第一节勒贝格积分的引入

勒贝格积分论摘要:对勒贝格积分进行了深入的研究，重点从三方面详细论述了勒贝格积分的威力，首先勒贝格可积函数的范围比黎曼积分更广泛，其次实例说明勒贝格积分在高等数学中求极限方面的几个实际应用，最后在勒贝格积分的意义及性质下进行推广。

关键词:勒贝格、积分、极限、应用、推广。

第一章引言1.1勒贝格积分产生的背景19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称SR-积分)等。

只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。

然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。

在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。

通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。

因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。

1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合SR-积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称SL-积分）。

20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

1.2积分介绍积分是“和”的概念。

即将东西加起来。

所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。

比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。

用极限法就可以求得精确的面积。

这是传统的积分概念(黎曼积分)。

勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。

比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。

又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。

勒贝格积分的概念在数学分析和测度论中，积分是求一个函数在某个区间内的累积量的基本工具。

对于一类较为复杂的函数传统的黎曼积分往往不够应用，这就引出了勒贝格积分的概念。

勒贝格积分由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lébeau）于20世纪初提出，它的重要性不仅在于其理论深度，还由于其广泛的应用。

勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义以测度为基础。

首先，需要了解可测函数与测度空间的概念。

测度在实数轴上，我们通常用“长度”来度量某个区间的大小。

例如，区间[a, b]的长度为(b - a)。

这种对长度的度量可以推广到更一般的情况下，即测度。

在更广泛的集合论和分析中，测度是一种赋予集合“大小”的方法。

设(X)为一个集合，若给定一个σ-代数()与一个非负的加法可数可加集函数()，则称((X, , ))为一个测度空间。

在此空间中，测度()为我们提供了一种量化能否对集合进行积分的方法。

可测函数一个函数是可测函数，如果其逆像对所有开集在测度下都可测。

这一性质使得我们可以运用勒贝格测度理论进行分解和重构，使得我们能够对其进行积分操作。

令(f: X )为一个可测函数，并且定义勒贝格积分为：[ _X f d ]这里，(d) 表示对测度()进行积分。

对于Lebesgue积分，我们有一个更直观的在区间上的定义，这与概率论中的期望有些相似。

勒贝格积分与黎曼积分的区别传统黎曼积分是通过将区间分割成更小子区间，然后求每个子区间内对应函数图像下方矩形面积之和实现。

但这种方法对于不连续或具有复杂性质的函数不适用。

相比之下，勒贝格积分则更加灵活，允许我们对包含更多“维度”的未知数进行处理。

通过引入重复应用可测性的理念，勒贝格积分能够处理更多种类的函数和基于不同自变量域的问题。

勒贝格积分的一些重要性质勒贝格积分拥有众多重要性质，使其在数学及其它科学领域内被广泛应用。

线性性质：对于任意常数(a, b)和可积函数(f, g)，我们有[ (af + bg) d= a f d+ b g d. ]单调收敛定理：若一列可测非负函数(f_n)满足 (f_n f ,(n ))，则 [ f_n df d. ]重复应用：如有一列互不重合且具有有限长度的集合，可以得到如下结果： [ {{n=1}^{} E_n} f d= {n=1}^{} {E_n} f d. ]变化性与限制性：如果(f_n(x))逐点收敛到(f(x))，且(f_n(x))被某个可积函数所界限，则同样可以得到结论： [ _{n } f_n d= f d. ]这些性质提供了工具，使其不仅在纯数学理论中发挥作用，同时也能用于实际计算。

勒贝格积分的定义定义1 设是非空可测集，如果，其中为互不相交的非空可测集，则称有限集合族是的一个可测分划，简称分划。

是的另一个分划。

如果对于任一，存在，使，称比细。

引理1 给定任两个分划、，必存在比它们都细的第三个分划我们记证明显然合乎要求。

定义2 设是定义在测度有限的集上的有界函数，对的任一分划，令，则，，分别称为关于分划的大和与小和（它们由完全确定）引理2 （1）设，，则（2）设分划比细，则，。

（3）对于任两个分划比总有，（4），这里上、下确界是对的所有可能的分划取的。

证明由定义很容易证明这些结论是显然的。

定义3 设是定义在测度有限的集上的有界函数，记=，分别称为在上的上、下积分。

如果=，则称在上可积，且称此共同值为在上的积分，记为。

以上有限可测集上有界函数的积分定义，我们看到它在形式上同积分完全类似，除了积分区域更一般外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同，即那里的区间在这里一律换成了可测集。

