高中数学选修2-3第二章_随机变量及其分布学案1_2_3

二随机变量及其分布1．条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．3．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．4．均值与方差的性质(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(3)D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2.5．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)P(μ－2σ<X≤ μ＋2σ)≈0.954 5.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．求分布列时要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．2．要注意识别独立重复试验和二项分布．3．在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意D(aX＋b)≠a D(X)＋b，D(aX＋b)≠a D(X)．4．易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．主题1 条件概率口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P (AB )＝4×36×5＝25. (3)利用条件概率的计算公式，可得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝2523＝35.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P （AB ）P （B ）⎝ ⎛⎭⎪⎫或P （B |A ）＝P （AB ）P （A ）求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n （AB ）n （A ）求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110B.15C.25D.12解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.主题2 相互独立事件的概率与二项分布为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，其中第2组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60 kg 的学生人数，求X 的分布列．【解】 (1)设该校报考飞行员的人数为n ，前三个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋（0.037＋0.013）×5＝1，解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375.又p 2＝0.25＝12n，解得n ＝48，所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60 kg 的概率为P ＝1－(0.125＋0.25)＝58， 依题意有X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，58，故P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫58k·⎝ ⎛⎭⎪⎫383－k，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27512 135512 225512 125512求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (A B)＝P (A )P (B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ＋B)＝1－P (A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 解：记E ＝{}甲组研发新产品成功，F ＝{}乙组研发新产品成功，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{}至少有一种新产品研发成功，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (EF )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (EF )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为X 0 100 120 220 P2151541525数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.主题3 离散型随机变量的均值与方差(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解】 (1)由题意知，X 所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.20.40.4(2)200瓶，因此只需考虑200≤n ≤500. 当200≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．求离散型随机变量的期望与方差的步骤一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ)． 解：(1)由已知，随机变量η的取值为：2，3，4，5，6. 投掷一次正方体骰子所得点数为X ，则P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝13，P (X ＝3)＝12，即P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13，P (η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为P 2 3 4 5 6 η136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14，因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.主题4 正态分布设X ～N (10，1)．(1)证明：P (1<X <2)＝P (18<X <19)； (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10<X <18)．【解】 (1)因为X ～N (10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x ＝10对称，所以⎠⎛12φμ，σ(x )d x ＝⎠⎛1819φμ，σ(x )d x ，即P (1<X <2)＝P (18<X <19)．(2)因为P (X ≤2)＋P (2<X ≤10)＋P (10<X <18)＋P (X ≥18)＝1，P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2<X ≤10)＝P (10<X <18)，所以，2a ＋2P (10<X <18)＝1， 即P (10<X <18)＝1－2a 2＝12－a .根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x 轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，则正态曲线在对称轴x ＝μ的左右两侧与x 轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P (X ≥μ＋c )＝P (X ≤μ－c )(c >0)对目标概率进行转化求解．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈99.73%.) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 413解析：选B.对于正态分布N (－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，所以投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.1359＝1 359., [A 基础达标]1．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.447 B ．0.628 C ．0.954D ．0.997解析：选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)， 所以正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ>2)＝0.023， 所以P (ξ<－2)＝0.023.所以P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知，天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400D ．2 600元解析：选B.出海效益的均值为E (X )＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．3．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110C.49D.25解析：选C.A ＝{}第一次取到新球，B ＝{}第二次取到新球，则n (A )＝C 15C 19，n (AB )＝C 15C 14.所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝C 15C 14C 15C 19＝49.4．某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：选B.根据射手每次射击击中目标的概率是12，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126，恰有两次连续击中目标的概率为A 24C 36，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126·A 24C 36＝A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126. 5．甲命题：若随机变量ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.3，则P (ξ≤4)＝0.7.乙命题：随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝300，D (η)＝200，则p ＝13，则正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲错误，乙也错误D ．甲正确，乙也正确解析：选D .随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，所以曲线关于ξ＝3对称，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.7，所以甲命题正确；随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝np ＝300，D(η)＝np (1－p )＝200，解得p ＝13，所以乙命题正确．6．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________． 解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B (4，35)．则E (X )＝4×35＝125.答案：1257．两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中有35个合格，乙加工了60个，其中有50个合格，令事件A 为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B 为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P (A |B )＝________． 解析：由题意知P (B )＝40100，P (AB )＝35100，故P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝3540＝78.答案：788．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23(23)2(13)1＝49.答案：499．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率． 解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P 1＝10×110×110×110＝1100.(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P 2＝10×C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×910＝27100.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P 1＝1100，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P ＝P 1＋P 2＝1100＋27100＝725.10．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2. 依题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15.P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35.P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.所以ξ的分布列为(2)则P (C)＝C 34C 36＝420＝15.所以所求概率为P (C)＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.[B 能力提升]11．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销运动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ )． 解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝(1－14－12)×(1－16－23)＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80.12．某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N (μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)．求至少两支灯管需要更换的概率．解：(1)因为ξ～N (μ，σ2)，P (ξ≥12)＝0.8，P (ξ≥24)＝0.2，所以P (ξ<12)＝0.2，显然P (ξ<12)＝P (ξ>24)．由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝12＋242＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B (4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P ＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 04×0.84－C 14×0.83×0.21≈0.18.13．(选做题)(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？ 解：(1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9.即顾客A 所获奖金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w 3元，则E (w 3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E (w 1)＝E (w 3)<E (w 2)．所以顾客A 应该按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次．。

