1.2_勒贝格积分(tou_)例题

勒贝格测度举例勒贝格测度（LebegueMeasure）是一种快速、精确的测量单位，它是由法国数学家凯斯勒贝格（Henri Lebegue）首创的，并于1909年发表。

它的计算方式是在数理逻辑的基础上，通过给定的几何体的多维量度，来进行定量的、准确的测量。

勒贝格测度的基本原理勒贝格测度的基本原理是将一个几何体分割成若干小块，并通过对每一个小块的计算来获得这个体积或面积的总量。

在实际应用中，勒贝格测度可分为两个主要部分：（1）测量无限维几何体在测量无限维几何体时，勒贝格测度可将这个无限几何体分割到无限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。

（2）测量有限维几何体在测量有限维几何体时，勒贝格测度可将这个有限几何体分割到有限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。

勒贝格测度的应用勒贝格测度的应用广泛，可以用来测量概率、统计、地理学等领域中的几何体，也可以用来测量数学空间的大小。

（1）概率领域勒贝格测度已经在概率领域中广泛应用，在它的范围内，概率可以被定义为勒贝格测度的面积或体积。

它可以通过对几何体进行精密分析，计算出概率分布的准确性。

（2）统计领域勒贝格测度也在统计领域中得到了广泛的应用。

它可以用来准确测量不同集合的体积和面积，从而确定准确的条件概率分布，并可以更精确地估计统计抽样的量级和样本数量。

（3）地理学领域勒贝格测度也可以用来测量地球表面上不同地区的体积和面积，从而可以在决策过程中更加准确地准确表示地理空间中的空间分布关系。

（4）数学空间领域最后，勒贝格测度还可以用来测量数学空间中特定类型几何体的大小，比如多维球体、圆锥体等等，从而可以更准确地测量出这些几何体的体积或面积，提供更加准确的数学解答。

结论勒贝格测度是一种快速且精确的测量工具，它不仅可以用来测量无限维、有限维几何体的体积和面积，还可以用于概率、统计、地理学和数学空间等领域中的定量分析。

欧氏空间上的勒贝格积分在数学的海洋里，有一种神秘的东西叫勒贝格积分，听起来就像是高深莫测的术语，对吧？它的本质并没有那么复杂。

我们先从欧氏空间说起，欧氏空间就像一个广阔的舞台，任何函数都可以在这个舞台上尽情演出。

想象一下，你有一块面包，想要知道这块面包的面积。

你可以用尺子量一量，但这不是勒贝格积分的魅力所在。

勒贝格积分更像是一个聪明的厨师，他会把面包切成一片一片，逐渐累积，直到他得到了整个面包的完美尺寸。

这样的方法，想必吃货们都懂，分割好食物，慢慢品味，才能享受其中的美妙。

勒贝格积分的基本思想就是把复杂的东西简单化。

我们来看看积分的过程，想象你在沙滩上，沙子一粒一粒地撒在你的手心。

每一粒沙子都有它的分量，最后你合拢手心，捧住了所有的沙子。

这个过程就是勒贝格积分的核心，逐步积累，每一步都不放过。

比起传统的黎曼积分，勒贝格积分就像是一位耐心的老师，不急不躁，一步一个脚印，把你带入更加深奥的数学世界。

用这种方式，我们可以处理一些复杂的函数，甚至是那些在某些地方不太“听话”的函数。

谈到勒贝格积分，难免会提到可测性。

可测性就像是进门的门票，只有那些符合条件的函数，才能在这个美妙的世界里自由游荡。

简单来说，可测函数就像是在餐馆里的菜品，必须经过严格的检验，才能上桌给客人品尝。

可测性为勒贝格积分提供了一个稳定的基础，没有它，整个系统就像没有主厨的厨房，混乱不堪。

我们得确保所有的“食材”都是新鲜的，这样才能做出美味的佳肴。

勒贝格积分在实际应用中，简直就是无所不能！无论是统计学，还是概率论，甚至在物理学中，都能见到它的身影。

想象一下，你在一场抽奖活动中，每个人的中奖概率都不同，如何公平地计算每个人的机会？这时候，勒贝格积分就像是一个公正的裁判，它能帮助你合理分配资源，确保每个人都有机会。

没错，这就是数学的魅力，让看似复杂的事情变得井然有序。

也许你会问，这个勒贝格积分有什么实际意义呢？好吧，想象你正在制定一份理想的预算，每一笔开销都需要仔细计算。

勒贝格测度和勒贝格积分的理论与应用勒贝格测度和勒贝格积分是现代实分析中的重要概念，由法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）在20世纪初提出，为了解决传统黎曼积分的一些问题。