因此我们也有下面类似的结论。

定理1 设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为：对任何，存在的分划使，这里定理2 设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件是在上可测。

定理3 设，是定义在测度有限的可测集上的有界函数且可积，则，（但在上是可积的。

证明由定理2及第四章第一节的定理可直接得出结论。

定理4 设在上可积，则它必同时可积，且有相同的积分值证明首先是有界的，其次在上可积，则必几乎处处连续，从而可测，因而可积。

最后由积分的定义知道其值是相同的。

注意定理4的逆定理是不成立的。

例如，在上的狄里克雷函数不是可积的，但作为简单函数是可测的，从而是可积的。

勒贝格积分学习内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论。

它也是实变函数数论研究的中心内容。

一、关于勒贝格积分的建立本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替。

一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的。

第一步是建立非负函数的积分。

它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的。

第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的。

二、勒贝格积分的性质勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)，这是它与黎曼积分重要区别之一。

(2)勒贝格积分的绝对连续性，设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同。

(4)可积函数可用连续函数积分逼近，设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较三、关于积分极限定理积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义，其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用。

专题勒贝格积分及相关理论主要内容1.勒贝格积分的研究背景2.点集的勒贝格测度3.可测函数4.勒贝格积分的概念及相关理论1902年“积分、长度、面积”第1讲勒贝格积分的研究背景勒贝格: 1902年博士论文“积分、长度、面积”(Lebesgue, 法,1875－1941)求积问题四边形求积问题八边形求积问题十六边形一、定积分的进展概述柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的, a b x y o ?A a b x yo 不足: 若闭区间上具有无限多不连续点, 柯西积分就不适用了.重新定义定积分为一个分割的和的极限 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857)()[,].f x a b 设是定义在上的有界函数 1854年黎曼 (Riemann, 德, 1826－1866) 重新定义定积分(后也称黎曼积分)01:,i n T a x x x x b =<<<<<=step1.分割区间 1max{}i i n T x ≤≤=∆1,i i i x x x -∆=-step2. 近似作和黎曼和1()n ii i f x ξ=∆∑=(,)i S T ξ记作依赖于划分T , 以及点的取法 i ξ01()d lim ().n bi i a T i f x x f x ξ→==∆∑⎰step3. 求极限得黎曼积分,0,,()[,],i T T f x a b ξ→不论和如何选择 当时黎曼和都趋于同一个值则称该值为函数在区间上的积分即达布大和 1[,]sup {()}.i i i x x x M f x -∈=1,nT i i i S M x ==∆∑ 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 提出了达布大和、小和达布小和1[,]inf {()}.i i i x x x m f x -∈=1,nT i i i S m x ==∆∑上积分与下积分()d inf ,bT a Tf x x S =⎰()d sup .b T a T f x x S =⎰结论 1 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰()d ()d .bb a a f x x f x x =⎰⎰01lim 0,ni i T i x ω→=∆=∑1()[,i i i i i M m f x x x ω-=-其中为在]上的振幅.结论 2 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰x i -1 x i(1) 对被积函数和积分域要求过于严格 要求积分域为区间,对一般点集而言, R 积分无定义;二、 黎曼积分的局限性 (一维情形为例)01()[,]lim 0ni i T i f x a b x ω→=⇔∆=∑函数在区间上可积 要求被积函数在区间[a , b ]上的变化不能太快, 至少急剧变化的点不能太多, 可积函数是“差不多连续”.(黎曼积分意义下可积的函数类太小)例1 [0,1]上的狄利克雷函数1,[0,1]()0,[0,1]\x D x x ∈⎧=⎨∈⎩不是R 可积的. 证明 对任意的划分T , 1,i ω=总有从而0011lim lim 1n ni i i T T i i x x ω→→==∆=∆=∑∑故D (x )在[0,1]上不是R 可积的..0≠狄利克雷( Dirichlet, 德, 1805－1859)在很强的条件下(可积函数列一致收敛)才能交换极限运算与积分运算次序(见数学分析教材);(2)积分与极限可交换的条件太严格问题⇒？ O y x()y f x =()n y f x =ba ()y f x ε=-()y f x ε=+一致收敛的几何直观例210lim (d ).n n f x x →∞=⎰所以1x εyxO 2x 113x ε- 函数列一致收敛的要求过分强.10(d im )l n n f x x →∞⎰1231231,{,,,,}(),1,2,3,0,[0,1]\{,,,,}n n n x r r r r f x n x r r r r ∈⎧==⎨∈⎩例3 设{r n }为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集, 故可把它排成序列), 构造[0,1]上的函数列 1,[0,1]lim ()()0,[0,1]\n n x f x D x x →∞∈⎧==⎨∈⎩不R 可积. 可积函数列的极限函数(逐点收敛)未必可积. {()}[0,1]R ,n f x 则在上可积但(3)关于微积分基本定理()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件1 在上是连续的.' 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857) ()d ()(),[,]xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件2 在上是可积的.' 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 在满足以下条件之一下是成立的:()[](),,,f x a b f x 假设在上是可微的 且是有界的'⇒？ ()d ()(),[,].xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰ 1881年沃尔泰拉 (Volterra, 意, 1860－1940) 为了扩充可积函数类, 拓宽积分与其它运算交换的条件, 需要将传统的黎曼积分定义推广.做出了一个可微函数, 其导函数有界, 但导函数不是R 可积的.假设 (b )的必要性？问题感谢大家的聆听！。

