Lebesgue积分

Lebesgue积分与Lebesgue测度Lebesgue积分是数学分析中的一种积分方法，它是由法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在20世纪初提出的。

与传统的黎曼积分相比，Lebesgue积分在理论上更加严密，也更加广泛地适用于各种函数类。

为了介绍Lebesgue积分，首先需要了解Lebesgue测度。

Lebesgue测度是由Lebesgue在衡量集合的大小时提出的一种新的测度方法。

在传统的黎曼积分中，我们通过将函数分解为若干小区间上的近似和来进行积分。

而Lebesgue积分则通过将函数关注的点和其取值联系起来，基于集合的度量来定义积分。

Lebesgue测度的定义从开区间扩展到一般的集合上，通过定义集合的外测度、内测度和可测性来确定集合的Lebesgue测度。

其中，外测度是通过向置换集合中的开区间进行测量所得到的上估计，而内测度则是通过向置换集合的闭区间进行测量所得到的下估计。

如果对于任意给定的正实数ε，可以找到一个开区间覆盖集合，使得这些开区间的总长度与集合的外测度之差小于ε，则称该集合是可测的，且定义其外测度为集合的Lebesgue测度。

Lebesgue积分的定义基于Lebesgue测度，它通过将积分的定义扩展到更广泛的函数类上。

传统的黎曼积分只适用于可积函数，即函数在有限闭区间上有界且有有限个间断点的函数。

而Lebesgue积分则可以对更一般的函数进行积分，包括不可积函数、无界函数和带有无穷间断点的函数。

它的优势在于，在定义和计算上更加简洁和自然。

Lebesgue积分的定义通过将函数的取值和其关注的点联系起来，将函数视为一个整体来进行积分。

对于一个非负的可测函数，Lebesgue积分被定义为函数图像下方的小矩形与x轴之间的面积之和，即以函数图像作为被积函数，Lebesgue测度作为积分定义的测度，进行积分运算。

Lebesgue积分的性质与黎曼积分相类似，包括线性性、有界性、可加性、保序性等。

Lebesgue积分与函数逼近Lebesgue积分是实分析中重要的概念，它是对实值函数进行积分的一种方法。

Lebesgue积分通过对函数在定义域上的分割，将函数值与定义域的测度关联起来，从而得到积分结果。

Lebesgue积分的引入解决了Riemann积分的一些固有问题，并且在函数逼近中也起到了重要的作用。

一、Lebesgue积分的引入Lebesgue积分是由法国数学家Henri Lebesgue在20世纪初期引入的，它是对实函数进行积分的一种新的定义与方法。

Riemann积分的定义是将定义域分割成n个小区间，然后在每个小区间内求和。

但是在某些情况下，Riemann积分的定义不够灵活，无法处理一些非常规的函数。

为了解决这个问题，Lebesgue引入了测度的概念，并将函数值与测度关联起来，从而定义了Lebesgue积分。

二、Lebesgue积分的定义Lebesgue积分的定义是通过将函数在定义域上的取值与定义域的测度相乘，然后求和得到的。

具体来说，给定一个实值函数f(x)，定义域为E，我们将定义域E分割成许多小区间，然后对每个小区间求函数f(x)在该区间上的值乘以该区间的测度，最后对所有小区间的积分结果求和，即可得到Lebesgue积分。

三、函数逼近与Lebesgue积分函数逼近是数学中一个重要的研究方向，它通过寻找一系列简单的函数来逼近复杂的函数。

在函数逼近的过程中，Lebesgue积分可以作为一个强大的工具，它可以帮助我们对复杂的函数进行分解和理解。

通过Lebesgue积分，我们可以将一个复杂的函数分解成一系列简单函数的线性组合，从而更容易理解函数的性质和特点。

这种分解可以用于研究函数的连续性、一致收敛性等重要性质。

此外，Lebesgue积分还可以用于证明许多重要的数学定理，如傅里叶级数的收敛性等。

四、Lebesgue积分的应用Lebesgue积分在实际问题中的应用非常广泛。

它可以用于概率论、偏微分方程、调和分析等领域。

lebesgue积分的几个充要条件Lebesgue分是一种实用的数学概念，它用于衡量定义在某一特定函数上的极限。

它于1902年由法国数学家H. 依拉克莱(Henri Lebesgue)提出，是现代分析学中最基础而又最重要的定义之一。

它被广泛用于各种不同的数学问题，如求解偏微分方程、研究随机过程、处理信号等等。

Lebesgue分的几个充要条件是：（1）长性：函数的积分和总面积大于等于0，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx≥0；（2）均值定理：当f(x)为连续函数时，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx既可以计算函数的积分，又可以计算函数的平均值，即有I=∫a[f(x)]dx=f(x)dx/n；（3）许使用分段/离散函数，一般情况下，可以用离散函数替代连续函数来计算积分，即可以用一个小的窗口，以一定的步长来计算离散函数的积分，而不需要使用连续函数；（4）法性质：即函数的积分可以分解为多个积分，并可以结合得到最后的总积分，即有I=∫af(x)dx=∑∫af1(x)dx+∫af2(x)dx+……+∫afn(x)dx；（5）盖定理：函数的积分可以用来表示定义域[a,b]的面积，也可以用来表示图像下面的积分面积，即有I=∫af(x)dx=∫bak(x)dx，其中k(x)为图像下面的函数；（6）换性质：函数积分的顺序是可以换的，即有I=∫af(x)dx=∫bf(b-x)dx；（7）线性性质：函数积分与系数相乘是线性关系，即有I=∫af(x)dx=c∫af(x)dx，其中c∈R。

Lebesgue分有很多种应用，它可以用来测量一个连续函数的极限界限，也可以用来计算多变量的函数的积分。

它也被广泛应用于函数分析、统计信号处理、最优化、概率和复变函数等领域，用来研究复杂的数学结构。

例如，可以用它来计算多元函数的导数、研究随机过程，解决最优化问题，研究复杂的微积分函数结构等等。

虽然Lebesgue分有一些明确的充要条件，但它们在实际应用中也不是绝对的。

勒贝格积分的概念在数学分析和测度论中，积分是求一个函数在某个区间内的累积量的基本工具。

对于一类较为复杂的函数传统的黎曼积分往往不够应用，这就引出了勒贝格积分的概念。

勒贝格积分由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lébeau）于20世纪初提出，它的重要性不仅在于其理论深度，还由于其广泛的应用。

勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义以测度为基础。

首先，需要了解可测函数与测度空间的概念。

测度在实数轴上，我们通常用“长度”来度量某个区间的大小。

例如，区间[a, b]的长度为(b - a)。

这种对长度的度量可以推广到更一般的情况下，即测度。

在更广泛的集合论和分析中，测度是一种赋予集合“大小”的方法。

设(X)为一个集合，若给定一个σ-代数()与一个非负的加法可数可加集函数()，则称((X, , ))为一个测度空间。

在此空间中，测度()为我们提供了一种量化能否对集合进行积分的方法。

可测函数一个函数是可测函数，如果其逆像对所有开集在测度下都可测。

这一性质使得我们可以运用勒贝格测度理论进行分解和重构，使得我们能够对其进行积分操作。

令(f: X )为一个可测函数，并且定义勒贝格积分为：[ _X f d ]这里，(d) 表示对测度()进行积分。

对于Lebesgue积分，我们有一个更直观的在区间上的定义，这与概率论中的期望有些相似。

勒贝格积分与黎曼积分的区别传统黎曼积分是通过将区间分割成更小子区间，然后求每个子区间内对应函数图像下方矩形面积之和实现。

但这种方法对于不连续或具有复杂性质的函数不适用。

相比之下，勒贝格积分则更加灵活，允许我们对包含更多“维度”的未知数进行处理。

通过引入重复应用可测性的理念，勒贝格积分能够处理更多种类的函数和基于不同自变量域的问题。

勒贝格积分的一些重要性质勒贝格积分拥有众多重要性质，使其在数学及其它科学领域内被广泛应用。

线性性质：对于任意常数(a, b)和可积函数(f, g)，我们有[ (af + bg) d= a f d+ b g d. ]单调收敛定理：若一列可测非负函数(f_n)满足 (f_n f ,(n ))，则 [ f_n df d. ]重复应用：如有一列互不重合且具有有限长度的集合，可以得到如下结果： [ {{n=1}^{} E_n} f d= {n=1}^{} {E_n} f d. ]变化性与限制性：如果(f_n(x))逐点收敛到(f(x))，且(f_n(x))被某个可积函数所界限，则同样可以得到结论： [ _{n } f_n d= f d. ]这些性质提供了工具，使其不仅在纯数学理论中发挥作用，同时也能用于实际计算。

