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极限思想在中学数学知识理解中的应用作者：安乐乐成波
来源：《丝路视野》2019年第03期
摘要：本文首先利用极限的思想方法给出了一类无限循环小数的一个解释，结果表明无限循环小数可能是整数。
其次，通过例题给出了无限循环小数的算术运算的方法。
最后，讨论了指数函数和三角函数某些特殊值的本质含义。
本文研究结果能够帮助学生更深入地理解无限循环小数和函数等概念内涵。
关键词：极限中学数学理解
高等數学的许多思想方法对于理解中学数学中的一些概念有着重要的指导意义，在文献中，我们可以看到运用高等数学中的一些思想方法可以更好地解决中学数学中出现的难题，理解相关概念。
本文用高等数学中的极限思想方法解决中学数学中的几个典型问题，帮助学生准确深刻理解一些中学数学概念和方法。
参考文献
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极限思想及应用百科极限思想及应用是数学中的一个重要概念，通过对数列、函数等数学对象在某个趋近于某点的过程中的变化趋势进行研究，从而帮助我们理解数学问题的本质和解决实际应用问题。
下面将从极限的概念、性质以及应用等方面回答这个问题。
首先，极限的概念。
极限可以分为数列的极限和函数的极限两种情况。
对于数列而言，如果存在一个实数L，使得数列中的每一项的差值与L的差值无论多么小，只要足够靠近某一项的时候，都能满足这个条件，则我们说这个数列的极限存在，并且L就是它的极限。
对于函数而言，如果对于函数在某一点x0的一个去心邻域内的每一个x值，函数值与L的差值可以任意小，只要足够靠近x0的时候，都能满足这个条件，则我们说这个函数在x0处的极限存在，并且L就是它的极限。
极限可以用符号“lim”表示，例如数列an的极限为L可以表示为lim an=L，函数f(x)的极限为L可以表示为lim f(x)=L。
其次，极限的性质。
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法则等重要性质。
对于唯一性而言，如果数列或函数的极限存在，则它的极限是唯一的。
对于有界性而言，如果数列或函数的极限存在，则它的极限是有界的，也就是说，存在一个数M，使得数列或函数的值都在一个范围内。
对于保号性而言，如果数列或函数的极限存在且大于（小于）零，则它的数列或函数中必然存在正数（负数）。
对于四则运算法则而言，若两个数列或函数的极限都存在，则它们的和差积商的极限也都存在且满足相应的关系。
最后，极限的应用。
极限思想在数学和其他领域的应用非常广泛。
在数学中，极限的概念是微积分学的基础，通过利用极限思想，可以研究函数的连续性、可导性、积分等重要性质。
在物理学中，极限思想可以用来描述物体在足够小的时间或空间间隔内的瞬时变化情况，比如速度、加速度、力等概念都可以通过求极限来得到。
在工程学中，极限思想可以用来分析和设计复杂的系统，比如电路、机械结构等。
在经济学中，极限思想可以用来评估市场需求和供应的变化，分析企业的效益和利润最大化等问题。
极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。
下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。
因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。
教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。
我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。
当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。
在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。
极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。
极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。
极限思想在中学数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。
此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。
总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。
极限思想在小学数学教学中的渗透小学数学教学是非常重要的一部分，极限思想的渗透能够在这一过程中发挥重要作用。
极限思想是数学与物理之间最根本的联系，强调有限的无限接近，以及一些不可避免的不定性。
在小学数学教学中，极限思想可以帮助学生们更好地理解数学概念，帮助他们更好地掌握数学学习。
极限思想可以在小学数学教学中充分体现，如简单运算、函数求值等。