⾼中数学选修2-3第⼆章随机变量及其分布学案1,2,3第⼆章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量学案编制张永国⽬标定位：1.理解随机变量的意义（难点）2.学会区分离散型随机变量与⾮离散型随机变量（难点）3.理解随机变量所表⽰试验结果的含义，并恰当定义随机变量（重点、易混点）⼀、⾃主学习：随机变量的概念1.定义:在随机实验中,随着________变化⽽变化的__________称为随机变量.2.表⽰:随机变量常⽤字母_____,_____,_____,_____等表⽰. 思考探究:任何随机试验的结果可以⽤实数表⽰吗?离散型随机变量的概念:定义:所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量. ⼆、典例剖析:例1.下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)2010年5⽉1⽇参观上海世博会的旅客⼈数. (2)2012年伦敦奥运会上中国取得的⾦牌数 (3)某⼈投篮10次投中的次数(4)2012年某天济南⾄北京的动车D36次列车到北京的时间. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表⽰的随机试验的结果:(1)通常棉花纤维德长度在(10,60)记⼀根棉花纤维的长度为X,若规定棉花纤维的长度不⼩于25mm 的位优质棉,记变量Y=?≥25 1250纤维长度纤维长度＜;(2)⼀个袋中装有5个⽩球和5个⿊球,从中任取2个,其中所含⽩球的个数ξ⾃主解答:⽅法技巧:例3.指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)⼀个袋中装有4个⽩球和4个⿊球,从中任取3个,其中所含⽩球的个数;(2)郑州⾄武汉的电⽓化铁道线上,每隔50有⼀电线铁塔,从郑州⾄武汉的电⽓化铁道线上将电线铁塔进⾏编号,其中某⼀电线铁塔的编号;(3)江西九江市长江⽔位监测站所测⽔位在(0,29]这⼀范围内变化,该⽔位站所测⽔位.⾃主解答:⽅法技巧:三、⽜⼑⼩试1.抛掷均匀硬币⼀次,随机变量为( )A. 出现正⾯向上的次数B. 出现正⾯向上或反⾯向上的次数C. 掷硬币的次数D. 出现正、反⾯向上次数之和2.10件产品中有4件次品,从中任取2件,可为随机变量的是( )A. 取到产品的件数B. 取到次品的件数C. 取到正品的概率D. 取到次品的概率3.电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某⼈随机打开收⾳机对表,他所等待的时间为η分,则η的所有可能取值为_______,每⼀个可能取值表⽰___________.4.下列变量中是离散型随机变量的是_______.①某⽆线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X;②连续不断射击,⾸次命中⽬标需要的射击次数X;③将⼀个骰⼦掷3次,3次出现的点数之和X.5.袋中装有50个⼤⼩相同的球,其中记上0号的5个,记上n号的有n个(n=1,2,3…,9)现从中任取⼀球,记所取的球的号码是ξ(1)判断ξ是否是离散性随机变量?如果是,ξ取哪些值?如果不是,请说明理由.(2)说明ξ=5表⽰的试验结果.6.⼀个袋中有4个⽩球和3个红球,从中任取2个,则随机变量可能为( )A.所取球的个数B.其中含红球的个数C.所取⽩球与红球的总数D.袋中球的总数7.下列变量中,不是随机变量的是( )A. ⼀射⼿射击⼀次的环数B. ⽔在标准⼤⽓压下沸腾的温度C. 抛掷两枚骰⼦,所得点数之和D. 某电话总机在时间区间(0,t)内收到的呼叫次数8.写出下⾯随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表⽰的随机试验的结果:⼀袋中装有5只同样⼤⼩的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出3只球,被取出的球最⼤号码数ξ.9⼩王参加⼀次⽐赛,⽐赛共设三关,第⼀、⼆关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进⼊下⼀关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过⼀关可⼀次性获胜得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),⼩王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,32,43,54且每个问题回答正确与否相互独⽴,⽤ξ表⽰⼩王所获奖品的价值,写出ξ的所有可能取值.