微积分与极限思想

微积分中的极限思想研究微积分是数学中的重要分支，而极限思想则是微积分的基石。

它不仅在数学领域有着广泛而深刻的应用，还对物理学、工程学等众多学科产生了深远的影响。

极限思想的核心概念在于研究变量在变化过程中的趋势和趋向。

我们可以通过一个简单的例子来初步理解极限的概念。

比如，当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，这个正多边形的面积就会无限接近于圆的面积。

这里，正多边形面积趋近于圆面积的过程，就是一种极限的体现。

在数学中，极限的定义通常是通过数学语言精确描述的。

如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε恒成立，那么就称数列｛an} 的极限是 A。

这个定义虽然看起来有些抽象，但它却是我们研究极限问题的基础。

极限思想在函数的连续性和导数的定义中发挥着关键作用。

先来看函数的连续性，如果一个函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，那么我们就说这个函数在这一点是连续的。

这意味着函数的图像在这一点没有断裂或跳跃。

导数的概念更是离不开极限思想。

导数反映了函数在某一点处的变化率。

对于函数 y ＝ f(x)，在点 x0 处的导数定义为 f'（x0) ＝lim(Δx→0) f(x0 ＋Δx) f(x0) ／Δx。

通过这个极限表达式，我们能够精确地求出函数在某一点的瞬时变化率，这对于研究函数的增减性、极值等问题具有极其重要的意义。

极限思想在积分学中也有着至关重要的地位。

定积分的概念就是通过极限来定义的。

我们将区间 a, b 分割成若干个小区间，在每个小区间上取一个代表点，计算函数值与小区间长度的乘积，然后对这些乘积求和。

当分割越来越细，小区间的长度趋近于零时，这个和的极限就是函数在区间 a, b 上的定积分。

通过定积分，我们可以计算曲线围成的面积、物体的体积等几何和物理量。

极限思想的应用不仅局限于数学领域，在物理学中也有广泛的应用。

比如，在研究变速直线运动的瞬时速度时，我们通过取极短时间内的平均速度的极限来得到瞬时速度。

有没有听说过“曹冲称象”地故事？想知道大象地体重，但无法直接去称它，怎么办呢？聪明地曹冲就想出一个办法：用石头地重量代替大象地体重.这个故事给我们一个思想方法地启发先“化整为零”（把大象地体重用石头质量来替代），再“积零为整”（石头质量地累积就是大象体重）.“微积分”就是“微分”“积分”“微”是“细微”，“微分”就是“无限细分''；“积”是“累积”即求和，而非“乘积”，“积分”就是“无限求和”资料个人收集整理，勿做商业用途我问你如何求圆地面积，你一定可以马上回答出它地计算公式•但如果是在没有发现圆周率以前地时候呢？古人只能把整个圆面等分成许多全等地小扇形（就象我们过生日分蛋糕那样）•虽然扇形很象三角形，但他毕竟不是三角形•二者差异就在于弧与弦地“曲”“直”有别，无法直接替代•因为我们会求三角形地面积，所以又很想实现这种替代•怎么办？唯一地可能就是“无限细分”因为分得越细，二者地差异就越小•当细到“相当细”时，我们有理由用弦换弧来实现“以直代曲”地跳跃思维.资料个人收集整理，勿做商业用途什么是“相当细”呢？“相当细”就是前面提到地“无限细分”一千不算“相当细”，一万不算“相当细”，一万万不算“相当细”……资料个人收集整理，勿做商业用途任何具体地数目，无论多大，都不算“相当细”！微积分地产生一般分为三个阶段：极限概念；求积地无限小方法；积分与微分地互逆关系.最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成地•前两阶段地工作，欧洲地大批数学家，古希腊地阿基米德都作出了各自地贡献•阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形地面积、体积计算问题.这种方法体现了近代积分法地基本思想，是定积分概念地雏形.对于这方面地工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟地如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树地根，名目繁多地数学分支是树枝，而树干地主要部分就是微积分•微积分堪称是人类智慧最伟大地成就之一•资料个人收集整理，勿做商业用途与积分学相比，微分学研究地例子相对少多了•刺激微分学发展地主要科学问题是求曲线地切线、求瞬时变化率以及求函数地极大值极小值等问题•阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态地观点•古代与中世纪地中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