接触极限思想与微积分

（二）极限思维与微积分从小到大学了那么多年的数学，可如果你问我，最喜欢你所学的哪一块数学知识。

我会毫不犹豫的回答：微积分！在我心里，微积分是数学这门学科里面的类似于杀手锏的工具，也是整个现代数学的璀璨的基础理论之一！而微积分的思想简直太光彩夺目，个人觉得是人类思想史上的丰碑之一！说微积分就不得不说极限。

一、两个流传甚广的问题我们先看两个广泛流传的问题，你肯定也听说过，或者听说过它们的各种版本。

（1）0.91=这是网络上流传甚广的问题，用来向人们展现出数学匪夷所思的一面。

有的人将它们当成数学里面的矛盾或者悖论。

这实际上都是数学知识匮乏的一种表现。

这个问题学过微积分应该都能回答。

我们先来看网上的证明过程，如下 10.33130.33310.9=∴⨯=⨯∴= 因此有很多人都大吃一惊，因为0.9再怎么大，也不能达到1，永远是趋近于1，所以不可能与1相等。

但是上面的等式又实实在在的证明了0.91=。

问题出在哪里？问题就出在，等式这个概念上。

上面的式子并不是大众熟知的那种等式。

实际上无限循环小数化成一个分数，在数学上是用极限理论进行严格证明的，也就是说10.33=这中间不是我们所熟知的那种等号，而且极限意义下的相等；或者说是0.3的极限是13。

总之这里的等号代表的是极限证明的过程。

但是因为无限循环小数化成分数是普遍得到证明，而且方法也较为套路，所以在习惯上就直接写一个简单的等号来表示，而省略了极限求解的那个过程。

所以上面的式子，严格来说，每一步都应该读作“右边的极限等于左边”，而不是“右边等于左边”。

理解了上面的式子的等号的真正含义，就能明白，这根本不是一个矛盾。

只不过是人们习惯下，想书写简便的一个美丽的误会而已。

而这误会的背后，是极限理论的璀璨光辉。

（2）追不上的乌龟追不上的乌龟是芝诺的一个著名的悖论。

在这里重复叙述如下。

话说阿基里斯号称希腊第一勇士。

阿基里斯让乌龟先跑一百米。

阿基里斯再追这只乌龟，当阿基里斯追上乌龟原来的位置的时候，乌龟又已经跑出一段距离了。

微积分与极限思想数学科学学院宋璞06205010微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辨证法。

借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。

极限思想是人类认识水平进步的产物。

认识论不外乎可知论和不可知论。

可知论和不可知论的矛盾，就是主体理性的有限性和存在的无限性的矛盾，而解决这一矛盾的正是微积分理论的创始人：牛顿和莱布尼茨，是他们给人类带来了有史以来最伟大的思想——极限思想，让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。

“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。

把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。

微积分从产生到定型成今天的形式，经历了三个不同的阶段：以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段；以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的魏尔斯特拉斯阶段。

三个阶段之间既有内在联系，又有认识上的区别，是一个不断发展和运动的历史演变过程。

这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

法国数学家费尔马在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当于微分学中的方法,只是以符号e代替了 .增量x微积分刚一形成，就在各个领域得到广泛应用。

极限思想在微积分中的应用
极限思想是数学中一种基本概念，它在微积分中也是一种有用抽象思维模式，
受到各个领域的青睐。

极限思想，起源于18世纪德国哲学家康德，它可以将问题从宏观范围转向微
观范围，以更加深入地分析问题，并推出有效的解决方案。

极限思想其实是一种思考方式，它使用无限近似的思想来推断一个函数的接近值，从而得到函数的近似值，运用它能够求出极限值，求微分和积分，在函数分析学中具有重要意义。

在微积分中，极限思想被广泛应用于函数分析，它可以求出无限多个分析参数，而不需要对函数进行精确级别的数值分析。

极限思想的运用可以得到函数的极限值，可以求出函数的微分和积分，从而找出函数的最佳表达形式。

极限思想不仅可以用于微积分，而且还可以被广泛应用于物理、化学和计算机
科学等多个领域，它能帮助我们更好地理解某种特定的问题，以及思考应对更大的问题，以达到更完美的抽象表达。

