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课时分层作业十九导数的几何意义（40分钟80分）一、选择题(每小题5分,共40分)1.（2019·长沙高二检测）曲线f（x）=x3+2x+1在点（0,f(0）)处的切线的方程为（）A。
y=x—1 B。
y=x+1C.y=2x-1 D。
y=2x+1【解析】选D。
因为f′(0)===（(Δx）2+2）=2，所以曲线f (x)=x3+2x+1在点（0,f（0))处的切线的斜率为2,所以切线方程为y-1=2（x-0），即y=2x+1。
2.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ）A.（0，0）B.（2,4)C。
D。
【解析】选D.因为y=x2,所以k=y′===(2x+Δx)=2x,所以2x=tan=1，所以x=，则y=。
【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135°D。
60°【解析】选B。
Δy=(-1+Δx)3-×(—1)3=Δx-Δx2+（Δx）3,=1—Δx+（Δx)2，==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.3。
已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为( ）A.—2 B。
—1 C。
1 D。
2【解析】选D.Δy=f（x+Δx）—f(x）=（x+Δx）2+2（x+Δx)-x2—2x=x·Δx+（Δx)2+2Δx，所以=x+Δx+2,所以f ′（x)==x+2.设切点坐标为（x0,y0）,则f ′（x0)=x0+2。
由已知x0+2=4,所以x0=2.4。
已知曲线y=x4+ax2+1在点（—1，f(—1））处切线的斜率为8,则f（-1)= ( )A.7 B。
-4 C.—7 D。
4【解析】选B。
因为曲线y=x4+ax2+1在点（-1,f（-1))处切线的斜率为8，所以f′(-1）=8.又因为f′(—1）===[(-2+Δx)（（—1+Δx)2+1+a）]=—2(a+2),所以-2（a+2）=8,解得a=-6,所以f（-1）=1—6+1=-4.5.（2019·广州高二检测）已知函数f(x）满足f=x3-3x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B。
3.1.3导数的几何意义【知识点总结】1.由前两节的学习可以知道，函数=()y f x 在00[,]x x x +∆上的平均变化率为00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆（其几何意义为：连接两点的线段所在直线的斜率）， 当 0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（其几何意义为：函数=()y f x 在0=x x 处的切线的斜率（导数））。
注意：（1）强调：0()f x '表示函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率；0()f x '也表示函数()y f x =在点0=x x 的导数； 0()f x '也表示函数()y f x =在点0=x x 的切线的斜率；（2）求函数()y f x =在点0=x x 的切线的斜率，即求函数()y f x =在点0=x x 的导数. (3）由课本例题2可知，函数的单调性与函数图象上各点切线的斜率正负有关。
2.复习利用定义，求函数()y f x =在0=x x 处的导数，即求函数=()y f x 在00[,]x x x +∆上的瞬时变化率的步骤：第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）：00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：确定导数：00000()()()=lim =lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆. 新知利用定义，求函数()y f x =的导函数的一般步骤：第一步：计算函数的增量：=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）：()()=y f x x f x x x∆+∆-∆∆； 第三步：确定导函数：00)()()=lim =lim x x y fx x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'∆∆. 注意：（1）由上面的对比知道，把“求函数()y f x =在0=x x 处的导数”中的0x 换成x 后，就是“求函数()y f x =的导函数”的步骤了；（2）区别()f x '与0()f x '：首先，()f x '仍是关于x 的函数，而0()f x '是一个函数值，是常数；其次，如果我们要求0()f x '的话，通常先求()f x '，再把x 换成0x ，这种方法在后面学习了求导公式之后才能显出其优势。
§3.1.3 导数的几何意义
【使用课时】：1课时
【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数. 【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备
（预习教材P 76~ P 79，找出疑惑之处） 1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图 3.1-2,当(,())(1
,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称
为 . （2）割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点
P 时, n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =
2.导数的几何意义
函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= . 二、新课导学 学习探究
探究任务：导数的几何意义 1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？
（2）如何定义曲线在点P 处的切线？
(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？
(4)切线PT 的斜率k 为多少？
说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义
（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？
（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？
图3.1-2
3.导函数
（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别：
联系： 典型例题
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
当堂检测 1. 求双曲线1y x =
在点1
(,2)2
处的切线的斜率,并写出切线方程.
2. 求2y x =在点1x =处的导数.
※ 知识拓展
导数的物理意义：
如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()
f x '
表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t y v f x x
∆→∆'==∆
而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim
t v
v t t
∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度. 学习小结
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆，其切线方程为
三、课后练习与提高
1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+
3. ()f x 在0x x =可导，则000()()
lim h f x h f x h
→+-（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关而与h 无关
C ．仅与h 有关而与0x 无关
D ．与0x 、h 都无关
4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为
5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则
000()()
lim
x f x x f x x ∆→-∆-∆=。