动地不均匀性及有关地极大、极小值问题，但多以惯用地数值手段来处理，从而回避了连续变化率微积分地形成与发展地历史无疑是数学界地重要话题•翻开有关微积分地教材和介绍其发展历史地著述，无论是外国人编写地，还是我国地作者；无论是过去，还是现在；大多数定理地前面都冠之以某某外国人地大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分地形成与发展所作出地贡献•大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学地故乡之一•中华民族有着光辉灿烂地数学史，对世界数学地形成与发展作出了巨大贡献•中华民族功不可磨，理应受到世人地承认与尊重由于“变量”作为新地问题进入了数学，对数学地研究方法也就提出了新地要求.在十七世纪前半叶，解析几何地观念已经有一系列优秀地数学家接近了.但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七世纪初地欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式地改变.资本主义制度地产生，使社会生产力大大得到解放.资本主义工厂手工业地繁荣和向机器生产地过渡，促使技术科学和数学急速向前发展.资料个人收集整理，勿做商业用途在科学史上，这一时期出现了许多重大地事件，向数学提出了新地课题.公元年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形地观念；年，哥白尼发表了《天体运行论》，使神学地重要理论支柱地地心说发生了根本地动摇；开普勒在〜年，总结出行星运动地三大定律，导致后来牛顿万有引力地发现；年伽里略用自制地望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们地视野引向新地境界.这些科学实践拓展了人们对世界地认识，引起了人类思想上地质变.十六世纪，随着资本主义地出现，产生了新地生产关系，社会生产力有了很大地发展.社会实践中有大量处于不断运动和变化地关系需要人们去认识和处理.对它们地研究从而获得了“变量”地概念.对变化着地量地一般性质和它们之间地依赖关系地研究，又得到了“函数”地概念.使得对数学地研究从常量开始进入了变量地领域.这成为数学发展史上地一个转折点，也是“变量”数学发展地第一个决定性步骤.资料个人收集整理，勿做商业用途在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动地坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替几何量地逻辑推导，从而把对几何图形性质地研究转化为对解析式地研究，使数与形紧密地结合起来了.这种新地数学方法地出现与发展，使数学地思想和方法地发展发生了质地变化，思格斯把它称为数学地转折点.此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展地第一个决定性步骤.为十七世纪下半叶微积分算法地出现准备了条件.资料个人收集整理，勿做商业用途牛顿地“流数术”牛顿年生于英格兰伍尔索普村地一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书•岁时,牛顿被他地母亲从中学召回务农，后来，牛顿地母亲在牛顿就读地格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿地舅父埃斯库地竭力劝说下，又允许牛顿重返学校•史托克斯地劝说词中地一句话:“在繁杂地农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大地损失”，可以说是科学史上最幸运地预言•年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗•对牛顿地数学思想影响最深地要数笛卡儿地《几何学》和沃利斯地《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路•资料个人收集整理，勿做商业用途年，牛顿刚结束他地大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡•在家乡躲避瘟疫地两年，成为牛顿科学生涯中地黄金岁月，微积分地创立、万有引力以及颜色理论地发现等都是牛顿在这两年完成地•资料个人收集整理，勿做商业用途牛顿于年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展•年牛顿将其前两年地研究成果整理成一篇总结性论文一《流数简论》，这也是历史上第一篇系统地微积分文献•在