勒贝格测度和积分在实际应用中具有广泛的重要性，涵盖了概率论、测度论、函数分析等领域。

本文将介绍勒贝格测度和勒贝格积分的理论原理，并探讨它们在各个领域中的应用。

一、勒贝格测度的概念与性质1.1 勒贝格测度的定义勒贝格测度是一种广义度量，用于度量实数集合的大小。

对于实数轴上的任意集合，勒贝格测度通过测量其长度来描述其大小。

具体而言，设E是实数轴上的一个集合，对于给定的ε>0，我们可以通过开区间的并集来逼近E，然后计算其总长度。

当这个长度无论如何逼近时，我们定义这个极限为勒贝格测度，记作m(E)。

1.2 勒贝格测度的性质勒贝格测度具有以下性质：（1）非负性：对于任意集合E，其测度满足m(E)≥0。

（2）空集的测度为零：空集的测度为m(∅)=0。

（3）可列可加性：对于可列个互不相交的集合E_1，E_2，...，其并集E的测度满足m(E)= ∑ m(E_i)。

（4）单调性：若E_1⊆E_2，则m(E_1)≤m(E_2)。

二、勒贝格积分的概念与性质2.1 勒贝格可积性勒贝格积分是一种更一般的积分概念，可以处理更广泛的函数。

与黎曼积分不同，勒贝格积分是基于勒贝格测度的。

对于实数轴上的一个函数f(x)，如果存在一个可测集E，使得f(x)在E上有界，则称f(x)在E上勒贝格可积。

2.2 勒贝格积分的计算勒贝格积分的计算可以通过勒贝格积分的定义和勒贝格测度的性质来进行。

对于一个非负可测函数f(x)，其勒贝格积分记为∫f(x)dx。

可以将f(x)分解为非负函数的差，然后计算每个非负函数的积分，再将结果相加。

三、勒贝格测度和积分在实际应用中的例子3.1 概率论中的应用勒贝格测度和积分在概率论中扮演着重要的角色。

概率空间中的测度被称为概率测度，勒贝格测度提供了一种统一的度量方法，能够处理连续和离散的随机变量。

勒贝格积分练习题1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f =].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ.下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤m m k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,m m k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤= m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ )(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x xx f 31)(，计算[0,1]()f x dx ⎰.解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq .证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i ≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤n i ni i E n i E n i E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n q mE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n qn n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f +也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E =，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22f g +在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为22||||f g f g +≤+，由（1）22f g +在E 上可积.6.设+∞<mE ，)(x f 是E 上的非负可测函数，∞+<⎰Edx x f )(，})(|{k x f x E E k >=，试证明：0lim =⋅∞→dx mE k k l .证明：N k ∈∀，因为+∞<≤≤≤⎰⎰EE k dx x f dx x f kmE k)()(0，所以)(0)(10∞→→≤≤⎰k dx x f k mE Ek ，故0lim =∞→k l mE . 又因为⎰+∞<Edx x f )(，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）.0>∀ε,0>∃δ,使得对于任何可测集E A ⊂，δ<mA ，恒有⎰Adx x f |)(|⎰<=Adx x f ε)(.对于0>δ，由0lim =∞→k k mE ，得，存在N k ∈0，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤⎰dx x f mE k kE k )(0，从而0lim =⋅∞→k k mE k .7.设E 为可测集，且+∞<mE ，)(x f 为E 上的非负可测函数，}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，试证: )(x f 在E 上可积当且仅当级数∧∞=∑k k E km 1收敛.证：)(⇒设}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，N k ∈，因为)(x f 在E 可积，故∑∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=⋅=≥=111)(k k k E k E EmE k dx k f dx x f kk.即，级数∑∞=∧⋅1k k E m k 收敛.)(⇐N k ∈∀,因为}1)(|{+<≤=k x f k x E E k ，k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤⎰⎰)1()1()(，又dx x x f dx x f m kE EE )()()(χ⎰⎰=又dx x x f x f m kE EE )()()(χ⎰⎰=.因为∑∞==1)()()(k E x x f x f k χ，所以=⎰dx x f E)(∑∑⎰∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=∞=+≤===1112,991)()()()()()(()(k k k k E k E EL TH P k E EEmE kmE dx x f x x f dxx x f x f kk k χχ基本定理+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.从而，)(x f 在E 上可积.8.设f 是R '上的可积函数，证明：⎰=-+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f .证明：（1）先证：0>∀ε，存在时直线R '上的连续函数)(x ϕ，使得⎰<-+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于N n ∈∀，记：⎪⎩⎪⎨⎧-<->≤=N x f N N x f N Nx f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([ ],[b a E x =∈.则：⎪⎩⎪⎨⎧-<+>-≤=-N x f N x f N x f N x f N x f x f x f n )(,)()(,)(|)(|,0)]([)(. 则=-⎰dx x f x f b a n |)]([)(|],[dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>- +dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰≤- =dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>-dx N x f N f E |)(|)|(|⎰>+≤dx x f N f E |)(|)|(|⎰>≤.因为)(x f 在],[b a 是lebesgue 可积的，故0>∀ε，0>∃δ，使E A ⊂，δ<mA 时，恒有Adx x f Aε<⎰|)(|，又因为∞=1|)}(|{n f E 是单调的集列，并且)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n .从而，=>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n0)|(|=+∞=f mE .所以，对于0>δ，N ∈∃N ，使得4|)(|)|(|ε<⎰>dx x f N f E .对于N x f )]([，取04>=Nεη，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集],[b a F ⊂及R '上的连续函数)(x ϕ，使得（i ）F F N x x f |)(|)]([ϕ=（ii ）NF E m 4)(ε<-(iii) N x ≤|)(|ϕ 则242)(2||)|]([|][||][],[εεϕϕϕ=⋅<-⋅≤+≤-=-⎰⎰⎰--NN F E m N dx f dx f dx f FE N FE N b a N ，从而≤-+-≤-⎰⎰dx x f dx x f x f dx x x f b a NNb a |)(][||)]([)(||)()(],[],[ϕϕεεεϕ=+⋅≤-+≤⎰⎰>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E .(2)再证：0|)()(lim],[0=-+⎰→dx x f b x f b a h0>∀ε，由（1）知，存在R '上的连续函数)(x ϕ使得3|)()(]1,1[εϕ<-⎰+-dx x x f b a ，因为)(x ϕ在]1,1[+-b a 上一致连续，所以)1(0<>∃δδ使得],[b a x ∈∀，)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x -<-+εϕϕ，dx h x h x f dx x f h x f b a b a |)()(|)()(],[],[⎰⎰+-+≤-+ϕ+dx x h x b a |)()(|],[⎰-+ϕϕ+dx x f x b a |)()(|],[⎰-ϕ.因为],[b a x ∈时，)1|:|<<∀δh h ，有]1,1[+-∈+b a h x ，故dx h x h x f b a |)()(|],[⎰+-+ϕ3|)()(|]1,1[εϕ<-≤⎰+-dx x x f b a .所以≤-+⎰dx x f h x f b a |)()(|],[+-⎰+-dx x x f b a |)()(|]1,1[ϕdx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[⎰⎰-+-+ϕϕϕεεεε=++<333.故0|)()(|lim],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .9.设f 是E 上的非负可积函数，c 是任意常数，满足⎰≤≤Edx x f c )(0，试证：存在E E ⊂1，使得c dx x f E =⎰1)(.证明：设常数c ，合于⎰≤≤Edx x f c )(0，当⎰=Edx x f c )(时，存在E E=1，使得c dx x f E =⎰1)(，不妨设⎰≤≤Edx x f c )(0.先证：⎰-=Et t dx x f t F ],[)()(在),0[+∞上连续，),0[0+∞∈∀t ，0t t >∀，因为⎰⎰⎰⎰+=-=-≤----Et t Et t Et t Et t dx x f dx x f dx x f dx x f t F t F ],[],[],[],[00000)()()()()()(0，由积分的绝对连续性（P85，定理4），0>∃δ，E A ⊂∀，δ<mA ，有2)(|)(|ε<=⎰⎰AAdx x f dx x f .故，δ<-≤∀00:t t t ，因δ<-≤-00)),([t t E t t m ，δ<-≤00)],((t t E t t m ，故εεε=+=+=-≤⎰⎰--22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F .所以，)()(lim 00t F t F t t =+→.同理，对于),0[0+∞∈∀t ，用上述完全类似方法可得)()(lim 00t F t F t t =-→.故，)(t F 在 ),0[+∞上连续.又因为c dx x f dx x f EEt t t >=⎰⎰-+∞→)()(lim],[ （根据P89的定义4）.所以00>∃t ，使得c dx x f t F Et t >=⎰- ],[0)()(.故)()0(0t F c F <<，由)(t F 在闭区间],0[0t 上的介值定理（连续函数的介值定理），),0(01t t ∈∃，使得E E t t E ⊂-= ],[111，有c t F dx x f dx x f Et t E ===⎰⎰-)()()(1],[01.10.设g 是E 上的可测函数，P 是大于1的数，2是P 的共轭输，即111=+qp .如果对任意)(E L f P ∈，都有)(E L fg '∈，试证)(E L g q ∈.11，试证：（i ）1)1(1lim),0(1=+⎰+∞∞→dt tktkk k .(ii) dx x e dx x n x x n k ⎰⎰+∞-+∞-∞→=-),0(),0(1)1(limαα.证明：（i ）2≥∀k 时，（寻找控制函数） 当)10(≤<t t 时：tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；当1>t 时：2211)11(2)(!2)1(11)(1)1(1)(tk kt k k k t k t t kt t f kkkk k -≤+-+⋅+=≤+=224)211(2t t =-≤.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2，从而),0(+∞∈∀t ，)()(t F t f k ≤，且)(t F 在),0(+∞是-R 可积的，故)(t F 在),0(+∞是-L 可积的.又因为t t kk tt kk kk k k k e etkt t k tt f -∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11.由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t f dt t f dt t kt k k k k kk k ⎰∞-=),0(dt e t10==⎰+∞-dt e t .(ii)N n ∈∀,定义⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈-=-),(,0],0(,)1()(1n x n x x nx x f n n α，并且1)(--=αx e x F x ，),0(+∞∈x .),0(+∞∈∀x ,有)()1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==-=---∞→∞→αα.下面证明：N n ∈∀，)()(1x f x f n n +≤.事实上，),0(+∞∈∀x ，令t t x t G )1()(-=，),1[+∞∈t ，取)1ln()(ln txt t G -=，则 x t x t x t x tx t txt G t G -+-=-+-=')1ln(11)1ln()()(2.又记x t xt x t h -+-=')1ln()(，又因222)()()(11)(x t x x t t x x t x t x tx t h ---=---='0)()()(222<--=---=x t t x x t t tx x t x .所以，xt xt x t G t G t h -+-='=)1ln()()()(关于t 单调递减，且0)(lim =∞→t h t .故),1[+∞∈∀t ，有 0)(>t h ，即0)()()(>⋅='t h t G t G .故)(t G 在),1[+∞单调增加，从而， N n ∈∀)1()11()1()(1+=+-<-=+n G n x n x n G n n .所以)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +-+-=+-<-=αα.因此N n ∈∀，1)()(|)(|--=≤=αx e x F x f x f x n n ，),0(+∞∈x ..因为1)(--=αx e x F x 在),0(+∞上可积，由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰+∞--+∞∞→-∞→===-),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.12.设+∞<mE ，试证明：在E 上0⇒k f 当且仅当0||1||lim=+⎰∞→dx f f Ek k k .证明：)(⇒0>∀σ，N k ∈∀，因为)1|(|]||1||[σσσ-≥=≥+k k k f E f f E .因为0⇒k f （在E 上），所以， 0)1|(|lim )||1||{lim =-≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE.故在E 上，0||1||⇒+k k f f .又因为，N k ∈∀，1||1||≤+k k f f 且+∞<mE ，由lebesgue 有界收敛定理，有00||1||lim ==+⎰⎰∞→E E k k k dx dx f f .)(⇐对于0>∀σ，因≤+=≥+≤⎰≥Ef E k k dx f mE )|(|1)|(|10σσσσσσ⎰≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ)(0∞→→k .故，0)|(|lim 10≤≥-≤∞→δσσk k f mE .从而0)|(|lim =≥∞→δk k f mE .即0⇒k f .§4.2 lebesgue 积分极限定理一．Levi 定理（非负可测函数序列的积分与极限可交换性） 二．lebesgue 控制收敛定理.定理4（定理的绝对连续性定理）若f 在E 上可积，则0>∀ε，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mE ，有ε<⎰||Afdx .证明：因为f 可积，所以||f 可积（只需证：0>∀ε，ε<⎰||Afdx ）0>∀ε，+∞<=⎰⎰∞→EE m dx f dx f m||||lim .N m ∈∃,=-≤⎰⎰mE Edx f dx f ||||04||||ε<-⎰⎰mE Edx f dx f .又因为⎰⎰=∞→mmE E e l dx f dx f |||}{|lim .所以N e >∃，使4]|}{||[||}{|||0ε<-=-≤⎰⎰⎰dx f dx f dx f dx f e E E e E mmm.`要找0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有=+=⎰⎰⎰-mm E A E E A Adx f dx f dx f ||||||)(⎰⎰⎰+-+-mmm E A e E A e E E A dx f dx f f dx f |}{|]|}{||[|||)(=++<⎰mE A edx 44εε)(2m E A m e ⋅+εεεε=⋅+≤ee 22.定理5（lebesgue 控制收敛定理）设（i ）)(x f m ， ,2,1=m 是E 上可测函数序列.(ii) 存在非负可积函数)(x F 使得N m ∈∀，)(|)(|x F x f m ≤ ].[.E e a .(iii) f f m ⇒ 0(>∀ε,0}|)()(|{lim =≥-∞→εx f x f x mE m l .则f 在E 上可积，并且⎰⎰=∞→EEm l fdx dx x f )(lim .基础知识复习lebesgue Th （P60，定理4） R i e s z Th （P61，定理5）)()(x f x f m → ⇒].[.E e a f f Em ⇒ ⇒存在子列)()(:}{x f x f f i i m m → ].[.E e alebesgue 控制收敛定理的证明：因为f f Em ⇒，由Riesz Th ，存在子列f f i m → ].[.E e a .因此，f 在E 上可测.又因为N i ∈∀，F f i m ≤||.].[.E e a ，所以F f ≤|| ].[.E e a ，故||f 在E 上可积，从而，故f 在E 上可积，下证：⎰⎰=∞→E Emm dx x f x f)()(lim.（1）先证：+∞<mE 时，有⎰⎰=∞→EEmm dx x f x f)()(lim.0>∀ε,N m ∈∀,记})1(2|)()(|{+≥-=mE x f x f x E E m m ε.则=-≤-⎰⎰⎰Em EEm dx f f fdx dx f ||||⎰⎰-+--Em E E m dx f f dx f f m||||⎰⎰⎰+++≤-EE m E E dx f dx f dx mE mm||||)1(2ε⎰⎰+<+-+≤mmE E m Fdx Fdx E E m mE 222)()1(2εε.因为)(x F 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有⎰<AFdx 4ε.又因为0})1(2|)()(|{lim lim =+≥-=∞→∞→mE x f x f x mE mE m m m m ε，所以N m ∈∃0，0m m ≥∀时，有δ<m mE .故⎰<mE Fdx 4ε.从而εεε=⋅+<-⎰⎰422||EEm fdx dx f .即，⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.（2）再证：+∞=mE 时，也有⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.0>∀ε,因为⎰⎰=∞→EE m dx xF Fdx m)(lim，所以N M ∈∃，有4||ε<=-⎰⎰⎰-mmE E EE Fdx Fdx Fdx .则≤-+-≤-=-⎰⎰⎰⎰⎰-|)(||)(||)(|||mm E mE E mEm EEmdx f fdx f fdx f f fdx dx f|)(|||)||(|⎰⎰-++-mmE m E E mdx f f dx f f|)(||2⎰⎰-+≤-mmE mE E dx f fFdx|)(|2⎰-+<mE m dx f f ε.因为⎰⎰=∞→mmE E mm fdx dx flim（由1的证明），所以N m ∈∃0，0m m ≥∀有 2|)(|ε<-⎰mE m dx f f .即，εεε=+<-⎰⎰22||Eem fdx dx f .从而，.lim ⎰⎰=∞→Eem m fdx dx f推论（lebesgue 有界收敛定理）.设 （i ）+∞<mE（ii ）N m ∈∀，k x f m ≤|)(|（常数）].[.E e a 且)(x f m 在E 上可测 （iii ）f x f Em ⇒)(则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰=∞→EEmm dx x f dx f)(lim.定理6. )(x f 在],[b a 上-R 可积⇔)(x f 在],[b a 上的间断点集是一个零测集.三．vital 定理.定义1.设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，称F 是E 上的积分等度绝对连续函数簇，如果0>∀ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .基本性质：设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，则F 在E 上是积分等度绝对连续的0>∀⇔ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .证明：)(⇒0>∀ε，因为F 在E 上是积分等度绝对连续，所以0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，有ε<⎰||Afdx .记}0)(|{≥=+x f x E A A ，}0)(|{<=-x f x E A A ，则δ<+mA 且δ<-mA .所以，εεε=+<+≤-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-+22|||||||||A A A A A A Afdx fdx fdx fdx dx f dx f dx f .)(⇐直接的.定理7.(vital 定理).设 （i ）+∞<mE .（ii ）∞=1)}({n n x f 是E 上积分等度绝对连续函数簇.（iii ）f x f Em ⇒)(.则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰∞→=Enn Edx fdx f lim .证明：先证：f 在E 上可积.(找一个可积函数)(x F ，使得)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a（1）先证：N ∈∀i ，N ∈∃i N ，使得i N n m ≥>∀，恒有⎰≤-Ei n m dx x f x f 21|)()(|. 事实上，N ∈∀i ，取221+=i ε，由∞=1}{n n f 在E 上积分等度绝对连续性，0>∃i δ)21(ii ≤δ使得i E A ⊂∀，i mA δ<时，N ∈∀n ，⎰+≤Ai n dx x f 221|)(|.记})1(21|)()(|{)(2+>-=+mE x f x f x E i E i n n })1(21|)()(|{)(1+>-=+mE x f x f x E i E i m n nm ，则)()()(i E i E i E m n nm ⊂. 因为f f n ⇒，所以0)(lim =∞→i mE n n .所以对于0>i δ，N ∈∃i N ，i N n ≥∀，恒有2)(in i mE δ<，则i N n m ≥>∀时，i iim n nm i mE i mE i mE δδδ=+<+≤22)()()(.所以≤-+-≤-⎰⎰⎰-)()(|)()(||)()(||)()(|i E n m i E E n m En m nm nm dx x f x f dx x f x f dx x f x f11)(2)()()(2121)1(21|||||)()(|++-+⋅+++≤+≤-⎰⎰⎰⎰i i i E E m i E n i E m i E E n m nm nm nm nm dx mE dx f dx f dx x f x f ii i nm i i E E m mE 212121)(()1(21111+<++-++++.即（1）为真.又因为f f n ⇒，由Ri e s z 定理，)({x f n 有子列)({x f i n 使)({lim )(x f x f i n i ∞→=， ].[.E e a .不失一般性，N ∈∀i ，设i i N n ≥，于是，∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .令∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx F i i .(2)再证：)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a 且⎰+∞<EFdx .事实上，|)()()((||)(|111∑∞=+-=+i n n n x f x f x f x f i i |)(||()(||111∑∞=+-≤+i n n n x f x f x f i i )(x F = ].[.E e a由lebesgue 基本定理（第82页，定理2），有dx x f dx x f x fFdx i En En n Ei i |)(||()(||111∑⎰⎰⎰∞=+-≤++∞<+≤⎰∑∞=dx x f En i i|)(|2111.从而)(x F 在E 可积，又由)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a .f 在E 上可积. 最后证：⎰⎰=∞→EEn n fdx dx f lim .0>∀ε,因为f 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mA ，有3||ε<⎰Adx f .取充分大的自然数0i 使},3min{210δε<i ，则0i N n ≥∀时，有δδ<<<+1000212)(i in i mE ，从而，dx fdx f fdx f dx x f i E ni E E nEEn n n ⎰⎰⎰⎰+-≤--)()(00|||||)(|dx f i E n ⎰+)(0||321)(()1(212020ε++-+≤++i n i i E E m mE 321212200ε++≤++i i 333εεε++=ε=.找一个可积函数)(x F 使得)(|)(|x F x f ≤].[.E e a .因为f f n ⇒，由Riesz 定理，存在子列：f f i n →].[.E e a .于是∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .则≤)(x f|)(||)()(|111∑∞=+-+i n n n x f x f x fi i ].[.E e a .记|)(||)()(|)(111∑∞=+-=+i n n n x f x f x fx F i i .则∑⎰⎰∞=+-=+1|)()(|1i En n Edx x f x f Fdx i idx x fEn i⎰|)(|.若N ∈∀i ，i En n dx x f x f i i 21|)()(|1<-⎰+ ，则+∞<⎰dx F E，即)(x F 可积.⇒ )(x f 在E 可积.。

勒贝格积分(2007-09-03 00:39:01)转载▼标签：分类：科普知识/探索数学积分是“和”的概念。

即将东西加起来。

所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。

比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。

用极限法就可以求得精确的面积。

这是传统的积分概念(黎曼积分)。

勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。

比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。

又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。

用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25 =106。

用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。

结果是一样。

但对于一些“坏”函数，结果是不一样。

比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：Y=1，当X是无理数；Y=0，当X是有理数。

求该函数覆盖的面积。

黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。

用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。

[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。

而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。

所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。

这就解释了上述计算结果。

由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。

这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。

数学实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式 110[()()]2n i i i hT f x f x -+==+∑ 2()12b a E h f η-''=- [,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。

但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。

所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。

为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。

根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出的，它是黎曼积分的一种推广和扩展。

1. 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义是基于集合论的，它将函数的积分看作是对函数在某个区间上的值进行加权求和的过程。

具体来说，给定一个函数f(x)和一个定义在区间[a, b]上的集合E，勒贝格积分的定义如下：∫f(x)dμ = sup{∫φ(x)dμ | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)在E上几乎处处成立}其中，sup表示上确界，简单函数是指形如φ(x) = ΣaiχAi(x)的函数，其中ai是常数，Ai是区间[a, b]上的可测集合，χAi(x)是Ai上的特征函数。

2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，使得它成为了数学分析中不可或缺的工具。

以下是一些勒贝格积分的性质：（1）线性性质：对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dμ = a∫f(x)dμ + b∫g(x)dμ。

（2）单调性质：如果在E上几乎处处有f(x) ≤ g(x)，则∫f(x)dμ ≤ ∫g(x)dμ。

（3）绝对收敛性：如果∫|f(x)|dμ存在，则∫f(x)dμ也存在。

（4）有界性：如果在E上几乎处处有|f(x)| ≤ M，其中M是常数，则∫f(x)dμ存在且|∫f(x)dμ| ≤ M。

（5）积分与极限的交换：如果函数序列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，且存在可积函数g(x)使得|f_n(x)| ≤ g(x)在E上几乎处处成立，则有lim(n→∞)∫f_n(x)dμ = ∫f(x)dμ。

3. 勒贝格积分与黎曼积分的关系勒贝格积分是对黎曼积分的一种推广和扩展。

黎曼积分是通过将区间[a, b]划分成若干小区间，然后在每个小区间上对函数进行近似求和来定义的。

以下是一个关于勒贝格积分的计算例题：
设函数f(x)是E上的可积函数，对于E上的任意可测子集A，有∫A f(x) dλ = 0。

我们需要证明f(x) = 0，对E上的任意点x都成立。

证明：
首先，我们注意到对于任意的正整数n，集合En = {x ∈ E | f(x) > 1/n}是可测的。

这是因为f(x)的值大于1/n的点，必然落在某个开区间中，这个开区间是可测的。

因此，En 是E的可测子集。

由题设条件，对于任意的正整数n，我们有∫En f(x) dλ = 0。

同时，我们知道当n → ∞时，En → E（因为f(x) > 1/n的点越来越少，最终都落在了E 中）。

现在我们考虑以下极限：
lim n → ∞ ∫En f(x) dλ
这个极限等于∫E f(x) dλ（由控制收敛定理）。

但是，我们已经知道对于任意的正整数n，∫En f(x) dλ = 0。

因此，我们可以得出结论：∫E f(x) dλ = 0。

最后，由于f(x)是E上的可积函数，所以它必然是几乎处处等于0的。

也就是说，除了一个零测度的集合外，对于所有的x ∈ E，都有f(x) = 0。

实变函数勒贝格积分例题大家好！近两天去了合肥走亲戚，所以进度有所耽搁，希望大家见谅哈。

“实变函数学十遍”这句话，在我写完上一节笔记之后，就已经深刻的感受到了……实分析的难度随着我们笔记内容的推进也会不可避免的加深。

但是这门课的重要性同样是不言而喻的（至少我所有感兴趣的方向（经济，金融，统计，数据科学，数学）都要求我好好学实分析……）。

所以，这也是一个无法避开的坎，只能硬着头皮继续走下去……关于实分析和拓扑学两个系列的习题，因为自学的概念相关什么的都肯定不如老师说的要严谨认真，习题自然也肯定不如老师说的有针对性，所以初步计划是开学再统一更新这两个系列笔记的相关习题，希望大家能够耐心等待~这一节我们进入积分理论，从这一节开始探讨勒贝格积分的由来，性质和应用。