四、学后反思：2.1.2 离散型随机变量的分布列学案编制张永国⽬标定位：1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念（重点）2.掌握离散型随机变量分布列的表⽰法和性质（重点）3.理解两点分布和超⼏何分布及其导出过程，并能进⾏简单应⽤（难点）⼀、⾃主学习：离散型随机变量的概率分布列1.定义:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…x n ,X 取每⼀个值x i (i=1,2,…,n)的概率P(X=x i )=_______,以表格的形式如下,此表称为离散型随机变量X 的概率分布列,P(X=x i )=_______,(i=1,2,…,n)表⽰X 的分布列.或者⽤图象直观表⽰.横坐标是___________,纵坐标为________.2.表⽰:离散型随机变量分布列可以⽤________、________、________表⽰.3.性质:①p i _________,i=1,2,3,…,n; ②∑=ni i p 1=_________.思考探究:1.如何求离散型随机变量在某⼀范围内的概率?2.离散型随机变量的各个可能取值表⽰的事件是什么关系?两点分布与超⼏何分布1.两点分布:若随机变量X 的分布列具有的形式,则称这样的分布列为两点分布列.如果随机变量X 的分布列为两点分布列,就称X 服从两点分布,⽽称p=__________为成功概率.2.超⼏何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X=k}发⽣的概率为P(X=k )=________________________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}且n ≤N, M ≤N,n,M,N ∈N称分布列则称随机变量X 服从超⼏何分布.思考探究：1分布列是两点分布列吗?⼆、典例剖析:例1.⼀袋中装有6个同样⼤⼩的⿊球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X 表⽰取出球的最⼤号码,求X 的分布列. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.设随机变量ξ的分布列P(ξ=5k)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a 的值; (2)求P(ξ≥53)的值;(3)求P(101＜ξ＜107)的值.⾃主解答:⽅法技巧:例3.从某医院的3名医⽣,2名护⼠中随机选派2⼈参加抗震救灾,设其中医⽣的⼈数为X,写出随机变量X 的分布列.⾃主解答:⽅法技巧: 三、⽜⼑⼩试1.⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊,绿⾊,黄⾊三种⼩球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的⼀半,现从该盒中随机取出⼀个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中随机取出⼀球所得分数ξ的分布列.2.设b 和c 分别是先后抛掷⼀枚骰⼦得到的点数,⽤随机变量ξ表⽰⽅程x 2+bx+c=0实根的个数(重根按⼀个计算),求ξ的分布列.3.设X 是⼀个随机变量,其概率分布列是，则q 的值是__________.4.设随机变量ξ的分布是P(ξ=k)=),4,3,2,1()1(=+k k k c其中c 为常数,求P（21＜ξ＜25）的值.5.若离散型随机变量的分布列为试求出常数n,并写出X 的分布列.6.从⼀副不含⼤⼩王的52张扑克牌中任意抽取3张,求⾄少有2张A 的概率(⽤组合数表⽰).７.某项试验的成功率是失败率的2倍,⽤随机变量ξ描述1次试验的成功次数, 则Ｐ(ξ＝１)等于 ( ) Ａ.０Ｂ.21 Ｃ．31 Ｄ．32８.已知离散型随机变量的分布列为则k 的值为＿＿＿＿＿＿．９.某产品４０件,其中有次品３件,现从其中任取３件,求取出的３件产品的次品数X 的分布列．