总之，极限思想在微积分中有着重要作用，可以更准确地表达不同函数之间的
关系，复杂问题也得到了更为直观的抽象表达。

微积分中的微小量与极限思想微积分是数学中极具代表性的一种学科，广泛应用于自然科学、工程学科中。

微积分的产生是为了解决导数、积分等数学问题，但是其内容远不止与此。

微积分的基础是微小量及极限思想，本文将探讨微积分中的微小量与极限思想，及其在实际运用中的相关问题。

一、微积分中的微小量微小量是微积分中的重要概念，它是指一段极小的长度、时间、质量、电荷等数学量。

微小量可以用符号dx、dy、dt、dq 等表示。

微小量虽然无限小，但是微积分中的很多概念都是基于微小量的之上构建起来的。

例如，如果我们要计算函数 f(x) 的导数，可以将其定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx其中，Δx 表示 x 的增量，取极限时，Δx 无限地趋近于零，此时Δx 可以近似看作微小量 dx。

那么，上式就可以表示成：f'(x) = lim dx→0 [f(x+dx)-f(x)]/dx这个式子就是微分的定义。

我们可以看到，微分的本质就是在计算微小量之间的比例。

微分的另一个重要应用是积分，积分的本质就是对微小量的无限累加。

在微积分中，除了微分和积分，微小量还有很多它的应用。

微小量可以用来描述物理学中的瞬时速度、瞬时加速度等概念。

例如，当我们在一秒内记录一辆汽车的行驶距离，那么在极小的时间段内，汽车行驶的距离就是其瞬时速度。

我们可以用微小量来描述瞬时速度的变化情况。

又如，当我们要计算一个体积为 V 的三维几何体的体积时，可以将其分解成无数个微小体，每个微小体的体积为dV。

那么，整个几何体的体积就是微小量dV 的累加。

二、微积分中的极限思想微积分中的极限思想是微积分理论的重要组成部分。

极限是指一种数学概念，用于描述函数、数列、无穷级数等数学对象在一个极端情况下的变化趋势。

在微积分中，极限思想是用来描述微小量的性质，通过极限可以更好地理解微小量与数学对象的关系。

例如，在微积分中，常常用到以下常见的极限：1. 夹逼定理：若函数 f(x)、g(x)、h(x) 满足对于其邻域内的任意x，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，并且 lim f(x) = lim h(x) = L，则有 lim g(x) = L。

微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是一种重要的数学分析方法，深入研究物体的变化规律。

通过分析物体在某个变量趋于无穷大或趋近某个特定值时的变化特征，求解极限，进而研究函数的连续性、导数、积分等数学概念和定理。

极限的思想最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德，他通过逐步逼近的方法来求解素数的上限，并得出了著名的阿基米德螺线。

而极限的理论正式建立起来，主要归功于17世纪的数学家纳波利昂·维尔斯特拉斯和18世纪的数学家列奥内尔·欧拉。

他们通过推导出一系列有关极限的定理和性质，使得极限成为微积分学中的核心概念。

在微积分学中，极限的定义是通过自变量趋于某个特定值时函数值的趋势来描述的。

当自变量x趋近于某个实数a时，函数f(x)的极限记作：lim (x→a) f(x) = L其中L可以是实数、无穷大、无穷小或者不存在。

极限的存在性可以通过一系列的推理和证明来判断。

常用的判定极限的方法有数列极限判定法、函数极限判定法、单调有界性准则等。

通过应用这些方法，可以判定极限是否存在，进而求出极限的具体值。

极限的概念在微积分学中的应用非常广泛。

一方面，极限可以用来研究函数的连续性。

如果一个函数在某个点a处的极限存在，并且与函数在该点的实际取值相等，那么该函数在该点处连续。

极限可以用来研究函数的导数和积分。

通过计算函数的极限，可以推导出函数的导数和积分的性质，进而求解函数的导数和积分。

在微积分学中，极限还可以应用于解决各种实际问题。

通过计算函数在某个点处的极限，可以求解函数在该点处的变化率，进而应用到物理学、经济学等领域中的实际问题。

通过极限还可以研究无穷小量和无穷大量的性质，应用于概率论、统计学等领域的研究中。

高等数学思想归纳总结高等数学是大学数学课程中的重要组成部分，它包含了微积分、线性代数、概率论等方面的知识，具有较高的抽象性和深度。

在学习过程中，我们需要将所学的数学思想进行归纳总结，以便更好地理解和应用这些概念和方法。

本文将对高等数学的思想进行分类与归纳，并对其在实际问题中的应用进行探讨。

一、微积分思想微积分是高等数学的核心内容，它涉及到极限、导数、积分等概念和方法。

在学习微积分的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 极限思想：极限是微积分中最基本的概念之一，它描述了变量趋于无穷大或无穷小时的情况。