提供之前的笔记：我们开始今天的内容。

目录勒贝格积分（1）简单函数在测度有限集合上支持的有界函数一般非负函数（上）勒贝格积分（上）我们之前在数分中学过的积分都是黎曼积分，它考虑的分割对象，放到实分析中去考虑其实就是闭正方体。

上一节中我们已经提过了，在勒贝格积分中，考虑的对象就是可测集和可测函数。

所以下面所有的函数，都假定是可测函数。

那么如何引入勒贝格积分的呢？书上分了四步去讨论。

简单函数首先：考虑简单函数。

上一节中我们定义了简单函数\varphi(x)=\sum_{i=1}^{N}a_k\chi_{E_k}(x) ，其中 E_k 是测度有限的集合， a_k 是常数。

和定积分的定义不同，这个函数在集合的取法上抽象度高了很多。

而且有个麻烦的地方在于：这个简单函数的表示方法并不唯一。

这句话是什么意思？就是说，每一个简单函数，如果用特征函数的线性组合去表示，这个线性组合并不是唯一的。

常见的例子就是 0=\chi_E-\chi_E 。

你当然可以找到更多的关于 0 用特征函数的表示。

所以为了防止产生歧义，导致之后的勒贝格积分无法定义，数学家们人为规定了一种类型，作为以后我们主要的讨论对象。

勒贝格积分通俗理解
嘿，朋友们！今天咱就来唠唠勒贝格积分，这可真是个有意思的东西啊！
比如说，你想象一下，你要计算一块奇形怪状的土地的面积。

常规的积分就好像拿着把大尺子去量，可碰到那些弯弯扭扭的边界就傻眼了。

但勒贝格积分呢，就像是有一双超级厉害的眼睛，能把这片地的每一个小角落都看得清清楚楚！
咱再举个例子啊，假设你有一堆乱七八糟的糖果，有大有小，形状各异。

你要是用普通的方法来数它们的数量，可能会很麻烦。

但勒贝格积分就像是一个神奇的分类机器，能把这些糖果按照不同的特征精确地分类和计算。

勒贝格积分啊，它就像是一个聪明的小精灵，总能找到最巧妙的方法来解决问题。

它可不是那种死脑筋的家伙，会灵活地根据实际情况来调整计算方式。

还记得我之前学勒贝格积分的时候呀，那可真是绞尽脑汁。

我就跟它较上劲了，心想我还搞不定你了咋的！我就不断地研究、思考，和同学们一起讨论。

“嘿，你觉得这个勒贝格积分这里是不是应该这样理解？”“哎呀，
不对不对，应该是那样。

”在这种交流和争辩中，我们对勒贝格积分的理解越来越深刻。

它就像是一扇通往新世界的大门，一旦你走进这扇门，哇，原来数学的天地可以这么广阔！它让那些以前觉得很难搞的问题，一下子变得清晰起来。

嘞贝格积分真的太神奇了！它打开了我们的思维，让我们看到了更多的可能性。

大家千万不要被它一开始的复杂吓倒，只要用心去感受，去探索，你就会发现它的独特魅力！相信我，一旦你真正理解了它，你会像发现了宝藏一样兴奋不已！。

第四章 勒贝格积分本章介绍勒贝格积分理论.定义勒贝格积分有多种方法，本处采用从非负简单函数到非负可测函数，然后到一般可测函数的方法逐步建立勒贝格积分理论.§1 非负简单函数的勒贝格积分定义1 设n R E ⊂是可测集，)(x ϕ是E 上的非负简单函数，即E x x c x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，其中 nk k E E 1==,k E 是互不相交的可测集，k c 是非负实数（1≤k ≤n ），记⎰∑==Enk kk mEc dx x 1)(ϕ称⎰Ex dx x )()(ϕϕ为在E 上的勒贝格积分.显然，当⎰==Edx x mE 0)(,0ϕ时.下面的定理1说明非负简单函数的勒贝格积分值与其表示无关.定理1 设)(),(x x ψϕ是可测集E 上的非负简单函数，如果E x x x ∈=),()(ψϕ，则⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ证明 设E x x a x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，nk k k E E n k a 1),1(0==≤≤≥，E k 是互不相交的可测集，又E x x b x jF mj j ∈=∑=),()(1χψ，mj j j j F F E m j b 1,),1(0==≤≤≥是互不相交的可测集. 因为在E 上，)()(x x ψϕ=，所以对任何k 和),1,1(m j n k j ≤≤≤≤ 总有)()(j k j j k k F E m b F E m a ⋂=⋂，于是∑∑∑∑====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂=⋂=nk m j j k k k nk k nk k k F E m a E E m a mE a 1111)()()()(1111j k m j nk j j kmj kn k F E m b F Em a ⋂=⋂∑∑∑∑=====∑=mj j j mF b 1即⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ .定理2 设)(),(x x ψϕ是E 上的非负简单函数,则 (1)对任何非负实数c,有⎰⎰=EEdx x c dx x c )()(ϕϕ ；(2) ()⎰⎰⎰+=+EEEdx x dx x dx x x )()()()(ψϕψϕ ； (3)若,),()(E x x x ∈≤ψϕ则⎰⎰≤EEdx x dx x )()(ψϕ ，特别地，mE x dx x E⋅≤⎰)(max )(ϕϕ ；（4）若A 、B 是E 的两个不相交的可测子集，则⎰⎰⎰+=⋃BABA dx x dx x dx x )()()(ϕϕϕ .证明 仅证（2）式，其余作为习题.设 E x x a x ni A i i ∈=∑=)()(1χϕ，,)()(1E x x b x mj B j j∈=∑=χψ其中}{},{),1,1(0,j i j i B A m j n i b a ≤≤≤≤≥均为互不相交的可测集列，且 n i mj j i B A E 11====.易知jiB A n i mj i i b a x x ⋂==∑∑+=+χψϕ11)()()(所以())()()()(11j i Eni mj j iB A m b adx x x ⋂+=+⎰∑∑==ψϕ=)()(1111j i ni m j i j i ni mj i B A m b B A m a ⋂+⋂∑∑∑∑=====∑∑∑∑====⎪⎭⎫⎝⎛⋂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂m j n i j i j j i m j ni i B A m b B A m a 1111)()(=⎰⎰∑∑+=+==EEmj j j i n i i dx x dx x mB b mA a )()(11ψϕ定理3 设})({)},({x x n n ψϕ是E 上单调增的非负简单函数列，如果E x x x n n n n ∈=∞→∞→)(lim )(lim ψϕ，那么 ⎰⎰∞→∞→=En n En n dx x dx x )(lim )(lim ψϕ .证明 不妨设)(lim x n n ϕ∞→在E 上几乎处处有限，因为)}({x n ψ在E 上单调增，所以对任何自然数m ≥1，有)(lim )(lim )(x x x n n n n m ϕψψ∞→∞→=≤ .令 )}(),(m in{)(x x x f n m n ϕψ=,则非负简单函数列)}({x f n 收敛,且,)()(lim E x x x f m n n ∈=∞→ψ当+∞<mE 时，由Egoroff 定理，0>∀ε，存在可测集)(),()(,\,∞→<→→n x x f E E mE E m n ψεεεε上在使，于是存在N ≥1，当n>N 时，对一切εE E x \∈，)()()(x x f x n n m ϕεεψ+≤+<从而dx x dx x n E E m E E ))(()(\\ϕεψεε+≤⎰⎰dx x mE E n ⎰+≤)(ϕε因此， dx x mE dx x En E E n m⎰⎰∞→+≤)(lim )(\ϕεψε另外， )(m ax )(m ax )(x mE x dx x m m E m ψεψψεε⋅<≤⎰故 dx x dx x dx x m E m E E E m)()()(\ψψψεε⎰⎰⎰+=dx x mE x n En m )(lim ))((max ϕψε⎰∞→++<令0→ε，),1()(lim )(≥∀≤⎰⎰∞→m dxx dx x En n Emϕψ当+∞=mE 时，存在可测集列)1(,,,},{121≥+∞<=⊂⊂⊂⊂∞=k mE E E E E E E k k k k k 使.由上述证明知，对每个k ≥1， ⎰⎰⎰∞→∞→≤≤En n E n n E m dx x dx x dx x kk)(lim )(lim )(ϕϕψ .记 Tj j j Tj F j m F F E E x x a x j 11}{,,,)()(===∈=∑其中χψ是互不相交的可测集，)1(,0T j a j ≤≤≥，则由积分定义，∑⎰==Tj k j j E m E F m a dx x k1)()( ψ ,因为 j k j k mF E F m =∞→)(lim ，所以⎰⎰∑===∞→Em E Tj j j m k dx x mF a dx x k)()(lim1ψψ，于是 ⎰⎰∞→≤En n Emdx x dx x )(lim )(ϕψ,因此⎰⎰∞→∞→≤EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .同理可证相反的不等式，故⎰⎰∞→∞→=EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .§2 非负可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的非负可测函数，)}({x n ϕ是E 上单调增收敛于)(x f 的非负简单函数列，记⎰⎰∞→=En En dx x dx x f )(lim )(ϕ,称 )()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分，或L 积分，如果⎰+∞<Edx x f )(，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或L可积，简记为)(E L f ∈.由§1定理3知，非负可测函数的勒贝格积分值与非负简单函数列)}({x n ϕ选取无关.显然，若⎰=∈=Edx x f E x x f 0)(,,0)(则；若mE =0，则对于E 上的任何非负可测函数)(x f ， ⎰=Edx x f 0)( .定理1 设)(x f ,)(x g 是E 上的非负可测函数, 则 （1） 若 E x x g x f ∈≤),()(，则⎰⎰≤EEdx x g dx x f )()( ；（2） 若A 、B 是E 的可测子集，且B A ⊂，则⎰⎰≤ABdx x f dx x f )()( ；（3）若A 、B 是E 的可测子集，且φ=B A ，则⎰⎰⎰+=BA ABdx x f dx x f dx x f )()()( ；（4）若E e a x g x f 于..)()(=，则⎰⎰=EEdx x g dx x f )()( ；（5）对任何非负实数c ，⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（6）()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 证明由定义即得.定理2 （Levi 单调收敛定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，满足 （1） 1,..)()(1≥≤+n E e a x f x f n n 于；（2）,..)()(lim E e a x f x f n n 于=∞→则⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 因为)(x f n 是E 上非负可测函数（n ≥1），所以E x x x f n kk n ∈=∞→),(lim )()(ϕ，其中)}({)(x n k ϕ是单调增的非负简单函数列，于是⎰⎰∞→=En k k En dx x dx x f )(lim )()(ϕ ,令)}(,),(),(max {)()()2()1(x x x x k k k k k ϕϕϕψ = ,则对每个)(,1x k k ψ≥是E 上的非负简单函数，且E x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ ,E x k n x x k n k ∈≤≤≤),1(),()()(ψϕ ,又 E x x f x f x f x f x k k k ∈=≤),()}(,),(),(max {)(21 ψ ,所以 E x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()(ψϕ, （1） 从而dx x f dx x dx x Ek EEk n k ⎰⎰⎰≤≤)()()()(ψϕ .（2）固定n ，令∞→k ，由（1）和（2）式，有E x x f x f x x f k k k k n ∈=≤≤∞→∞→),()(lim )(lim )(ψ ,和dx x f dx x dx x f k Ek Ek k n E)(lim )(lim )(⎰⎰⎰∞→∞→≤≤ψ ,进一步，令∞→n ，则)(lim )(lim )(x x f x f k k n n ψ∞→∞→== ,及dx x dx x f k Ek En n )(lim )(lim ψ⎰⎰∞→∞→= .（3）于是，由非负可测函数勒贝格积分定义和（3）式，有⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .定理3 （逐项积分定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰∑⎰∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛En n E n n dx x f dx x f )()(11 .证明 由定理1，对每个n ≥1⎰∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛Ek nn E n k k dx x f dx x f )()(11令 )}({,)()(1x S x f x S n nk k n 则∑==是非负可测函数列，且 E x x S x S n n ∈≤+),()(1 ,E x x f x S n n n n ∈=∑∞=∞→1)()(lim ，由Levi 单调收敛定理知，dx x S dx x f n E n E n n )(lim )(1⎰⎰∑∞→∞==⎪⎭⎫⎝⎛ =⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞→∞→En k k n n En dx x f dx x S 1)(lim )(lim=()⎰∑⎰∑∞==∞→=Enn k Enk n dx x f dx x f 11)(lim .推论 设{E n }是可测集列，互不相交，∞==1n n E E 如果)(x f 是E 上的非负可测函数，则⎰∑⎰∞==En E ndx x f dx x f 1)()( .证明 令)1(,),()()(≥∈=n E x x x f x f n E n χ，则 )(x f n 是E 上的非负可测函数，且 ∑∞==1)()(n n x f x f ,⎰⎰=EnEn dx x f dx x f )()( .由逐项积分定理知∑⎰⎰∑⎰∞=∞===11)()()(n EnEn n Edx x f dx x f dx x f .定理4 设)(x f 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，),0[}{,+∞⊂+∞<n y mE ，满足)(,01∞→+∞→<<<<=n y y y y n n o其中 δ<-+n n y y 1，令,1,0],)(|[1=<≤=+n y x f y x E E n n n则)(x f 在E 上是勒贝格可积的充分必要条件是∑∞=∞<0n nn mEy ,此时⎰∑=∞=→En n n dx x f mE y )(lim 0δ .证明 不妨假设)(x f 在E 上处处有限，因为在E n 上，)0(,)(1≥<≤+n y x f y n n ，所以由定理1，对每个n ≥0，n n Enn n mE y dx x f mE y 1)(+≤≤⎰，由定理3的推论知，∑⎰⎰∞==0)()(n E Endx x f dx x f ,所以⎰∑∑∞=+∞=≤≤En n n n nn mE y dx x f mEy 010)(=∑∑∞=∞=++-01)(n n n n n n n mE y mE y y∑∞=+<0n n n mE y mE δ，因此结论成立.定理5（Fatou 定理） 设{})(x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim .证明 令1,),(inf )(≥∈=≥n E x x f x g k nk n ，则 g n (x)是E 上的非负可测函数，且E x x g x g n n ∈≤+),()(1，于是，由Levi 单调收敛定理知，⎰⎰⎰∞→∞→∞→==En n n E n n n Edx x g dx x g dx x f )(lim )(lim )(lim .因为 E x x f x g n n ∈≤),()(所以 dx x f dx x gEn En⎰⎰≤)()( ,从而⎰⎰∞→∞→≤En n n En dx x f dx x g )(lim )(lim ,因此，⎰⎰∞→∞→≤En n n n Edx x f dx x f )(lim )(lim .Fotou 定理中的严格不等式有可能成立，例如设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=]1,0[]1,0[0]1,0[)(n x n x n x f n ，易知 )1(,1)(],1,0[,0)(lim ]1,0[≥=∈=⎰∞→n dx x f x x f n n n ,所以1)(lim 0)(lim ]1,0[]1,0[=<=⎰⎰∞→∞→x f dx x f n n n n .§3 一般可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的可测函数，如果积分⎰⎰-+EEdx x f dx x f )(,)(中至少有一个是有限值，记⎰⎰⎰-+-=EEEdx x f dx x f dx x f )()()(，则称)()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分.如果上式右端两个积分值均是有限的，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或称)(x f 是E 上的勒贝格可积函数.通常把区间[a ,b ]上的勒贝格积分记成dx x f a b L )()(⎰,或 dx x f ab)(⎰.定理1 设)(x f 是E 上的可测函数，则 （1）)(x f 在E 上勒贝格可积的充分必要条件是)(x f 在E 上勒贝格可积，此时⎰⎰≤EEdx x f dx x f |)(||)(|；（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x f 在E 上几乎处处有限；（3）若)()(x g x f = ..e a 于E ，且)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x g 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x g dx x f )()(.证明 （1）)(x f 与)(x f 在E 上勒贝格可积的等价性由定义1和)()()(x f x f x f -++=即得，另外，由§2 定理1， ⎰⎰⎰⎰-+-++=+=EEEEdx x f dx x f dx x f x fdx x f )()())()((|)(|⎰⎰⎰=-≥-+EEEdx x f dx x f dx x f |)(||)()(| .（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则⎰⎰+∞<+∞<-+EEdx x f dx x f )(,)( ,对任何n ≥1，记])(|[n x f x E E n ≥=，则⎰⎰⎰⋅≥=≥++EE E n nnmE n dx x f dx x f dx x f )()()( ,所以 0lim =∞→n n mE ，而n n n E E x f x E ⊂=+∞=∞= 1])(|[ ,于是 0])(|[=+∞=x f x mE ，同理可证 0])(|[=-∞=x f x mE ，因此0]|)(||[=+∞=x f x mE ，即)(x f 在E 上是几乎处处有限的.（3）因为..)()(e a x g x f =于E ，所以..)()(),()(e a x g x f x g x f --++==于E ，再由勒贝格积分定义和§2定理1知结论成立.由定理1知，对于可测函数而言，其勒贝格可积性和积分值大小与零测集无关，因而我们总可以假定可积函数是处处有限的. 定理2 设)(),(x g x f 是E 上的勒贝格可积函数，则 （1） )(,1x cf R c ∈∀在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（2） )()(x g x f +在E 上勒贝格可积，且()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 （1）当0≥c 时，),())((),())((x cf x cf x cf x cf --++==于是 ⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf ))(())(()(⎰⎰-+-=EEdx x cf dx x cf )()(=()⎰⎰⎰=--+EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( ；当0<c 时, ()())()(),()(x cf x cf x cf x cf +--+-=-=, 所以()()⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf )()()(=()()⎰⎰+----EEdx x cf dx x cf )()(=[]⎰⎰⎰=--+-EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( .（2）因为|)(||)(||)()(|x g x f x g x f +≤+，所以当)(),(x g x f 在E 上勒贝格可积时，)(,)(x g x f 在E 上勒贝格可积，从而)()(x g x f +在E 上勒贝格可积，故)()(x g x f +可积.另外，由于-++-+=+))()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f , 又 ))()(())()(()()(x g x g x f x f x g x f -+-+-+-=+ ,所以 ,))()(())()(()()()()(-+-+-++-+=-+-x g x f x g x f x g x g x f x f 从而)()())()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f x g x f --+-+++++=+++ .于是由§2定理1（6），⎰⎰⎰-+++++EEEdx x g x f dx x g dx x f ))()(()()(=⎰⎰⎰--++++EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((因此⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((定理3 设函数)(x f 在E 上勒贝格可积， ∞==1n n E E ，E n 是可测集（n ≥1），且互不相交，则)(x f 在每个E n 上勒贝格可积，且dx x f dx x f Enn E⎰∑⎰∞==)()(1.证明 对每个n ≥1，)(x f 在E n 上勒贝格可积，（留作习题）.因为)(x f 在E 上勒贝格可积，所以由非负可测函数积分的可数可加性，+∞<=⎰⎰∑++∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,+∞<=⎰⎰∑--∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,于是⎰⎰∑⎰∑-+∞=∞=-=nnnE E n E n dx x f dx x f dx x f ))()(()(11=⎰∑⎰∑-∞=+∞=-nnE n E n dx x f dx x f )()(11=⎰⎰-+-EEdx x f dx x f )()(=dx x f E)(⎰ .定理4 (勒贝格控制收敛定理) 设)(x f 、)1)((≥n x f n 是E 上的可测函数，如果（1）)()(x f x f n →a . e.于E ,（2）存在E 上的勒贝格可积函数g (x )，使),()(x g x f n ≤ a. e.于E ，则)1)((),(≥n x f x f n 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 由（2），f (x ), f n (x )(n ≥1)在E 上勒贝格可积，且g (x )+f n (x )≥0 (n ≥1), a .e.于E . 由Fatou 定理,⎰⎰+≤+∞→∞→E n n E nn dx x f x g dx x fx g ))()((lim ))()((lim ,于是 ⎰⎰⎰⎰∞→∞→+≤+E n En En n Edx x f dx x g dx x f dx x g )(lim )()(lim )( , 从而⎰⎰⎰∞→∞→≤=E n En n n Edx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )( .同理，由g (x )－f n (x )≥0，（n ≥1），a.e.于E 知，()⎰⎰-≤-∞→Enn Edx x fdx x f )(lim ))(( ,即⎰⎰∞→-≤-En n Edx x f dx x f )(lim )(，所以， ⎰⎰∞→≥En n Edx x f dx x f )(lim )( ,因此⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .推论 设)(,x f mE n +∞< )1(≥n 是E 上的可测函数，如果 （1）..),()(e a x f x f n →.于E ，（2）M x f n ≤)(， a.e.于E ，(n ≥1) ,则 可积，且上在L E x f )(⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )(.定理5 （积分的绝对连续性）设f (x )在E 上勒贝格可积，则对任何ε>0，存在δ>0，对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，ε<⎰Adx x f )(证明 不失一般性，设f (x )在E 上非负可积. 令⎩⎨⎧>≤=nx f nn x f x f x f n )()()()(,则 )1,(),()(0≥∈≤≤n E x x f x f n ，且)()(lim x f x f n n =∞→，)()(1x f x f n n +≤.因为f (x )勒贝格可积，所以对每个n ，f n (x )是勒贝格可积的，于是由Levi 单调收敛定理，有⎰⎰∞→=EEn n dx x f dx x f )(lim )( ,因此，对任意正数ε>0, 存在N ≥1，使⎰<-≤EN dx x f x f 2))()((0ε.令 N2εδ=，则对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，()⎰⎰⎰+-=AAN AN dx x f dx x f x f dx x f )()()()(<εεεε=+<⋅+222mA N . 定理6 设f (x )是1R E ⊂上的L 可积函数，mE<+∞，则对任何ε>0，存在R 1上的连续函数g (x )，使⎰<-Edx x g x f ε)()(.证明 令[]n x f x E E n >=)(|，则1+⊃n n E E ，且[] ∞=+∞==1)(|n n x f x E E . 因为f (x )在E 上勒贝格可积，所以f (x )在E 上几乎处处有限. 