四、学后反思:2.2⼆项分布及其应⽤2.2.1 条件概率学案编制张永国⽬标定位：1.理解条件概率的定义（难点）2.掌握条件概率的两种计算⽅法3.利⽤条件概率公式解决⼀些简单的实际问题条件概率1.定义:⼀般地，设A,B 为两个事件,且P(A)>0,称P(B │A)=_______为在事件A 发⽣的条件下,事件B 发⽣的条件概率;其中P(B │A)读作“A 发⽣的条件下B 发⽣的概率”.2.性质:(1) 0≤P(B │A)≤1;(2)如果B 和C 是两个互斥事件,则P(B ∪C │A)=________+__________. 思考探究:1.P(A │B) =P(B │A)吗?为什么?2 .已知P(B │A)=21, P(AB) =103,则P(A)=________.3. 试探究P(B │A) 与P(A B)的联系.⼆、典例剖析:例1.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第⼀次闭合后出现红灯闪烁的概率是21,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为61,求出第⼀次闭合后出现红灯闪烁的条件下第⼆次闭合后出现红灯闪烁的概率. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.已知⼀个盒⼦中有6只节能灯,其中4只是不合格产品,任取两次,每次取⼀只,每⼀次取后不放回,若已知第⼀次取到的节能灯是合格品,求第⼆次取到的也是合格品的概率. ⾃主解答:⽅法技巧:例3.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考⽣⾄少能答对其中4道题即可通过;若⾄少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考⽣能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. ⾃主解答:⽅法技巧: 四、⽜⼑⼩试:1.抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦所出现的点数的所有可能结果为 ={1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A │B)= ( ) A.21 B.51 C.52 D.53 2.根据历年的⽓象资料统计,某地4⽉份刮东风的概率是31,既刮东风⼜下⾬的概率是154,则在4⽉份刮东风的条件下,该地下⾬概率是________.3.⼀个盒⼦内装有4个产品,其中3个⼀等品,1个⼆等品,从中取出两次,每次任取⼀个且不放回,设事件A 为“第⼀次取到的是⼀等品”,事件B 为“第⼆次取到的是⼀等品”,试求条件概率P(B │A).4.若B 与C 是互斥事件且P(B │A)=31, P(C │A)= 21,则P(B ∪C │A)=_________. 5.某种元件⽤满6000⼩时未坏的概率是43,⽤满10000⼩时未坏的概率是21,现有⼀个此种元件,已经⽤过6000⼩时未坏,则它能⽤到10000⼩时的概率为__________.6.下列关系式中,正确的是 ( )A. P(A │B)= P(B │A).B. 0＜P(B │A)＜1.C. P(AB)= P(A)· P(B │A).D. P(A ∩B │A)= P(B).7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学⽆放回地抽取,若已知第⼀名同学没有抽到中奖奖劵,则最后⼀名同学抽到中奖奖劵的概率是 ( ) A.41 B. 31 C. 21D.1 8.市场上供应的灯泡中,甲⼚产品占70%,⼄⼚产品占30%,甲⼚产品的合格率是95%,⼄⼚的产品合格率是80%,则从市场上买到⼀个是甲⼚⽣产的合格灯泡的概率是 ( ) A.0.665 B.0.56 C. 0.24 D.0.285 9.已知P(A │B)=73,P(AB)= 31则P(B)=________. 10.⼀个家庭中有两个⼩孩,求:(1)该家庭中有⼀个是⼥孩的概率; (2)两个都是⼥孩的概率;(3)已知其中⼀个是⼥孩,另⼀个也是⼥孩的概率.11.某⽣在⼀次⼝试中,共10题供选择,已知该⽣会回答其中的6题,随机从中抽取5题供考⽣回答,答对3题及格,求该考⽣在第⼀题不会答的情况下及格的概率.五、学后总结反思。

