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题型：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
5 解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线过 2
抛物线上的点(x0，x02)，因为
f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) x lim lim x 0 x 0 x x
2
2 0
2 x0 x (x) lim 2 x0 x 0 x
2
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x)
在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P
y
Q
△y
T P o
△x
即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
x
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 解：y |x 1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
切线方程：y 2 2( x 1)
即： 2x y 0
练习:如图,已知曲线y
,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn 沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
一、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
P
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 点P处的割线与切线存在什么关系？ 直线PQ就是P点处的切线PT.
o
x
曲线在某一点处的切线的定义
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
k f ( x0 )
②再利用点斜式求出切线方程
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
练习题 1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线
1.1.3导数的
几何意义1
高二数学 选修2-2
第一章
导数及其应用
一、复习
导数的定义
函数y＝f x 在x＝x 0处的导数，记作：f x 0 或y
x＝x 0
f x０＋x －f x０ y 即：f x 0 ＝ lim ＝ lim x 0 x x 0 x
其中：⑴
4．已知曲线y=x3上过点(2，8)的切线方程 为12x－ay－16=0，则实数a的值为（ ）
A ．－1 B
C．－2
B．1
D． 2
f ( x 0 h) f ( x 0 3h) lim 5．若f ’(x0)=－3，则 h 0 h
＝（ D ）
A．－3
C．－9
B．－6
D．－12
6．设y=f(x)为可导函数，且满足条件
y
圆的切线定义并不适
l1
A
用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将
l2
割线趋于的确定位置的 直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
f ( x0 x) f ( x0 ) y 所以：k＝lim lim x x 0 x x 0
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f (1) f (1 x) lim 1, x 0 2x
则曲线y=f(x)在点(1，1)处
的切线的斜率为（ D ）
A． 2
1 C． 2
B．－1 D．－2
1 lim[3x 2 3xx (x) 2 ] x 2 . 3 x 0
P
x 1 2
y | x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2．求抛物线y=x2过点(
程。
5 ，6)的切线方 2
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ) .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
D．切线方程为y=0
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点 A处的切线斜率为（ C ）
A． 4
C． 8
B．16
D． 2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几
何意义是（ C ）
A．在点x=x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹 锐角的正切值 C．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线 的斜率 D．点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率
所以此切线方程的斜率为2x0，
5 又因为此切线过点( ，6)和点(x0，x02), 2 2 x0 6 2 x0 即x02－5x0+6=0， 所以 5 x0 2
解得x0=2，或x0=3， 所以切线方程为y=4x－4或 y=6x－9.
二、函数的导数：
函数在点 x0 处的导数 f ( x0 )、导函数 f ( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数 f ( x0 ) ，就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 f ( x ) 3）函数在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x) 在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。
1 3 8 x 上一点 P ( 2, ) 3 3
1 3 解： (1) y x , 1 1 3 3 3 ( x x) x y 3 y lim lim 3 x 0 x x 0 x
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2
y 2 (x)3 lim 3 x0 x
－ｆ ｘ ＋ｘ ｘ y ｆ ０ ＝ ０ 表示“平均变化率” x ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
x 反映了函数在x＝x 0附近的变化情况。 y 2f x 0 ＝lim 表示函数f x 在x＝x 0处的瞬时变化率， x 0
其几何意义是？