实变函数中的勒贝格积分理论实变函数中的勒贝格积分理论是数学中非常重要的一部分内容。

勒贝格积分理论为我们提供了一种有效的方法来计算函数的积分，不仅在理论上具有广泛的应用，也在实际问题的求解中起到了重要的作用。

本文将对实变函数中的勒贝格积分理论进行全面的介绍和论述。

1. 勒贝格积分的定义在介绍勒贝格积分之前，我们首先需要了解勒贝格可测集的概念。

勒贝格可测集是指具有良好性质的集合，可以用来刻画函数的不连续点和振荡现象。

基于勒贝格可测集的概念，我们可以定义勒贝格积分。

勒贝格积分具有广义积分所不具备的优良性质，如积分与函数几乎处处相等、线性性质、单调性等。

2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质。

其中包括积分的线性性、积分的单调性、积分的绝对收敛性等。

这些性质对于积分的计算和性质的分析起到了重要的作用。

此外，还有勒贝格积分的可加性、积分与极限的交换等性质也是勒贝格积分理论的重要内容。

3. 勒贝格积分与测度论测度论是研究测度的理论，而勒贝格积分则是测度的重要应用之一。

勒贝格积分理论可以看作是对测度论的应用和拓展，通过引入测度的概念来定义积分，从而使得积分更加通用和灵活。

测度论为勒贝格积分理论提供了严密的数学基础，使得我们能够对积分进行深入的研究和应用。

4. 勒贝格积分的应用勒贝格积分作为一种重要的积分方法，在实际问题的求解中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们需要计算一些曲线、曲面或者体积的积分，勒贝格积分能够提供一种有效的方法来进行计算。

此外，勒贝格积分还在概率论、统计学等领域有着重要的应用。

总之，实变函数中的勒贝格积分理论是一门重要的数学理论。

通过勒贝格积分的定义和性质，我们可以更好地理解和计算函数的积分。

同时，勒贝格积分理论还与测度论相互联系，形成了一个完整的理论体系。

勒贝格积分理论的应用也非常广泛，为我们解决实际问题提供了有力的数学工具。

通过深入地研究和应用勒贝格积分理论，我们可以更好地理解实变函数的性质和特点，为我们的科学研究和工程实践提供有力支持。

勒贝格积分公式一、勒贝格积分的定义。

1. 简单函数的勒贝格积分。

- 设E⊆R^n是可测集，φ(x)=∑_i = 1^k c_iχ_E_i(x)是E上的非负简单函数，其中c_i≥slant0，E_i⊆ E是可测集且E=bigcup_i = 1^k E_i，E_i∩ E_j=varnothing(i≠ j)，χ_E_i是E_i的特征函数。