通过研究极限，我们能够更好地理解函数的性质，并推导出导数和积分的定义和性质。

2. 导数思想：导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

导数具有几何和物理等多种应用，如切线方程、极值判定等。

3. 积分思想：积分是导数的逆运算，它描述了曲线下面积的概念。

积分在计算面积、求解微分方程等问题中具有重要作用。

二、线性代数思想线性代数是数学中重要的分支之一，它涉及向量空间、矩阵、线性变换等内容。

在学习线性代数的过程中，我们需要关注以下几个关键思想：1. 向量空间思想：向量空间是线性代数中的基本概念，它描述了一组向量的集合和向量之间的运算规则。

向量空间可以用来解决线性方程组、矩阵求逆等问题。

2. 矩阵思想：矩阵是线性代数中的重要工具，它可以表示线性变换、求解线性方程组等。

矩阵的运算和性质对于理解线性代数的思想非常关键。

3. 线性变换思想：线性变换描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系。

线性变换可以用来解决几何变换、图像处理等问题。

三、概率论思想概率论是高等数学中的重要分支，它涉及到随机变量、概率分布、统计推断等内容。

在学习概率论的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 随机变量思想：随机变量描述了实验结果的不确定性，它可以是离散的也可以是连续的。

通过研究随机变量，我们可以得到它的概率分布以及相关的期望、方差等。

在微积分中的应用。

1、无穷分割方法下的极限思想
无穷分割方法下的极限思想是微积分思想的重要基础。

这种极限思想的实质是通过无数个同维度的无穷小的元素之和去定某些立体的体积、物体的质量和曲边形的面积。

定积分的理论来自与求曲边梯形的面积，指的是将曲边梯形看作无数个小梯形的面积之和。

这一思想也被应用在求面积、求弧长和求旋转体体积方面。

在这一思想影响下，结合相关的解析几何手段和代数方法，产生了直角坐标系下二重积分的定义和求解方法。

由此可以看出极限思想为微分学的产生和发展奠定了基础。

2、无穷大，无穷小方法下的极限思想
通过内接正多边形的面积的极限值求圆的面积，相当于两个相关的变量，一个变量在另一个变量发生变化的过程中，与另一个已知变量之间的差不断减小，从而可以通过这个已知量得到相关变量的最终极限值，这个极限值的概念就是“极限”。

极限思想与微积分学关系探讨极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.一、极限思想的应用人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.2.莱布尼茨的工作德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.三、对极限和微积分的进一步研究继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。

极限思想数学作文极限的学习和体会就最深刻了，极限是我们学习的第一章，也是以后学习的基础知识。

极限是变量数学的基本运算, 无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辩证法。

借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。

极限思想是人类认识水平进步的产物。

让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。

“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。

把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。

从极限中可以学到学极限的方法，学会如何求极限，学会了无穷大无穷小以及两个重要极限。

学习了极限后，我们又学习了导数，导数虽然在我们高中就学习了，但高中学习的都是导数的.基础而已，导数的学习还有漫长的时间。

导数的建立其实也很简单，导数y┡=┡(x)，在函数(x)可导的范围内是x的一个函数,称为函数(x)的导函数,亦称导数。

导数的概念构成一种思路，当我们在处理真实世界的问题时，常常遵循这个思路来获得对于实际对象的性质的刻画。

导数概念具有很强的实际问题的背景，而在实际问题当中总是能够遇到需要应用导数概念来加以刻画的概念。

由于当初在几何学问题中，为了要描述斜率这个概念，才启发人们建立了抽象的一般的导数的概念。

导数的学习让我们学会了求导的方法，掌握了如何求导，而和导数密切相关的就是微分了，高中的时候学习过微积分以及定积分，但那同样只是微分的基础。

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。

这种方法叫做数学分析。

本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。