例如，在求和公式中，学生可以通过极限思想来推导出无限紧近的构想。
学生们可以通过极限思想的帮助来更加精确地表达自己的想法，而不只是停留在简单的运算上。
同时，通过这种理解，学生也能够更好地理解其他概念，如微积分等。
此外，极限思想在小学数学教学中还有另外一个重要的用处。
该思想不仅可以帮助学生们更好地理解数学问题，而且还可以帮助他们思考更广泛的问题。
在日常数学教学中，极限思想可以帮助孩子们充分发挥他们的思维活动，激发他们迥异的想法，丰富他们自身的想象空间。
总之，极限思想在小学数学教学中的渗透具有重要意义。
通过极限思想的运用，可以帮助小学生们更好地理解数学概念，更加深入地发挥他们的思维能力，丰富他们的自身想象空间，从而让他们更好地参与数学学习。
此外，极限思想还可以帮助小学生更好地理解算法，有效地控制无限进行数学分析。
他们可以通过极限思想来找出最优解，以克服复杂问题的难度。
同时，极限思想也可以帮助小学生更好地理解实际应用中的问题，包括抽象的数学模型、分析数据的有效技巧等。
另外，极限思想也可以帮助小学生更加有效地处理一些日常问题。
例如，孩子们可以通过极限思想来寻找出更有效的求解方法，从而更快地完成学业。
当然，孩子们也可以通过极限思想来推断出一系列的行为决策，例如如何处理每一个步骤，以及如何在不同的情况下行为等。
总之，极限思想在小学数学教学中极大地提高了学生的能力，并且可以帮助他们更好地处理问题。
对孩子们来说，极限思想在小学阶段就具有重要的意义，而小学数学教学是最重要的一环，极限思想的渗透可以为他们将来的学习和实践奠定基础。
数学的极限思想是什么在现实应用里有应用到吗经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力数学的极限思想是什么？在现实应用里有应用到吗？经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力？ -极限就是一个趋向性的过程等号让人困惑，但是等号和极限符号只是代表数字无限趋近于某一值，不是真的相等有关极限的思想1、古希腊不停地拿一把可以分开任何物体的刀来一分为二一个物体，只有两个结果，（1）小刀一直分下去，无穷无尽（2）分到一定程度，分不动了，物体不能再分了现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的所以我们知道了物体是由基本粒子的2、中国古代，用无穷无尽的多边形面积来代替圆（所谓的割圆术）的面积，用近似解来代替真实解3、还有就是芝诺提供的，芝诺悖论之一公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米。
当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。
由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。
因此被追者总是在追赶者前面。
现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。
（时间是不可以无限分割的。
这不是由于某种哲学上的原因，而是由于一个物理理论：量子力学。
在量子力学主要研究的微观现象中出现大量“量子化”现象，即物理量不能连续取值，而只能取分离的几个值。
这个理论在进一步的研究中就出现了“时间不可无限分割”的理论。
即任何时间段，都不能短于“普朗克时间”，短于这个的时间长度在物理学中没有意义。
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
极限思想在数学导数中的应用极限思想在数学导数中占据着重要的地位，它能够消除坐标系变量而将极限带入计算，使数学计算变得更加有效和统一，为研究和定理的归纳提供了巨大的好处。
极限思想在计算数学导数方面是比较重要的，当一个变量不断接近某个数，我们就说这个变量接近极限。
这个空间的连续的概念就是极限，它是一种概念，可以构成我们熟悉的连续体。
极限可以帮助我们判断函数是否存在，函数是否连续，求函数的局部最大最小值，以及其它运算表达式的极限等等。
在极限和导数方面，数学家们利用变量接近极限的概念来计算函数的导数，这就是定义求导法则的出发点，也就是使用变量x慢慢接近d，而dx则会快速收敛接近0，此时df/dx就会逐步收敛到函数f的导数的值。
因此极限的概念正是进一步定义函数f函数的导数的基础。
另外，极限思想在用于求导数的特殊方法中也扮演着核心作用。
例如，我们在求取已知函数y = f（x）的某一特定值点x0处的梯度时，借助极限思想，我们可以可以将x0作为h到有限小的极限，这样我们就可以求出f（x0）的导数，并且可以获得一个更准确的梯度求解，从而更准确地得出对对应函数的曲线的分析结果。
极限思想为计算函数有效性和定义各项数学公式提供了基础。
在微积分中，极限思想也为开发和应用各项函数提供了指导思想。
在我们定义函数走势时，尤其是复杂函数，利用极限思想与定义将变量慢慢收缩到极限，从而制定函数走势，就成为了一种常用的技术。