- 则∫_Eφ(x)dx=∑_i = 1^k c_im(E_i)，这里m(E_i)表示集合E_i的勒贝格测度。

2. 非负可测函数的勒贝格积分。

- 对于E上的非负可测函数f(x)，定义∫_E f(x)dx=sup<=ft{∫_Eφ(x)dx:φ(x)≤slant f(x),φ(x)是简单函数}。

3. 一般可测函数的勒贝格积分。

- 设f(x)是E上的可测函数，将f(x)分解为f(x)=f^+(x)-f^-(x)，其中f^+(x)=max{f(x),0}，f^-(x)=-min{f(x),0}。

- 如果∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx至少有一个是有限值，则∫_E f(x)dx=∫_Ef^+(x)dx-∫_E f^-(x)dx。

当∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx都有限时，称f(x)在E上勒贝格可积。

二、勒贝格积分的基本性质。

1. 线性性质。

- 设f(x)和g(x)是E上的勒贝格可积函数，α,β∈R，则∫_E[α f(x)+βg(x)]dx=α∫_E f(x)dx+β∫_E g(x)dx。

2. 单调性。

- 若f(x)≤slant g(x)在E上几乎处处成立（即除了一个勒贝格测度为零的集合外成立），则∫_E f(x)dx≤slant∫_E g(x)dx。

3. 可加性。

- 设E = E_1∪ E_2，E_1∩ E_2=varnothing，f(x)在E上勒贝格可积，则∫_Ef(x)dx=∫_E_1 f(x)dx+∫_E_2 f(x)dx。

[0,1]的勒贝格积分摘要：一、引言1.勒贝格积分的概念2.勒贝格积分的性质3.[0,1] 的勒贝格积分的特殊性二、勒贝格积分的概念1.勒贝格积分的定义2.勒贝格积分的计算方法3.勒贝格积分的应用三、勒贝格积分的性质1.线性性质2.保号性3.可积函数的有界性四、[0,1] 的勒贝格积分的特殊性1.[0,1] 上的连续函数2.[0,1] 上的可积函数3.[0,1] 上的勒贝格积分的计算方法正文：一、引言勒贝格积分是数学中一种重要的积分方法，它可以用来求解各种复杂函数的面积、体积等。

勒贝格积分的概念最早由法国数学家勒贝格提出，经过多年的发展，已经成为现代数学中不可或缺的一部分。

在本文中，我们将重点探讨[0,1] 上的勒贝格积分。

二、勒贝格积分的概念勒贝格积分是一种非负的、可加的积分，它可以用来求解各种不连续函数的面积、体积等。

勒贝格积分的定义如下：设f(x) 是一个定义在实数集上的函数，S 是一个包含实数集的子集，那么f(x) 在S 上的勒贝格积分为：∫[S]f(x)dx = ∑[S]f(x)Δx其中，Δx 是S 的一个长度为1 的子集，f(x) 是Δx 上的函数值，∑[S] 表示对S 中的所有子集进行求和。

三、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：对于任意两个可积函数f(x) 和g(x)，有∫[S]f(x)dx +∫[S]g(x)dx = ∫[S](f(x) + g(x))dx。

2.保号性：对于任意可积函数f(x)，有∫[S]f(x)dx ≥ 0。

3.可积函数的有界性：如果一个函数f(x) 在某个区间[a, b] 上有界，那么它在[a, b] 上可积。

四、[0,1] 的勒贝格积分的特殊性[0,1] 是一个非常重要的区间，它具有以下几个特殊性质：1.[0,1] 上的连续函数：如果一个函数在[0,1] 上连续，那么它在[0,1] 上可积。