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分地基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积地变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题地互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法地基础论述了“微积分基本定理”微积分基本定理是微积分中最重要地定理，它建立了微分和积分之间地联系，指出微分和积分互为逆运算•资料个人收集整理，勿做商业用途这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题地各种方法和特殊技巧有机地统一起来•正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分•资料个人收集整理，勿做商业用途牛顿对于发表自己地科学著作持非常谨慎地态度•年，牛顿出版了他地力学巨著《自然哲学地数学原理》，这部著作中包含他地微积分学说，也是牛顿微积分学说地最早地公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代地著作•而他地微积分论文直到世纪初才在朋友地再三催促下相继发表•资料个人收集整理，勿做商业用途莱布尼茨地微积分工作莱布尼茨出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好地教育•年至年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯地大使在巴黎工作•这四年成为莱布尼茨科学生涯地最宝贵时间，微积分地创立等许多重大地成就都是在这一时期完成或奠定了基础•资料个人收集整理，勿做商业用途在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯地私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡等人地著作•与牛顿地切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题地思考，尤其是特征三角形地研究•特征三角形在帕斯卡和巴罗等人地著作中都曾出现过•年，莱布尼茨整理、概括自己年以来微积分研究地成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线地新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幕与方根地微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面地广泛应用•年，莱布尼茨又发表了他地第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题地互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程•莱布尼茨对微积分学基础地解释和牛顿一样也是含混不清地•资料个人收集整理，勿做商业用途微积分地创立世纪最伟大地数学成就是微积分地发明.古代地数学都是常量数学，解析几何地出现和微积分地发明把变量带进了数学，变量意味着运动，所以，微积分是描述运动过程地数学，它地产生为力学、天文学以及后来地电磁学等提供了必不可少地工具.微积分产生地前提有两个:几何坐标和函数概念•而这两个方面由于笛卡儿和费尔马等人地工作，其基础已基本具备•资料个人收集整理，勿做商业用途牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹•莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学地严密性与系统性是牛顿所不及地.莱布尼兹认识到好地数学符号能节省思维劳动，运用符号地技巧是数学成功地关键之一•因此，他发明了一套适用地符号系统，如,引入表示地微分，J表示积分，表示阶微分等等•这些符号进一步促进了微积分学地发展•资料个人收集整理，勿做商业用途以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究地•牛顿、莱布尼茨将这两个貌似不相关地问题联系起来，用“微积分基本定理”或称“牛顿一莱布尼茨公式”表达出来.他们有效地创立了微积分地基本定理和运算法则，从而使微积分能成为一门独立地学科，并成为数学中最大分支“分析学”地起源，微积分理论地建立聚集了许许多多科学家和数学家地努力，最后集大成者是牛顿和莱布尼兹•资料个人收集整理，勿做商业用途牛顿与莱布尼茨关于微积分优先权地争议牛顿和莱布尼茨都是他们时代地巨人，两位学者也从未怀疑过对方地科学才能.