第二章随机变量及其分布本章概览课标要求1．离散型随机变量及其分布列(1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．2．二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．3．离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．4．正态分布通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．内容概述教学建议1．在教学过程中要交代引入随机变量的原因(章引言中)；2．通过与函数的比较加深对随机变量的理解；3．在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在于概念的理解及应用，不宜引入过于复杂的计算，以免喧宾夺主；4．注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及两个事件间独立性的概念．超几何分布：从a个红球和b个黑球中，不放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”不相互独立(i≠j)；二项分布：从a个红球和b个黑球中，有放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”相互独立(i≠j)．5．注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值(方差)是随机变量，具有随机性，而随机变量的均值(方差)是实数，没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差)．6．在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”的含义为：随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越接近于钟形曲线的离散化．课时安排全章共安排了4个小节，教学约需9课时，具体内容和课时分配如下(仅供参考)：2．1离散型随机变量及其分布列约2课时2．2二项分布及其应用约3课时2．3离散型随机变量的均值与方差约2课时2．4正态分布约1课时习题课约1课时2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量整体设计教材分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和分布列的一些知识．学习这些知识后，学生将能解决类似引言中的一些实际问题．随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上(一种对应关系)是一致的．随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(即先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量)，并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用．课时分配1课时教学目标知识与技能1．理解随机变量的意义；2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子；3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学过程引入新课统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？为了解决类似问题，从今天开始学习本章内容——随机变量及其分布列．设计意图：设置悬念，营造一种神秘气氛，容易吸引学生注意力，调动学生学习兴趣，揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性，点出了本章内容．活动设计：复习回顾概率有关知识．概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量．随机试验是指满足下列三个条件的试验：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．(本部分可由教师提示、学生完成)提出问题：同学们能举出一些随机试验的例子吗？并说明该随机试验的所有可能结果．学情预测：学生容易举出抛硬币、掷骰子等试验，然后教师可根据例子实施引导、启发．活动结果：(以下为可能出现的例子)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示；某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0,1，…，10这11个数表示；从装有4个黑球，3个红球的篮子中任意拿出2个球，可能出现哪些情况？提出问题：这些随机试验，有哪些共同点？活动结果：随机试验中可能出现的每种结果都可以用一个数来表示．(由学生完成)探究新知提出问题：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？学情预测：此时有的学生会产生疑虑，不敢作答，教师根据学情引导．活动结果：抛一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．(也可用另外两个数如1、2分别表示正面向上和反面向上，通过准确、恰当的抽象，可使问题简单化，这正是数学的魅力所在)教师指出：在前面掷骰子和抛硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．(给出定义)定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不可能确定取何值．提出问题：随机变量和高一学习的什么概念有类似的地方吗？(函数或映射)活动结果：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．(学生为主，教师完善)教师：例如，从含有4个黑球3个红球的篮子中，任意抽取两个球，可能含有的红球数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其取值范围是{0,1,2}．提出问题：利用随机变量可以表达一些事件．例如{X＝0}表示“抽出两个黑球”，{X＝2}表示“抽出2个红球”等．你能说出{X<1}在这里表示什么事件吗？“抽出1个以上黑球”又如何用X表示呢？(学生基本能顺利完成)教师指出：红球数X是一个随机变量，其取值是0、1、2，可以一一列举(给出定义)．定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．提出问题：离散型随机变量的例子很多．例如某人一分钟内眨眼次数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2…；同学们还能举出哪些例子？学情分析：有的学生在举例时会错举出一个连续型随机变量来，借机发问，例如：提出问题：灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？活动结果：灯泡的使用寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．定义3：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．提出问题：同学们还能举出哪些例子？活动结果：如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值(或者其他)．教师指出：在研究随机现象时，有时可根据需要恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1 000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命<1 000小时；1，寿命≥1 000小时. 与电灯泡的寿命X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．提出问题：同学们还能举出哪些离散型或连续型随机变量的例子？你能否总结出二者的区别与联系？活动结果：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出(由学生完成)．理解新知教师进一步指出：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ＝0，表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．(2)若ξ是随机变量，η＝aξ＋b ，a ，b 是常数，则η也是随机变量．(可通过拓展练习来说明)运用新知例1一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．解：(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或3,4,5.例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？解：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．【变练演编】写出某用户的电话在单位时间内收到的呼叫次数η的可能值．解：η可取0,1，…，n ，….η＝i ，表示被呼叫i 次，其中i ＝0,1,2，….变式：一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X ，写出随机变量X 的可能值．解：X 可取1,2,3， (24)【达标检测】1．有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ξ；②某地半年内下雨的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④某人一生中的身高为ξ；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示运动员在射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③⑤B ．①②④C ．①D ．①②⑤2．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P(ξ<4)＝0.3，则( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定3．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为( )A.1112B.3136C.536D.112答案：1.D 2.C 3.B课堂小结1．离散型随机变量、连续型随机变量的概念；2．随机变量ξ是关于试验结果的映射，即每一个试验结果对应着一个实数；3．随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b(其中a 、b 是常数)也是随机变量．补充练习【基础练习】1．写出下列各随机变量可能的取值：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X.解：X ＝1,2,3， (10)(2)某一自动装置无故障运转的时间ξ.解：ξ取(0，＋∞)内的一切值．【拓展练习】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．设计说明本节主要采用教师提出问题引导，学生思考归纳的形式，让学生经历概念的形成过程，避免了以往由老师叙述概念条文，然后讲解例题的教学模式，以实际问题为向导，引导学生分析问题、归纳问题的共性，提炼出随机变量的概念．备课资料备选例题：1．把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值．解：2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；解：ξ可取1,2， (10)(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；解：X可取0,1,2,3,4.(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.解：X可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.Y可取2,4,6,8,10,12.(设计者：王宏东李王梅)。