2.[0,1] 上的可积函数：如果一个函数在[0,1] 上可积，那么它在[0,1] 上连续。

勒贝格积分定义的历史探究一、本文概述勒贝格积分，作为现代数学分析中的核心概念，其定义的形成和发展历经了漫长的历史过程。

本文将通过深入的历史探究，揭示勒贝格积分定义产生的背景、原因及其对数学发展的影响。

我们将从19世纪末至20世纪初的数学背景出发，追溯勒贝格积分思想的起源，分析其在数学史上的重要地位。

本文还将探讨勒贝格积分定义在数学理论和应用中的影响，并评估其在现代数学中的地位和作用。

通过对勒贝格积分定义的历史探究，我们不仅可以更好地理解现代数学的发展脉络，还能从中汲取智慧和启示，为未来的数学研究提供有益的参考。

二、勒贝格积分定义的起源勒贝格积分的定义并非一蹴而就，而是经过一系列的理论探索和实践需求逐渐形成的。

其起源可以追溯到19世纪末的欧洲数学界，那时的数学家们正面临着对积分理论进行更深入理解和改进的需求。

早期的积分理论，如黎曼积分，虽然在处理连续函数时表现出色，但在处理一些具有“不规则”性质的函数时，如狄利克雷函数等，却显得力不从心。

这些函数的特性使得传统的积分理论无法给出准确的结果，因此，数学家们开始寻求一种更为强大和通用的积分定义。

在这样的背景下，勒贝格开始了他的探索之旅。

他深受当时数学界对集合论和测度论的研究影响，试图将这些理论融入积分定义中。

经过一系列的研究和尝试，勒贝格最终提出了一种基于测度的积分定义，即我们现在所说的勒贝格积分。

勒贝格的这一创新性的定义不仅解决了传统积分理论在处理某些函数时的困难，更重要的是，它为积分理论的发展开辟了新的道路。

勒贝格积分理论的出现，使得数学家们可以更深入地研究函数的性质，也为后续的数学研究，如函数论、实变函数论等，提供了有力的工具。

因此，可以说勒贝格积分定义的起源是数学发展的内在需求和数学家们对理论创新的追求的产物。

勒贝格本人也因此被誉为现代积分理论的奠基人，他的贡献不仅在于提出了一种新的积分定义，更在于推动了整个数学领域的发展。

三、勒贝格积分定义的形成勒贝格积分定义的形成，是数学史上一次划时代的变革。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出的，它是黎曼积分的一种推广和扩展。

1. 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义是基于集合论的，它将函数的积分看作是对函数在某个区间上的值进行加权求和的过程。

具体来说，给定一个函数f(x)和一个定义在区间[a, b]上的集合E，勒贝格积分的定义如下：∫f(x)dμ = sup{∫φ(x)dμ | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)在E上几乎处处成立}其中，sup表示上确界，简单函数是指形如φ(x) = ΣaiχAi(x)的函数，其中ai是常数，Ai是区间[a, b]上的可测集合，χAi(x)是Ai上的特征函数。

2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，使得它成为了数学分析中不可或缺的工具。

以下是一些勒贝格积分的性质：（1）线性性质：对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dμ = a∫f(x)dμ + b∫g(x)dμ。

（2）单调性质：如果在E上几乎处处有f(x) ≤ g(x)，则∫f(x)dμ ≤ ∫g(x)dμ。

（3）绝对收敛性：如果∫|f(x)|dμ存在，则∫f(x)dμ也存在。

（4）有界性：如果在E上几乎处处有|f(x)| ≤ M，其中M是常数，则∫f(x)dμ存在且|∫f(x)dμ| ≤ M。

（5）积分与极限的交换：如果函数序列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，且存在可积函数g(x)使得|f_n(x)| ≤ g(x)在E上几乎处处成立，则有lim(n→∞)∫f_n(x)dμ = ∫f(x)dμ。

3. 勒贝格积分与黎曼积分的关系勒贝格积分是对黎曼积分的一种推广和扩展。

黎曼积分是通过将区间[a, b]划分成若干小区间，然后在每个小区间上对函数进行近似求和来定义的。

实数集在其计数测度下的勒贝格就积分勒贝格测度是数学分析中的一个重要概念，它是为了度量实数集的大小而引入的。

在实数集上定义了勒贝格测度后，我们可以进一步讨论实数集在其计数测度下的勒贝格就积分。

本文将以“实数集在其计数测度下的勒贝格就积分”为中心，深入探讨勒贝格就积分的定义、性质以及其在数学分析中的应用。

首先，我们来回顾一下勒贝格测度的定义。

给定实数集上的一个集合，我们希望通过一个测度来衡量其大小。

勒贝格测度是一种广义上的测度，它允许我们度量非常一般的集合。

对于一个给定的集合，我们可以通过勒贝格测度来确定其大小。

具体来说，对于实数集上的一个集合A，我们定义它的勒贝格测度为：m*(A)=inf{∑(i=1to∞)l(Ii)|A⊆∪(i=1to∞)Ii}其中，Ii是实数轴上的一个开区间，l(Ii)表示区间Ii的长度。