极限思想的出现为若干的问题的研究和分析以及定义提供了基础和方法，使数学变得更加完整，有效，统一和严谨，它是构成现代数学的重要部分，广泛并无处不在地应用于从中学到研究阶段的诸多数学方面。
总而言之，极限思想在数学导数中占据着重要的地位，在构建数学理论与求解问题中都有重要作用，充分显示了极限思想与不确定性问题解决有着重要的作用。
只有利用极限思想和极限现象，才能获得更准确和更可靠的数学计算结果。
浅谈高等数学中极限思想及其应用
高等数学中的极限思想是解决很多数学问题的基础，它直接或间接地影响着数学研究中各
个领域的发展，对数学的发展起到了非常重要的作用。
极限的概念源于古希腊数学家坎伯乐，他研究函数时发现函数可以趋于一个固定值，当函
数满足某些条件时，就收敛到一个值，这个值就是函数的极限，从而发展出了极限的概念。
古希腊数学家特拉法尼希将坎伯乐的极限思想进行了进一步发展，把概念化，形成了极限
的定义，推导出了极限的几何学定理，奠定了极限法在数学发展中的地位。
极限的应用主要集中在微分、积分、几何和微分方程中，现代数学发展的离不开极限的思想，几乎所有数学问题的解法中都有极限的踪迹。
比如微分学中，著名的微积分方程及其
解法，正是利用极限思想得出的。
物理学的新发展与极限思想也息息相关：物理量的变化
可以简单地用极限知识来分析和推导，从而取得重要的结论。
总之，极限思想是高等数学中不可或缺的一部分，它是解决复杂数学问题的重要方法，它也在许多学科领域得到了广泛的应用，发挥着不可替代的作用。
浅谈极限思想在数学解题中的应用极限思想是一种重要的数学思想，它是一种用有限认识无限，从近似认识精确，从量变认識质变的思想。
灵活地借助极限思想，可以简化计算过程，优化解题方案，探索解题新方法。
标签：极限思想；数学解题；应用极限思想是社会实践的产物。
早在远古已经萌芽，从我国古代名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中渗透着的极限思想，到刘徽的‘割圆术’，再到法国数学家柯西对极限做出的明确定义。
极限思想逐渐成为一种重要的数学工具，它能突破解题常规，巧解数学问题，因此被广泛应用于解决函数、线性代数、平面几何、立体几何等问题，以达到化难为简，节省时间的效果。
一、利用极限思想判断参数的取值范围例1.已知不等式m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围（）。
A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0分析：当m趋于∞时，左边结果大于0，可以排除A，B；当m趋于1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案为C。
由此可以看出极限思想是特殊值法的延伸。
该题利用极限思想，着眼于问题的极限状态，减少了计算量，迅速准确获解。
二、利用极限思想判断函数值的范围例 2.已知0<x<y<m<1，则有（）。
三、利用极限思想求行列式的值通过验证，此结果与展开行列式所得的计算结果相同。
该题利用极限思想发掘问题中的有用信息，利用连续函数及函数极限的性质，避开了复杂的计算，优化了解题方案。
四、总结极限思想简而言之就是无限接近的思想。
它能够将复杂的数学问题简单化，具有较强的工具性和实用性。
要想学好数学并且能自如应对应试考试，深入了解和灵活应用极限思想是必要的。
数学的发展必须突破常量研究的传统范围，在曲与直，变与不变的问题上大胆运用极限思想。
在初等数学里，圆面积是用一系列边数无线增多的内接或外接正多边形面积的极限来定义的；在高等数学里，同样用类似的办法来定义曲边梯形的面积，并对其求极限，进而给出定积分的概念及几何意义。
极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。
关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (4)（一）数列极限的求法 (4)1 极限定义求法 (4)2 极限运算法则法 (7)3 夹逼准则求法 (7)4 单调有界定理求法 (8)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (9)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (16)四、极限的应用 (19)（一）在计算面积中的应用 (19)（二）在求方程数值解中的应用 (20)五、结论 (21)致谢 (23)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。
极限是微积分的基础也是微积分中最重要的部分，它描述的是一种趋势，是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。
极限思想是微积分的基本思想，微积分作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关。
如：求物体运动的瞬时加速度、求曲线的切线、求函数最大值、最优化问题等。
这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈努力，创立了微积分。