2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念； （2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布． 教学过程 一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？ 二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=2．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥； （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=． 四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解 由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。

§2.1.1§2.1.2离散型随机变量及其分布列学习目标：1．理解随机变量的定义；2．掌握离散型随机变量的定义；3．理解离散型随机变量的分布列的定义．学习重点：随机变量、离散型随机变量的意义；理解离散型随机变量的分布列。

学习难点：对随机变量意义的理解与应用学习方法：尝试、变式、互动 一、新知探究新知1：随机变量的定义：随着试验结果变化而变化的变量称为 ,常用字母 、 、 、 …表示．新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 ．新知3：所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量．新知4：离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ,,,,,21 ，X 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率i i．则①分布列表示：②等式表示：新知5：离散型随机变量的分布列具有的性质：（1） ；（2）新知6：两点分布列：称X 服从 ；二、例题配置例1 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个 ，其值域是 ．随机变量0X =表示 ；4X =表示 ；3X <表示 ；“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．例2①电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？例3编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.求随机变量X 的概率分布列；。

人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计1. 课程简介本章主要讲解随机变量的概念及其分布，包括离散型和连续型随机变量，常见的分布如二项分布、正态分布等。

该课程适用于高中选修2-3课程学习，需要学生掌握基本的概率统计方法和数学知识。

2. 教学目标本章课程教学目标如下：•理解随机变量的概念及其特点；•掌握离散型随机变量及其分布，例如二项分布、泊松分布等；•掌握连续型随机变量及其分布，例如正态分布、指数分布等；•学会应用概率统计方法进行问题求解。

3. 教学重点和难点本章课程教学重点和难点如下：•随机变量的概念和特点；•离散型和连续型随机变量的概念和特点；•常见的离散型和连续型随机变量的分布特征和应用。

4. 教学内容及时间安排本章课程教学内容及时间安排如下：教学内容时间安排随机变量的概念和特点 1 课时离散型随机变量及其分布 2 课时连续型随机变量及其分布 2 课时常见随机变量的分布及应用 1 课时5. 教学方法本章课程教学采用以下方法：•讲授：通过讲解理论和解题方法，让学生掌握基本知识和应用能力；•课堂练习：通过课堂练习，帮助学生巩固知识和提高解题能力；•课前预习：督促学生在课前预习，提前掌握相关知识，利于课堂提问和交流。

