高中数学_3.1.3 导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

3.1.3 导数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．2．过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．3．情感、态度与价值观经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．●重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．(教师用书独具)●教学建议为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．●教学流程创设问题情境，引出问题：导数是否有一定的几何意义呢？⇒引导学生结合切、割线知识，用“逼近”思想探究出导数的几何意义.⇒通过引导学生回答所提问题进一步理解导数的几何意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生对导数的几何意义加深理解，为应用埋下伏笔.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求曲线的切线方程的方法.⇒在深入理解导数几何意义的基础上完成例3及其变式训练，学会其几何意义的综合应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第49页)1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x ＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？【提示】f′(x0)有几何意义．2．如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？【提示】 点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？【提示】 k n 无限趋近于切线PT 的斜率．1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过点P 的切线，且PT 的斜率k ＝li m x n →x 0f x n －f x 0x n －x 0＝f ′(x 0)．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．导函数的概念000是一个确定的数；当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称为f (x )的导函数，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx.【问题导思】导函数f (x )与函数在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)相同吗？它们有什么区别与联系？ 【提示】 不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f ′(x 0)是一个具体的值，f ′(x )是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.(对应学生用书第49页)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )【思路探究】(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？【自主解答】因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．【答案】 A1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．已知y＝f(x)的图象如图3－1－1所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )图3－1－1A．f′(x A)＞f′(x B)B．f′(x A)＝f′(x B)C．f′(x A)＜f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】由y＝f(x)的图象可知，k A＞k B，根据导数的几何意义有：f′(x A)＞f′(x B)．【答案】 A(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程．(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？【自主解答】(1)y′＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx＋1－x2＋x＋1Δx＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上，∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3.∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率为k＝2x0＋1＝y0x0＋1.∵y0＝x20＋x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y ＋3＝0，故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.1．如果所给点P (x 0，y 0)就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，即得切线的斜率k ＝f ′(x 0)，再根据点斜式得出切线方程．2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点M (x 0，y 0)，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．求曲线y ＝1x 在点A (12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．【解】 ∵Δy ＝f (12＋Δx )－f (12)＝21＋2Δx －2＝－4Δx1＋2Δx ，∴Δy Δx ＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝12＝lim Δx →0 －41＋2Δx ＝－4.∴切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.导数几何意义的综合应用抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．【思路探究】 设切点Px 0，y 0→求导数y ′＝f ′x →由k ＝4，求x 0→确定切点P x 0，y 0→求切线方程【自主解答】 设P 点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0，又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2，∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4， ∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．已知曲线C：y＝x3.求：(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【解】(1)将x＝1代入曲线C的方程，得y＝1，∴切点为P(1,1)．∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．(对应学生用书第51页)错把所给点当作切点致误已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．【错解】f′(3)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[23＋Δx2－7]－2×32－7Δx＝limΔx→0(12＋2Δx)＝12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y－9＝12(x－3)，即12x－y－27＝0.【错因分析】点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．【防范措施】求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错．【正解】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2x0＋Δx2－7]－2×x20－7Δx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2，或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0，或16x－y－39＝0.1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(对应学生用书第51页)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交【答案】 B2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在【解析】 由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B3．抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的斜率为____． 【解析】 k ＝f ′(1)＝4 【答案】 44．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2.求f (1)与f ′(1)的值．【解】 由题意f (1)＝12×1＋2＝52.由导数的几何意义得f ′(1)＝k ＝12.(对应学生用书第105页)一、选择题1．(2013·临沂高二检测)设函数f (x )满足lim Δx →0f 1－f 1－ΔxΔx＝－1，则曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12 D ．－2【解析】 ∵lim Δx →0f 1－f 1－ΔxΔx＝f ′(1)＝k ＝－1，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是－1. 【答案】 B2．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 ∵点(－1,0)不在抛物线y ＝x 2＋x ＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D 符合．【答案】 D3．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图3－1－2所示，则在y＝f(x)的图象上A，B的对应点附近，有( )图3－1－2A．A处下降，B处上升B．A处上升，B处下降C．A处下降，B处下降D．A处上升，B处上升【解析】∵所给图象的导函数的图象，且A点处y＜0，B点处y＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升．【答案】 A4．(2013·鹤壁高二检测)如图3－1－3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )图3－1－3A.12B ．1C ．2【解析】 由图象知f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 C5．(2013·黄冈高二检测)已知曲线y ＝4x在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为( ) A ．4x －y ＋9＝0B ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上均不对【解析】 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝－4，∴k ＝－4，∴切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，由题意17＝|c ＋8|42＋12，∴c ＝9或－25，应选C.【答案】 C 二、填空题6．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【解析】 由题意lim Δx →0a 1＋Δx2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴b a＝2.【答案】 27．(2013·杭州高二检测)曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为__________． 【解析】 k ＝lim Δx →0 31＋Δx ＋1＋Δx2－3－12Δx＝5.∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)，即y ＝5x －1. 【答案】 y ＝5x －18．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图3－1－4所示：图3－1－4而下图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．【解析】由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B.y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C.y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A.【答案】 B C A三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋2.(1)求f′(x)；(2)求f(x)在x＝2处的导数．【解】(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x ＋Δx )2＋2－(x 2＋2)＝(Δx )2＋2x ·Δx ， ∴Δy Δx ＝2x ＋Δx . ∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝2x .(2)f ′(2)＝f ′(x )|x ＝2＝2×2＝4.10．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．【解】 (1)由y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13x ＋Δx 3－13x 3Δx＝13lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx 3Δx＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4.所以点p 处的切线的斜率等于4.(2)在点p 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.11．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3.(1)求f ′(x )，g ′(x )，并判断f ′(x )和g ′(x )的奇偶性；(2)若对于所有的实数x ，f ′(x )－2＜ag ′(x )恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】 (1)由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ；g ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.f ′(x )和g ′(x )的定义域为R ，故定义域关于原点对称，∵f ′(－x )＝－2x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数．∵g ′(－x )＝3(－x )2＝3x 2＝g ′(x )，∴g ′(x )为偶函数． (2)由f ′(x )－2＜ag ′(x )，得3ax 2－2x ＋2＞0对任意实数x 恒成立， ①当a ＝0时，转化为－2x ＋2＞0恒成立，即x ＜1，不合题意； ②当a ≠0时，由3ax 2－2x ＋2＞0对所有实数x 都成立得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝－22－4×2×3a ＜0，解得a ＞16.综上，a 的取值范围是(16，＋∞).(教师用书独具)在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．【解】 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P (－32，94)． (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P (－12，14)．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．【解】 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x ＋Δx 2＋1－x 3－x 2＋1Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为(－13，2327)或(1,1)． 当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，a ＝3227.当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． 所以a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．。