Lebesgue 积分引 言有100张各种面值的纸币,求总币值. )(x f :]100,0[,)(x f 的值有10种(略去1,2,5分)1.01=y ,2.02=y ,5.03=y ,14=y ,25=y ,56=y ,107=y ,208=y ,509=y ,10010=y . )(x f 在),1[k k -上取kn y ,100,,2,1 =k . 两种方法:(i)从左到右累加=S )]1()[(1001--∑=k k f k k ξk n k y 1001=∑=(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一s ,101≤≤s ,把所有取s y 的区间相加.s s y S 101=∑={}的区间长度之和所有取值为s y ⋅如:对⎩⎨⎧=01)(x D 上无理数为上有理数为]1,0[]1,0[x x Riemann 不可积.而对Lebesgue:)(0)(1Ω⋅+⋅m Q m ,即)(Q m 个1加上)(Ωm 个0结果为0.所以0)(10=⎰dx x D .对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue 积分,我们从最简单开始.§3.1非负简单函数的Lebesgue 积分设D 是可测集,{}k E 是有限个或可数个两两不相交的D 的可测子集,使得D E k = ,则{}k E 称为D 的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处k E 不一定是区间,是一般集合)设f 是可测集D 上的非负简单函数.此时f 可以表示为)()(1x a x f i E i si λ=∑=其中{}s i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数, 此时f在D 上Lebesgue 积分定义为:⎰D dx x f )()(1i i s i E m a ⋅∑==并且当⎰D dx x f )(∞<时,称f 在 D 上L 可积.(此时,未必D 测度有限,因∞=)(i E m 时,可能......10012......100y s0=i a ).如:Dirichlet 函数就是一个简单函数.以下介绍L 积分的基本性质.定理 3.1.1 设f 和g 是可测集D 上的两个非负简单函数,而且)()(x g x f = a.e.D,则它们在D 上的积分相等.(如:⎩⎨⎧=01)(x D 无理数有理数x x 与0)(≡x f 就是a.e.相等)证明:设)(x f )(1x a iE i Si λ=∑= D x ∈,其中{}S i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数;)(x g )(1x b jF j Tj λ=∑= D x ∈,其中{}T j j F ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数.此时只要j i F E 不是零测集(f 在其上为i a ,g 在其上为j b ),就有j i b a =.这样不管j i F E 是否为零测集,都有)(j i i F E m a ⋅)(j i j F E m b ⋅= 于是⎰Ddx x f )()(1i i S i E m a =∑=)]([11j i Tj i S i F E m a ==∑=)(11j i Tj i S i F E m a ==∑∑=(D F j = ,i F ,j F 两两不交))(11j i i T j Si F E m a ==∑∑=)(11j i j Tj Si F E m b ==∑∑=)(11j i Si j Tj F E m b ==∑∑= )]([11j i Si j Tj F E m b ==∑=)(1j j Tj F m b =∑=⎰=Ddx x g )(可见,L 积分与R 积分的差别是L 积分不计较零测集. 定理3.1.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数. (i)若)()(x g x f ≤ a.e.D 则dx x g dx x f D D ⎰⎰≤)()(; (ii))()(max D m x f fdx D ⋅≤⎰,特别0)(=D m 时, 0=⎰Dfdx ;(iii)若λ和μ是两个非负实数,则⎰+Ddx g f )(μλ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集,则⎰B A fdx ⎰⎰+=B A fdx fdx证明:(i)与定理3.1.1证明类似,只需注意当j i F E 不是零测集时j i b a ≤. (ii))(1i i S i DE m a fdx =∑=⎰{})()(max 11i Si S i E m x f ⋅∑≤≤≤={})()(max 1i Si E m x f =∑⋅={})()(max D m x f ⋅=(iii)由于{}T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1 是D 的一个分割,并且)()(x g x f μλ+)()(11x b a jiF E j i Tj S i χμλ+∑∑===从而⎰+D dx g f )(μλ)()(11j i j i Tj S i F E m b a ⋅+∑∑===μλ)(11j i i Tj Si F E m a ⋅∑∑===λ)(11j i j Tj S i F E m b ⋅∑∑+==μ)(1i i S i E m a ⋅∑==λ)(1j j Tj F m b ⋅∑+=μ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)⎰BA fdx ))((1B A E m a i i S i =∑=)(1A E m a i i S i =∑=)(1B E m a i i Si =∑+⎰⎰+=BAfdx fdx以上为简单函数的L 积分,若)(x f 只在D 非负可测,?=⎰D f 由前面,有非负简单函数列)()(x f x n ↑ϕ,则⎰⎰∞→=D n n D x f )(lim ϕ.有无问题?若又有)()(x f x n ↑ψ,则⎰⎰∞←=Dn n D x f )(lim ψ.二者等吗? 引理3.1.1 设g 和n f 都是D 上非负简单函数,若满足 (i)对几乎所有D x ∈,{}1)(≥n n x f 单增;(ii))(lim )(0x f x g n n ∞→≤≤ a.e.D 则⎰⎰∞→≤Dn n Dx f gdx )(lim .证明:令{})(),(min )(x f x g x h n n = ,2,1=n ,则)(x h n 是非负简单函数,且{}↑≥1)(n n x h 在D 上几乎处处收敛于)(x g .情形1.∞<)(D m由Egoroff 定理,对任何0>ε,有D 的可测子集1D ,使ε<-)(1D D m ,而且在1D 上,)(x h n 一致收敛于)(x g ,从而有N ,使ε<-)()(x g x h n 1D x ∈∀ N n >∀即 )()()(x f x h x g n n +≤+<εε 1D x ∈∀ N n >∀ 由定理3.1.2⎰⎰⎰+≤+≤111)()(D n d n D f h g εε⎰1D g ⎰+⋅≤1)(1D n h D m ε⎰+⋅≤1)(1D n f D m ε⎰+⋅≤D n f D m )(ε从而⎰1D g ⎰∞→+⋅≤D n n f D m lim )(ε另一方面⎰-1D D g {})()(max 1D D m x g -⋅≤{})(max x g ⋅≤ε这样⎰D g ⎰⎰+=-11D D D g g {}[]⎰∞→++≤Dn n f x g D m lim )(max )(ε 而∞<)(D m ,{})(max x g 也有限,ε任意,所以⎰D g ⎰∞→≤Dn n f lim 情形2.∞=)(D m此时对每一1≥k ,令],[k k D D k -= ,则∞<)(k D m .由已证,有⎰kD gdx ⎰∞→≤kD n n dx f lim ⎰∞→≤D n n dx f lim ………………(*)而⎰kD gdx )(1k j j Tj D F m b ⋅∑== (因)()(1x b x g jF j T j χ⋅∑==,)(1j j Tj D F m b g ⋅∑==⎰) 又D D k ↑,所以()j k j F D F ↑ ,于是⎰∞→kD k g lim ()k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=lim 1)](lim [1k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=(单增时,测度和极限符号交换序))(1j j Tj F m b ⋅∑==⎰=Dg(*)式中令∞→k ,得 ⎰⎰∞→≤Dn n D f g lim 定理3.1.3 设{}n f 和{}n g 是可测集D 上两列非负简单函数,而且对几乎所有的D x ∈,{}1)(≥n n x f ,{}1)(≥n n x g 都单增收敛于相同的极限,则⎰∞→D n n dx f lim ⎰∞→=D n n dx g lim 证明:任意固定1≥n ,则对几乎所有的D x ∈,有)(lim )(lim )(0x f x g x g k k k k n ∞→∞→=≤≤ a.e.D 由引理3.1.1⎰⎰∞→≤Dk k D n dx f dx g lim令∞→n (与k 无关) ⎰⎰∞→∞→≤D k k D n n dx f dx g lim lim 类似⎰⎰∞→∞→≥D k k D n n dx f dx g lim lim所以⎰⎰∞→∞→=Dn n D n n g f lim lim。

lebesgue积分的定义Lebesgue积分是一种比Riemann积分更加广泛适用的积分方法。

在数学领域，积分是很重要的一个概念，它可以被认为是计算物理中的“面积”。

Lebesgue积分的定义是基于一个新的测度理论来表达，它可以更准确地描述实数轴上的一类函数，包括Riemann积分不能计算的函数。

具体来说，Lebesgue积分是通过将要被积函数划分为“小块”，然后将这些小块合并起来来计算函数的面积。

这些小块是由测度来定义的，测度可以被描述为函数对实数轴的一个“高度评估”。

简单来说，就是一个范围内的函数值被评估为该范围的大小，然后这些评估值加和就是函数的Lebesgue积分。

让我们更深入地了解一下这个定义：设$f(x)$是一个定义在实数轴上的函数，定义在一个长度为$b-a$区间上，用$[a,b]$表示。

$f(x)$的Lebesgue积分是由两部分组成：第一部分是一个非负函数，用$\varphi(x)$表示。

对于任意的$a\leq x\leq b$，$\varphi(x)$都是非负的。

第二部分是函数的符号，表示为$sgn(f)$。

对于任意的$\varphi$，下面的等式都成立：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(x_k)(x_{k+1}-x_{k})$$其中对于实数$k$，$x_k$是区间$[a,b]$上的分点，必须满足$$a=x_0\leq x_1\leq...\leqx_n=b$$ 而且$x_{k+1}-x_{k}<\delta$，其中$\delta$是一个正数。

Lebesgue积分的定义在很多方面都比Riemann积分更加强大。

例如，它允许有限函数的积分计算更加灵活，这是因为它可以处理任意类型的函数。

此外，Lebesgue积分允许无穷函数进行积分，而Riemann积分只能处理有界函数。

lebesgue积分第二中值定理
勒贝格积分第二中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是关于勒贝格积分的一种中值性质的表述。

与常见的拉格朗日中值定理不同，勒贝格积分第二中值定理关注的是积分函数在区间上的整体性质，而非单一点的导数值。

具体来说，勒贝格积分第二中值定理可以表述为：如果函数f在闭区间[a,b]上可积，且g是[a,b]上的单调函数，那么存在一个点c∈[a,b]，使得∫(a到b)f(x)dg(x) = g(b)f(c) - g(a)f(c)。