6. 学生评价方式本章课程学生评价方式包括以下几个方面：•课堂表现：包括听课态度、课堂提问和参与度等；•课后作业：针对每一节课的作业，包括单项选择题、计算题和应用题等；•期中考试：对本章节进行考核，包括知识点的理解和应用能力的检验；•期末考试：对本章节进行复习和总结，综合考核学生的能力。

7. 教学资源本章课程教学资源包括以下几个方面：•人教版高中数学选修2-3教材及相关资料；•草稿纸、笔、计算器等学习工具；•电脑投影仪及相关软件等教学设备。

8. 总结通过本章课程的学习，学生可以理解和掌握随机变量的概念及其分布特征，掌握基本的概率统计方法，并能够应用概率统计方法进行问题求解。

第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③ ２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3Pξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量2． 1．2离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

2.1.2离散型随机变量的分布列教学内容分析：教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率，那么如何通过随机变量来刻画这些规律？教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法，并从中概括出离散型随机变量分布列的概念。

学情分析：学生已学习随机变量，具有一定的知识基础 教学目标 ：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布； 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性； 情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要 教学重点与难点重点：离散型随机变量的分布列的概念； 难点：求简单的离散型随机变量的分布列； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学方法： 分析法，讨论法，归纳法 教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

2.1 随机变量及概率分布1．随机变量一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值．预习交流1随机变量与函数有哪些区别和联系？提示：随机变量和函数都是一种映射，而随机变量是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果和实数之间的一个对应关系，即随机变量把随机试验的结果映射为实数．函数是把实数映射为实数，它们的本质是相同的，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数值域．2．概率分布一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n 且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，①，称①为随机变量X 的概率分布列．简称为X 的分布列，也可以将①用表的形式来表示.我们将表称为随机变量的概率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．显然这里的p i (i ＝1,2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.预习交流2 盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ的可能取值是多少？当ξ＝2时表示怎样的试验结果．此时P (ξ＝2)是多少？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．P (ξ＝2)＝C 26·C 18C 314＝3091. 3．两点分布随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布．此处“～”表示“服从”．预习交流3试验结果有两种情况的是不是两点分布？提示：不一定．因为两点分布要求试验结果只有两种，且随机变量必须只能为0和1.一、随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：判断一个变量是否为随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定，结果不能确定的是随机变量．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．(3)掷一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．从4张已编号(1～4号)的卡片中任取2张，被取出的卡片号之和为X，写出X可能取的值，并说明随机变量所取值表示的随机试验的结果．解：X可取3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．①随机试验的结果可用变量ξ来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③试验前不能确定取何值．这是随机变量的特征，随机变量的取值一般源于实际问题，且有特定的含义，写随机变量时，一般将值按从小到大排列，做到不重不漏．二、随机变量的概率分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X的分布列．思路分析：要求赢得的钱数X的概率分布列，需先写出X的可能取值，然后求出X中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2，此时P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522； 当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量X ＝－1，此时P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211； 当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量X ＝1，此时P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411； 当取到2黄时，结果无输赢，随机变量X ＝0，此时P (X ＝0)＝C 22C 212＝166； 当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量X ＝2，此时P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433； 当取到2黑时，结果赢4元，随机变量X ＝4，此时P (X ＝4)＝C 24C 212＝111；设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35的值． 解：由题意得X(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝1215＝45. 解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，则“X ＞4”表示的试验结果为__________．答案：第一枚骰子掷出的为6点，第二枚掷出的是1点解析：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一．由已知得－5≤X ≤5，也就是说“X ＞4”就是“X ＝5”．所以，“X ＞4”表示第一枚掷出的为6点，第二枚掷出的是1点．2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的可能值有__________个．答案：9解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，射击次数为ξ.则前4次均未击中目标用“ξ＝k”表示，则k＝__________.答案：5解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次．4．篮球运动员在比赛中，每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.8，求他罚球一次的得分X的分布列，此分布列是两点分布列吗？解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，根据题意，X可能取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.2，0.8.5．某车间三天内每天生产101件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若工厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品，ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品，ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。