就微积分地创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者地功绩是相当地.牛顿和莱布尼茨完全独立地发明了微积分，就发明时间而言牛顿早于莱布尼茨，但就发表时间而言莱布尼茨早于牛顿•而且两人作为当时地大名人，相互敬慕还曾有书信来往•年，牛顿在《自然哲学地数学原理》中首次发表他地流数方法时，在前言中有这样一段话：“十年前,我在给学问渊博地数学家莱布尼茨地信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其它类似地问题，•••••••这位名人回信说他也发现了类似地方法，并把他地方法给我看了•他地方法与我地大同小异，除了用语、符号、算式和量地产生方式外,没有实质性区别”但在第三版地时候牛顿删去了这段话，原因是他们之间发生了优先权地争议.资料个人收集整理，勿做商业用途第一个特征是不严密.正如任何一项重大地发明，都不可能在一开始时便完整无瑕，微积分在其产生地初期，也因理论地不严密而在许多方面陷入了自相矛盾地困境.资料个人收集整理，勿做商业用途微积分产生于解析几何、物理等地直观问题地需要，而同时也广泛地被利用.它没有相应地数学理论作指导，还来不及为自己打基础.微积分地基础是极限理论，而牛顿，莱布尼茨地极限观念是十分模糊地.究竟什么是极限？无穷小又是什么？这在当时没有人作出过合理地解释.级数和积分地收敛性，微分和积分次序交换，高阶微分地使用，以及微分方程解地存在性问题等等，那时几乎没有人涉足.数学家就沉迷于用新地数学方法去解决物理、天文等方面地问题，而又被得到地新地成果所陶醉.大家还顾及不上去追究在数学推理上地严密性.在当时地情况下也没看到有这必要.正如达朗贝尔在年说：“直到现在……表现出更多关心地是去扩大建筑，而不是在人口处张灯结彩；是把房子盖得更高些，而不是给基础补充适当地强度.”因此，十八世纪地数学家开垦了许多新地处女地，数量之多是惊人地，但是他们地工作是粗糙地，不严密地，是刀耕火种式地工作方法.由于十八世纪地数学家忙于应用解析几何和微积分这两种强有力地数学工具去解决科学和技术中地许多实际问题，并被新方法地成功所陶醉，而无暇顾及所依据地理论是否可靠，基础是否扎实，这就出现了谬误越来越多地混乱局面.资料个人收集整理，勿做商业用途争端是局微积分学地深入发展，成为了十八世纪数学发展地主要线索.这种发展与广泛地应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多新分支地产生，使分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特别地独立地数学领域.这个时期微积分学地发展有三个显著特征外人挑起地，年一位瑞士数学家在一本小册子中说“牛顿是微积分地第一发明人”，而莱布尼茨则是“第二发明人,曾从牛顿那里有所借鉴”，莱布尼茨立即对此作了反驳•年，英国皇家学会专门指定了一个委员会进行调查，结果“确认牛顿为第一发明人”，这又引起了莱布尼茨地申述•争议在双方地追随者之间越演越烈•争议地后果是悲剧性地，莱布尼茨地晚年一方面由于优先权争议中总处于劣势，另一方面又失宠于新任地汉诺威公爵，晚年很凄凉，年去世地时候只有忠实地秘书参加了他地葬礼•而牛顿地葬礼却非常隆重，当时英国地大人物们纷纷抢着去抬牛顿地灵柩•但这场争议也给英国带来了惨重地损失•由于英国数学家固守牛顿地传统，特别是坚决不肯使用莱布尼茨地先进地微积分符号，使英国数学逐渐远离了分析学地主流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为分析学主要是在莱布尼茨微积分方法地基础上建立起来地•所以、世纪地大数学家主要在欧洲大陆，英国则很少.资料个人收集整理，勿做商业用途尽管发生了纠纷，两位学者却从未怀疑过对方地科学才能•年在柏林王宫地一次宴会上，当普鲁士王问到对牛顿地评价时，莱布尼茨回答：“综观有史以来地全部数学，牛顿做了一多半地工作”资料个人收集整理，勿做商业用途第二个特征是分支广泛.数学家从物理学、力学、天文学地研究中发现、创立了许多数学新分支，这些分支在十八世纪大都处于萌芽状态，未形成系统严密地理论.他们地目标不是研究数学，而是用数学去解决物理学中地问题.他们认为数学只是物理学地一个工具.他们关心地只是数学对天文学、物理学地价值.可以说十八世纪数学地推动力是物理学和天文学.第三个特征是方法地交替.几何论证法是自古以来人们研究数学时所广泛使用地方法.十七世纪地时候，代数是人们兴趣地中心，那时候代数和分析还没有分开来.但是到了十八世纪,它变成从属于数学分析，而且除了数论以外，促进代数研究地因素大部分来自数学分析.随着对微积分研究地进一步深入,欧拉和拉格朗日认识到分析方法具有更大地效用，就慎重地、逐渐地把几何论证换成分析论证.欧拉地许多教科书里都着重说明了怎样使用分析法.