这里的∫(a到b)f(x)dg(x)表示f关于g的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。

这个定理的几何意义在于，它表明了一个函数在另一个单调函数的变化下的累积效应，可以通过一个单一的点来刻画。

这一点在许多数学和物理问题中都有着重要的应用，比如求解微分方程、计算面积和体积等。

此外，勒贝格积分第二中值定理的证明也具有一定的技巧性，它通常涉及到积分和微分的基本性质以及一些高级的数学工具，如勒贝格积分的定义和性质、单调函数的性质等。

总之，勒贝格积分第二中值定理是数学分析中一个重要的定理，它揭示了函数在区间上的整体性质，为数学和物理问题的求解提供了有力的工具。

lebesgue积分计算题Lebesgue积分是实分析中的一个关键的概念，它是一种扩展了黎曼积分的测度积分，可以更准确的描述非常规函数的积分。

在这篇文章中，我们将介绍Lebesgue积分的定义，包括它的测度基础，积分可测函数和积分的计算方法。

在正式介绍Lebesgue积分之前，我们需要先了解一些测度的基础知识。

一个测度是一个函数，它将一个定义在某个集合上的集合映射到实数上。

测度具有几个基本性质，包括非负性、单调性和可数可加性。

这些性质告诉我们如何将实数分配给集合，并在测量它们时保持合理。

了解了测度的基础知识后，我们可以开始介绍Lebesgue积分的定义。

首先，我们需要定义一个可测函数。

一个可测函数就是一个函数，它使集合上的测度完全明确。

换句话说，如果我们有一个可测函数，我们就可以准确地计算出集合的大小。

现在，我们可以定义Lebesgue积分。

给定一个可测函数f和一个测度空间(X, M, μ)，我们可以通过积分来定义f的Lebesgue积分。

具体来说，Lebesgue积分是一个正定积分，在集合X上的测度μ下，它的积分被定义为：∫fdμ = sup{∫gsdμ | s ≤ f ≤ g, s,g是简单函数}其中，简单函数是一个形式为有限和的函数：s=ΣαχE(α)其中，E(α)是可测集合的交集或并集。

通过这种方式定义的Lebesgue积分适用于更广泛的函数类别，包括非连续函数和非绝对收敛函数。

在计算Lebesgue积分时，我们通常使用简单函数的逼近方法。

具体来说，我们首先定义一个适当的简单函数序列{s_n}，使得它逐渐收敛于目标函数f。

然后，我们计算{s_n}的积分，并将它的极限设为f的Lebesgue积分。

这种方法通常需要一些技巧和数学技巧，但一旦掌握，我们就可以计算复杂函数的积分。

最后，我们可以简要介绍一些计算Lebesgue积分的示例。

虽然这个主题很复杂，但以下是一些我们可以使用Lebesgue积分计算的函数：1. f(x) = x，a≤x≤b2. f(x) = sinx，0≤x≤π3. f(x) = 1/x，1≤x≤∞这些例子可以帮助我们了解如何使用Lebesgue积分计算各种函数的积分。

Lebesgue积分与收敛定理Lebesgue积分是数学分析中一种重要的积分方式，它由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出，并成为现代测度论的基础。

Lebesgue 积分理论相比于传统的黎曼积分理论更加广泛适用于各种函数，且具有更强的收敛性质。

Lebesgue积分的定义和计算方法相对复杂，但其背后的思想却非常直观。

Lebesgue积分是通过测量函数在定义域上的取值与所谓的测度之间的关系来定义的。

具体而言，给定一个定义在实数轴上的函数f(x)，我们可以将实数轴分割成许多维度无穷小的区间，并在每个区间上计算函数的取值与区间长度的乘积。

然后将所有这些乘积相加，即可得到Lebesgue积分。

与黎曼积分相比，Lebesgue积分的优势在于其更强的收敛定理。

在Lebesgue积分中，我们可以定义函数序列的极限，并通过极限的性质来研究函数的收敛行为。

其中最为重要的收敛定理包括单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue收敛定理和控制收敛定理等。

单调收敛定理是指如果一个递增（或递减）的函数序列在积分定义域上逐点收敛于某个函数，那么它的积分也收敛，并且其积分值等于极限函数的积分。

这一定理在研究一些特殊的函数序列，如三角函数序列和幂函数序列时特别有用。

Fatou引理和Lebesgue收敛定理则是用来研究函数序列的逐点收敛性质的定理。

Fatou引理是指对于任意一个非负的函数序列，其逐点极限的积分不能大于或小于其下极限（上极限）的积分。

Lebesgue收敛定理则是对一般函数序列加以推广的结果，它给出了函数序列逐点收敛的充要条件，并且得出了收敛函数的积分等于极限函数的积分。

控制收敛定理是通过额外的控制函数来研究函数序列的收敛性质。

具体而言，如果对于一个函数序列，存在一个可测函数g(x)和一个可积函数h(x)，使得对于所有的x，序列中的每个函数的绝对值都小于g(x)，并且序列中的每个函数与极限函数之间的差的绝对值都小于h(x)，那么这个序列就称为控制收敛的。

lebesgue积分的产生及其影响Lebesgue积分是由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出的一种新的积分概念。

它的产生对于数学分析领域产生了深远的影响，并且被广泛应用于实际问题的求解中。

在19世纪末，Riemann积分被广泛应用于计算函数的面积、求导以及求不定积分等问题。

然而，Riemann积分在处理一些特殊函数和奇异函数时存在一些困难。

因此，数学家们开始寻求一种更加广泛适用的积分方法。

Lebesgue积分的产生正是为了克服Riemann积分的局限性。

Lebesgue积分是通过将函数分解成简单函数的极限形式来定义的。

简单函数是一种由有限个常值函数构成的函数，通过将函数的定义域划分成若干个互不重叠的区间，然后在每个区间上取常值来逼近原函数。

Lebesgue积分的定义对于一般函数而言更加自然和一致，能够处理各种不连续、不可导的函数，同时也能够处理无界函数和复值函数等情况。

Lebesgue积分的引入对于数学分析领域产生了巨大的影响。

首先，Lebesgue积分的定义更加一般化，使得更多的函数可以被积分。

其次，Lebesgue积分的性质更加强大，能够处理更多的函数类。

例如，对于Riemann积分来说，函数的可积性和连续性是等价的，而对于Lebesgue积分来说，函数的可积性只需要满足函数的测度可测即可。

这使得Lebesgue积分更加灵活和广泛适用。

Lebesgue积分的引入还带来了新的测度理论，即Lebesgue测度理论。

Lebesgue测度是一种对于集合大小的度量方式，通过将集合分解成可数个互不相交的元素来衡量其大小。

Lebesgue测度的引入使得我们能够对非常规的集合进行测量，例如无理数集合、Cantor集合等。

Lebesgue测度理论不仅在数学分析中有广泛应用，还在概率论、统计学等领域中起到了重要作用。

Lebesgue积分的产生和发展也促进了数学分析领域的进一步发展。

基于Lebesgue积分的一系列理论，如Lebesgue空间、Lebesgue可测函数等，为分析学提供了更加严密的理论基础。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些复杂的函数和集合。

一、勒贝格可积函数的定义在介绍勒贝格积分之前，首先需要了解什么样的函数是勒贝格可积的。

给定一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个数I，对于任意给定的ε > 0，都存在一个分割P = {x0, x1, ..., xn}，使得当这个分割的任意一种选取方式下，对应的上下和满足：S*(f, P) - S(f, P) < ε其中S*(f, P)和S(f, P)分别表示上和下达尔差分和。

如果这个数I存在且唯一，那么称函数f(x)在闭区间[a, b]上是勒贝格可积的，此时这个数I就是函数f(x)在[a, b]上的勒贝格积分，记作∫[a,b]f(x)dx。

二、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多优良的性质，使得它在数学分析和实际问题中得到广泛应用。

以下是一些勒贝格积分的重要性质：1. 可积函数的有界性：勒贝格可积函数在定义区间上是有界的，即存在一个常数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有x∈[a, b]成立。

2. 线性性质：勒贝格积分具有线性性质，即对于任意可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数α、β，有∫[a, b](αf(x) +βg(x))dx = α∫[a, b]f(x)dx + β∫[a, b]g(x)dx。

3. 单调性质：如果在闭区间[a, b]上有f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。

4. 加法性质：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可积，且在点c∈[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。

Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。

下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。

一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。

给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。

Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。

二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。

Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。

Lebesgue积分的定义引言在实分析领域中，Lebesgue积分是一种对函数的广义积分的定义方法，由法国数学家Henri Lebesgue在20世纪初提出。

与传统的黎曼积分相比，Lebesgue积分更为一般化，并且具有更强大的性质。

Lebesgue积分的定义基于测度论的概念，通过引入测度来解决了传统黎曼积分中存在的各种局限性。

Lebesgue积分的定义Lebesgue积分的定义非常简洁明了，给定一个定义在实数轴上的非负可测函数f(x)，我们可以将其Lebesgue积分定义为：∫f∞−∞(x)dμ其中，dμ表示Lebesgue测度。

对于一般的可测函数f(x)，我们可以将其分解为正部分函数f+(x)和负部分函数f−(x)，即f(x)=f+(x)−f−(x)。

那么Lebesgue积分可以进一步表示为：∫f ∞−∞(x)dμ=∫f+∞−∞(x)dμ−∫f−∞−∞(x)dμLebesgue积分的定义核心是通过测度对函数进行衡量。