又mE <+∞，故由可测集性质，[]0)(|lim =+∞==∞→x f x mE mE n n ,因此，由积分的绝对连续性，对任何ε>0，存在N ≥1，使⎰<≤NE N dx x f NmE 4)(ε.对于E\E N ，由第三章§3定理3，存在R 1上连续函数)(x g 和闭集N N E E F \⊂，使（1）[]NF E E m N N 4\)\(ε<，（2）f (x )=g (x ), ,N F x ∈ 且,)(sup 1N x g R x ≤∈ 于是⎰⎰⎰-+-=-EE E E NNdx x g x f dx x g x f dx x g x f \)()()()()()(⎰⎰⎰---++≤NNN NE F E E E dx x g x f dx x g dx x f )(|)()(||)(|)([]N N N F E E Nm NmE \)\(24++<εεεεε=++<244.例1 证明dy y f y x a b dy y f y x abdx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰ , 其中f (x )是[a ,b ]上的勒贝格可积函数. 证明 对任何1R x ∈,|)(|)()sin(y f y f y x ≤+所以函数 sin(x+y )f (y )在[a ,b ]上勒贝格可积,对任何0→n ε,令[])()sin()()sin(1)(y f y x y f y x y f n nn +-++=εε ,则|)(||)(|y f y f n ≤，且 )()cos()(lim y f y x y f n n +=∞→，由控制收敛定理，dy y f y x a b dy y f y x ab dx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰. 例2证明 0101lim 2223=+⎰∞→dx x n xn n .证明 易知]1,0[,01lim2223∈=+∞→x x n xn n ,令xx g xn xn x f n 2)(,1)(2223=+=，则)1()12(2)()(222323x n x xn nx x f x g n +-+=-， 当 0)12(2,1412323>-+≤<x n nx x n时；当 时nx 410≤≤,()04122122232323232323>⎪⎭⎫⎝⎛-≥-≥-+n n x n x n nx ,所以 1],1,0[),()(0≥∈≤≤n x x g x f n ，由习题6, g (x )在[0,1]上勒贝格可积，所以由控制收敛定理，0001101lim 2223==+⎰⎰∞→dx dx x n xn n .§4 黎曼积分与勒贝格积分本节介绍黎曼积分与勒贝格积分的关系，并给出黎曼可积函数的特征性质. 定理1 设f (x )是闭区间[a ,b ]上的有界函数，如果f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，则f (x )在[a ,b ]上勒贝格可积，且⎰⎰=bab adx x f L dx x f R )()()()( .证明 设|,)(|sup ],[x f M b a x ∈= 则0≤M<+∞.作[a ,b ]的分划D n 如下：D n : b x x a x n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 使1+n D 比n D 更细密，并且())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n.记 )(sup )(inf ],[)(],[)(11x f M x f m j j j j x x x n j x x x n j --∈∈==，作简单函数[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n j n n n n x x x m x x x m x L ，n k j ≤≤2，[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n jn n n n x x x M x x x M x U ，n k j ≤≤2，易知简单函数列{L n (x )}和{U n (x )}满足 )()(1x L x L n n +≤ , )()(1x U x U n n +≥ ,],[),()()(b a x x U x f x L n n ∈≤≤ .令 )(lim )(),(lim )(x U x U x L x L n n n n ∞→∞→==，则],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤ .因为对每个n ，],[,|)(|,|)(|b a x M x U M x L n n ∈≤≤，所以由有界控制收敛定理， ⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x L dx x L ,⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x U dx x U .另外，由简单函数勒贝格积分定义知，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D s x x m dx x L ，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D S x x M dx x U ,其中s (D n , f )与S(D n , f )分别是f (x )关于分别D n f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，所以),(lim ),(lim )()(f D S f D s dx x f R n n n n ba∞→∞→==⎰ ,从而 ⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a badx x U dx x L dx x f R ,注意到 ()⎰=-≥-],[,0)()(0)()(b a dx x L x U x L x U 及于是 U (x )－L (x )=0 a .e .于[a ,b ], 因此 f (x )=U (x )=L (x ) a .e .于[a ,b ].故f (x )在[a ,b ]上L 可积，并且⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a ba dx x U dx x L dx x f L ,于是 ⎰⎰=b a dx x f L dx x f abR )()()()(.以下我们给出黎曼可积函数的充分必要条件，先给出如下引理.引理 函数f (x )在],[0b a x ∈处连续的充分必要条件是对任意ε>0，存在包含x 0的开区间I ，使f (x )在I 上的振幅.ε<-=∈∈)(inf)(sup )(],[],[x f x f I w Ib a x Ib a x f证明 由连续函数的定义即得.定理2 设f (x )为[a ,b ]上的有界函数，则f (x )在[a ,b ]上黎曼可积的充分必要条件是它的不连续点的全体是零测集，即f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续.证明 必要性 因为f (x )黎曼可积，所以同于定理1的证明，做[a ,b ]的分划列{D n }和简单函数列{L n (x )}与{U n (x )}，得知.],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤， 进而],[..),()()(b a e a x f x L x U 于==，其中 )(lim )(),(lim )(x L x L x U x U n n n n ∞→∞→== .记D 是分划{D n }的所有分点所成之集，令 )}()()()(],,[|{x U x f x L x f b a x x E <>∈=或 ,E DF = ,则mF =0，下证f (x )在[a ,b ]-F 上连续.事实上，设E x D x F b a x ∉∉-∈000,,],[且则. 若f (x )在x 0处不连续，则由引理知，存在00>ε，对任何包含x 0的开区间I ，有0)(ε≥I w f . 因为D x ∉0，所以对每个n ，存在)1(00n k k k ≤≤，使())()(1000,n k n k x x x -∈，于是()0)()(100),()()(00ε≥=--n k n k f n n x x w x L x U ， 而 )(lim )(),(lim )(0000x L x L x U x U n n n n ∞→∞→==，所以0)()(000>≥-εx L x U ，这与E x ∉0矛盾，故f (x )在x 0处连续. 充分性设f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，且|f (x )|≤M ，],[b a x ∈. 作[a ,b ]上的一列越来越细密的分划{D n }，D n :b x x x a n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 满足：())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n同于定理1的证明，做简单函数列{U n (x )}和{L n (x )}，使1],,[,)(,)(≥∈≤≤n b a x M x L M x U n n ， 并且].,[),(lim )()(lim b a x x U x f x L n n n n ∈≤≤∞→∞→下证对于f (x )的任何连续点x ，有).()(lim )(lim x f x U x L n n n n ==∞→∞→事实上，设f (x )在x 处连续，则由引理，任给0>ε，存在开区间I =(α,β)，使ε<∈)(,I w I x f 且. 因为0→n D ，所以存在N ≥1，当n ≥N 时，},min{x x D n --<βα,另外，存在k 0(1≤k 0≤k n )，使[]I x x x n k n k ⊂∈-)()(100,，因此[]()ε<≤=--)(,)()()()(100I w x x w x L x U f n k n k f n n , 由ε的任意性知，).()(lim )(lim x f x L x U n n n n ==∞→∞→因为f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，所以].,[..)()(lim )(lim b a e a x f x L x U n n n n 于==∞→∞→又 ⎰=],[),()(b a n n f D S dx x U ,⎰=],[),()(b a n n f D s dx x L ,于是由勒贝格有界控制收敛定理， ⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x U f D S )()()(lim ),(lim ],[，⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x L f D s )()()(lim),(lim ],[,因此 ()0),(),(lim =-∞→f D s f D S n n n ,故f (x )在[a ,b ]上黎曼可积.例1 设⎩⎨⎧=,]1,0[1,]1,0[0)(中有理数为中无理数为x x x D 则D (x )在[0,1]上黎曼不可积.证明 因为D (x )在[0,1]上处处不连续，所以由定理2，D (x )在[0,1]上黎曼不可积. 例2 黎曼函数⎪⎩⎪⎨⎧=,]1,0[0,1)(上其它数为为任约真分数x q px qx ξ则ξ(x )在[0,1]上黎曼可积.证明 因为ξ(x )不连续点的全体为(0,1)中的有理数集，而该集合为零测集，所以由定理2，ξ(x )在[0，1]上黎曼可积.§5 重积分与累次积分在黎曼积分中，重积分可化为累次积分. 例如设D =[a ,b ]×[c ,d ], f (x ,y )是D 上的连续函数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ddx y x f abdy c d dy y x f c d dx a b dxdy y x f ),(),(),(本节我们在勒贝格积分中建立相应的定理——即富比尼（Fubini ）定理，由此看到，在勒贝格积分中重积分化为累次积分，以及积分次序的交换等问题中，勒贝格积分要求的条件比在黎曼积分时要求的条件弱得多，这再次显示了勒贝格积分的优越性. 一、富比尼定理设p 、q 是正整数，n =p +q ，此时R n 可以看成R p 和R q 的直积，即R n =R p ×R q . R n上的函数f 可以用f (x ,y )表示，其中,,q p R y R x ∈∈相应的积分可写成⎰⨯qp R R dxdy y x f ),(,称为重积分. 另一方面，固定),(,y x f R x p ∈看成q R y ∈的函数，令⎰=q Rdy y x f x F ),()(,则称[]⎰⎰⎰⎰⎰∆=p q ppqRRR R R dy y x f dx dx dy y x f dx x F ),(),()(为累次积分. 富比尼定理给出了等式⎰⎰⎰⨯=p q qp RRR R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(成立的条件. 定理1 （Tonelli ）设f (x ,y )是R p ×R q 上的非负可测函数，则 （1）对几乎所有的q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的； （2）⎰∈=q RP R x dy y x f x F 作为),()(的函数是非负可测的；（3）.),(),(⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f证明 由于非负可测函数是非负单调增简单函数列的极限，我们只需证)(x f 是R p ×R q 中可测集E 的特征函数的情形即可.以下分五种情形加以证明.情形1 E=I 1×I 2，其中I 1和I 2分别是R p 和R q 中的区间； 当1I x ∉时，f (x ,y )=0；当,1时I x ∈⎩⎨⎧∉∈=,,1),(22I y I y y x f所以对一切q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，并且⎰⎩⎨⎧∉∈==q R I x I x I dy y x f x F ,0,||),()(112于是 ⎰⎰⨯==p RI I I dx I dx x F 1||||||)(212 . 而⎰⨯⨯==qp R R I I mE dxdy y x f ||||),(21 ,所以⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f ),(),( .情形2 E 是开集；由开集结构知， ∞==1)(k k I E ，其中I (k) (k ≥1)是R p ×R q 中互不相交的半开半闭区间，记)(2)(1)(k k k I I I ⨯=，其中)(2)(1k k I I 和分别是R p 和R q 中的区间，令⎩⎨⎧⨯∉⨯∈=,),(0,),(1),()(2)(1)(2)(1k k k k k I I y x I I y x y x f 则 ∑∞==1),(),(k k y x f y x f .由情形1，每个f k (x ,y )满足（1）~（3），于是对一切qp R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，从而由逐项积分定理，∑∑⎰⎰⎰∞=∞====11),(),(),()(k k Rk kRRq q qdy y x f dy y x fdy y x f x F在R p 上非负可测，仍由逐项积分定理，∑⎰⎰∞=⨯⨯=1),(),(k kR R R R dxdy y x fdxdy y x f qp qp=[]∑∑⎰⎰⎰∞=∞=⨯=11),(),(k k R R k k R R pqqp dx dy y x f dxdy y x f=⎰⎰⎰∑∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=∞=p p q q R RR k k k R k dx dy y x f dx dy y x f 11),(),( =[]⎰⎰⎰⎰=pp q qR RRR dy y x f dx dx dy y x f ),(),( .情形3 E 是有界闭集； 令 },1)),,((0),{(1<<⨯∈=E y x d R R y x G q p},1)),,((),{(2<⨯∈=E y x d R R y x G qp则G 1和G 2是R p ×R q 中的有界开集，且E =G 2\G 1，21G G ⊂，及,0),(),(),(12≥-=y x f y x f y x f其中f 1, f 2分别是G 1与G 2的特征函数，由情形2，f 1, f 2均满足（1）~（3），并且对一切),(,y x f R x p ∈关于p R y ∈是非负可积的，从而dy y x f dy y x f dy y x f x F q q q RRR),(),(),()(12⎰⎰⎰-==在R p 上非负可积，并且[]dy y x f dx dy y x f y x f dx dx x F q p p q pRRRRR ),(),(),()(12⎰⎰⎰⎰⎰=-= .另外，由f i (x ,y )在R p ×R q 上非负可积及情形2知（i=1,2），⎰⎰⎰⨯⨯⨯-=qp qp qp R R R R R R dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(12=⎰⎰⎰⎰-p q p q RRRRdy y x f dx dy y x f dx ),(),(12=[]⎰⎰⎰⎰=-pq qRRRR dy y x f dx dy y x f y x f dx ),(),(),(112.情形4 E 是零测集；因为E 是零测集，所以存在递减开集列{G k }，使)1(≥⊂k G E k 且)(0∞→→k mG k ，令k k G H ∞==1，则.0,=⊂mH H E 且令⎩⎨⎧∉∈=kkk G y x G y x y x f ),(0),(1),(, 则由控制收敛定理和情形2， 0=⎰⎰⨯⨯∞→=qP qp R R RR k k H dxdy y x f dxdy y x ),(lim ),(χ =[]⎰⎰⎰⎰∞→∞→=p q p qRRR R k k k k dx dy y x f dy y x f dx ),(lim ),(lim=[]⎰⎰⎰⎰=∞→pp q q R RRH R k k dy y x dx dx dy y x f ),(),(lim χ .因此，对几乎所有的p R x ∈，有⎰=q RH dy y x 0),(χ，从而对几乎所有p R x ∈，q H R y y x ∈关于),(χ几乎处处为零，但),(),(),(0y x y x y x f H E χχ≤=≤,因而对几乎所有的p R x ∈，几乎处处为零关于q R y y x f ∈),(，因此对几乎所有的p R x ∈，⎰==0),()(dy y x f x F q R ,于是⎰⎰⎰==⨯0),(),(dy y x f dx dxdy y x f q p qp R R R R .情形5 E 是一般可测集.由可测集结构知，存在有界单增的闭集列Z F k 和零测集}{,使φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞= Z F Z F E k k k ,1(k ≧1),记()则的特征函数和分别为和,1≥k F Z f f k k o),(),(lim ),(),(y x f y x f y x y x f o k k E +==∞→χ.由情形3和4，)1(,≥k f f o k 满足定理（1）～（3），故由单调收敛定理和可积函数性质知),(y x f 也满足（1）～（3）.至此我们证明了q p R R ⨯中任何可测集E 上的特征函数)3(~)1()(满足定理x f ，从而易知任何非负简单函数和非负可测函数都满足定理（1）～（3）. 定理2 （Fubini ），设),(y x f 在q p R R ⨯上可积，则（1）对几乎所有的q R x ∈,),(y x f 作为q R y ∈ 的函数在q R 上可积； （2）⎰=q Rdy y x f x F 在),()(q R x ∈上可积；（3）⎰⎰⎰⨯=qp qpR R R R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(.证明 因为),(),(),(y x f y x f y x f -+-=，而q P R R f f ⨯-+都是,上的非负可积函数,所以由定理1即得结论.推论 设),(y x f 在q p R R ⨯上非负可测（L 可积），则dx y x f dy dxdy y x f dy y x f dx pqqp qpR R R R R R ),(),(),(⎰⎰⎰⎰⎰==⨯ .证明 在定理1和定理2的证明中交换y x 与的位置即得结论. 二、富比尼定理的应用以下我们介绍富比尼定理在函数的卷积和分布函数方面的应用.为此先给出如下引理:引理 设上的可测函数是则上的可测函数是n n n n R R R y x f R x f 2)(,)(=⨯-. 证明 因为函数上可测在n R x f )(，所以对任何})({,1αα>∈=∈x f R x A R n 是n R y x y x g -=),(，则})(),{(a y x f R R y x n n >-⨯∈)(}),{(1A g A y x R R y x n n -=∈-⨯∈=. 为证引理，只需证明 中可测集是n R A g 21)(-. 分三种情形证明:（1）若A 为中n R Borel 集，因为n n R R g →2:是连续映射，则)(1A g -为n R 2中Borel 集，从而)(1A g -是可测集. （2）若A 是中n R 零测集，即mA=0,则存在δG 型集G ),(,0,1G g B mA mG A -===⊃令且则B 的特征函数B χn R 2是上的非负可测函数，由推论及有,0}){(==+mG y G m.0}){(),(),(),(}{2=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+dy y G m dxdy dx y x dy dyy x dx dxdy y x mB nnnn nnn R y G R B R R B R R B R χχχ另外，由A G ⊃知，从而所以,0))((,)()(111==⊂---A g m B G g A g )(1A g -是n R 2中可测集.（3）若A 是n R 中任一可测集，则存在,0)\(,=⊂F A m A F F 使型集σ因为知所以由集型集是)1(,Borel F σ,)2(,)(1知又由是可测集F g -)\(1F A g -是可测集，从而)\()()(111F A g F g A g ---= 是可测集.定义 设n R x g x f 是)(),(上的可测函数，如果对几乎所有的n R x ∈,积分dy y g y x f nR )()(-⎰存在，则称dy y g y x f x g f nR )()())(*(-=⎰为)()(y g x f 与的卷积.定理3 设)(x f ,)(x g 在n R 上可积，则对几乎所有的n R x ∈，))(*(x g f 存在，并且))()()(()(*dx x g dx x f dx x g f nnnR R R ⎰⎰⎰≤.证明 先设0)(≥x f ，0)(≥y g ，由引理，)()(y g y x f -在n n R R ⨯上是非负可测的，由推论，).)()()(())()((])()([))()(())(*(dy y g dx x f dydx y x f y g dydx y g y x f dxdy y g y x f dx x g f nnnnnn nnnR R R R R R R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=-=一般情形由下式即得：dx x g Rdx x f Rdx x g f Rdx x g f Rnnnn)()())(*())(*(⎰⎰⎰⎰=≤.定理4 设n R E ⊂是可测集，)(x f 是E 上几乎处处有限的可测函数，对每个0>λ，令 }))(({)(λλ>∈=x f E x m F ，称的分布函数为)()(x f F λ,则当∞<≤p 1时，λλλd F p dx x f E p p)(0)(1-⎰⎰∞=.证明 令⎩⎨⎧≤>=,)(0,)(1),(λλλx f x f x g固定的函数是可测集合作为时x x g ),(,0λλ>})({λ>∈x f E x 的特征函数，所以由定理1，⎰⎰⎰-=λλd p x f dx dx x f p E pE10)()(().)(.),(101010λλλλλλλλλd F p dx x g d p d x g p dx p E p p E -∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰⎰===习 题1、证明§1定理2中（1）、（3）、（4）.2、证明§2定理1中（2）、（4）、（6）.3、设则上可测在,)(E x f 对任何0>η，有,)(])([dx x f x f x mE E ⎰≤≥ηη4、设上在E x f )(非负可测，且⎰=0)(dx x f E，则E e a x f 于,,0)(=5、设令上可测在,0)(E x f ≥,)(,)(0)()]([n x f n x f x f x f n >≤⎩⎨⎧= 若则于,..)(E e a x f +∞<[]⎰⎰=∞→dx x f dx x f E n En )()(lim .6、设(]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=⎪⎩⎪⎨⎧=,00,1,02)(,]1,0[,]1,0[1)(4x x xx g x x x xx f 中有理数为中无理数为证明并求可积上在,]1,0[)(),(L x g x f ⎰⎰dx x g dx x f )()(]1,0[]1,0[和.7、 设中任一点至少属于如果的可测子集是]01[,]1,0[,,,21n E E E 这n 个集合中的q个，证明必有一个集合，它的测度大于或等于nq. 8、设是上可积的充分必要条件在证明上非负可测在E x f E x f mE )(,)(,+∞<级数])([1n x f x mE n ≥∑∞=）收敛， +∞=mE 时，结论是否成立？9、设()x f 在可测集E 上L 可积，1E 是E 的可测子集，则()x f 在1E 上L 可积. 10、设+∞<mE ，()x f 在E 上有界可测，则()x f 在E 上L 可积，从而[ a ，b ]上的连续函数是L 可积的.11、设()x f ，()x g 是E 上的可积函数，则)()(22x g x f +，也在E 上可积.12、设]1,0[0为P 中康托集，⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=阶邻接区间n x P x n x f 0100)( ,证明 3)(]1,0[=⎰dx x f .13、设()x f 在E 上L 可积，mE mE mE n E E n n n =+∞<≥⊂→∞lim ,),1(且，证明dx x f dx x f E E n n )()(lim ⎰⎰=→∞.14、设.0lim ],)([,)(,=≥=+∞<∞→n n n nmE n x f x E E L E x f mE 证明记可积上在15、设mE ≠0，()x f 在E 上L 可积，如果对于任何有界可测函数)(x ϕ，都有0)()(=⎰dx x x f Eϕ，则()x f =0，a.e.于E16、设+∞<mE ，0,,)}({⇒n n f E E x f 上证明在函数列上几乎处处有限的可测为的充要条件为 0)(1)(lim =+⎰∞→dx x f x f n n En .17、设{})(x f n 为E 上非负可测函数列，且)1()()(1≥≥+n x f x f n n ，若)()(lim x f x f n n =∞→，且存在0k ，使⎰+∞<Ek dx x f )(0，则dx x f dx x f En En )()(lim ⎰⎰=∞→ .18、设()x f 在[a ,b ]上L 可积，则对任意ε＞0,存在[a ,b ]上的连续函数()x g ,使ε<-⎰dx x g x f b a )()(],[.19、若()x f 是),(+∞-∞上的L 可积函数，则0)()(lim ],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .。