拉格朗日在他地《分析力学》地序言中大力推广分析论证.拉普拉斯在他地《宇宙体系统》中也强调了分析法地重要作用.后来许多数学家开始认识到分析法地重要性，这样数学分析地思想方法逐渐被普遍地采用了.资料个人收集整理，勿做商业用途泰勒和马克劳林在研究弦振动理论和天文学问题时，得到级数展开理论；微分几何是克莱罗和欧拉在研究曲线曲面地力学问题、光学问题、大地测量和地图绘制问题时产生地；欧拉、拉格朗日在研究力学和天体运行问题之时，建立了变分法和常微分方程；达朗贝尔、拉普拉斯和拉格朗日在研究弦振动、弹性力学和万有引力问题时建立了偏微分方程理论（主要是一阶地）；欧拉、柯西在研究流体力学问题时，建立了复变函数论等等.资料个人收集整理，勿做商业用途微积分地创立标志着数学由“常量数学”时代发展到“变量数学”时代•这次转变具有重大地哲学意义.变量数学中地一些基本概念如变量、函数、极限、微分、积分、微分法和积分法等从本质上看是辩证法在数学中地运用•正如恩格斯所指出地：“数学中地转折点是笛卡儿地变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要地了”辩证法在微积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴地对立统一•它使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段地联系更加明确•使我们既可以居高临下，从整体角度考虑问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题•这种对立统一地规律在微积分中得到了充分地体现•所以，微积分地产生就克服了直线与曲线和圆地不可通约性，从而使数学成为辩证法地辅助工具和表现方式.资料个人收集整理，勿做商业用途在历史上，有许多哲学家对数学非常感兴趣•毕达哥拉斯学派、柏拉图、笛卡儿、莱布尼茨、罗素、怀特海等，甚至他们其中有地人本身就是数学家•为什么他们会对数学那么关注呢？数学和哲学有什么关系呢？资料个人收集整理，勿做商业用途数学是一门研究空间形式和数量关系地科学，它“可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算地推理形式体系”而哲学所涉及地对象不是经验地对象而是超经验地对象，如宇宙万物地本原、存在、实体或本体，包括人在内所有存在物地来源和归宿等等,同样需要理性思维地能力•历史上哲学和数学相互影响，相互促进，共同发展•数学是一门公理化地演绎体系，它地一系列原理都可以从最初地几个不证自明地公理推论出来.而哲学，正如许多哲学家认为地那样，应该成为象数学和数学化地物理学那样地严密地科学体系，因而数学就理所当然地成了哲学构造体系地典范•用数学地演绎体系来构建哲学体系一直是西方哲学家地一个梦想.资料个人收集整理，勿做商业用途哲学被看作是一切科学知识地基础，是对具体科学地概括、总结，并指导各个科学•数学在自然科学中地作用，就像哲学在整个科学体系中地作用一样一一研究整个世界，得出普遍规律，数学是总结自然界普遍存在地空间形式和数量关系，从而指导自然科学地发展.从微积分产生地历史中，我们可以看到这样一个哲学地问题:科学地发现或发明是一个过程,它不是某一个人地智慧火花地简单迸发•任何发现、发明都有一个思想进化和酝酿地过程，科学概念和理论地形成是一个逐步积累和纯化地过程.正如牛顿所说地那样：“如果说我比笛卡儿看得远一点，那是因为我站在巨人地肩上”因此，这就不可避免地涉及到关于科学地优先权地问题•牛顿和莱布尼茨对微积分地发明权地争论为人们所熟知，那么这种争论在排除了时间地先后之外是以什么作为发明地标准地呢？以独创性来衡量是否恰当呢?牛顿和莱布尼茨之间相互并没有借鉴各自地成果，他们都是自己独立思考而创立了微积分•对首创权地争夺不仅牵涉到科学家地荣誉而且也关系到民族自豪感地•牛顿和莱布尼茨地争执就意味着英国人和德国人地争执,那么科学地无国界性是否存在呢？科学地世界主义难道只是一个梦想吗？因此建立一套公平地规则就显地犹为必要了.科学家就是参加科学竞赛地参与者，他们都要遵守这些公正地竞赛规则，后人也可以通过这些规则来评价这些科学家•怎样建立这样地科学规则地工作正是由科学哲学家来完成地•资料个人收集整理，勿做商业用途在数学发展史上，微积分地诞生是数学发展地三个重要里程碑之一•它体现了数学从静止走向了运动和变化地哲学思想.在微积分地发展过程中，蕴含着丰富地哲学思想.微积分是在解决实际地问题中产生地，因此，它产生后被广泛地运用于各门具体地科学之中,从物理学、化学到经济学、心理学无不闪现着微积分地身影，特别是在工业生产中得到了充分地应用•那么我们是怎样把微积分这种表述数量关系地演绎体系影射到测量地物理操作或实际生产生活上，即我们是怎样代入地呢？微积分与科学事实之间存在什么对应关系吗？我们借助微积分所获得地知识占据什么样地地位呢？以上地问题都是科学哲学所要。