Lebesgue可测函数为了给出Lebesgue积分的定义，我们首先需要定义Lebesgue可测函数。

一个函数f(x)被称为Lebesgue可测函数，是指对于任意实数a，其集合{x|f(x)>a}是可测的。

Lebesgue可测函数的定义是基于测度论的，可以利用测度论的工具和结论来研究Lebesgue可测函数的性质。

Lebesgue积分与黎曼积分的关系Lebesgue积分与黎曼积分是两种不同的积分方法，但它们之间存在一定的联系。

当函数f(x)在有限区间上是黎曼可积时，它也必然是Lebesgue可测的，并且黎曼积分值与Lebesgue积分值相等。

然而，黎曼积分的定义对于一些特殊的函数是无法处理的，比如Dirichlet函数，在这种情况下，黎曼积分值不存在，但是Lebesgue积分仍然存在。

Lebesgue积分的性质Lebesgue积分具有许多重要的性质，使得它成为实分析领域中不可或缺的工具。

第5章 勒贝格积分到现在我们为了建立勒贝格积分已经做了必要的准备工作，我们有了可测集，可测函数的概念和理论，定义Lebesgue 积分的条件已经成熟. 本章我们讨论Lebesgue 积分的基本内容.§5.1 测度有限集上有界可测函数的积分1．有界可测函数积分的定义定义5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在，,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂. 若01:n D l l l αβ=<<<= 是[,]αβ的任一分点组，则记11()max()k k k nD l l δ-≤≤=-，1[]k k kE E l f l -=<≤.对任意的1[,]k k k l l η-∈，作和式1()nk k k S D mE η==∑，称()S D 为f 关于分点组D 的一个和数.如果存在常数A ，使得对任意的0ε>，总有0δ>，当任意分点组D 满足()D δδ<时，有|()|S D A ε-<.换句话说，()0lim ()D S D A δ→=时，则称f 在E 是Lebesgue 可积的，并称A 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作()EA f x dm =⎰.有时为了简便也记()EA f x dx =⎰，若[,]E a b =，则记[,]()a b A f x dx =⎰. 当()f x 是Riemann 可积函数时，其Riemann 积分仍沿用数学分析中的记法，记作()b af x dx ⎰.对[,]αβ的任意分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，有两个特殊的和数尤其重要：11()[]nk k k k S D l mE l f l -==<≤∑，111()[]nk k k k S D l mE l f l --==<≤∑.称()S D 和()S D 分别为f 关于分点组D 的大和数与小和数. 显然对于f 的任一和数()S D ，有()()()S D S D S D ≤≤.因此，极限()0lim ()D S D δ→存在当且仅当()0lim ()D S D δ→和()0lim ()D S D δ→都存在且相等.定理 5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是E 上的有界可测函数，则f 在E 上Lebesgue 可积.证明 因为()f x 是有界可测函数，所以有,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂.设sup{()}DS S D =，inf{()}DS S D =. 即S 是对(,)αβ的所有分点组D 的小和的上确界，S 是对(,)αβ的所有分点组D 的大和的下确界.往证S S =.首先证明：S S ≤，设01:n D l l l <<< ，01:m D l l l ''''<<< . 是对(,)αβ任意的两个分点组，则()S D S ≤，()S D S ≥.将D 和D '合并起来构成一个新的分点组，记为D ''，D ''可以看成分点组D 中又加进了一些分点，称为D 的一个加细，假设对任意k ，1k l -与k l 之间加入了某些分点1j l -'，1,,,k j j j j l l l ++''' ，（把1k l -和k l 算在内）即 111k k j j j j j k l l l l l l --++''''=<<<<= ，于是 111()[]nk k k k S D lmE l f l --==<≤∑111[]kj j n k i i k i j lmE l f l +--==''=<≤∑∑111[]kj j ni i i k i jl mE l f l +--=='''≤<≤∑∑()()S DS D ''''=≤ 11[]kj j n ii i k i j l mE l f l +-=='''=<≤∑∑11[]kj j nki i k i j l mE l f l +-==''≤<≤∑∑11[]nk k k k l mE lf l -==<≤∑()S D =. 这样，有()()()()S D S D S D S D ''''≤≤≤，同样的方法，有()()()()S D S D S D S D ''''''≤≤≤.这说明，对于任一分点组D ，加细后的分点组D ''，其大和数不增，小和数不减. 且由()()()S D S D S D '''≤≤， ()()()S D S D S D '''≤≤.说明对于任意一个分点组的小和数不超过其它任意一个分点组的大和数. 此即sup{()}inf{()}DDS D S D ≤，于是S S ≤.再证明S S =.设D 为任意的分点组，则由于()()S D S S S D ≤≤≤，有0()()S S S D S D ≤-≤-111()[]nkk k k k ll mE l f l --==-<≤∑()D mE δ≤.这样对任意的0ε>. 取分点组*D ，使*()D mEεδ<，则0S S ε≤-<. 由0ε>是任意的，有S S =. 令S S S ==，往证()0lim ()D S D S δ→=. 注意到()()S D S S D ≤≤，()()()S D S D S D ≤≤，所以()()()()S S D S D S D D mE δ-≤-≤， ()()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.因此|()|()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.所以()0lim ()D S D S δ→=.即f 在E 上Lebesgue 可积.注：本定理还证明了()f x 在E 上Lebesgue 可积，则()sup{()}inf{()}EDDf x dx S D S D ==⎰.例1 考察[0,1]上的Dirichlet 函数()D x .1,[0,1]()0,[0,1]x D x x ∈⎧=⎨∈⎩则()D x 在[0,1]上Lebesgue 可积，且[0,1]()0D x dx =⎰.证明 ([0,1]){0,1}[D =⊂-，对于(1,2)-的任一组分点:D 0112n l l l -=<<<= .当11()max{}0k k k nD l l δ-≤≤=-→时，0和1不能在同一个小区间上.设10(,]i i l l -∈，11(,]j j l l -∈，则1i j n ≤<≤. 取1[,]i i i l l η-∈，则是有理数；是无理数.1|||0|||()i i i i l l D ηηδ-=-≤-≤，因此当()0D δ→时，0i η→. 而1[()]j j E l D x l Q -<≤⊂（有理数集），所以1[()]0j j mE l D x l -<≤=.当,k i j ≠时，由于1[()]k k E l D x l φ-<≤=，则1[()]0k k mE l D x l -<≤=.因此11()[()]nk k k k S D mE l D x l η-==<≤∑11[()][()]i i i j j j mE l D x l mE l D x l ηη--=<≤+<≤ 1[()]i i i m E l D x l η-=<≤ 于是1()0()0lim ()lim [()]i i i D D S D mE l D x l δδη-→→=<≤0=，即[0,1]()0D x dx =⎰.我们知道()D x 在[0,1]不是Riemann 可积的，所以Lebesgue 可积函数类比Riemann 可积函数类要广.2．有界可测函数积分的性质定理5.1.2 设nE R ⊂，mE <∞，()f x 、()g x 都是E 上的有界可测函数，则 （i ）对任意的a R ∈，()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰；（ii ）若1,,m E E 是E 的可测子集，()i j E E i j φ=≠ ，1mi i E E ==，则1()()()mEE E f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰；（iii ）(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；（iv ）当()()..f x g x a e ≤于E 时，()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰；证明 证（ii ）. 只须就2m =的情形证明.设()(,)f E αβ⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 令111[]i i i E E l f l -=<≤，221[]i i i E E l f l -=<≤，1,2,,i n = . 那么121[]i i i i i E E E E l f l -==<≤ ，且12i i E E φ= ，所以12i i i mE mE mE =+，1,2,,i n = .对于分点组D ，用12(),(),()E E E S D S D S D 分别表示f 在12,,E E E 上对应D 的大和数.1()nE i i i S D l mE ==∑1211nniiiii i l mE l mE===+∑∑12()()E E S D S D =+ 该等式对任意的分点组D 成立.对任意的0ε>，存在(,)αβ的分点组1D ，使得111()inf{()}2E E DS D S D ε<+，也存在(,)αβ的分点组2D ，使得222()inf{()}2E E DS D S D ε<+.设*12D D D = ，则*D 即是1D 也是2D 的加细，因此12***()inf{()}()()()E E E E EDf x dx S D S D S D S D =≤=+⎰121212()()()()E E E E S D S D f x dx f x dx ε≤+<++⎰⎰由0ε>是任意的，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx ≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数和()sup{()}EDf x S D =⎰可证相反的不等式，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.证（iii ）. 设()(,)f E αβ⊂，()(,)g E αβ''⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，对(,)αβ''的任一分点组01:m D l l l αβ''''''=<<<= . 令1[]i i i E E l f l -=<≤，1[]j j j E E l g l -'''=<≤ 1[]ij i j j E E l g l -''=<≤11[,]i i j j E l f l l g l --''=<≤<≤1[]j i i E l f l -'=<≤，(1,2,,;1,2,,.)i n j m == 由此可知，E 可分解为有限个互不相交的可测集的并.1111n m n mij i j i j i j E E E E ===='=== .于是()()iji j ij E f g dx l l mE '+≤+⎰i ij j ij l mE l mE '=+.11()()ijn mEE i j f g dx f g dx ==+=+∑∑⎰⎰11nmiijji j l mE l mE ==''≤+∑∑()()f g S D S D'=+. 该不等式对(,)αβ的任意分点组D 和(,)αβ''的任意分点组D '都成立. 因为inf{()}f EDfdx S D =⎰，inf{()}g ED gdx S D ''=⎰.所以对任意的0ε>，有(,)αβ的分点组1D 和(,)αβ''的分点组1D '，使 1()()2f E S D f x dx ε<+⎰， 1()()2g ES D g x dx ε'<+⎰.因此可得11()()()f g Ef g dx S D S D '+≤+⎰()()EEf x dxg x dx ε<++⎰⎰由0ε>是任意的，有()()()EEEf g dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数及所有小和数的上确界可得相反的不等式. 