勒贝格积分计算题勒贝格积分是实分析中常用的一种积分方法，它是由法国数学家亨利·勒贝格(Henri Léon Lebesgue)提出的。

勒贝格积分推广了黎曼积分的概念，并且相对于黎曼积分来说，拥有更广泛的适用性和更强的理论性质。

勒贝格积分的计算依赖于勒贝格测度的概念。

勒贝格测度是一种用来度量一个集合的“大小”的函数，它的定义可以由测度空间和测度的性质推导得到。

当我们要计算勒贝格积分时，首先需要确定积分的测度空间，并对被积函数进行测度论的分析。

在计算勒贝格积分时，我们可以使用勒贝格控制收敛定理、勒贝格垂直定理等工具。

勒贝格控制收敛定理是勒贝格积分的一种收敛性定理，它表示如果一个函数序列逐点收敛于另一个函数，并且这些函数的绝对值被一个可积函数控制，则这个函数序列的积分也会收敛于另一个函数的积分。

这个定理在计算勒贝格积分时非常有用。

而勒贝格垂直定理则是一种在计算勒贝格积分时进行积分和极限运算交换的定理。

它表示如果一个函数序列逐点收敛于另一个函数，且这些函数的绝对值被一个可积函数控制，则这个函数序列的积分极限等于这个函数的积分。

这个定理常常用于将逐点收敛的函数序列中的积分和极限运算交换位置，从而得到更便于计算的结果。

在实际计算勒贝格积分时，我们还会用到分部积分法、替换法、极限换序法、做换元代数运算等常规的积分计算方法。

这些方法可以帮助我们简化积分表达式，并将其转化为更易于计算的形式。

此外，为了更好地理解函数的性质和计算积分，我们还需要掌握基本的实分析知识，如测度论、拓扑空间、Levi定理、Fubini定理等。

这些理论为我们研究函数的测度性质和计算勒贝格积分提供了重要的工具。

此外，还有一些相关的数学教材和参考书籍可以帮助我们深入理解和学习勒贝格积分的计算方法，例如《实变函数与泛函分析导论》(Introduction to Real Analysis and Functional Analysis) by William F. Trench，以及《走进Lebesgue积分的世界》(Entering the World of Lebesgue Integral) by Liu Jianping。

积分的勒贝格积分积分是高等数学中一项重要的内容，被广泛用于各个领域的计算和研究中。

其中，勒贝格积分是一种被广泛采用的积分方法，其应用范围涵盖了大部分实数函数和复杂函数。

本文将结合实例，详细探讨勒贝格积分的定义、计算方法、性质及其与其他积分方法的对比等方面。

一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格发明的一种积分方法，其理论基础是将积分范围进行分割，然后计算每个小范围内的积分，最终将这些小范围内的积分加起来，得到整个积分的结果。

具体来说，勒贝格积分将被积函数划分为正函数和负函数的和，分别求出其在积分范围内的上、下积分和，然后将两者相加或相减，得到最终积分的结果。

其中，上积分指的是在积分区间范围内，被积函数处于一个上界之下的部分的积分值，而下积分则是指处于下界之上的部分的积分值。

这种分段计算的方法，不仅适用于实数函数，也适用于复杂函数，而且具有很高的计算精度和广泛的应用价值。

二、勒贝格积分的计算方法勒贝格积分的计算方法相对来说比较复杂，需要根据具体的函数形式，采用相应的积分公式进行计算。

下面将通过两个例子讲解具体的计算过程，以帮助读者更好地理解。

1、勒贝格积分的计算：计算f(x)=x在[0,1]上的勒贝格积分。

解：首先将函数f(x)划分为正函数和负函数的和，其结果为f(x)= max{0,x}-min{0,x}。

然后，分别计算max{0,x}和min{0,x}在区间[0,1]上的上、下积分。

max{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=1/2$$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=0$min{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=0$$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=-1/2$因此，f(x)在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}f(x)dx =∫_{0}^{1}(max\{0,x\}-min\{0,x\})dx$$=∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx-∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=1$2、勒贝格积分的计算：计算f(x)=sin(x)在[0,π]上的勒贝格积分。