在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想——极限思想。
微积分的基础和研究工具是极限理论，极限理论的核心是极限概念，因此，搞好极限概念的教学不仅关乎学生数学分析课程的学习，而且关乎学生整个数学生涯的学习。
（二）研究目的和意义极限是《高等数学》课程中最重要的概念之一极限思想贯穿整个教材，它是微积分的灵魂,《高等数学》课程中的很多概念都是由极限来定义的，因此理解极限思想的内涵和掌握求极限的方法是学习这门课程的基本要求。
但是，笔者在教学过程中发现大部分学员往往对求极限这一问题感到束手无策，这一方面是因为求极限的题目类型比较多，求解方法也是因题而异，变化多端；另一方面是因为几乎所有的《高等数学》课程教材没有把求极限的方法进行归纳总结。
为了帮助学员掌握求极限的方法并能熟练地求极限，笔者对《高等数学》课程中常用的求极限的方法进行了分析研究，给出了每种方法的注意事项及使用技巧，并对数列极限的应用进行了探讨。
二、极限的概念在研究极限解法之前，首先我们要清楚极限的定义,这是对极限做进一步深入研究的先决基础。
高等数学中，极限主要分为数列极限和函数极限。
（一）数列极限的定义数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的,如我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术。
因一系列圆内接正多边形的面积An 在n 无限增大（n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时An 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限。
对于数列{An}，若当n 无限增大时，{An}能无限地接近某一个常数a ，就称此数列为收敛数列，a 是此数列的极限.例如，对于数列{1/n}，当n →∞时，1/n 能无限地接近于0，则称数列1/n 为收敛数列.就是说，当n 充分大时，数列的通项An 与常数a 之差的绝对值可以任意小.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：ε-N 定义，A-N 定义.定义1（ε-N 语言）：设{An}是个数列，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N ，使得当n ＞N 时，都有|An-N|＜ε，则称a 是数列{An}的极限，或称{An}收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或An →a （n →+∞）。
这时也称{An}的极限存在。
定义2（A-N 语言）：若A ＞0,存在正整数N ，使得当n ＞N 时，都有An ＞N,则称+∞是数列{An}当n 无限增大时的非正常极限，或称{An}发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限。
（二）函数极限的定义1 一元函数极限的定义定义1 设函数f 在0x 某个空心邻域00(,)U x δ'内有定义， A 为定数. 若对任给的0ε>, 存在正数()δδ'<, 使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<,则称函数f 为当x 趋于0x 时以A 为极限， 记作0lim ()x x f x A →= 或 0()()f x A x x →→.若0x x +→时， 记作0lim ()x x f x +→, 称为右极限； 若0x x -→时， 记作0lim ()x x f x -→, 称为左极限，左右极限统称为单侧极限。
定义2 设函数()f x 在||(0)x a a >>时有定义， A 为常数. 若对于任意给定的正数ε（无论它怎么小）， 总存在正数M , 使得当||x M >时， 都有|()|f x A ε-<,则称函数()f x 为当x →∞时以A 为极限. 记做lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞.若我们把定义2.2中的||x M >改成x M >(x M <)， 则A 称为函数()f x 当x 取正值且无限增大（记作x →+∞）时的极限， 记作lim ().x f x A →+∞=把定义2.2中的||x M >改成x M <, 则A 称为函数()f x 当x 取负值且绝对值无限增大（记作x →-∞）时的极限， 记作lim ().x f x A →-∞=2 多元函数极限的定义定义1 设函数123()(, , , ..., )n f P f x x x x =在以0P 为聚点的集合E 上有定义， 若对任何的0ε>存在0(,)0P δδε=>, 使得只要P E ∈及00(,)P P ρδ<<[其中0(,)P P ρ为P 和0P 二点间的距离]， 则()f P A ε-<, 我们就说0lim ().P P f P A →=特别地， 当2n =时， 可以得到0lim ().P P p D f P A →∈=在对于P D ∈不致产生误解时， 也可简单地写作0lim ().P P f P A →=当0, P P 分别用坐标00(,), (,)x y x y 表示时， 也常写作00li (.m ,)x x y y f x y A →→=注意：二元函数极限有时也称二重极限，它与一元函数极限存在着一定的差别，在二元函数极限中自变量趋于点的方向的任意性及方式的多样性，这是一元函数与二元函数极限的主要区别，也是造成二元函数极限、连续、偏导数、全微分概念间关系有别于一元函数相关概念间关系的根源。