因而()()()EEEf g dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证（i ）. 引理1 若()f x c ≡（常数），x E ∈. 则()Ef x dx cmE =⎰.因为存在,R αβ∈，使c αβ<<. 对(,)αβ的任一分点组01n l l l αβ=<<<= . 若1(,]i i c l l -∈，1i n ≤≤，则1[]i i mE l f l -<≤mE =，任取1(,]i i i l l η-∈，则1||()i i i c l l D ηδ--≤-≤.因此当()0D δ→时，i c η→.而当k i ≠时，1[]k k E l f l φ-<≤=，因而1[]0k k mE l f l -<≤=，于是11()0()01lim[]lim []nk k k i i i D D k mE lf l mE l f l δδηη--→→=<≤=<≤∑c mE =⋅.以下证明()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.若0a =，则()0af x ≡，x E ∈. 由引理1，()000()()EEEaf x dx mE f x dx a f x dx =⋅===⎰⎰⎰.若0a >，设()af x αβ<<，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= .由于()f x aaαβ<<，分点组D 相当于(,)a aαβ的一个分点组011:n l l l D a a a a aαβ=<<<= .任取1[,]i i i l l η-∈，则1,ii i l l a a a η-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 1111[]nni i i i i i i i l l mE l af l mE f aa ηη--==⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎣⎦∑∑，而1111()0()011lim lim nnii i i i i D D i i l l ll a mE f a mE f a a a aa a δδηη--→→==⎡⎤⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()E a f x dx =⎰，并且1()0()0D D δδ→⇔→，因此1()01()lim[]ni i i ED i af x dx mE laf l δη-→==<≤∑⎰11()01l i m ()nii iD E i l l amE f a f x dx a a a δη-→=⎡⎤=<≤=⎢⎥⎣⎦∑⎰.若0a <，则0a ->. 则0[()]Eaf a f dx =+-⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰于是()EEafdx a fdx =--⎰⎰Ea fdx =⎰.综上，对任意的a R ∈，有()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.证（iv ）. 引理2 定义在零测度集上的任何有界函数是可积的，而且积分为零. 事实上，设()f x 定义在E 上，0mE =，设()f x αβ<<，x E ∈. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，则由1[]i i E l f l E -<≤⊂，所以1[]0,1,2,,i i mE l f l i n -<≤== .于是，任取1[,]i i i l l η-∈，11[]0ni i i i mE lf l η-=<≤=∑，因此1()01()lim[]0ni i i ED i f x dx mE lf l δη-→==<≤=∑⎰.为证（iv ），令()()()F x g x f x =-，则()0..F x a e ≥于E . 由引理2，不妨设()0,F x x E ≥∈.设()(,)F E αβ⊂. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 对每一个1i n ≤≤，考察1[]i i i mE l F l η-<≤，其中1[,]i i i l l η-∈，若0i η<，则当()0D δ→时，0i l <，此时1[]i i E l F l φ-<≤=，因而1[]0i i i mE l F l η-<≤=.若0i η≥，则由1[]0i i mE l F l -<≤≥知1[]0i i i mE l F l η-⋅<≤≥，因此1()01()lim[]0ni i i ED i F x dx mE lF l δη-→==<≥≥∑⎰，于是()(()())EEF x dx g x f x dx =-⎰⎰ [()(())]Eg x f x dx =+-⎰ ()()EEg x dx f x dx =+-⎰⎰()()0EEg x dx f x dx =-≥⎰⎰. 因而()()EEg x dx f x dx ≥⎰⎰.推论 设mE <∞，且()f x 是E 上的有界可测函数，则||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.证明 因为||||f f f -≤≤，所以由定理5.1.2的（iv ）和（i ）有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰，即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理 5.1.3 设mE <∞，()f x 是E 上的有界可测函数，若()0..f x a e ≥于E ，且()0Ef x dx =⎰，则()0..f x a e =于E .证明 因为()0..f x a e ≥E ，则[0]0mE f <=，且[0]()0E f f x dx <=⎰，若能证明[0]0mE f >=，则定理得证.[0][0][0]E E f E f E f ==<> .令1,1,2,n E E f n n ⎡⎤=≥=⎢⎥⎣⎦ ，则1[0]n n E f E ∞=>= ，对任意取定的n N +∈，有 0()Ef x dx =⎰[0][0]()()E f E f f x dx f x dx <≥=+⎰⎰[0]()E f f x dx ≥=⎰[0]()()nnE E f E f x f x dx ≥-=+⎰⎰1()nn E f x mE n≥≥⎰所以0,1,2,n mE n == ，因此11[0]0n n n n mE f m E mE ∞∞==⎛⎫>=≤= ⎪⎝⎭∑ ，于是()0..f x a e =于E .§5.2 一般可测集上一般可测函数的积分对于广义Riemann 积分，有积分区间无限的广义积分和无界函数的广义积分，对于Lebesgue 积分也有无限测度集上的积分和无界可测函数的积分的情形.本节的任务就是讨论这种一般情形的积分.1．有限可测集上无界可测函数的积分（i ）非负函数情形 设nE R⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.N R +∈，称[]()m i n {(N f x f x N =为()f x 的N -截断函数.有了N -截断函数的概念，我们可以构造有界可测函数列{()}n f x .其中()[]()n n f x f x =.1,2,n = .显然，这样构造的函数列{}n f 满足：12()()()n f x f x f x ≤≤≤≤ ，x E ∈.并且lim ()()n f x f x =.因而12()()()n EEEf x dx f x dx f x dx ≤≤≤≤⎰⎰⎰ ，所以极限lim()n n Ef x dx →∞⎰存在（可能是+∞）.定义 5.2.1 设n E R ⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.()[]()n n f x f x =，,1,2,x E n ∈= .称lim ()n n Ef x dx →∞⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()n Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()n Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）一般函数情形定义5.2.2 设()f x 在n E R ⊂上可测，如果()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积，那么称()()EEf x dx f x dx +--⎰⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.当()f x +和()f x -都在E 上可积时，称f 在E 上可积.定义中要求()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积是因为如果()f x +和()f x -在E 上都不可积时，()Ef x dx +=+∞⎰且()Ef x dx -=+∞⎰.此时()Ef x dx +-⎰()()()Ef x dx -=+∞-+∞⎰，没有意义，因而没有积分值.若()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积时，()Ef x dx +-⎰()Ef x dx -⎰有意义，但可能为+∞或-∞.无论()Ef x dx ⎰是有限数，+∞或-∞，我们都说()f x 在E 上有积分值，当|()|Ef x dx <+∞⎰时，称f 在E 上可积.2．非有限测度可测集上的积分（i ）()f x 是非负可测函数设nE R ⊂，mE =∞.设12{(,,,):||,1,2,,}m n i x x x x m i n K =≤= .令m m E E =K ，则m mE <∞，1,2,m = ，且12m E E E ⊂⊂⊂⊂ 是单调增加集列，有1lim m mm m E EE ∞→∞=== .由前面讨论，()f x 在每个m E 上有积分值()mE f x dx ⎰.记()mm E J f x dx =⎰.则{}m J 是单调增加数列，极限lim m m J →∞存在（可能是+∞）.定义5.2.3 设n E R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的非负可测函数.称lim lim ()mm m m E J f x dx →∞→∞=⎰（m E 如上说明）为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()lim ()mEm E f x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）()f x 是一般可测函数定义5.2.4 设nE R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的可测函数.如果()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰至少有一个是有限数，则称()Ef x dx +⎰()Ef x dx --⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.若()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数，称()f x 在E 上可积.至此，非有限测度集和无界可测函数积分的概念已经建立，以下继续讨论积分的性质. 定理5.2.1 （1）设()f x 是E 上的函数，0mE =，则()0Ef x dx =⎰.（2）设()f x 在E 上可积，则[||]0mE f =∞=，即()f x 是E 上几乎处处有限的函数. 证明 （1）由0mE =，()f x 在E 上可测，所以[]n f +和[]n f -都是E 上的有界可测函数(1,2,)n = ，从而[]()0n Ef x dx +=⎰，[]()0n Ef x dx -=⎰，(1,2,)n = .所以()Ef x dx +=⎰lim []()0n n Ef x dx +→∞=⎰，()Ef x dx -=⎰lim []()0n n Ef x dx -→∞=⎰.于是()Ef x dx =⎰()Ef x dx +-⎰()0Ef x dx -=⎰.（2）令1[]E E f ==+∞，2[]E E f ==-∞.往证120mE mE ==.用反证法，若10mE δ=>，则对任意的正整数n ，有()[]()n EE f x dx f x dx ++≥≥⎰⎰1[]()n E f x dx n δ+=⎰，1,2,n = ，所以()Ef x dx +=+∞⎰，这与()f x 在E 上可积矛盾.因此必须有10mE =.同理可证20mE =.于是1212[||]()0mE f m E E mE mE =∞=≤+= .