微积分与极限思想数学科学学院宋璞06205010微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辨证法。

借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。

极限思想是人类认识水平进步的产物。

认识论不外乎可知论和不可知论。

可知论和不可知论的矛盾，就是主体理性的有限性和存在的无限性的矛盾，而解决这一矛盾的正是微积分理论的创始人：牛顿和莱布尼茨，是他们给人类带来了有史以来最伟大的思想——极限思想，让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。

“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。

把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。

微积分从产生到定型成今天的形式，经历了三个不同的阶段：以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段；以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的魏尔斯特拉斯阶段。

三个阶段之间既有内在联系，又有认识上的区别，是一个不断发展和运动的历史演变过程。

这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

法国数学家费尔马在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当于微分学中的方法,只是以符号e代替了 .增量x微积分刚一形成，就在各个领域得到广泛应用。

极限思想在微积分中的应用
极限思想是数学中一种基本概念，它在微积分中也是一种有用抽象思维模式，
受到各个领域的青睐。

极限思想，起源于18世纪德国哲学家康德，它可以将问题从宏观范围转向微
观范围，以更加深入地分析问题，并推出有效的解决方案。

极限思想其实是一种思考方式，它使用无限近似的思想来推断一个函数的接近值，从而得到函数的近似值，运用它能够求出极限值，求微分和积分，在函数分析学中具有重要意义。

在微积分中，极限思想被广泛应用于函数分析，它可以求出无限多个分析参数，而不需要对函数进行精确级别的数值分析。

极限思想的运用可以得到函数的极限值，可以求出函数的微分和积分，从而找出函数的最佳表达形式。

极限思想不仅可以用于微积分，而且还可以被广泛应用于物理、化学和计算机
科学等多个领域，它能帮助我们更好地理解某种特定的问题，以及思考应对更大的问题，以达到更完美的抽象表达。

总之，极限思想在微积分中有着重要作用，可以更准确地表达不同函数之间的
关系，复杂问题也得到了更为直观的抽象表达。

微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是一种重要的数学分析方法，深入研究物体的变化规律。

通过分析物体在某个变量趋于无穷大或趋近某个特定值时的变化特征，求解极限，进而研究函数的连续性、导数、积分等数学概念和定理。

极限的思想最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德，他通过逐步逼近的方法来求解素数的上限，并得出了著名的阿基米德螺线。