上述定义中，我们取所有开区间的并集，使得A被包含其中，并且求出所有这些区间的长度之和的下确界，即为A的勒贝格测度。

接下来，我们来讨论实数集在其计数测度下的勒贝格就积分。

在实数集上定义了勒贝格测度后，我们可以考虑将勒贝格测度扩展为勒贝格就积分。

勒贝格就积分是一种广义上的积分，允许我们对非常一般的函数进行积分运算。

对于实数集上的一个函数f，我们可以定义它的勒贝格就积分为：∫(A)f dm=∫(A)f(x)dm(x)=inf{∑(i=1to∞)f(x)|x∈A,A⊆∪(i=1to∞)Ii}其中，Ii是实数轴上的一个开区间，x∈A表示x属于集合A。

上述定义中，我们取所有包含A的开区间的并集，求出所有这些区间中f(x)的值的和的下确界，即为f在A上的勒贝格就积分。

勒贝格就积分的引入使得我们能够对非常一般的函数进行积分运算。

与传统的黎曼积分相比，勒贝格就积分更加灵活，可以适用于更广泛的函数类。

通过勒贝格就积分，我们可以定义函数的积分，研究函数的性质，探索函数与集合之间的关系，进一步拓展了数学分析的应用领域。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些黎曼积分难以处理的函数和情况。

在实际应用中，勒贝格积分在概率论、信号处理、调和分析等领域有着重要的作用。

一、勒贝格积分的引入在介绍勒贝格积分之前，我们先来回顾一下黎曼积分的概念。

黎曼积分是通过将函数分割成若干小区间，在每个小区间上取样点，然后计算这些小区间上函数值的和的极限来定义的。

然而，黎曼积分在处理一些特殊函数时存在局限性，比如在处理间断点函数、无界函数或者非绝对可积函数时，黎曼积分无法很好地进行计算。

为了克服这些问题，勒贝格引入了一种新的积分概念——勒贝格积分。

勒贝格积分的核心思想是通过对函数的振幅进行测量，而不是对函数值进行测量来进行积分。

这种方法可以更好地处理一些复杂函数，使得更多类型的函数都可以被积分。

二、勒贝格可积函数在勒贝格积分理论中，一个函数被称为勒贝格可积的条件是其绝对值的积分是有限的。

具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果其绝对值|f(x)|在[a, b]上可积，即∫|f(x)|dx是有限的，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是勒贝格可积的。

勒贝格可积函数的概念相对于黎曼可积函数更加宽泛，能够包含更多类型的函数。

比如，对于一些在有限点上取值无穷大的函数或者在有限点上不连续的函数，这些函数在勒贝格积分的意义下也可以是可积的。

三、勒贝格积分的定义对于一个勒贝格可积函数f(x)，其在区间[a, b]上的勒贝格积分定义为：∫f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx = sup{∫φ(x)dx | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)}其中，简单函数是指只取有限个值的函数，且在有限个区间上是常值函数。