三、极限的求法（一） 数列极限的求法1 极限定义求法由定义可以看到，用定义求数列极限的关键是：通常化为一常数与一含有n 的无穷小之和，从而得到ε<-a x n ，并依次求出N ，用N -ε定义进行求解。
因此，关键是找出N ，可以看成是关于正整数n 的函数，我们可以通过求解不等式ε<-a a n ，找到使ε<-a a n 成立，n 所要满足的条件，也就是不等式ε<-a a n 的解集。
该解集是自然数N 的无限子集.对同一个N ，ε并不唯一，因此，只需在该解集中找出一个作为N 即可.这样寻找N 的问题就转化成求解不等式ε<-a a n 的问题了。
（1）一般求法对一些较为简单的极限问题，可以先设ε<=-+=n n n a a a a x )(，通过用N -ε定义得出N ，其步骤如下：第一步：先找到这个常数a ，使得当∞→n 时，n a 无限地接近于a .第二步：0>∀ε，求出使ε<-a a n 成立的n 所要满足的条件——寻找N.第三步：取出N.例1.求)2121211(lim 2n n ++++∞→ 的极限.解：对),1(0<>∀δε欲使22112112212121112---=-+++++n n ,21221-2ε<=-=n n 只要ε12>n ，即ε1log 2>n ，故只需取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1log 2N ， 则当N n >时，就有ε<=-++++n n 21221212112 ，因此2)2121211(lim 2=++++∞→n n .（2）适当放大法其步骤如下：第一步：找出这个常数a ，使得当∞→n 时，n a 无限地接近于a ，将a a n -作适当放大成)(n g ，即对一切n ，有a a n -<)(n g 成立.第二步：0>∀ε，寻求使ε<)(n g 成立时n 所要满足的条件——寻找）（εN .第三步：求出N.例2 计算：n n n ∞→lim 的极限.解：由于,1≥n 有1≥n n ，令n n z n =-1，即n n z n +=1.从而有22212)1(11)1(n n n n n n n n n n n z n n z c z c z c z n -+>++++=+= 即22)1(1n z n n n -+>，或,)1(122n z n n n ->-）（解得n z n 2<. 于是，对n ∀，有n z n n n21<=-（适当放大，对n 没有限制）.故对0>∀ε，要想使ε<-1nn 成立，只需ε<n 2，解得22ε>n .取122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN .于是，对12,02+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀εεN ，当N n >，有，ε<-1n n 即1lim =∞→n n n .（3）条件放大法 在对a a n -进行放大时，有时需要对n 加以限制，这就是所谓条件放大法.具体步骤如下： 第一步：找出一个常数a ，使得当∞→n 时，n a 无限地接近于a ，将a a n -作条件放大成)(n g ，即当1N n >时，有)(n g a a n <-.第二步：0>∀ε，寻求使ε<)(n g 成立n 所要满足的条件——寻找2N .第三步： 取{}21,m ax N N N =.例3 已知lim n n a a →∞=，计算n a a a n n +++∞→ 21lim 的极限.解：因为.lim a a n n =∞→，所以,,01N ∃>∀ε当1N n >时，.ε<-a a n 于是，当1N n >时，有n a a a a a a a n a a a n n )()()(-2121-+-+-=++[]a a a a n a a a a a a n n N N -++-+-++-+-≤ 111][121 ,)(111εε+<-+<n m N n N n n m N其中 {}.,,,max 121a a a a a a m N ---= 又因为,0lim 1=∞→n m N n 于是对于上述的0>ε，存在2N ，当2N n >时，ε<n m N 1.取{},,m ax 21N N N =则当N n >时，有,221ε<-++a n a a a n所以n a a a n n +++∞→ 21lim=a2 极限运算法则法 我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大。