第5章 勒贝格积分到现在我们为了建立勒贝格积分已经做了必要的准备工作，我们有了可测集，可测函数的概念和理论，定义Lebesgue 积分的条件已经成熟. 本章我们讨论Lebesgue 积分的基本内容.§5.1 测度有限集上有界可测函数的积分1．有界可测函数积分的定义定义5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在，,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂. 若01:n D l l l αβ=<<<= 是[,]αβ的任一分点组，则记11()max()k k k nD l l δ-≤≤=-，1[]k k kE E l f l -=<≤.对任意的1[,]k k k l l η-∈，作和式1()nk k k S D mE η==∑，称()S D 为f 关于分点组D 的一个和数.如果存在常数A ，使得对任意的0ε>，总有0δ>，当任意分点组D 满足()D δδ<时，有|()|S D A ε-<.换句话说，()0lim ()D S D A δ→=时，则称f 在E 是Lebesgue 可积的，并称A 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作()EA f x dm =⎰.有时为了简便也记()EA f x dx =⎰，若[,]E a b =，则记[,]()a b A f x dx =⎰. 当()f x 是Riemann 可积函数时，其Riemann 积分仍沿用数学分析中的记法，记作()b af x dx ⎰.对[,]αβ的任意分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，有两个特殊的和数尤其重要：11()[]nk k k k S D l mE l f l -==<≤∑，111()[]nk k k k S D l mE l f l --==<≤∑.称()S D 和()S D 分别为f 关于分点组D 的大和数与小和数. 显然对于f 的任一和数()S D ，有()()()S D S D S D ≤≤.因此，极限()0lim ()D S D δ→存在当且仅当()0lim ()D S D δ→和()0lim ()D S D δ→都存在且相等.定理 5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是E 上的有界可测函数，则f 在E 上Lebesgue 可积.证明 因为()f x 是有界可测函数，所以有,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂.设sup{()}DS S D =，inf{()}DS S D =. 即S 是对(,)αβ的所有分点组D 的小和的上确界，S 是对(,)αβ的所有分点组D 的大和的下确界.往证S S =.首先证明：S S ≤，设01:n D l l l <<< ，01:m D l l l ''''<<< . 是对(,)αβ任意的两个分点组，则()S D S ≤，()S D S ≥.将D 和D '合并起来构成一个新的分点组，记为D ''，D ''可以看成分点组D 中又加进了一些分点，称为D 的一个加细，假设对任意k ，1k l -与k l 之间加入了某些分点1j l -'，1,,,k j j j j l l l ++''' ，（把1k l -和k l 算在内）即 111k k j j j j j k l l l l l l --++''''=<<<<= ，于是 111()[]nk k k k S D lmE l f l --==<≤∑111[]kj j n k i i k i j lmE l f l +--==''=<≤∑∑111[]kj j ni i i k i jl mE l f l +--=='''≤<≤∑∑()()S DS D ''''=≤ 11[]kj j n ii i k i j l mE l f l +-=='''=<≤∑∑11[]kj j nki i k i j l mE l f l +-==''≤<≤∑∑11[]nk k k k l mE lf l -==<≤∑()S D =. 这样，有()()()()S D S D S D S D ''''≤≤≤，同样的方法，有()()()()S D S D S D S D ''''''≤≤≤.这说明，对于任一分点组D ，加细后的分点组D ''，其大和数不增，小和数不减. 且由()()()S D S D S D '''≤≤， ()()()S D S D S D '''≤≤.说明对于任意一个分点组的小和数不超过其它任意一个分点组的大和数. 此即sup{()}inf{()}DDS D S D ≤，于是S S ≤.再证明S S =.设D 为任意的分点组，则由于()()S D S S S D ≤≤≤，有0()()S S S D S D ≤-≤-111()[]nkk k k k ll mE l f l --==-<≤∑()D mE δ≤.这样对任意的0ε>. 取分点组*D ，使*()D mEεδ<，则0S S ε≤-<. 由0ε>是任意的，有S S =. 令S S S ==，往证()0lim ()D S D S δ→=. 注意到()()S D S S D ≤≤，()()()S D S D S D ≤≤，所以()()()()S S D S D S D D mE δ-≤-≤， ()()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.因此|()|()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.所以()0lim ()D S D S δ→=.即f 在E 上Lebesgue 可积.注：本定理还证明了()f x 在E 上Lebesgue 可积，则()sup{()}inf{()}EDDf x dx S D S D ==⎰.例1 考察[0,1]上的Dirichlet 函数()D x .1,[0,1]()0,[0,1]x D x x ∈⎧=⎨∈⎩则()D x 在[0,1]上Lebesgue 可积，且[0,1]()0D x dx =⎰.证明 ([0,1]){0,1}[D =⊂-，对于(1,2)-的任一组分点:D 0112n l l l -=<<<= .当11()max{}0k k k nD l l δ-≤≤=-→时，0和1不能在同一个小区间上.设10(,]i i l l -∈，11(,]j j l l -∈，则1i j n ≤<≤. 取1[,]i i i l l η-∈，则是有理数；是无理数.1|||0|||()i i i i l l D ηηδ-=-≤-≤，因此当()0D δ→时，0i η→. 而1[()]j j E l D x l Q -<≤⊂（有理数集），所以1[()]0j j mE l D x l -<≤=.当,k i j ≠时，由于1[()]k k E l D x l φ-<≤=，则1[()]0k k mE l D x l -<≤=.因此11()[()]nk k k k S D mE l D x l η-==<≤∑11[()][()]i i i j j j mE l D x l mE l D x l ηη--=<≤+<≤ 1[()]i i i m E l D x l η-=<≤ 于是1()0()0lim ()lim [()]i i i D D S D mE l D x l δδη-→→=<≤0=，即[0,1]()0D x dx =⎰.我们知道()D x 在[0,1]不是Riemann 可积的，所以Lebesgue 可积函数类比Riemann 可积函数类要广.2．有界可测函数积分的性质定理5.1.2 设nE R ⊂，mE <∞，()f x 、()g x 都是E 上的有界可测函数，则 （i ）对任意的a R ∈，()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰；（ii ）若1,,m E E 是E 的可测子集，()i j E E i j φ=≠ ，1mi i E E ==，则1()()()mEE E f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰；（iii ）(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；（iv ）当()()..f x g x a e ≤于E 时，()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰；证明 证（ii ）. 只须就2m =的情形证明.设()(,)f E αβ⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 令111[]i i i E E l f l -=<≤，221[]i i i E E l f l -=<≤，1,2,,i n = . 那么121[]i i i i i E E E E l f l -==<≤ ，且12i i E E φ= ，所以12i i i mE mE mE =+，1,2,,i n = .对于分点组D ，用12(),(),()E E E S D S D S D 分别表示f 在12,,E E E 上对应D 的大和数.1()nE i i i S D l mE ==∑1211nniiiii i l mE l mE===+∑∑12()()E E S D S D =+ 该等式对任意的分点组D 成立.对任意的0ε>，存在(,)αβ的分点组1D ，使得111()inf{()}2E E DS D S D ε<+，也存在(,)αβ的分点组2D ，使得222()inf{()}2E E DS D S D ε<+.设*12D D D = ，则*D 即是1D 也是2D 的加细，因此12***()inf{()}()()()E E E E EDf x dx S D S D S D S D =≤=+⎰121212()()()()E E E E S D S D f x dx f x dx ε≤+<++⎰⎰由0ε>是任意的，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx ≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数和()sup{()}EDf x S D =⎰可证相反的不等式，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.证（iii ）. 设()(,)f E αβ⊂，()(,)g E αβ''⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，对(,)αβ''的任一分点组01:m D l l l αβ''''''=<<<= . 令1[]i i i E E l f l -=<≤，1[]j j j E E l g l -'''=<≤ 1[]ij i j j E E l g l -''=<≤11[,]i i j j E l f l l g l --''=<≤<≤1[]j i i E l f l -'=<≤，(1,2,,;1,2,,.)i n j m == 由此可知，E 可分解为有限个互不相交的可测集的并.1111n m n mij i j i j i j E E E E ===='=== .于是()()iji j ij E f g dx l l mE '+≤+⎰i ij j ij l mE l mE '=+.11()()ijn mEE i j f g dx f g dx ==+=+∑∑⎰⎰11nmiijji j l mE l mE ==''≤+∑∑()()f g S D S D'=+. 该不等式对(,)αβ的任意分点组D 和(,)αβ''的任意分点组D '都成立. 因为inf{()}f EDfdx S D =⎰，inf{()}g ED gdx S D ''=⎰.所以对任意的0ε>，有(,)αβ的分点组1D 和(,)αβ''的分点组1D '，使 1()()2f E S D f x dx ε<+⎰， 1()()2g ES D g x dx ε'<+⎰.因此可得11()()()f g Ef g dx S D S D '+≤+⎰()()EEf x dxg x dx ε<++⎰⎰由0ε>是任意的，有()()()EEEf g dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数及所有小和数的上确界可得相反的不等式. 因而()()()EEEf g dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证（i ）. 引理1 若()f x c ≡（常数），x E ∈. 则()Ef x dx cmE =⎰.因为存在,R αβ∈，使c αβ<<. 对(,)αβ的任一分点组01n l l l αβ=<<<= . 若1(,]i i c l l -∈，1i n ≤≤，则1[]i i mE l f l -<≤mE =，任取1(,]i i i l l η-∈，则1||()i i i c l l D ηδ--≤-≤.因此当()0D δ→时，i c η→.而当k i ≠时，1[]k k E l f l φ-<≤=，因而1[]0k k mE l f l -<≤=，于是11()0()01lim[]lim []nk k k i i i D D k mE lf l mE l f l δδηη--→→=<≤=<≤∑c mE =⋅.以下证明()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.若0a =，则()0af x ≡，x E ∈. 由引理1，()000()()EEEaf x dx mE f x dx a f x dx =⋅===⎰⎰⎰.若0a >，设()af x αβ<<，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= .由于()f x aaαβ<<，分点组D 相当于(,)a aαβ的一个分点组011:n l l l D a a a a aαβ=<<<= .任取1[,]i i i l l η-∈，则1,ii i l l a a a η-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 1111[]nni i i i i i i i l l mE l af l mE f aa ηη--==⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎣⎦∑∑，而1111()0()011lim lim nnii i i i i D D i i l l ll a mE f a mE f a a a aa a δδηη--→→==⎡⎤⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()E a f x dx =⎰，并且1()0()0D D δδ→⇔→，因此1()01()lim[]ni i i ED i af x dx mE laf l δη-→==<≤∑⎰11()01l i m ()nii iD E i l l amE f a f x dx a a a δη-→=⎡⎤=<≤=⎢⎥⎣⎦∑⎰.若0a <，则0a ->. 则0[()]Eaf a f dx =+-⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰于是()EEafdx a fdx =--⎰⎰Ea fdx =⎰.综上，对任意的a R ∈，有()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.证（iv ）. 引理2 定义在零测度集上的任何有界函数是可积的，而且积分为零. 事实上，设()f x 定义在E 上，0mE =，设()f x αβ<<，x E ∈. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，则由1[]i i E l f l E -<≤⊂，所以1[]0,1,2,,i i mE l f l i n -<≤== .于是，任取1[,]i i i l l η-∈，11[]0ni i i i mE lf l η-=<≤=∑，因此1()01()lim[]0ni i i ED i f x dx mE lf l δη-→==<≤=∑⎰.为证（iv ），令()()()F x g x f x =-，则()0..F x a e ≥于E . 由引理2，不妨设()0,F x x E ≥∈.设()(,)F E αβ⊂. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 对每一个1i n ≤≤，考察1[]i i i mE l F l η-<≤，其中1[,]i i i l l η-∈，若0i η<，则当()0D δ→时，0i l <，此时1[]i i E l F l φ-<≤=，因而1[]0i i i mE l F l η-<≤=.若0i η≥，则由1[]0i i mE l F l -<≤≥知1[]0i i i mE l F l η-⋅<≤≥，因此1()01()lim[]0ni i i ED i F x dx mE lF l δη-→==<≥≥∑⎰，于是()(()())EEF x dx g x f x dx =-⎰⎰ [()(())]Eg x f x dx =+-⎰ ()()EEg x dx f x dx =+-⎰⎰()()0EEg x dx f x dx =-≥⎰⎰. 因而()()EEg x dx f x dx ≥⎰⎰.推论 设mE <∞，且()f x 是E 上的有界可测函数，则||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.证明 因为||||f f f -≤≤，所以由定理5.1.2的（iv ）和（i ）有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰，即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理 5.1.3 设mE <∞，()f x 是E 上的有界可测函数，若()0..f x a e ≥于E ，且()0Ef x dx =⎰，则()0..f x a e =于E .证明 因为()0..f x a e ≥E ，则[0]0mE f <=，且[0]()0E f f x dx <=⎰，若能证明[0]0mE f >=，则定理得证.[0][0][0]E E f E f E f ==<> .令1,1,2,n E E f n n ⎡⎤=≥=⎢⎥⎣⎦ ，则1[0]n n E f E ∞=>= ，对任意取定的n N +∈，有 0()Ef x dx =⎰[0][0]()()E f E f f x dx f x dx <≥=+⎰⎰[0]()E f f x dx ≥=⎰[0]()()nnE E f E f x f x dx ≥-=+⎰⎰1()nn E f x mE n≥≥⎰所以0,1,2,n mE n == ，因此11[0]0n n n n mE f m E mE ∞∞==⎛⎫>=≤= ⎪⎝⎭∑ ，于是()0..f x a e =于E .§5.2 一般可测集上一般可测函数的积分对于广义Riemann 积分，有积分区间无限的广义积分和无界函数的广义积分，对于Lebesgue 积分也有无限测度集上的积分和无界可测函数的积分的情形.本节的任务就是讨论这种一般情形的积分.1．有限可测集上无界可测函数的积分（i ）非负函数情形 设nE R⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.N R +∈，称[]()m i n {(N f x f x N =为()f x 的N -截断函数.有了N -截断函数的概念，我们可以构造有界可测函数列{()}n f x .其中()[]()n n f x f x =.1,2,n = .显然，这样构造的函数列{}n f 满足：12()()()n f x f x f x ≤≤≤≤ ，x E ∈.并且lim ()()n f x f x =.因而12()()()n EEEf x dx f x dx f x dx ≤≤≤≤⎰⎰⎰ ，所以极限lim()n n Ef x dx →∞⎰存在（可能是+∞）.定义 5.2.1 设n E R ⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.()[]()n n f x f x =，,1,2,x E n ∈= .称lim ()n n Ef x dx →∞⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()n Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()n Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）一般函数情形定义5.2.2 设()f x 在n E R ⊂上可测，如果()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积，那么称()()EEf x dx f x dx +--⎰⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.当()f x +和()f x -都在E 上可积时，称f 在E 上可积.定义中要求()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积是因为如果()f x +和()f x -在E 上都不可积时，()Ef x dx +=+∞⎰且()Ef x dx -=+∞⎰.此时()Ef x dx +-⎰()()()Ef x dx -=+∞-+∞⎰，没有意义，因而没有积分值.若()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积时，()Ef x dx +-⎰()Ef x dx -⎰有意义，但可能为+∞或-∞.无论()Ef x dx ⎰是有限数，+∞或-∞，我们都说()f x 在E 上有积分值，当|()|Ef x dx <+∞⎰时，称f 在E 上可积.2．非有限测度可测集上的积分（i ）()f x 是非负可测函数设nE R ⊂，mE =∞.设12{(,,,):||,1,2,,}m n i x x x x m i n K =≤= .令m m E E =K ，则m mE <∞，1,2,m = ，且12m E E E ⊂⊂⊂⊂ 是单调增加集列，有1lim m mm m E EE ∞→∞=== .由前面讨论，()f x 在每个m E 上有积分值()mE f x dx ⎰.记()mm E J f x dx =⎰.则{}m J 是单调增加数列，极限lim m m J →∞存在（可能是+∞）.定义5.2.3 设n E R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的非负可测函数.称lim lim ()mm m m E J f x dx →∞→∞=⎰（m E 如上说明）为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()lim ()mEm E f x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）()f x 是一般可测函数定义5.2.4 设nE R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的可测函数.如果()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰至少有一个是有限数，则称()Ef x dx +⎰()Ef x dx --⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.若()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数，称()f x 在E 上可积.至此，非有限测度集和无界可测函数积分的概念已经建立，以下继续讨论积分的性质. 定理5.2.1 （1）设()f x 是E 上的函数，0mE =，则()0Ef x dx =⎰.（2）设()f x 在E 上可积，则[||]0mE f =∞=，即()f x 是E 上几乎处处有限的函数. 证明 （1）由0mE =，()f x 在E 上可测，所以[]n f +和[]n f -都是E 上的有界可测函数(1,2,)n = ，从而[]()0n Ef x dx +=⎰，[]()0n Ef x dx -=⎰，(1,2,)n = .所以()Ef x dx +=⎰lim []()0n n Ef x dx +→∞=⎰，()Ef x dx -=⎰lim []()0n n Ef x dx -→∞=⎰.于是()Ef x dx =⎰()Ef x dx +-⎰()0Ef x dx -=⎰.（2）令1[]E E f ==+∞，2[]E E f ==-∞.往证120mE mE ==.用反证法，若10mE δ=>，则对任意的正整数n ，有()[]()n EE f x dx f x dx ++≥≥⎰⎰1[]()n E f x dx n δ+=⎰，1,2,n = ，所以()Ef x dx +=+∞⎰，这与()f x 在E 上可积矛盾.因此必须有10mE =.同理可证20mE =.于是1212[||]()0mE f m E E mE mE =∞=≤+= .定理5.2.2 设()f x 在E 上可测，()g x 在E 上非负可积，|()|(),f x g x x E ≤∈，则()f x 也在E 上可积，且|()|()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰.证明 因为|()|()()f x f x f x +-=+，所以()()f x g x +≤，()()f x g x -≤.