“导数的几何意义”教学实录、反思与点评1教学预设11教学标准(1)通过《几何画板》动态演示割线“逼近”切线的过程，让学生认识平均变化率与割线斜率之间的关系,知道其关系就是指平均变化率的儿何意义；(2)通过实验探究，帮助学生归纳出导数的几何意义，知道函数处的导数的几何意义就是函数f (x)的图象在处的切线的斜率，体会“数形结合，以直代曲”的思想方法；(3)通过函数的图象直观地感知导数的几何意义，学生会利用导数的儿何意义解释实际生活问题，体会导数在刻画函数性质中的作用.12标准解析(1)内容解析：本节课要学的内容导数的几何意义，指的是平均变化率与割线斜率之间的关系、曲线的切线的概念、导数的几何意义，其核心是导数的几何意义,理解它关键就是要在平均变化率的几何意义的均础上通过逼近的思想来理解学生已经学过平均变化率的儿何意义、导数的概念，本节课的内容导数的几何意义就是在此基础上的发展由于它是从形上理解导数的概念，所以在本学科有重要的地位，并有代数与几何沟通的作用，是本学科导数部分的核心内容教学的重点是导数的几何意义，解决重点的关键是从割线出发，理解切线定义，从而获得导数的几何意义.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：体会并概括导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.（2）学情诊断：在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是导数的几何意义，产生这一问题的原因是其中“以直代曲”思想的理解要解决这一问题，就要通过对曲线的直观观察来体会，其中关键是利用信息技术动态演示.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：发现、感知、概括导数的儿何意义并应用导数的儿何意义.（3）教学对策：本节课是导数的几何意义的探究课第一，注重探究活动的流程设置自然本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开首先，教师从复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的儿何意义；然后，类比“平均变化率一一瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考,获得导数的几何意义一一“导数是曲线上某点处切线的斜率” 第二，注意引导学生进行探究活动实施环节的设置设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）一一寻求想法一一实施想法一一发现规律一一给出定义一一应用定义解释现象（如何估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的第三，充分利用《儿何画板》辅助探究教师恰当地应用《儿何画板》进行动画演示，让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，再从理性的角度思考“切线产生”的深层原因，较好地培养了学生的观察能力和分析能力.（4）教学流程：设置情境一探究问题一例题剖析一概括小结一课后延伸2教学简录21创设情境，引发探究让学生回忆导数的概念及其本质（承上启下，自然过渡）师：导数的本质是什么？写出它的表达式.生：导数f' （xO）的本质是函数f （x）在x=xO处的瞬时变化率，即：评析教师不能替代学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”，感知导数的儿何意义奠定基础.评析教师引导学生：数形结合是重要的思想方法要研究“形。

