＝480，σ＝100，x ~N (480，1002)，则P (x＞ξ)＝0.4，∵P (x ＞ξ)＝1－P (x ＜ξ)＝1－Φ(ξ－480100)＝0.4，∴Φ(ξ－480100)＝0.6，∴ξ－480100＝0.25，ξ＝505，故选C ．点评：符号化是解概率、统计问题的首要任务，也是关键．对于服从N (μ，δ2)的随机变量ξ，在求它的概率时，一般需要将ξ标准化，即引入新的随机变量η＝ ξ－μδ，η~N (0，1)．例6：某学校学生高考数学成绩近似服从正态分布N (100，102)，则该校高考数学成绩在90分至130分的考生占总人数百分比为 ．(已知Φ(3)＝0.9987，Φ(1)＝0.8413)解：用ξ表示成绩在90分至130分的考生占总人数，则90＜ξ＜130，P (90＜ξ＜130)＝P (ξ＜130)－P (ξ＜90)＝Φ(130－10010)－Φ(90－10010)＝Φ(3)－Φ(－1)＝Φ(3)＋Φ(1)－1＝0.8400，所以高考数学成绩在90分至130分的考生占总人数百分比为84%．点评：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，给出的数据是关于标准正态分布的信息，所求是一般正态分布的问题，而者非同一分布，不转化无法利用条件．例7：设随机变量x ~N (μ1，σ21)，随机变量y ~N (μ2，σ22)，且P (|x －μ1|＜1)＞P (|y －μ2|＜1)，则必有A ．σ1＜σ2B ．σ1＞σ2C ．μ1＜μ2D ．μ1＞μ2解：P (|x －μ1|＜1)＝P (μ1－1＜x ＜μ1＋1)＝P (x ＜μ1＋1)－P (x ＜μ1－1)＝Ф( 1 σ1)－Ф(－ 1 σ1)＝2Ф( 1 σ1)－1，P (|y －μ2|＜1)＝P (μ2－1＜x ＜μ2＋1)＝P (y ＜μ2＋1)－P (y ＜μ2－1)＝Ф( 1 σ2)－Ф(－ 1 σ2)＝2Ф( 1 σ2)－1，依题意，Ф( 1 σ1)＞Ф( 1 σ2)，所以 1 σ1＞ 1 σ2，即σ1＜σ2，故选A ． 点评：将两不同的正态分布转化为标准正态分布，再根据函数y ＝Ф(x )为增函数求解，比直接观察图形更具有说服力．例8：某城市从南部某地乘公共汽车前往北区火车站有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (50，102)；第二条线路沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N (60，42)．(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？(2)若只有60分钟可用，问应走哪条路线？解：设ξ为行车时间．(1)走第一条路线，及时赶到的概率为P (0＜ξ≤70)=Φ(70－5010)－Φ(0－5010)≈Φ(70－5010)=Φ(2)=0.9722．走第二条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤70)≈Φ(70－5010)=Φ(2.5)=0.9938．因此在这种情况下应走第二条线路．(2)走第一条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤65)≈Φ(65－5010)=Φ(1.5)=0.9332．走第二条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤65)≈Φ(65－5010)=Φ(1.25)＝0.8944.因此在这种情况下应走第一条路线． 点评：最佳路线为在允许的时间内有较大概率及时赶到的那条路线．例9：某工厂生产一种产品的“抗震强度”ξ~N (30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000件产品中随机抽查一件，若它的“抗震强度”为27.5，你认为该产品的产品是否合格？为什么？解析：由于ξ~N (30，0.82)，已知在(30－3×0.8，30＋3×0.8)＝(27.6，32.4)之外的概率只有0.0026．而27.5∈/(27.6，32.4)，这说明出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批产品不合格．点评：正态变量ξ在区间在区间(μ－3σ，μ＋3σ)、(μ－2σ，μ＋2σ)、(μ－σ，μ＋σ)的概率分别为0.9974、0.9544、0.6826，可见正态变量的取值几乎在距x ＝μ三倍标准差之内．利用这个“3σ原则”可以进行质量控制．“数”与“形”是我们解决数学问题的两个基本方向，若所给条件与所求问题为同一正态分布，一般可以用图即“形”的方法解决；若题中给出标准正态分布的某个值，所求问题不是标准正态分布，一般不能用图解决，需要将一般正态分布转化为标准正态分布，即用“数”的方法求解．练习：1.有一批袋装大米，其质量服从正态分布(10，0.01)，(单位kg)，任选一袋大米。