对任意的正整数,k n 有[]()kn E f x dx +≤⎰[]()kn E g x dx ≤⎰()Eg x dx <+∞⎰，所以对每一个正整数k ，{[]()}kn E f x dx +⎰，(1,2,)n = 是单调增加有上界的数列，有有限极限()kE f x dx +=⎰lim []()kn n E f x dx +→∞≤⎰()kE g x dx <+∞⎰.而{()}kE f x dx +⎰，(1,2,)k = 也是单调增加有上界的数列，也有有限极限()Ef x dx +=⎰lim ()kk E f x dx +→∞≤⎰lim ()kk E g x dx →∞⎰()Eg x dx =<+∞⎰.同理可证()Ef x dx -≤⎰()Eg x dx <+∞⎰. 因此()f x 在E 上可积.由|()|()f x g x ≤，x E ∈，有[||]()[](),1,2,n n f x g x n ≤= ，所以对每一个正整数k ，有[||]kn E f dx ≤⎰[](),1,2,kn E g x dx n =⎰ .令n →∞，有|()|kE f x dx ≤⎰(),1,2,kE g x dx k =⎰.令k →∞，有|()|Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.定理5.2.3 设E 是可测集，则（i ）当12,,,m E E E 是E 的互不相交的可测子集，1mi i E E ==，()f x 在E 上有积分值时，()f x 在每一个i E 上有积分值，且()Ef x dx =⎰1()E f x dx +⎰2()()mE E f x dx f x dx ++⎰⎰.特别地，当()f x 是E 上的非负可测函数时，()Ef x dx ⎰()iE f x dx ≥⎰，1,2,,i m = ；（ii ）对任意常数c ，()Ecf x dx =⎰()Ec f x dx ⎰；（iii ）若()f x ，()g x 都是E 上的可积函数，则[()()]Ef xg x dx +=⎰()Ef x dx +⎰()Eg x dx ⎰；（iv ）若()f x 在E 上有积分值，且()()f x g x =..a e 于E ，则()Ef x dx =⎰()Eg x dx ⎰；（v ）当()f x ，()g x 都在E 上可积，且()()f x g x ≤()x E ∈时，()Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.证明 证（i ）. 只须就2m =的情形证明，一般情形利用归纳法可证. 由定理5.1.2的（ii ），对任意的正整数,k m ，有[]km E f dx +=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx +++⎰⎰ ， []k m E f dx -=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx --+⎰⎰ ，先对m 后对k 取极限，有Ef dx +=⎰12E E f dx f dx +++⎰⎰， Ef dx -=⎰12E E f dx f dx --+⎰⎰.若()f x 在E 上有积分值，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰至少有一个是有限数，不妨设Ef dx+⎰是有限数，那么1E f dx +⎰2E f dx ++⎰是有限数.从而1E f dx +⎰和2E f dx +⎰都是有限数，因而()f x 在1E 和2E 上都有积分值，且()Ef x dx =⎰Ef dx +-⎰Ef dx -⎰()12E E f dx f dx ++=+⎰⎰()12E E f dx f dx ---+⎰⎰1()E f x dx =⎰2()E f x dx +⎰.当()f x 是E 上非负可测函数时，由()i i E E E E =- ，且()i i E E E φ-= ，1,2i =.则()Ef x dx =⎰()()iiE E E f x dx f x dx -+⎰⎰(),1,2iE f x dx i ≥=⎰.为证明（ii ）和（iii ），先证明如下结果：引理1 若(),()f x g x 是E 上的非负函数，0c >，则对任意正整数n 成立. （1）2[][][][]n n n n f g f g f g +≤+≤+； （2）[][]1[][][]n n nccc f cf c f +≤≤，其中[]nc 表示不超过nc的最大整数，而[]n f 等表示f 的n -截断函数.证明 （1）先证[][][]n n n f g f g +≤+. 设0x E ∈，若0()f x n <且0()g x n <，则000000[()()]()()[()][()]n n n f x g x f x g x f x g x +≤+=+.若0()f x 和0()g x 中至少有一个不小于n ，例如0()f x n ≥，则000[()()][()]n n f x g x n n g x +=≤+00[()][()]n n f x g x =+.再证2[][][]n n n f g f g +≤+.由于[][]n n f g f g +≤+，[][]2n n f g n +≤，所以[][]min{,2}n n f g f g n +≤+2[]n f g =+. （1）得证. （2）[]min{,}min{,}n n cf cf n c f c==， 而min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nf f f c c c≤≤+.所以min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nc f c f c f c c c≤≤+.于是[][]1[][][]n n n ccc f cf c f +≤≤. （2）得证.证（ii ）. 若0c =，则0cf =()x E ∈.对任何正整数,k m 有()000kkk E E cf dx dx mE ===⎰⎰，所以()lim ()0kEk E Ecf dx cf dx c fdx →∞===⎰⎰⎰.若0c >，则()cf cf ++=，()cf cf --=，由引理1的（2），[][]1[][][]m m mc cc f cf c f ++++≤≤，因此()()lim []km EEm E k cf dx cf dx cf dx +++→∞→∞==⎰⎰⎰[]1l i m[]km m E c k c f dx +→∞+→∞≤⎰Ec fd x +=⎰.另外()()EEcf dx cf dx ++=⎰⎰l i m[]km m E k cf dx +→∞→∞=⎰[]lim[]km m E c k c f dx +→∞→∞≥⎰Ec f dx +=⎰.因此()EEcf dx c f dx ++=⎰⎰.同理1()EEcf dx c f dx --=⎰⎰.所以()EEcf dx c fdx =⎰⎰.当0c <，可按定理5.1.2中的（i ）相应的情形证明.证（iii ）. 先设()f x 和()g x 都是非负可测函数.由引理1的（1），对任意的正整数m ，有2[][][][]m m m m f g f g f g +≤+≤+，所以对任意的正整数k ，有[][][]kkkm m m E E E f g dx f dx g dx +≤+⎰⎰⎰2[]km E f g dx ≤+⎰，由f 和g 是可积的，有lim[[][]]kkm m m E E k f dx g dx →∞→∞+⎰⎰()()EEf x dxg x dx =+⎰⎰，所以，lim []()()km m E EEk f g dx f x dx g x dx →∞→∞+≤+⎰⎰⎰2lim []km m E k f g dx →∞→∞≤+⎰.由左边不等式知f g +可积，有()EEEf g dx fdx gdx +≤+⎰⎰⎰.由右边不等式，有()EEEfdx gdx f g dx +≤+⎰⎰⎰.因此()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.再设()f x 和()g x 都是一般的函数.由于()f g f g ++++≤+，()f g f g ---+≤+.因此若,f g 都在E 上可积，则f g +也在E 上可积.因为()()()()f g f g f g f g f g +-++--+-+=+=+-+，所以()()f g f g f g f g +--++-+++=+++，因而[()][()]EEf g f g dx f g f g dx +--++-+++=+++⎰⎰，由已证结果，有[()()EEEEEEf g dx f dx g dx f dx g dx f g dx +--++-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以[()()()()EEEEEEf g dx f g dx f dx f dx g dx g dx +-+-+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.此即()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.证（iv ）. 设()()f xg x =..a e 于E ，()f x 在E 上有积分值，记1[()()]E f x g x ==，2[()()]E f x g x =≠，则20mE =，12E E φ= ，12E E E = .由（i ），12EE E fdx fdx fdx =+⎰⎰⎰12E E gdx fdx =+⎰⎰因为零测度集上的有界函数积分为零（§5.1引理2）.所以对任何正整数m ，2[]0m E f dx +=⎰，2[]0m E f dx -=⎰，因而22lim []0m E m E f dx f dx ++→∞==⎰⎰，22lim []0m E m E f dx f dx --→∞==⎰⎰.所以2()0E f x dx =⎰，同理2()0E g x dx =⎰.因为f 在E 上有积分值，所以由（i ），f 在1E E ⊂也有积分值，而在1E 上，f g ≡，因此g 在1E 上有积分值.对任意的正整数,m k ，由k mE <∞，[]m g +和[]m g -都是有界函数，依测度有限集上有界函数的积分定义，有121[][][][]kk k k m m m m E E E E E E E g dx g dx g dx g dx ++++=+=⎰⎰⎰⎰.令m →∞，k →∞，则1EE g dx g dx ++=⎰⎰.同理，1EE g dx g dx --=⎰⎰.因为g 在1E 上有积分值，所以g 在E 上有积分值.并且_EEEgdx g dx g dx +=-⎰⎰⎰11E E g dx g dx +-=-⎰⎰11E E gdx fdx ===⎰⎰12E E Efdx fdx fdx +=⎰⎰⎰.证（v ）. 设()()()F x g x f x =-，则()0()F x x E ≥∈，并且()F x 在E 上可积，且()0EF x dx ≥⎰，而(),()f x g x 都在E 上可积，并且()()()g x F x f x =+.由（iii ）()[()()]()()EEEEg x dx F x f x dx F x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰()Ef x dx ≥⎰.至此定理证毕.定理 5.2.4（积分的绝对可积性） 设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上可积的充要条件是|()|f x 在E 上可积，并且|()||()|EE f x dx f x dx ≤⎰⎰.证明 若()f x 在E 上可积，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰都是有限数，即f +和f -都在E 上可积，而|()|()()f x f x f x +-=+，由定理5.2.3的（iii ）有|()|()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=+<∞⎰⎰⎰，因而|()|f x 在E 上可积.反之，若|()|f x 在E 上可积，则由||f f +≤，||f f -≤，由定理5.2.2，f +和f -都在E 上可积，所以f 在E 上可积.并且由||||f f f -≤≤，有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰， 此即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理5.2.5（积分的绝对连续性） 设()f x 在E 上可积，则对任意的0ε>，存在0δ>，使得对于E 的任意子集A ，当mA δ<时，就有|()|Af x dx ε<⎰.证明 （1）先证明在mE <∞，且()f x 在E 上有界的条件下结论成立.设|()|()f x x E ≤K ∈，则任取可测集,A E ⊂|()|Af x dx ⎰|()|Af x dx mA ≤≤K ⋅⎰.对任意的0ε>，取εδ≤K，则当mA δ<时，有|()|Af x dx mA εε≤K ⋅<K ⋅=K⎰.（2）一般情形()f x 在E 上可积，则|()|f x 也在E 上可积，由lim [|()|]|()|nn n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰知，对任意的0ε>，存在正整数N ，使|()|[|()|]2NN EE f x dx f x dx ε-<⎰⎰.另一方面，由情形（1），对这个0ε>，存在0δ>，使当N A E ⊂，且mA δ<时，有[|()|]2N A f x dx ε<⎰，因此，当A E ⊂且mA δ<时，便有()|()||()||()||()|N NAAA A E A E f x dx f x dx f x dx f x dx -≤=+⎰⎰⎰⎰()||(||[||])[||]N NNN N A A E A E A E f dx f f dx f dx -=+-+⎰⎰⎰，因为()N N N A A E A E E E -=-⊂- ，所以|()|||(||[||])[||]NN NN N AE E E A E f x dx f dx f f dx f dx -≤+-+⎰⎰⎰⎰(||[||])[||]22NNN N EE A E f dx f dx f dx εεε=-+<+=⎰⎰⎰.例 1 设()f x 在[,]E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b af x x dx ϕε-<⎰.证明 设[||]n e E f n =>，则1[||]nn E f e∞==∞=.因为{}n e 是单调减少集列，所以1lim n n n n e e ∞→∞== .而由mE b a =-<∞知，1me <∞，因而1lim (lim )()[||]0n n n n n n me m e m e mE f ∞→∞→∞=====∞=由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，必存在正整数N ，使||4NN e N me f dx ε⋅<<⎰.令N N B E e =-，在N B 上由Lusin 定理，存在闭集N N F B ⊂和R 上的连续函数()x ϕ，使得（1）()4N N m B F Nε-<；（2）当N x F ∈时，()()f x x ϕ=，且sup |()|sup |()|NRF x f x N ϕ=≤.所以|()()||()()||()()|NNb ae Bf x x dx f x x dx f x x dx ϕϕϕ-=-+-⎰⎰⎰|()||()||()()|NNN Ne e B Ff x dx x dx f x x dxϕϕ-≤++-⎰⎰⎰|()()|NF f x x dx ϕ+-⎰2044N N me N Nεε≤+⋅+⋅+442εεε<++ε=.§5.3 Lebesgue 积分的极限定理本节讨论如下的问题，假设{}n f 是集E 上的一个函数序列，按某种意义收敛到f ，如果每个n f 在某种意义下都有积分，()f x 是否有积分？如果()f x 也有积分，n f 的积分之极限是否等于()f x 的积分？也就是极限与积分是否可以交换顺序的问题.我们会看到这个问题在Lebesgue 积分范围内得到比在Riemann 积分范围内更为完满的解决，这也正是Lebesgue 积分的最大成功之处.定理5.3.1（Lebesgue 控制收敛定理） 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，即|()|()..n f x F x a e ≤于(1,2,)E n = ，且()F x 在E 上可积，如果()()mn f x f x −−→，则()f x 在E 上是可积的，并且lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 若0mE =，结论显然成立，因此不妨设0mE >.由于mn f f −−→，由F·Riesz 定理，存在{()}n f x 的子列{()}i n f x ，使 lim ()()..i n i f x f x a e →∞=于E ，由|()|()..i n f x F x a e ≤于E 知|()|()..f x F x a e ≤ 于E . 因为()F x 在E 上可积，所以()f x 在E 上可积.往证lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（1）mE <∞因为()F x 在E 上可积，由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，存在0δ>，使当e E ⊂且me δ<时，有()4eF x dx ε<⎰.又因为m n f f −−→，所以存在N N +∈，使当n N ≥时，有[||]2n n mE mE f f mEεδ=-≥<，所以当n N ≥时，()4nE F x dx ε<⎰，因此|()()|n EEf x dx f x dx -=⎰⎰|(()())|n Ef x f x dx -⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|nnn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰2()()2nnE F x d x m EE mEε≤+⋅-⎰22εεε<+=.因此，lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（2）设mE =∞因为()F x 在E 上可积，对任意的0ε>，取,k m 充分大，使()[]()4km EE F x dx F x dx ε-<⎰⎰，所以()()()kkE E EE F x dx F x dx F x dx -=-⎰⎰⎰()[]()4km EE F x dx F x dx ε≤-<⎰⎰另一方面，在k E 上可测函数列{||}n f f -满足：||2..n f f Fa e -≤于,1,2,k E n = ，||0mn f f -−−→，k mE <∞.因此，由（1）的结果，存在正整数N ，使当n N ≥时||2kn E f f dx ε-<⎰.所以|()()|n EEf x dx f x dx -⎰⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰ 2()2kE EF x dx ε-≤+⎰.242εεε<⋅+=因此lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.综上定理得证.定理5.3.1' 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，若lim ()()..n n f x dx f x a e →∞= 于E ，则()f x 在E 上可积且lim ()()n n Ef x dx f x dx →∞=⎰.定理5.3.1''（勒贝格有界收敛定理） 设mE <∞，{()}n f x 是可测集E 上的可测函数列且测度收敛于()f x ，如果{()}n f x 一致有界，即存在常数M ，使得对任意的x E ∈和对任意的正整数n ，有|()|n f x M ≤，则()f x 在E 上可积，且有()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.定理5.3.1''对于Riemann 积分不适用.例1 设12{,,,,}n r r r 是[0,1]中的全体有理数. 作如下函数列：1111,;()0,[0,1]{}.x r f x x r =⎧=⎨∈-⎩ 122121,,;()0,[0,1]{,}.x r r f x x r r =⎧=⎨∈-⎩ … … … … … … … …12121,,,,;()0,[0,1]{,,,}.n n n x r r r f x x r r r =⎧=⎨∈-⎩… … … … … … … …那么{()}n f x 在[0,1]上一致有界，|()|1,[0,1],1,2,n f x x n ≤∈= . 而且1,()()0,n f x D x ⎧→=⎨⎩因为每个()n f x 在[0,1]上只有有限个不连续点，因而Riemann 可积，然而()D x 在[0,1]上不是Riemann 可积的.定理5.3.2（勒维Levi ，1875-1961，意大利数学家） 设 （i ）{()}n f x 是E 上非负可测函数列； （ii ）1()()n n f x f x +≤ (,1,2,)x E n ∈= ； （iii ）()lim ()n n f x f x →∞=，则()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 先设()Ef x dx <∞⎰，对任意的0ε>，取正整数,k m ，使[]()()2k m E E f x dx f x dx ε>-⎰⎰.此处k k E E =K ，12{(,,,)k n x x x K = ：||,1,2,,}i x k i n ≤= .注意到k mE <∞，且在k E 上[]()lim[]()m n m n f x f x →∞=，由Egoroff 定理知，存在k E E ε⊂，使4mE mεε<，且在k E E ε-上[]()n m f x 一致收敛到[]()m f x .设正整0n 使0n n ≥时，对一切k x E E ε∈-，都有x 为[0,1]上的有理数；x 为[0,1]上的无理数.0[]()[]()4(1)m n m k f x f x mE ε≤-<+则当0n n ≥时，()[]()[]()4k k n n m m EE E E E f x dx f x dx f x dx εεε--≥≥-⎰⎰⎰，而[]()[]()[]()kk m m m E E E E f x dx f x dx f x dx εε-=+⎰⎰⎰[]()4k m E E f xdx εε-<+⎰，所以当0n n ≥时，()[]()4k n m EE E f x dx f x dx εε->-⎰⎰[]()44km E f xdx εε>--⎰()Ef x dx ε>-⎰.因此lim()()n n EEf x dx f x dx ε→∞≥-⎰⎰，由0ε>是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞≥⎰⎰.另一方面，对任意的n ，显然有()()n f x f x ≤()x E ∈，所以()()n EEf x dx f x dx ≤⎰⎰，从而lim()()n n EEf x dx f x dx →∞≤⎰⎰.综上得lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.当()Ef x dx =∞⎰时，由积分定义，对任意的0M >.存在,k m 使得[]()km E f x dx M ≥⎰，由[]()[]()n m m f x f x →()n →∞与[]()km E f x dx <∞⎰及上面的证明，知lim []()[]()kkn m m n E E f x dx f x dx M →∞=≥⎰⎰.于是lim ()lim []()n n m n En Ef x dx f x dx →∞→∞≥⎰⎰lim []()kn m n E f x dx →∞≥⎰M ≥.由0M >是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∞=⎰⎰.定理得证.定理 5.3.3（Lebesgue 基本定理） 设{()}n f x 是可测集E 上的非负可测函数列，1()()n n f x f x ∞==∑，则1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.证明 设1()(),1,2,nn i i g x f x n ===∑ ，则{()}ngx 是E 上非负可测函数列，且1()()(,1,2,)n n g x g x x E n +≤∈= ，1lim ()()n n n n g x f x ∞→∞==∑()f x =.由Levi 定理有1lim ()(())()n i n EEEi g x dx f x dx f x dx ∞→∞===∑⎰⎰⎰，而1lim ()lim (())nn i n En Ei g x dx f x dx →∞→∞==∑⎰⎰1lim ()ni n Ei f x dx →∞==∑⎰1()i Ei f x dx ∞==∑⎰.所以1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.定理5.3.4（积分对区域的可数可加性） 若,1,2,i E i = 是E 的互不相交的可测子集列，1i i E E ∞== ，当()f x 在E 上有积分值时，则()f x 在每一个i E 上都有积分值，且1()()iEE i f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.。