定理5.2.2 设()f x 在E 上可测，()g x 在E 上非负可积，|()|(),f x g x x E ≤∈，则()f x 也在E 上可积，且|()|()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰.证明 因为|()|()()f x f x f x +-=+，所以()()f x g x +≤，()()f x g x -≤.对任意的正整数,k n 有[]()kn E f x dx +≤⎰[]()kn E g x dx ≤⎰()Eg x dx <+∞⎰，所以对每一个正整数k ，{[]()}kn E f x dx +⎰，(1,2,)n = 是单调增加有上界的数列，有有限极限()kE f x dx +=⎰lim []()kn n E f x dx +→∞≤⎰()kE g x dx <+∞⎰.而{()}kE f x dx +⎰，(1,2,)k = 也是单调增加有上界的数列，也有有限极限()Ef x dx +=⎰lim ()kk E f x dx +→∞≤⎰lim ()kk E g x dx →∞⎰()Eg x dx =<+∞⎰.同理可证()Ef x dx -≤⎰()Eg x dx <+∞⎰. 因此()f x 在E 上可积.由|()|()f x g x ≤，x E ∈，有[||]()[](),1,2,n n f x g x n ≤= ，所以对每一个正整数k ，有[||]kn E f dx ≤⎰[](),1,2,kn E g x dx n =⎰ .令n →∞，有|()|kE f x dx ≤⎰(),1,2,kE g x dx k =⎰.令k →∞，有|()|Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.定理5.2.3 设E 是可测集，则（i ）当12,,,m E E E 是E 的互不相交的可测子集，1mi i E E ==，()f x 在E 上有积分值时，()f x 在每一个i E 上有积分值，且()Ef x dx =⎰1()E f x dx +⎰2()()mE E f x dx f x dx ++⎰⎰.特别地，当()f x 是E 上的非负可测函数时，()Ef x dx ⎰()iE f x dx ≥⎰，1,2,,i m = ；（ii ）对任意常数c ，()Ecf x dx =⎰()Ec f x dx ⎰；（iii ）若()f x ，()g x 都是E 上的可积函数，则[()()]Ef xg x dx +=⎰()Ef x dx +⎰()Eg x dx ⎰；（iv ）若()f x 在E 上有积分值，且()()f x g x =..a e 于E ，则()Ef x dx =⎰()Eg x dx ⎰；（v ）当()f x ，()g x 都在E 上可积，且()()f x g x ≤()x E ∈时，()Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.证明 证（i ）. 只须就2m =的情形证明，一般情形利用归纳法可证. 由定理5.1.2的（ii ），对任意的正整数,k m ，有[]km E f dx +=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx +++⎰⎰ ， []k m E f dx -=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx --+⎰⎰ ，先对m 后对k 取极限，有Ef dx +=⎰12E E f dx f dx +++⎰⎰， Ef dx -=⎰12E E f dx f dx --+⎰⎰.若()f x 在E 上有积分值，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰至少有一个是有限数，不妨设Ef dx+⎰是有限数，那么1E f dx +⎰2E f dx ++⎰是有限数.从而1E f dx +⎰和2E f dx +⎰都是有限数，因而()f x 在1E 和2E 上都有积分值，且()Ef x dx =⎰Ef dx +-⎰Ef dx -⎰()12E E f dx f dx ++=+⎰⎰()12E E f dx f dx ---+⎰⎰1()E f x dx =⎰2()E f x dx +⎰.当()f x 是E 上非负可测函数时，由()i i E E E E =- ，且()i i E E E φ-= ，1,2i =.则()Ef x dx =⎰()()iiE E E f x dx f x dx -+⎰⎰(),1,2iE f x dx i ≥=⎰.为证明（ii ）和（iii ），先证明如下结果：引理1 若(),()f x g x 是E 上的非负函数，0c >，则对任意正整数n 成立. （1）2[][][][]n n n n f g f g f g +≤+≤+； （2）[][]1[][][]n n nccc f cf c f +≤≤，其中[]nc 表示不超过nc的最大整数，而[]n f 等表示f 的n -截断函数.证明 （1）先证[][][]n n n f g f g +≤+. 设0x E ∈，若0()f x n <且0()g x n <，则000000[()()]()()[()][()]n n n f x g x f x g x f x g x +≤+=+.若0()f x 和0()g x 中至少有一个不小于n ，例如0()f x n ≥，则000[()()][()]n n f x g x n n g x +=≤+00[()][()]n n f x g x =+.再证2[][][]n n n f g f g +≤+.由于[][]n n f g f g +≤+，[][]2n n f g n +≤，所以[][]min{,2}n n f g f g n +≤+2[]n f g =+. （1）得证. （2）[]min{,}min{,}n n cf cf n c f c==， 而min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nf f f c c c≤≤+.所以min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nc f c f c f c c c≤≤+.于是[][]1[][][]n n n ccc f cf c f +≤≤. （2）得证.证（ii ）. 若0c =，则0cf =()x E ∈.对任何正整数,k m 有()000kkk E E cf dx dx mE ===⎰⎰，所以()lim ()0kEk E Ecf dx cf dx c fdx →∞===⎰⎰⎰.若0c >，则()cf cf ++=，()cf cf --=，由引理1的（2），[][]1[][][]m m mc cc f cf c f ++++≤≤，因此()()lim []km EEm E k cf dx cf dx cf dx +++→∞→∞==⎰⎰⎰[]1l i m[]km m E c k c f dx +→∞+→∞≤⎰Ec fd x +=⎰.另外()()EEcf dx cf dx ++=⎰⎰l i m[]km m E k cf dx +→∞→∞=⎰[]lim[]km m E c k c f dx +→∞→∞≥⎰Ec f dx +=⎰.因此()EEcf dx c f dx ++=⎰⎰.同理1()EEcf dx c f dx --=⎰⎰.所以()EEcf dx c fdx =⎰⎰.当0c <，可按定理5.1.2中的（i ）相应的情形证明.证（iii ）. 先设()f x 和()g x 都是非负可测函数.由引理1的（1），对任意的正整数m ，有2[][][][]m m m m f g f g f g +≤+≤+，所以对任意的正整数k ，有[][][]kkkm m m E E E f g dx f dx g dx +≤+⎰⎰⎰2[]km E f g dx ≤+⎰，由f 和g 是可积的，有lim[[][]]kkm m m E E k f dx g dx →∞→∞+⎰⎰()()EEf x dxg x dx =+⎰⎰，所以，lim []()()km m E EEk f g dx f x dx g x dx →∞→∞+≤+⎰⎰⎰2lim []km m E k f g dx →∞→∞≤+⎰.由左边不等式知f g +可积，有()EEEf g dx fdx gdx +≤+⎰⎰⎰.由右边不等式，有()EEEfdx gdx f g dx +≤+⎰⎰⎰.因此()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.再设()f x 和()g x 都是一般的函数.由于()f g f g ++++≤+，()f g f g ---+≤+.因此若,f g 都在E 上可积，则f g +也在E 上可积.因为()()()()f g f g f g f g f g +-++--+-+=+=+-+，所以()()f g f g f g f g +--++-+++=+++，因而[()][()]EEf g f g dx f g f g dx +--++-+++=+++⎰⎰，由已证结果，有[()()EEEEEEf g dx f dx g dx f dx g dx f g dx +--++-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以[()()()()EEEEEEf g dx f g dx f dx f dx g dx g dx +-+-+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.此即()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.证（iv ）. 设()()f xg x =..a e 于E ，()f x 在E 上有积分值，记1[()()]E f x g x ==，2[()()]E f x g x =≠，则20mE =，12E E φ= ，12E E E = .由（i ），12EE E fdx fdx fdx =+⎰⎰⎰12E E gdx fdx =+⎰⎰因为零测度集上的有界函数积分为零（§5.1引理2）.所以对任何正整数m ，2[]0m E f dx +=⎰，2[]0m E f dx -=⎰，因而22lim []0m E m E f dx f dx ++→∞==⎰⎰，22lim []0m E m E f dx f dx --→∞==⎰⎰.所以2()0E f x dx =⎰，同理2()0E g x dx =⎰.因为f 在E 上有积分值，所以由（i ），f 在1E E ⊂也有积分值，而在1E 上，f g ≡，因此g 在1E 上有积分值.对任意的正整数,m k ，由k mE <∞，[]m g +和[]m g -都是有界函数，依测度有限集上有界函数的积分定义，有121[][][][]kk k k m m m m E E E E E E E g dx g dx g dx g dx ++++=+=⎰⎰⎰⎰.令m →∞，k →∞，则1EE g dx g dx ++=⎰⎰.同理，1EE g dx g dx --=⎰⎰.因为g 在1E 上有积分值，所以g 在E 上有积分值.并且_EEEgdx g dx g dx +=-⎰⎰⎰11E E g dx g dx +-=-⎰⎰11E E gdx fdx ===⎰⎰12E E Efdx fdx fdx +=⎰⎰⎰.证（v ）. 设()()()F x g x f x =-，则()0()F x x E ≥∈，并且()F x 在E 上可积，且()0EF x dx ≥⎰，而(),()f x g x 都在E 上可积，并且()()()g x F x f x =+.由（iii ）()[()()]()()EEEEg x dx F x f x dx F x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰()Ef x dx ≥⎰.至此定理证毕.定理 5.2.4（积分的绝对可积性） 设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上可积的充要条件是|()|f x 在E 上可积，并且|()||()|EE f x dx f x dx ≤⎰⎰.证明 若()f x 在E 上可积，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰都是有限数，即f +和f -都在E 上可积，而|()|()()f x f x f x +-=+，由定理5.2.3的（iii ）有|()|()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=+<∞⎰⎰⎰，因而|()|f x 在E 上可积.反之，若|()|f x 在E 上可积，则由||f f +≤，||f f -≤，由定理5.2.2，f +和f -都在E 上可积，所以f 在E 上可积.并且由||||f f f -≤≤，有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰， 此即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理5.2.5（积分的绝对连续性） 设()f x 在E 上可积，则对任意的0ε>，存在0δ>，使得对于E 的任意子集A ，当mA δ<时，就有|()|Af x dx ε<⎰.