正态分布[A组学业达标]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：A2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.答案：B4．随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (2＜ξ＜3)＝a ，则P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝( ) A.1－a 2 B.12－a C ．a ＋0.003a D.12＋a 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (2＜ξ＜3)＝a ，所以P (－1＜ξ＜0)＝a ，P (1＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)，P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝12－a .答案：B5．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )A ．0.954B ．0.046C ．0.977D ．0.023解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.954 42＝0.022 8.故选D. 答案：D6．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________.解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4.P (10≤ξ≤11)＝0.2，∵P (ξ≥10)＝0.5，∴P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.37．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：28．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.解析：由图可以看出P (550＜ξ＜600)＝P (400＜ξ＜450)＝0.3.答案：0.39．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72＜X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P (64＜X ≤72)．解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72＜x ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (64＜X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X ＞96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.954 4)＝12×0.045 5＝0.022 8. 所以P (X ＞64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72＜X ≤88)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以P (X ＞72)＝0.841 3，P (64＜X ≤72)＝P (X ＞64)－P (X ＞72)＝0.135 9.10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 解析：因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．[B 组 能力提升]11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．不能确定解析：因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 答案：C12．已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( )A ．0.341 3B ．0.317 4C ．0.158 7D ．0.158 6解析：由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7. 答案：C13.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，所以P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3， 故S ≈0.341 3，所以落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，所以x ＝10 000×0.341 3≈3 413.答案：3 41314．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X ～N (100，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：因为成绩X ～N (100，a 2)，所以其正态曲线关于直线x ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15×600＝120(人)． 答案：12015．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N (8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P (8－3＜ξ≤8＋3)＝P (5＜ξ≤11)≈0.682 6.所以P (ξ≤5)＝12[1－P (5＜ξ≤11)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P (ξ＞5)≈1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ～N (3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P (3－2＜ξ≤3＋2)＝P (1＜ξ≤5)≈0.682 6，所以P (ξ＞5)＝12[1－P (1＜ξ≤5)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一套方案．。

正态散布教课方案一、教课目的剖析联合课程标准的要求，学生的实质状况，本节课的教课目的以下：知识与技术目标：（1）学习正态散布密度函数分析式；（2）认识正态曲线的特色及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习教案，使学生在课前自学；（2）讲堂采纳小组合作研究，提升讲堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将讲堂学习延长至课外学习。

感情、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习热忱；（2）运用议论研究形式，加强学生的合作意识。

二、教课内容分析正态散布是人教 A 版选修 2-3 第二章第四节的内容，该内容共一课时。

以前，学生已经学习了频次散布直方图、失散型随机变量等有关知识，这为本节课学习确立了基础，而正态散布研究是连续型随机变量，既是对前方内容的增补、拓展，又为学生初步应用正态散布知识解决实质问题供给了理论依照。

三、教课识题诊疗学生已在必修三中学习过频次散布直方图、整体密度曲线，但间隔时间较长，有些忘记，可能会影响讲堂进度。

正态曲线的特色许多，证明也较为复杂，假如等到讲堂上才开始思虑，必然影响讲堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教课要点：（1）正态散布密度函数分析式；（2）正态曲线的特色及其所表示的意义。