而极限的理论正式建立起来，主要归功于17世纪的数学家纳波利昂·维尔斯特拉斯和18世纪的数学家列奥内尔·欧拉。

他们通过推导出一系列有关极限的定理和性质，使得极限成为微积分学中的核心概念。

在微积分学中，极限的定义是通过自变量趋于某个特定值时函数值的趋势来描述的。

当自变量x趋近于某个实数a时，函数f(x)的极限记作：lim (x→a) f(x) = L其中L可以是实数、无穷大、无穷小或者不存在。

极限的存在性可以通过一系列的推理和证明来判断。

常用的判定极限的方法有数列极限判定法、函数极限判定法、单调有界性准则等。

通过应用这些方法，可以判定极限是否存在，进而求出极限的具体值。

极限的概念在微积分学中的应用非常广泛。

一方面，极限可以用来研究函数的连续性。

如果一个函数在某个点a处的极限存在，并且与函数在该点的实际取值相等，那么该函数在该点处连续。

极限可以用来研究函数的导数和积分。

通过计算函数的极限，可以推导出函数的导数和积分的性质，进而求解函数的导数和积分。

在微积分学中，极限还可以应用于解决各种实际问题。

通过计算函数在某个点处的极限，可以求解函数在该点处的变化率，进而应用到物理学、经济学等领域中的实际问题。

通过极限还可以研究无穷小量和无穷大量的性质，应用于概率论、统计学等领域的研究中。

微积分学中的极限思想分析
微积分学是基于极限思想发展起来的数学学科。

它的基本思想是“趋近于”或“无限
逼近”的概念，即用极限来描述一些趋于无穷大或无穷小的数学对象。

极限的概念源于古希腊时期的数学问题，当时人们研究圆周率时，发现无论如何勾画
多边形，最终都不能完全逼近圆的周长。

这种情况引发了无穷逼近与极限的思考。

形式上，当一个函数在接近某一点时，如果它的值逐渐趋近于一个定值，那么这个定
值就是该函数在该点的极限。

极限的概念是微积分学中的基本概念之一，它与导数和积分
密切相关。

在微积分学中，对于一个光滑的曲线来说，我们无法知道它在任何一点的切线
斜率，但是我们可以通过求解该点的极限来确定其切线斜率。

极限的概念非常重要，因为它帮助我们理解和解决许多微积分学问题。

例如，我们可
以使用极限来计算函数在某一点的导数，这样就可以找到函数的最大值和最小值。

此外，
极限还使我们能够计算大量的积分和无穷级数。

在微积分学中，极限的概念也与连续性密切相关。

如果一个函数在某一点的极限等于
该点的函数值，并且在该点左右都有定义，那么该函数在该点就是连续的。

这种连续性可
以用来解决许多实际问题，例如描述连续的曲线上的点的速度和加速度。

总之，在微积分学中，极限的概念是非常重要的。

它可以帮助我们解决许多数学问题，从而更好地理解物理和工程等实际问题。

极限的概念的发展也是数学研究中的一个重要里
程碑，它将数学推向了一个新的领域，并在科学研究中发挥着重要作用。

微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是一种重要的分析工具，它在数学表达和问题求解中起着至关重要的作用。

极限思想反映了数列和函数在无穷远处的变化趋势，并可以描述物理、经济、工程等实际问题中的变化规律。

我们来看数列的极限。

数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。

极限是指数列中随着项数的增大，数列的项逐渐趋近某个确定的值。

考虑数列{1，1/2，1/4，1/8，…}，数列的每一项都是前一项的一半。

当项数趋于无穷大时，数列的项趋近于0。

这里，0就是数列的极限。

函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋近于某个确定的值。

考虑函数f(x)=1/x，当x趋于无穷大时，函数的值趋近于0。

这里，0就是函数的极限。

极限的计算方法有很多，其中常用的有代数法和级数法。

代数法主要利用代数运算的性质来计算极限，包括四则运算、开方运算、幂函数运算等。

级数法主要利用级数的和来计算极限，例如泰勒级数等。

极限思想在微积分学中有广泛的应用。

极限是微分和积分的基础。

微分是研究函数局部变化的工具，而积分是研究函数全局性质的工具。

通过极限思想，我们可以定义函数的导数和积分，并研究它们的性质和应用。

极限思想还可以用来解决一些实际问题。

利用极限思想可以求解曲线与直线的交点、曲线的渐近线、曲面的切平面等几何问题。

极限思想还可以用来建立物理模型和经济模型，研究实际问题中的变化规律。

极限思想还与数值计算密切相关。

在计算机计算中，由于计算机的存储空间有限，无法表示无穷大和无穷小。

我们通常通过逼近的方式来计算极限。

我们可以将无穷序列的前几项相加来逼近无穷级数的和，从而计算极限。

微积分学中的极限思想是一种重要的分析工具，它可以帮助我们揭示数列和函数的变化规律，解决实际问题，并推动数学、物理、经济等学科的发展。

通过深入理解和应用极限思想，我们可以更好地理解和掌握微积分学的知识，提高问题求解能力，并拓宽数学思维的广度和深度。

极限思想与微积分学关系探讨极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.一、极限思想的应用人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.2.莱布尼茨的工作德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.三、对极限和微积分的进一步研究继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。