证明 （1）先证明在mE <∞，且()f x 在E 上有界的条件下结论成立.设|()|()f x x E ≤K ∈，则任取可测集,A E ⊂|()|Af x dx ⎰|()|Af x dx mA ≤≤K ⋅⎰.对任意的0ε>，取εδ≤K，则当mA δ<时，有|()|Af x dx mA εε≤K ⋅<K ⋅=K⎰.（2）一般情形()f x 在E 上可积，则|()|f x 也在E 上可积，由lim [|()|]|()|nn n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰知，对任意的0ε>，存在正整数N ，使|()|[|()|]2NN EE f x dx f x dx ε-<⎰⎰.另一方面，由情形（1），对这个0ε>，存在0δ>，使当N A E ⊂，且mA δ<时，有[|()|]2N A f x dx ε<⎰，因此，当A E ⊂且mA δ<时，便有()|()||()||()||()|N NAAA A E A E f x dx f x dx f x dx f x dx -≤=+⎰⎰⎰⎰()||(||[||])[||]N NNN N A A E A E A E f dx f f dx f dx -=+-+⎰⎰⎰，因为()N N N A A E A E E E -=-⊂- ，所以|()|||(||[||])[||]NN NN N AE E E A E f x dx f dx f f dx f dx -≤+-+⎰⎰⎰⎰(||[||])[||]22NNN N EE A E f dx f dx f dx εεε=-+<+=⎰⎰⎰.例 1 设()f x 在[,]E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b af x x dx ϕε-<⎰.证明 设[||]n e E f n =>，则1[||]nn E f e∞==∞=.因为{}n e 是单调减少集列，所以1lim n n n n e e ∞→∞== .而由mE b a =-<∞知，1me <∞，因而1lim (lim )()[||]0n n n n n n me m e m e mE f ∞→∞→∞=====∞=由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，必存在正整数N ，使||4NN e N me f dx ε⋅<<⎰.令N N B E e =-，在N B 上由Lusin 定理，存在闭集N N F B ⊂和R 上的连续函数()x ϕ，使得（1）()4N N m B F Nε-<；（2）当N x F ∈时，()()f x x ϕ=，且sup |()|sup |()|NRF x f x N ϕ=≤.所以|()()||()()||()()|NNb ae Bf x x dx f x x dx f x x dx ϕϕϕ-=-+-⎰⎰⎰|()||()||()()|NNN Ne e B Ff x dx x dx f x x dxϕϕ-≤++-⎰⎰⎰|()()|NF f x x dx ϕ+-⎰2044N N me N Nεε≤+⋅+⋅+442εεε<++ε=.§5.3 Lebesgue 积分的极限定理本节讨论如下的问题，假设{}n f 是集E 上的一个函数序列，按某种意义收敛到f ，如果每个n f 在某种意义下都有积分，()f x 是否有积分？如果()f x 也有积分，n f 的积分之极限是否等于()f x 的积分？也就是极限与积分是否可以交换顺序的问题.我们会看到这个问题在Lebesgue 积分范围内得到比在Riemann 积分范围内更为完满的解决，这也正是Lebesgue 积分的最大成功之处.定理5.3.1（Lebesgue 控制收敛定理） 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，即|()|()..n f x F x a e ≤于(1,2,)E n = ，且()F x 在E 上可积，如果()()mn f x f x −−→，则()f x 在E 上是可积的，并且lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 若0mE =，结论显然成立，因此不妨设0mE >.由于mn f f −−→，由F·Riesz 定理，存在{()}n f x 的子列{()}i n f x ，使 lim ()()..i n i f x f x a e →∞=于E ，由|()|()..i n f x F x a e ≤于E 知|()|()..f x F x a e ≤ 于E . 因为()F x 在E 上可积，所以()f x 在E 上可积.往证lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（1）mE <∞因为()F x 在E 上可积，由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，存在0δ>，使当e E ⊂且me δ<时，有()4eF x dx ε<⎰.又因为m n f f −−→，所以存在N N +∈，使当n N ≥时，有[||]2n n mE mE f f mEεδ=-≥<，所以当n N ≥时，()4nE F x dx ε<⎰，因此|()()|n EEf x dx f x dx -=⎰⎰|(()())|n Ef x f x dx -⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|nnn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰2()()2nnE F x d x m EE mEε≤+⋅-⎰22εεε<+=.因此，lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（2）设mE =∞因为()F x 在E 上可积，对任意的0ε>，取,k m 充分大，使()[]()4km EE F x dx F x dx ε-<⎰⎰，所以()()()kkE E EE F x dx F x dx F x dx -=-⎰⎰⎰()[]()4km EE F x dx F x dx ε≤-<⎰⎰另一方面，在k E 上可测函数列{||}n f f -满足：||2..n f f Fa e -≤于,1,2,k E n = ，||0mn f f -−−→，k mE <∞.因此，由（1）的结果，存在正整数N ，使当n N ≥时||2kn E f f dx ε-<⎰.所以|()()|n EEf x dx f x dx -⎰⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰ 2()2kE EF x dx ε-≤+⎰.242εεε<⋅+=因此lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.综上定理得证.定理5.3.1' 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，若lim ()()..n n f x dx f x a e →∞= 于E ，则()f x 在E 上可积且lim ()()n n Ef x dx f x dx →∞=⎰.定理5.3.1''（勒贝格有界收敛定理） 设mE <∞，{()}n f x 是可测集E 上的可测函数列且测度收敛于()f x ，如果{()}n f x 一致有界，即存在常数M ，使得对任意的x E ∈和对任意的正整数n ，有|()|n f x M ≤，则()f x 在E 上可积，且有()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.定理5.3.1''对于Riemann 积分不适用.例1 设12{,,,,}n r r r 是[0,1]中的全体有理数. 作如下函数列：1111,;()0,[0,1]{}.x r f x x r =⎧=⎨∈-⎩ 122121,,;()0,[0,1]{,}.x r r f x x r r =⎧=⎨∈-⎩ … … … … … … … …12121,,,,;()0,[0,1]{,,,}.n n n x r r r f x x r r r =⎧=⎨∈-⎩… … … … … … … …那么{()}n f x 在[0,1]上一致有界，|()|1,[0,1],1,2,n f x x n ≤∈= . 而且1,()()0,n f x D x ⎧→=⎨⎩因为每个()n f x 在[0,1]上只有有限个不连续点，因而Riemann 可积，然而()D x 在[0,1]上不是Riemann 可积的.定理5.3.2（勒维Levi ，1875-1961，意大利数学家） 设 （i ）{()}n f x 是E 上非负可测函数列； （ii ）1()()n n f x f x +≤ (,1,2,)x E n ∈= ； （iii ）()lim ()n n f x f x →∞=，则()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 先设()Ef x dx <∞⎰，对任意的0ε>，取正整数,k m ，使[]()()2k m E E f x dx f x dx ε>-⎰⎰.此处k k E E =K ，12{(,,,)k n x x x K = ：||,1,2,,}i x k i n ≤= .注意到k mE <∞，且在k E 上[]()lim[]()m n m n f x f x →∞=，由Egoroff 定理知，存在k E E ε⊂，使4mE mεε<，且在k E E ε-上[]()n m f x 一致收敛到[]()m f x .设正整0n 使0n n ≥时，对一切k x E E ε∈-，都有x 为[0,1]上的有理数；x 为[0,1]上的无理数.0[]()[]()4(1)m n m k f x f x mE ε≤-<+则当0n n ≥时，()[]()[]()4k k n n m m EE E E E f x dx f x dx f x dx εεε--≥≥-⎰⎰⎰，而[]()[]()[]()kk m m m E E E E f x dx f x dx f x dx εε-=+⎰⎰⎰[]()4k m E E f xdx εε-<+⎰，所以当0n n ≥时，()[]()4k n m EE E f x dx f x dx εε->-⎰⎰[]()44km E f xdx εε>--⎰()Ef x dx ε>-⎰.因此lim()()n n EEf x dx f x dx ε→∞≥-⎰⎰，由0ε>是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞≥⎰⎰.另一方面，对任意的n ，显然有()()n f x f x ≤()x E ∈，所以()()n EEf x dx f x dx ≤⎰⎰，从而lim()()n n EEf x dx f x dx →∞≤⎰⎰.综上得lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.当()Ef x dx =∞⎰时，由积分定义，对任意的0M >.存在,k m 使得[]()km E f x dx M ≥⎰，由[]()[]()n m m f x f x →()n →∞与[]()km E f x dx <∞⎰及上面的证明，知lim []()[]()kkn m m n E E f x dx f x dx M →∞=≥⎰⎰.于是lim ()lim []()n n m n En Ef x dx f x dx →∞→∞≥⎰⎰lim []()kn m n E f x dx →∞≥⎰M ≥.由0M >是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∞=⎰⎰.定理得证.定理 5.3.3（Lebesgue 基本定理） 设{()}n f x 是可测集E 上的非负可测函数列，1()()n n f x f x ∞==∑，则1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.证明 设1()(),1,2,nn i i g x f x n ===∑ ，则{()}ngx 是E 上非负可测函数列，且1()()(,1,2,)n n g x g x x E n +≤∈= ，1lim ()()n n n n g x f x ∞→∞==∑()f x =.由Levi 定理有1lim ()(())()n i n EEEi g x dx f x dx f x dx ∞→∞===∑⎰⎰⎰，而1lim ()lim (())nn i n En Ei g x dx f x dx →∞→∞==∑⎰⎰1lim ()ni n Ei f x dx →∞==∑⎰1()i Ei f x dx ∞==∑⎰.所以1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.定理5.3.4（积分对区域的可数可加性） 若,1,2,i E i = 是E 的互不相交的可测子集列，1i i E E ∞== ，当()f x 在E 上有积分值时，则()f x 在每一个i E 上都有积分值，且1()()iEE i f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.。