教课难点：正态曲线的特色四、教课对策剖析经过两个看法复习题，让学生熟习本节课需要用到的知识。

设计了好多学生讲话的环节，让学生充足的显现自己的能力。

为达成教课任务，教师需要在课前为学生供给教案，讲堂中指引学生，掌控学习进度。

五、教课基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验整体密度曲线正态曲线与函数讲堂练习正态散布正态曲线特色讲堂检测条件及举例讲堂小结课后查阅六、教课过程设计（1）课前自主学习：1.频次散布直方图用什么表示频次？2.由频次散布直方图获得整体密度曲线的过程是：第一绘制样本的频率散布折线图，而后跟着的无穷增添，作图时的减小、的增添，频次散布折线图愈来愈靠近一条圆滑曲线，这条曲线就是曲线。

2.4 正态分布学习目标：1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．正态曲线 若φμ，σ(x )＝，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．3σ原则(1)若X ～N (μ，σ2)，则对于任何实数a >0，P (μ－a <X ≤μ＋a )＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x )dx .(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682_7， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954_5， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997_3.(3)通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． ( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )[解析] (1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P (X <2)＝( )【导学号：95032202】A .15 B.14 C .13D.12D [由题意知X 的均值为2，因此P (X <2)＝12.]3．正态曲线关于y 轴对称，则它所对应的正态总体均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不确定C [由正态曲线性质知均值为0.]4．正态分布的概率密度函数P (x )＝122πe －x －528在(3,7]内取值的概率为________.【导学号：95032203】0.682 7 [由题意可知X ～N (5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P (3<X ≤7)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7.][合 作 探 究·攻 重 难]正态曲线及其性质某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图2­4­1曲线可得下列说法中正确的一项是( )图2­4­1A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.][规律方法]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是142π，所以12π·σ＝142π，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝142π·e－x232，x∈(－∞，＋∞)．正态分布下的概率计算(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,4)，求正态总体X 在(－1,1)内取值的概率.【导学号：95032204】[思路探究] (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．(1)C [∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ≥4)＝P (ξ<0)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝0.6，∴P (0<ξ<2)＝0.3.故选C.] (2)[解] 由题意得μ＝1，σ＝2，所以P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 7. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1＜X ＜1)＝P (1＜X ＜3)＝12P (－1＜X ＜3)≈0.341 4.[规律方法] 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 2．注意概率值的求解转化： (1)P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )； (2)P (X ＜μ－a )＝P (X ≥μ＋a )； (3)若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P μ－b ＜X ＜μ＋b2.3．熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值．2．设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)． (1)求c 的值；(2)求P (－4<x <8)．[解] (1)由X ～N (2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝0.954 5.正态分布的实际应用1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？[提示]零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？[提示]P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε≤μ＋σ)＝0.682 7，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 7≈683(件)一等品．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[提示]由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.【导学号：95032205】[思路探究]将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．[解]μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，∴P(X－μ≤－σ)≈0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 7＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)≈0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．母题探究：(改变条件)如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”，求相应结论．[解]∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20，∴P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6827，∴X＜90的概率为12×(1－0.6827)＝0.158 7.设该班学生共有x人，则0.158 7 x＝9，即x≈57(人)∴P(X≥90)＝1－0.158 7＝0.8413，∴这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 3×57≈48(人)，又P(X＜90)＝P(X＞130)，∴130分以上的人数有9人．[规律方法]1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．1．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝12π·e－x＋334，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2C．μ＝3，σ＝ 2 D．μ＝－3，σ＝ 2 D[由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝ 2.]2．设随机变量X～N(3,1)，若P(X>4)＝p，则P(2<X<4)＝( )【导学号：95032206】A ．12＋p B ．1－p C ．1－2pD ．12－p C [由X ～N (3,1)得μ＝3，所以P (3<X <4)＝12－p ，即P (2<X <4)＝2P (3<X <4)＝1－2p .]3．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84A [由X ～N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x ＝2，则P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.]4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，则P (－1＜x ＜1)＝________.0.954 5 [∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，∴μ＝0，σ＝12， ∴P (－1＜X ＜1)＝P (0－2σ＜X ＜0＋2σ)＝0.954 5]5．随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0).【导学号：95032207】[解] 如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.8413，所以P (ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.。