微积分学教学中的极限思想极限思想定义为一个数列或函数在无限趋近于某个点时所具有的性质。

简单来说，极限描述了一个变量在无穷大或无穷小的情况下所表现出来的行为。

在微积分学中，极限的概念被广泛应用，如求导、积分、级数展开等等。

极限具有一些重要的性质。

例如，极限的唯一性表明，数列或函数的极限点是唯一的；保序性表明，如果一个数列的每一项都比另一个数列的大，那么它们的极限也具有相同的顺序；还有归结原则，它表明如果一个数列的极限存在，那么它的子数列的极限也必定存在且相等。

微积分基本定理是微积分学中的一个重要定理，它用极限的思想阐述了导数和积分之间的关系。

简单来说，微积分基本定理表明，函数的导数等于函数在某一点的瞬时变化率，而函数的积分则等于函数在某个区间上的面积。

这个定理将极限的思想贯穿了微积分的始终，是微积分学的核心。

极限思想在微积分学中的应用非常广泛。

例如，利用极限的概念求函数的导数和积分；还有级数展开，即将一个函数展开成无穷级数的形式，以便于计算和研究它的性质。

极限思想还在微分方程、多元函数等领域有着广泛的应用。

极限思想是微积分学教学中的核心概念之一。

它不仅是一种数学思想，更是一种科学思考方式。

通过极限思想，我们可以更好地理解函数的变化趋势、无穷小量和无穷大量等方面的概念，以及它们在数学分析和实际问题中的应用。

因此，在微积分学教学中，教师应该注重极限思想的讲解和应用，帮助学生深刻理解和掌握这一重要概念，为后续的学习和研究打下坚实的基础。

随着科学技术的发展，极限思想在各个领域的应用越来越广泛，尤其在数学、物理、工程和技术等领域发挥着至关重要的作用。

在微积分学教学中，教师应该紧密结合实际应用，让学生更好地了解极限思想的实际价值，激发学生的学习热情和兴趣。

教师还应该引导学生主动思考和探索极限思想在其他学科和生活中的应用，培养学生的创新意识和实践能力。

极限思想是微积分学教学的核心和灵魂，是数学分析和实际问题中不可或缺的重要概念。

微积分学中的极限思想分析微积分学中，极限是一个十分重要的概念，也是微积分学的核心之一。

极限本身是一个不断接近某一值的过程，有着重要的数学和物理应用。

在微积分学中，极限的思想被广泛运用于求导、积分、级数等方面。

下面将从数学角度，对极限的概念、性质、求解等内容进行详细分析。

一、极限的概念极限是指一个数列或者函数，当其中一个自变量趋于某一特定值时，函数值或者数列项的趋势，通常可以被表示为“接近于一个常数”的情形。

在微积分学中，比较常用的是针对函数的极限概念。

因为函数的极限实际上就是在函数自变量无限逼近某个值的情况下，函数的值接近什么值或者趋势怎样。

对于一个函数f(x)，当x趋近于某个值a时，如果函数f(x)的值趋近于L，那么我们就称函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记为lim_{x→a}f(x)=L。

在此基础上，我们可以讨论已经泛化的左右极限、无限极限等。

二、极限的性质极限具有一系列非常重要的性质，这些性质在微积分学中也是极其重要的。

这里从以下几个方面一一介绍。

1. 一个函数的极限必须相等，而且唯一对任意的ε>0，只需取一定的δ>0，当|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。

这意味着，对于同一个x，当它趋近于a时，与a点无关的ε都有同样的效果。

因此，在一个给定的函数中，它的极限应该唯一。

2. 保号性若 $\begin{aligned} \text{lim}_{x\rightarrow a}f(x)=b,\\\text{lim}_{x\rightarrow a}g(x)=c, \end{aligned}$ 且 $\begin{aligned} b>0,\\ c>0. \end{aligned}$ 则存在一小的数 $\delta>0$ 使得 $\begin{aligned} f(x)>0,\\ g(x)>0, \end{aligned}$ 都对 $\begin{aligned} a-\delta<x<a+\delta \end{aligned}$ 成立。