高中数学随机变量及其分布数学期望

高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。

本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。

通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。

这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。

二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。

通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。

这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。

三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。

高中数学中的随机变量与期望值计算随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机试验的结果。

在高中数学中，我们经常会遇到与随机变量相关的问题，并需要计算其期望值。

本文将探讨随机变量的概念、期望值的计算方法以及其在实际问题中的应用。

一、随机变量的概念随机变量是一种将随机试验结果与数值联系起来的函数。

它可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量的取值只能是一系列可数的数值，如掷骰子的点数；而连续随机变量的取值可以是任意的实数，如测量某物体的长度。

随机变量的概率分布函数描述了它的取值与对应概率之间的关系。

对于离散随机变量，概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续随机变量，概率分布函数可以用概率密度函数表示。

二、期望值的计算方法期望值是随机变量的平均值，它表示了随机变量在大量试验中的平均表现。

在高中数学中，我们常用数学期望来表示期望值。

对于离散随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

对于连续随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。

三、期望值的性质期望值具有一些重要的性质，这些性质在实际问题中具有重要的应用价值。

1. 线性性质：对于任意常数a和b，有E(aX + b) = aE(X) + b。

这个性质使得我们可以简化复杂问题的计算过程。

2. 期望值与函数的关系：如果Y是随机变量X的函数，那么E(Y) = E(g(X)) =Σ(g(x) * P(X=x))或E(g(X)) = ∫(g(x) * f(x))dx。

这个性质使得我们可以通过函数的期望值来计算随机变量的期望值。

3. 期望值的不变性：如果随机变量X和Y具有相同的概率分布函数，那么E(X) = E(Y)。

这个性质使得我们可以通过寻找具有相同概率分布的随机变量来简化问题的计算。

四、期望值的应用期望值在实际问题中有广泛的应用。

高2019届理科数学总复习讲义第三十八讲 随机变量及其分布、期望与方差知识提要1、 随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,ξη等表示。

（1） 离散型随机变量。

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

（2） 连续型随机变量。

如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

（3） 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量。

2、 离散性随机变量的分布列（1） 概率分布（分布列）。

设离散性随机变量ξ可能取的值为12,,x x ···,,i x ···,ξ取每一个值（1,2,i x =···）的概率()i i P x p ξ==，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。

（2）二项分布。

如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在ｎ次独立重复试验中这个事件恰好发生ｋ次的概率是：()k k n k n P k c p q ξ-==（其中k=0，1，···，n ，q=1-p ），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n,p)，其中n,p 为参数。

3、期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称1122n n E x P x P x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为ξ的数学期望，简称期望。

（2）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量值的平均水平。

(3 ) 数学期望的性质：(),()E c C E a b aE b ξξ=+=+（,,a b c 为常数）。

3、 方差：（1）221122()()D x E P x E P ξξξ=-+-+···2()n n x E P ξ+-+···为ξ的方差。

离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。

2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。

3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。

2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。

3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。

题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。

随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。

它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。

一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。

对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。

对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。

数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。

2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。

3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。

二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。

解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。

则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。

解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。

解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。

解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。

离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。

一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。

(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。

高中概率分布与期望值计算概率是数学中非常重要的概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。

在高中数学中，学习概率分布和期望值的计算是必不可少的内容。

本文将详细介绍高中阶段概率分布与期望值的计算方法。

一、概率分布概率分布是指随机变量取各个值时，这些值发生的概率分别是多少。

在概率分布中，主要有离散概率分布和连续概率分布两种情况。

1. 离散概率分布离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。

常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布等。

以二项分布为例，假设一人投篮命中率为p，投篮n次，命中k次的概率可以用二项分布来表示。

二项分布的概率公式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个中取出k个的组合数。

2. 连续概率分布连续概率分布是指随机变量可以取任意实数的概率分布。

常见的连续概率分布有正态分布、均匀分布和指数分布等。

以正态分布为例，正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。

二、期望值的计算期望值是指随机变量在多次试验中的平均取值。

期望值的计算方法根据概率分布的不同而不同。

下面以离散概率分布和连续概率分布为例进行说明。

1. 离散概率分布的期望值计算对于离散概率分布，期望值的计算公式为：E(X) = ∑(x*P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

以二项分布为例，假设投篮n次，命中k次，命中率为p，则命中次数的期望值为：E(X) = ∑(k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k))2. 连续概率分布的期望值计算对于连续概率分布，期望值的计算公式为：E(X) = ∫(x*f(x))dx其中，f(x)为概率密度函数。

以正态分布为例，假设随机变量服从正态分布，其期望值为μ，标准差为σ，则期望值为：E(X) = ∫(x*(1/√(2πσ^2))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)))dx三、总结高中阶段学习概率分布与期望值的计算是数学中的重要内容。