3.1.3、导数的几何意义(一课时)

3.1.3、导数的几何意义
【教学目的】
1、理解导数的几何意义；
2、掌握平均变化率与割线的斜率之间的关系；
3、体会从形的角度探究导数的几何意义。

【教学重点】导数的几何意义与简单应用。

【教学难点】理解导数的几何意义。

【教学过程】
一、复习引入：
1、课前训练
（1）求函数f (x )=x 3在区间[2，3]的平均变化率，并说明它的几何意义。

（2）求函数f (x )=x 3在x =2处的导数。

2、问题提出：函数f (x )=x 3在x =2处的导数的几何意义是什么？
3、知识探究：
（1）如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 y=f(x)
β
∆x ∆y
Q
M P
x O y
（2）确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：
因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即
tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x
∆二、讲解新课：
导数的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-
三、讲解范例：
例1、求曲线y =x 2+1在点P (1，2)处的切线方程。

点评：求曲线的切线的方程的步骤：
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆
（2）求平均变化率
x
x y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x x ∆→∆lim （4）利用点斜式，得到切线方程。

例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )=-4.9t 2+6.5t +10的图象。

根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况。

四、课堂练习：
1、求曲线y =x 3在点P (1，1)处的切线方程。

2、某物体的运动方程为h (t )=5t 2 (位移单位：m ，时间单位：s )，求它在 t ＝2s 时的速度.
3、求曲线x
y 9=在点M(3，3)处的切线的斜率及倾斜角． 平行，求切点的坐标。

的某一条切线与直线、如果曲线不确定
条多于条条，则切线方程有的切线的斜率为、已知345.2.2.1.)
(1)(423+===x y x y D C B A x x f 五、课堂小结 ：
函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义
六、课后作业：
1、曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________.
2、曲线f (x )=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线斜率k =___________.
3、函数221y x =-在3x =处的导数为0(3)(3)'(3)lim
x f x f f x ∆→+∆-=∆= ； 4、曲线22y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 ；
5、求函数321y x x =-+在2x =处的导数。

【课后反思】
要求学生掌握导数的几何意义，并能熟练的求切线方程。