3.1.3导数的几何意义教学三维目标：1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学方法：讨论法教学工具：多媒体教学课时：1课时教学过程：创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？图3.1-2容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.典例分析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢． 课堂练习：1．求曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y x =在点(4,2)处的切线．回顾总结：1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义布置作业：课本P79 A 组2、3板书设计：主板 副板1、曲线的切线 2、切线的斜率 举例 3、导数的几何意义学情分析从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是导数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解与认识，也在思考导数的另外一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识。

3.1.3导数的几何意义高二数学人教B版教材（选修1-1）一、教材分析本节课选自人教B版选修1-1第三章3.1.3导数的几何意义。

教材通过数形结合的方法，演示了割线斜率到切线斜率的变化过程，用形象直观的逼近方法定义了切线，引出了导数的几何意义，适合学生的认知规律，在学生学习中有着明确的学习方法指引，通过本节课的学习，学生们进一步认识了“逼近思想”在数学中的应用。

例题设计难度适中，既有简单求解切线斜率、切点的题目，又有求切线方程题型。

例题设计了“在一点处”型和“过一点”型的切线方程，可以培养学生思维全面严谨、分类讨论的能力。

二、教学目标知识与技能：理解导数的几何意义、熟练掌握求切点及函数“在一点处”型、“过一点”型的切线斜率的求法。

过程与方法：让学生体会割线斜率到切线斜率的过程，熟练掌握数形结合、分类讨论等数学思想方法。

情感态度与价值观：能够从生活中抽象出数学问题，在学习中养成积极探究，合作分享的学习态度。

通过认真训练，达到举一反三、融会贯通的目的。

三、重点、难点导数几何意义的理解与应用，“过一点”型的切线斜率的求解过程。

突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：实例引入→抽象为数学问题→动态演示→形成概念；（二）过程与方法线:具体到抽象、数形结合、分类讨论的应用；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.教学难点：导数的几何意义，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。

从知识本身特点来看，导数的几何意义是在平均变化率、瞬时速度与导数的基础上结合切线斜率再生成的一个知识点。

特别是在求“在一点处”型、“过一点”型的切线斜率，这是学生的难点，刚开始接触，好多学生可能不理解。

突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。

《导数的几何意义》导学案教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义.教学过程：情景导入：如图，曲线C 是函数y =f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的任意一点，Q (x 0+Δx ，y 0+Δy )为P 邻近一点，PQ 为C 的割线，PM //x 轴，QM //y 轴，β为PQ 的倾斜角. .tan ,,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则合作探究：探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？y x∆∆请问：是割线PQ 的什么?新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =____________.当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 精讲精练：例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例2 如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的函数图象.根据图象，估计t =0.2，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).有效训练练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数.反思总结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆.。