2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。

说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。

②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。

说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。

例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。

剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。

三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。

四、作业布置：教材P193页闯关训练。

第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③ ２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3Pξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1； C.ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量2． 1．2离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

本次教学重点：离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布 本次教学难点： 随机变量的分布函数 本次教学内容：第二章 随机变量及其分布函数 第一节 随机变量的直观意义与定义 一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.如在“n 重贝努里试验中，事件A 出现k 次”这一事件的概率，若记ξ=n 重贝努里试验中A 出现的次数，则上述“n 重贝努里试验中，事件A 出现k 次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有P(ξ=k)=kn k k n qp C q =1-p并且ξ的所有可能取值就是事件A 可能出现的次数0，1，2，……n2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之. 例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定 若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）； 若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。

为了计算n 次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。

一般地，若A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。

从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。

在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系二、随机变量的定义定义 设()P F ,,Ω是一概率空间，对于)(,ωξωΩ∈是一个取实值得函数；若对于任一实数{}x x <)(:,ωξω是一随机事件，亦即{}F x ∈<)(:ωξω，则称)(ωξ为随机变量. 为书写方便，)(ωξ简写为ξ，事件{}x <)(:ωξω记为}{x <ξ 通常用希腊字母ζηξ,,或大写字母X,Y,Z 等表示随机变量随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f (x )的自变量x 为实数，而随机变量的概念中，随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，所以ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。

高中数学教案选修全套人教版选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理小结第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN+=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理 （1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． （2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 nm N ⨯= 种不同的方法. （3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720 种不同的选法．一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A 、B 、C 、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。

§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。

2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。

3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。

所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。

2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。

互斥事件的概率加法公式。

3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。

6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。

三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。

常用表示。

2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。

四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。

（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。

（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。

（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。

（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。

变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。

例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。

五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。

本章整合知识网络专题探究专题一 典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征的基础，对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度，求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：(1)确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律；(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【例1】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽3次，每次取1球． 求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列． 思路点拨：(1)为二项分布；(2)为超几何分布．解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. 因此，X 的分布列为(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0,1,2，且有P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715；P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此，Y 的分布列为专题二 独立事件与二项分布是高考的一个重点，独立事件是相互之间无影响的事件，P (AB )＝P (A )P (B )是事件A ，B 独立的充要条件．二项分布实质是独立事件的一类具体情况．n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1，2，…，n . 【例2】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率．思路点拨：本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．解：(1)如果三个题目均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 如果三个题目均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 如果三个题目一对两错，包括两种情况：①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)． 如果三个题目两对一错，也包括两种情形；①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192； P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以，ξ的分布列为ξ的期望为E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负数的概率为 P (ξ≥0)＝1－P (ξ＜0)＝1－0.016＝0.984. 专题三 离散型随机变量的期望与方差期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X 的期望与方差的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能的全部取值； (2)求X 取每个值的概率或求出函数P (X ＝k )； (3)写出X 的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E (X )；(5)由方差的定义，求D (X )，若X ～B (n ，p )，则可直接利用公式求，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例3】某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．思路点拨：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，分别求出P (A )，P (B )，P (C )，则代表队答对此题即只要有一个答对即可，可借助其对立事件来解．根据题意问题，(2)符合二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，直接利用二项分布均值公式求均值． 解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23，又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196. (2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (ξ)＝10×9196＝45548.而η＝20ξ－10×(10－ξ)＝30ξ－100， ∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184.专题四 正态分布的实际应用对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．【例4】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的同学有17人．试计算该班同学中成绩在90分以上的同学有多少人？思路点拨：依题意，由80～85分同学的人数和所占百分比求出该班同学总数，再求90分以上同学的人数．解：∵成绩服从正态分布N (80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x名同学，则x×34.13%＝17.解得x＝50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．。