勒贝格曲面积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勒贝格曲面积分，是数学中的一个重要概念，被广泛应用于物理学、工程学等领域。

在三维空间中，曲面积分是对曲面上的向量场或者标量场进行积分的一种方法，通过曲面积分可以描述场沿曲面的流量或者作用量。

在勒贝格曲面积分的理论基础上，人们可以更深入地研究场的性质，解决实际问题。

曲面积分的概念最早由高斯提出，但是到了19世纪末20世纪初，勒贝格进一步完善了曲面积分的理论体系，成为了现代数学中的重要内容之一。

勒贝格曲面积分的基本思想是将曲面上的场分解为垂直于曲面的法向分量和沿曲面的切向分量，然后分别对这两个分量进行积分，最终得到曲面上的积分值。

在数学表达上，勒贝格曲面积分可以写成如下形式：\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_S\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d}SS表示曲面，\mathbf{F}表示场，\mathbf{n}表示曲面的单位法向量，\mathrm{d}\mathbf{S}表示曲面的面积元素。

勒贝格曲面积分可以分为两种类型，一种是对向量场的曲面积分，另一种是对标量场的曲面积分。

对于向量场的曲面积分，结果是一个向量，表示场经过曲面的总流量；而对于标量场的曲面积分，则是一个标量，表示标量场在曲面上的积分均值。

除了物理学和工程学，勒贝格曲面积分还有着许多其他应用领域。

在地质学中，曲面积分可以用来描述地球表面的地质性质，比如地热分布、地震活动等。

在生物学中，曲面积分可以应用于细胞膜的表面积计算，研究细胞内的物质运输等。

在计算机图形学中，曲面积分可以用来计算曲面上的光照效果，渲染逼真的图像。

第二篇示例：勒贝格曲面积分是微积分中的一个重要概念，它广泛应用于物理学、工程学等领域。

在这篇文章中，我们将介绍勒贝格曲面积分的概念、计算方法以及应用。

勒贝格曲面积分是对矢量场在曲面上的积分，通过曲面上的矢量场与曲面元素相乘后求和来计算。

勒贝格微分定理勒贝格微分定理是1870年由德国数学家威廉勒贝格(WilhelmLebesgue)提出的定理，其定义了一个函数在某一区域上的无穷累积和以及在该区域上一阶导数的关系。

作为统计学中最基本的定理，它改变了人们对函数的理解，开拓了对函数的分析，并且被广泛应用于非线性运筹学、概率计量、偏微分方程等领域，因而被誉为20世纪数学史上最重要的定理之一。

一、定理的定义勒贝格微分定理的定义如下：设R为实数域上的某一区域，若函数f(x)在R上可导，则$$int_{a}^{b} f(x)dx=f(b)-f(a)$$其中，a，b均为R上的点。

二、证明一般情况下，函数f(x)在R上一定是连续函数，并且可导，则根据微积分中对连续函数求积分定理可得：$$int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中F(x)=f(x)，F(x)为f(x)的反函数。

令F(x)=F(x)-F(x)，即有$$int_{a}^{b} f(x)dx=f(x)-f(x)$$又因为f(x)在R上可导，则f(x)也是连续函数，根据上式可得 $$int_{a}^{b} f(x)dx=f(b)-f(a)$$三、应用勒贝格微分定理被广泛应用于非线性运筹学、概率计量、偏微分方程等领域。

在非线性运筹学中，通过该定理可求解一些复杂的极值问题；在概率计量中，它可用来推导期望值、方差等基本概念；在偏微分方程中，可应用它来求解一些椭圆型偏微分方程的解等等。

四、总结勒贝格微分定理是20世纪数学史上最重要的定理之一，它改变了人们对函数的理解，开拓了对函数的分析，并被广泛的应用到各个领域，如非线性运筹学、概率计量、偏微分方程等。

它的定义是：设R为实数域上的某一区域，若函数f(x)在R上可导，则$$int_{a}^{b} f(x)dx=f(b)-f(a)$$其中，a，b均为R上的点。