《导数的几何意义》教学设计学情分析《导数的几何意义》是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2-2第一章第一节第三课时，学生学习了函数的平均变化率以及瞬时速度，对于本节课的理解作了铺垫！学生对于本节课的理解难点有两个：一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义，内容是直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线，叫做曲线的切线，学生对此知识点的理解存在难度；二是导数的几何意义的得来运用极限思想，学生对此完全陌生（以前并未接触过），接受起来存在难度。

本节课题型设置分为两类：“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法。

对于第二种类型题，部分学生存在理解偏差以及化简中的计算障碍！效果分析学生对于本节课的理解难点有两个：一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义，内容是直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线，叫做曲线的切线，学生对此知识点的理解存在难度；二是导数的几何意义的得来运用极限思想，学生对此完全陌生（以前并未接触过），接受起来存在难度。

本节课题型设置分为两类：“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法。

对于第二种类型题，部分学生存在理解偏差以及化简中的计算障碍！针对以上学生的学情分析，本节课设置中注重两个亮点：多媒体动态演示技术和学习合作小组自主探究学习，效果不错！在突破第一个难点---曲线的切线定义的认知冲突时，结合学生学过的圆锥曲线的知识-直线与双曲线以及抛物线有一个公共点时并一定是切线，利用多媒体动态演示，让学生直观感受曲线的切线的形成原理，并初步构建定义的认知，体会“逼近”思想，学生基本上能够接受并重新接纳曲线的切线的定义。

在解决“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法中我将例题2提供了三种解法，并设置问题串，让学生兵交兵，合作探究寻找错解的根源，进而总结归纳二者的解法区别，效果很不错！为了落实知识的掌握度，设置当堂落实，反馈达成度。

学情分析学生通过对导数试卷的讲评，对导数的概念及其几何意义后，知道利用导数研究函数性质的一般方法，但对于导数在研究函数性质的应用还不是很熟练，特别是对掌握含参数函数的单调性问题还有一定的难度。

所以，在学习典型例题前对前面的知识进行复习，有利于课堂知识的顺利过渡。

效果分析全班73个学生1.正确率95%，2.正确率92%学生掌握情况很好，达到了预期效果。

教材分析1.导数及其应用的地位、作用本章微积分的设计主线是：瞬时速度-变化率-导数-导数应用-定积分，虽然是选修内容，但对大部分高中生而言，它依然是必要的基础知识。

随着课程改革的不断深入，导数知识在高考中的考查要求也逐年加强，导数已经由高考中的辅助地位上升为分析和解决问题所必不可少的工具。

2. 知识结构本章教材第一节讲导数的概念。

它有着什么广泛的应用，是本章教材的一个重点。

教材从切线及其斜率出发引入导数概念，接着又阐明了导数的几何意义及其在求切线方程中的应用。

教师在教学过程中要充分利用材料帮助学生理解导数概念的实质，教学中不失时机地介绍其相关的物理意义，而不要停留在形式地记住定义。

本章教材第二节讲求导的方法。

当我们具体解答问题时，求导方法无疑是非常重要的。

本章介绍了基本初等函数的求导公式及三条运算法则，学生应准确又熟练地掌握。

本章教材第三节讲导数在研究函数方面的应用。

主要包括函数的单调性、极值、最值，这一部分非常重要，能解决导数的有关问题。

本章教材第四节讲定积分与微积分基本定理。

直观了解定积分的含义，深刻理解求曲边梯形面积的思想方法，初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法。