riemann积分与lebesgue积分的区别Riemann积分与Lebesgue积分是数学中两种不同的积分方法。

虽然它们都可以用于计算函数在一个区间上的面积，但它们的计算方式、适用范围和性质等方面有很大的不同。

本文将从定义、计算方式、适用范围和性质等方面详细介绍Riemann积分和Lebesgue积分的区别。

一、Riemann积分的定义及计算方式Riemann积分是一种用有限和的方式来逼近函数在一个区间上的面积的方法。

它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，即$a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_n=b$，其中$Delta x_i=x_i-x_{i-1}$为第$i$个小区间的长度。

在每个小区间上取一点$x_i^*in[x_{i-1},x_i]$，则有$$int_a^bf(x)dx=lim_{Deltaxrightarrow0}sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Delta x_i$$其中$Delta x=max{Delta x_i}$为小区间长度的最大值。

Riemann积分的计算方式是将区间$[a,b]$分成许多小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，求出每个小区间上的面积，最后将所有小区间上的面积相加即可得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

二、Lebesgue积分的定义及计算方式Lebesgue积分是一种更加广义的积分方式，它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，$E$是$[a,b]$上的一个可测集合，定义$f(x)$在$E$上的积分为$$int_Ef(x)dx=int_a^bf(x)chi_E(x)dx$$其中$chi_E(x)$为$E$的特征函数，即$$chi_E(x)=begin{cases}1,xin E0,xotin Eend{cases}$$Lebesgue积分的计算方式是将函数$f(x)$在$[a,b]$上的值域分成许多小区间，然后将每个小区间上的面积相加，最终得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

勒贝格积分的定义和应用积分是高等数学中的一个重要概念，勒贝格积分是其中的一种。

本文将着重探讨勒贝格积分的定义和应用。

一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是法国数学家勒贝格（Henri Lebesgue）于20世纪初创立的一种积分。

与黎曼积分相比，它具有更广泛的应用范围和更强的理论基础。

首先，我们需要了解可积函数的概念。

对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果存在一个实数I，使得对于任意的ε>0，都存在一个宽度足够小的区间[a1,b1]，使得其中的任何一组点x1,x2,...,xn，满足有|Σ(fiΔxi)-I|<ε其中，Δxi=xi+1-xi，fi为xi,x(i+1)之间的任意点。

则函数f(x)在区间[a,b]上可积。

我们称这个实数I为函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼积分。

但是，黎曼积分并不能处理所有函数，比如说在区间[0,1]上的Dirichlet函数：1,x属于[0,1]的有理数f(x)=0,x属于[0,1]的无理数如果我们想对这个函数进行积分，我们会发现无论采取什么方法，这个函数在[0,1]上的积分都不存在。

因此，勒贝格引入了新的积分概念——勒贝格积分。

勒贝格积分的定义与黎曼积分不同，勒贝格积分是先将函数f(x)拆分成单调递增或递减的函数，然后再对其进行积分。

这样就能够处理其他类型的函数，比如Dirichlet函数。

二、勒贝格积分的应用勒贝格积分在实际应用中具有广泛的用途，下面将介绍其中的一些应用。

1.概率论概率密度函数是概率论中的一个重要概念。

对于一个随机变量X，概率密度函数f(x)表示X在某一区间内取值的概率密度大小。

而对于连续型随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(x)=lim(n->∞)[P(a<X<b)/n]其中，P(a<X<b)表示X在区间(a,b)内取值的概率，n则表示将区间(a,b)划分成越来越多的小区间。

那么，这个式子中的极限存在吗？答案是肯定的，因为f(x)是一个单调递增或递减的函数，因此可以使用勒贝格积分进行求解。

勒贝格积分计算以勒贝格积分（Lebesgue integral）是数学中的一种积分方法，在测度论中起着重要的作用。

它是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue）在20世纪初提出的，用来解决无法用黎曼积分解决的问题。

勒贝格积分是现代数学分析的基础之一，被广泛应用于概率论、泛函分析、调和分析等领域。

勒贝格积分的基本思想是通过测度来度量函数的大小。

在黎曼积分中，将定义域分割成若干小区间，然后计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积，并将这些乘积相加。

而在勒贝格积分中，我们将定义域分割成若干个可测集合，然后计算函数在每个可测集合上的积分，最后将这些积分值相加。

勒贝格积分的定义涉及到测度的概念。

测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。

在勒贝格积分中，我们需要定义一个合适的测度，称为勒贝格测度。

勒贝格测度可以用来度量定义域上的可测集合的大小，从而确定勒贝格积分的值。

勒贝格积分的定义是通过逐步逼近的方式来进行的。

首先，定义了可测简单函数的积分，这些函数可以用有限个取值来表示。

然后，通过逼近可测函数，将其分解成非负部分和负部分，并分别计算它们的积分。

最后，将非负部分的积分和负部分的积分相加，得到函数的勒贝格积分值。

与黎曼积分相比，勒贝格积分具有更广泛的适用性。

黎曼积分要求函数在定义域上连续，而勒贝格积分只要求函数是可测的。

因此，勒贝格积分可以处理更加复杂的函数，如间断函数、非可微函数等。

此外，勒贝格积分还具有良好的性质，如可加性、线性性、保序性等，使得它在数学分析中得到广泛应用。

勒贝格积分在概率论中有着重要的应用。

在概率论中，随机变量的分布函数是一种非减的右连续函数，可以用勒贝格积分来表示。

通过勒贝格积分，可以计算出随机变量在某个区间上的概率，从而研究随机变量的性质和分布规律。

在泛函分析中，勒贝格积分被用来定义函数空间的范数。

通过勒贝格积分，可以度量函数空间中的函数的大小，并研究其性质和结构。

Lebesgue不可积的例子介绍在测度论中，Le be sg u e可积性是一种重要的概念。

根据L ebe s gu e积分的定义，一个函数要满足一定的条件才能被Le be sg ue积分。

但是，也存在一些函数无法满足这些条件，从而导致它们不可积。

本文将介绍一些L e be sg ue不可积的例子，并对其进行详细的解释。

什么是Lebe sgue积分在介绍L eb es gu e不可积的例子之前，我们先来回顾一下L ebe s gu e积分的定义。

L e be sg ue积分是由法国数学家H en ri Léo nL eb es gu e在20世纪初提出的。

与R ie ma nn积分相比，Le be sg u e积分更加一般化，在更广泛的函数类上定义了积分。

对于给定的函数f(x)，我们可以在定义域上构造一个称为Le b es gu e 测度的函数m(E)，表示集合E的大小。

然后，通过将函数的值与测度函数相乘，并对整个定义域上的集合进行累加，即可得到函数f(x)的L e be sg ue积分。

L e be sg ue积分的定义和性质相对复杂，这里不再赘述。

我们将重点介绍一些不满足L ebe s gu e积分条件的例子。

Lebes gue不可积的例子1.D i r i c h l e t函数D i ri ch le t函数是一个经典的例子，通常用符号D(x)表示。

它在实数轴上的定义如下：D(x)=-1,i fx是无理数-0,i fx是有理数D i ri ch le t函数在任意给定的小区间上没有平均值，因此无法满足L e be sg ue积分条件。

这使得Di ri ch let函数不可积。

2.C a n t o r函数C a nt or函数是另一个经典的例子，通常用符号C(x)表示。

它在实数轴上的定义如下：C(x)=-0,i fx在C an to r集上-1,i fx在C an to r集的补集上C a nt or函数具有非常奇特的性质。

lebesgue积分计算题Lebesgue积分是测度论中的一种积分方法，用于处理具有不规则性质的函数。

它是对函数进行广义积分的一种方式，可以处理不可测集和非绝对可积函数，因此在实际的数学和物理问题中具有重要的应用价值。

首先，Lebesgue积分的基本概念是通过将函数的定义域分割成不相交的可测集，然后对每个可测集上函数值的大小进行加权求和得到积分值。

因此，对于一个可测函数f，可以定义其Lebesgue积分为其定义域上所有可测集的函数值和加权求和的上确界。

这种定义方式更加一般化，可以处理各种不规则的函数。

接下来，我们需要引入Lebesgue测度的概念。

Lebesgue测度是一种广义的测度，用于测量集合的大小。

在讨论Lebesgue 积分之前，我们需要了解集合的测度概念。

Lebesgue测度可以通过将集合分割成一个个小区间来计算，然后对这些小区间的长度进行求和。

通过这种方式定义的测度具有很好的性质，可以处理各种类型的集合。

在Lebesgue积分中，我们经常使用简单函数来逼近一般的函数。

简单函数是形如有限个常数乘以可测集示性函数的函数。

通过将一般函数分解成简单函数的线性组合，可以更方便地进行计算。

然后，我们定义Lebesgue积分为简单函数逼近序列的极限。

这种逼近方法在计算实际问题中非常有用，因为可以将复杂的函数分解成简单的组成部分进行计算。

Lebesgue积分的计算方法还包括了测度论中的重要结果，比如Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue嗅探定理等。

这些定理给出了计算Lebesgue积分的重要工具和方法。

通过运用这些定理，可以处理各种复杂的测度和积分计算问题。

此外，还有一些实际应用中常用的Lebesgue积分计算技巧。

比如，利用对称性可以简化函数的积分计算，可以通过对函数的变换来得到更简单的表达形式。

另外，还有一些常见函数的Lebesgue积分计算公式，比如指数函数、三角函数等函数的积分计算公式。