3.重点、难点教学重点：导数的运算及其几何意义，运用导数研究函数的单调性、极值和最值。

教学难点：运用导数探究含参数函数的性质，导数的综合运用。

教学设计一、知识回顾通过多媒体展示导数及其应用的知识点，复习本章的所学知识，让学生进一步巩固基础知识，同时为解决导数有关问题做准备。

3.1.3 导数的几何意义学习目标 1.理解导数的几何意义.（重点）2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.（重点）3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．（难点，易混点） [知识衔接]1.过点()00,y x 斜率为k 的直线的方程 ； 2.过点()()2211,,y x y x 和的直线的斜率 ； 3.求函数()x x x x f ∆+00到在的平均变化率：4.函数瞬时速度即导数的定义。

[预习新课]阅读课本83页，初步熟悉下列知识点： 1.函数的平均变化率的几何意义； 2.曲线在某点处的切线的定义； 3.导数的几何意义。

思考1 割线AB 的斜率AB K 是多少？ 答案 割线AB 的斜率为()()xx f x x f K AB ∆-∆+=00，从而得到平均变化率的几何意义.（动态演示：割线变切线的过程）思考2 当点B 无限趋近于点A 时，割线AB 的斜率AB K 与切线AD 的斜率k 有什么关系？ 答案 AB K 无限趋近于切线AD 的斜率k .思考3 比较函数的平均变化率与函数的瞬时变化率（导数）的关系？梳理 (1)切线的定义：当B 趋近于点A 时，割线AB 趋近于极限位置，这个极限位置的直线AD 称为曲线在点A 处的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ， 即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(1)过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线确仅有一条．( × ) (2)曲线在点P 处的切线和过点P 的切线意思相同．( × ) (3)这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．( √ )题型一 导数几何意义的应用例1 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2.反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．变式1 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )题型二 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例2 求抛物线()。

课题：导数的几何意义 教学设计一、教学目标1、知识与技能：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线 方程的方法。

2、过程与方法：通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、 比较和归纳的能力。

并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从 特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题 时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。

二、教学重点、难点教学重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。

教学难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解。

三、课时安排1课时四、教学流程1、复习回顾：（1）导数的概念（2）基本初等函数的导数及四则运算（采用提问,默写的形式)2、讲解新课：探究一 观察图象总结平均变化率xy ∆∆是割线PQ 的什么？ 斜率（得到割线的几何意义）探究二 一起观察割线无限靠近切线的动画过程 对比割线的几何意义，通过极限的思想总结切线的几何意义？)()()(lim lim 00000x f xx f x x f x y k x x PT '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ 总结：1.导数的几何意义)(x f 在0x x =处导数的几何意义：曲线)(x f 在点))(,00x f x P （处的切线的斜率。

即)(0x f k '=2.切线方程：))((000x x x f y y -'=-3、 例题讲解题型一 求切线方程例1.求曲线1x y 2+=在点P(1,2)处的切线方程.例2.）的切线方程。

，过点（求抛物线625 x y 2=通过，一起分析对比例1例2总结求切线方程的一般步骤1.求在曲线y=f(x)上某点处的切线方程的基本步骤:(1).定切点),00y x P （(2)求斜率)(0x f k '=(3)写出切线方程))((000x x x f y y -'=-2.求过曲线外一点),11y x P （的切线方程的一般步骤： 基本步骤： (1) 设切点),00y x Q （xy x f k ∆∆='=)(20）利用斜率相等列方程（ (3) 解方程求得0x ，然后求得斜率k(4)根据点斜式写出切线方程。

导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。

2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。

2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。

3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。

2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。

引导学生直观理解导数的几何意义。

4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。

5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。

3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。

4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。

5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

导数的几何意义教案(后附教学反思)教学目标：1. 理解导数的定义和几何意义；2. 学会计算常见函数的导数；3. 能够运用导数的几何意义解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和几何意义；2. 常见函数的导数。

教学难点：1. 导数的计算；2. 运用导数的几何意义解决实际问题。

教学准备：1. 教学PPT；2. 教案和教学反思。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的定义和几何意义；2. 引导学生回顾函数的极限概念。

二、导数的定义（10分钟）1. 讲解导数的定义；2. 通过示例演示导数的计算过程；3. 引导学生理解导数的几何意义。

三、常见函数的导数（10分钟）1. 讲解常见函数的导数；2. 通过示例演示常见函数导数的计算过程；3. 引导学生运用导数的几何意义解决问题。

四、运用导数的几何意义解决实际问题（10分钟）1. 提供实际问题案例；2. 引导学生运用导数的几何意义解决问题；3. 讨论并解释解题过程和结果。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容；2. 强调导数的几何意义及其应用。

教学反思：本节课通过讲解导数的定义和几何意义，以及常见函数的导数，使学生能够理解导数的概念并运用其解决实际问题。

在教学过程中，通过示例和实际问题案例，使学生更好地理解导数的几何意义，并能够运用其解决实际问题。

通过课堂讨论和解释解题过程，帮助学生巩固导数的计算和应用。

在教学过程中，发现部分学生对导数的计算和应用还存在一定的困难，在今后的教学中，需要更加关注这部分学生的学习情况，提供更多的辅导和练习机会，帮助他们克服困难，提高导数的计算和应用能力。

导数的几何意义教案(后附教学反思)教学目标：1. 理解导数的定义和几何意义；2. 学会计算常见函数的导数；3. 能够运用导数的几何意义解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和几何意义；2. 常见函数的导数。

教学难点：1. 导数的计算；2. 运用导数的几何意义解决实际问题。

《3.1.3导数的几何意义》导学案【教学目标】知识与技能目标：(1)使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率.(数形结合)，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法.过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的.【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】(一)作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，t 秒)(s 时运动员相对于水面的高度是105.69.4)(2++-=t t t h (单位：m )，求运动员在s t 1=时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在s t 5.0=时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释s t 1=，s t 5.0=时运动员的运动状态. (说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡) (二)课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质. 问(一)：导数的本质是什么？写出它的表达式. 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/(说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”，感知导数的几何意义奠定基础)问(二)：导数的本质仅是从代数(数)的角度来诠释导数，若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法.要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数)(0/x f 的步骤. 问(三)求导数)(0/x f 的步骤有哪几步？ 教师引导学生回答： 第一步：求平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00；第二步：当x ∆趋近于0时，平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00无限趋近于的常数就是)(0/x f .(回归本质，数形结合)教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：问(四)：第一步：平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动手活动：见“学生动手实践”. 由学生乙回答：平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是割线AB 的斜率.)),(,(00x f x A ))(,(00x x f x x B ∆+∆+.教师提醒学生A 、B 两点的坐标必须写清楚.问(五)：第二步：0→∆x 时，割线AB 有什么变化？请画出来. 学生动手活动：见“学生动手实践”.教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：0→∆x ，→∆+∆+))(,(00x x f x x B )),(,(00x f x A当0→∆x ，割线AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在0x x =处的切线，请把它画出来.学生动手活动：见“学生动手实践”. 教师展示学生作品， 引导学生发现，并说出： (形)0→∆x ，割线→AB 切线AD ， 则割线AB 的斜率→切线AD 的斜率 由数形结合，得 ()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线AD 的斜率所以，函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线AD 的斜率.(数形结合).(说明：动手实践，探索发现.使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法.) (三)训练巩固、加强理解：1．在函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像上，(1)用图形来体现导数3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义，并用数学语言表述出来.(2)请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增(减)以及增(减)快慢的情况.在43,t t 附近呢？()，体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.)2．如图表示人体血管中的药物浓度)(t f c =(单位：mL mg /)随时间t (单位：min )变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0=t (min )时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出.(精确到0.1)体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.)(四)抽象概括，归纳小结：1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数(简称导数)的概念： ()0/x f 是确定的数(静态)，()x f /是x 的函数(动态)由()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/(特殊——一般)()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim 0/(静态——动态)(说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2．归纳小结：由学生进行开放式小结： (1)函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线AD 的斜率.(数形结合)，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线AD 的斜率(2)利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.。