第5章 勒贝格积分到现在我们为了建立勒贝格积分已经做了必要的准备工作，我们有了可测集，可测函数的概念和理论，定义Lebesgue 积分的条件已经成熟. 本章我们讨论Lebesgue 积分的基本内容.§5.1 测度有限集上有界可测函数的积分1．有界可测函数积分的定义定义5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在，,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂. 若01:n D l l l αβ=<<<= 是[,]αβ的任一分点组，则记11()max()k k k nD l l δ-≤≤=-，1[]k k kE E l f l -=<≤.对任意的1[,]k k k l l η-∈，作和式1()nk k k S D mE η==∑，称()S D 为f 关于分点组D 的一个和数.如果存在常数A ，使得对任意的0ε>，总有0δ>，当任意分点组D 满足()D δδ<时，有|()|S D A ε-<.换句话说，()0lim ()D S D A δ→=时，则称f 在E 是Lebesgue 可积的，并称A 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作()EA f x dm =⎰.有时为了简便也记()EA f x dx =⎰，若[,]E a b =，则记[,]()a b A f x dx =⎰. 当()f x 是Riemann 可积函数时，其Riemann 积分仍沿用数学分析中的记法，记作()b af x dx ⎰.对[,]αβ的任意分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，有两个特殊的和数尤其重要：11()[]nk k k k S D l mE l f l -==<≤∑，111()[]nk k k k S D l mE l f l --==<≤∑.称()S D 和()S D 分别为f 关于分点组D 的大和数与小和数. 显然对于f 的任一和数()S D ，有()()()S D S D S D ≤≤.因此，极限()0lim ()D S D δ→存在当且仅当()0lim ()D S D δ→和()0lim ()D S D δ→都存在且相等.定理 5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是E 上的有界可测函数，则f 在E 上Lebesgue 可积.证明 因为()f x 是有界可测函数，所以有,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂.设sup{()}DS S D =，inf{()}DS S D =. 即S 是对(,)αβ的所有分点组D 的小和的上确界，S 是对(,)αβ的所有分点组D 的大和的下确界.往证S S =.首先证明：S S ≤，设01:n D l l l <<< ，01:m D l l l ''''<<< . 是对(,)αβ任意的两个分点组，则()S D S ≤，()S D S ≥.将D 和D '合并起来构成一个新的分点组，记为D ''，D ''可以看成分点组D 中又加进了一些分点，称为D 的一个加细，假设对任意k ，1k l -与k l 之间加入了某些分点1j l -'，1,,,k j j j j l l l ++''' ，（把1k l -和k l 算在内）即 111k k j j j j j k l l l l l l --++''''=<<<<= ，于是 111()[]nk k k k S D lmE l f l --==<≤∑111[]kj j n k i i k i j lmE l f l +--==''=<≤∑∑111[]kj j ni i i k i jl mE l f l +--=='''≤<≤∑∑()()S DS D ''''=≤ 11[]kj j n ii i k i j l mE l f l +-=='''=<≤∑∑11[]kj j nki i k i j l mE l f l +-==''≤<≤∑∑11[]nk k k k l mE lf l -==<≤∑()S D =. 这样，有()()()()S D S D S D S D ''''≤≤≤，同样的方法，有()()()()S D S D S D S D ''''''≤≤≤.这说明，对于任一分点组D ，加细后的分点组D ''，其大和数不增，小和数不减. 且由()()()S D S D S D '''≤≤， ()()()S D S D S D '''≤≤.说明对于任意一个分点组的小和数不超过其它任意一个分点组的大和数. 此即sup{()}inf{()}DDS D S D ≤，于是S S ≤.再证明S S =.设D 为任意的分点组，则由于()()S D S S S D ≤≤≤，有0()()S S S D S D ≤-≤-111()[]nkk k k k ll mE l f l --==-<≤∑()D mE δ≤.这样对任意的0ε>. 取分点组*D ，使*()D mEεδ<，则0S S ε≤-<. 由0ε>是任意的，有S S =. 令S S S ==，往证()0lim ()D S D S δ→=. 注意到()()S D S S D ≤≤，()()()S D S D S D ≤≤，所以()()()()S S D S D S D D mE δ-≤-≤， ()()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.因此|()|()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.所以()0lim ()D S D S δ→=.即f 在E 上Lebesgue 可积.注：本定理还证明了()f x 在E 上Lebesgue 可积，则()sup{()}inf{()}EDDf x dx S D S D ==⎰.例1 考察[0,1]上的Dirichlet 函数()D x .1,[0,1]()0,[0,1]x D x x ∈⎧=⎨∈⎩则()D x 在[0,1]上Lebesgue 可积，且[0,1]()0D x dx =⎰.证明 ([0,1]){0,1}[D =⊂-，对于(1,2)-的任一组分点:D 0112n l l l -=<<<= .当11()max{}0k k k nD l l δ-≤≤=-→时，0和1不能在同一个小区间上.设10(,]i i l l -∈，11(,]j j l l -∈，则1i j n ≤<≤. 取1[,]i i i l l η-∈，则是有理数；是无理数.1|||0|||()i i i i l l D ηηδ-=-≤-≤，因此当()0D δ→时，0i η→. 而1[()]j j E l D x l Q -<≤⊂（有理数集），所以1[()]0j j mE l D x l -<≤=.当,k i j ≠时，由于1[()]k k E l D x l φ-<≤=，则1[()]0k k mE l D x l -<≤=.因此11()[()]nk k k k S D mE l D x l η-==<≤∑11[()][()]i i i j j j mE l D x l mE l D x l ηη--=<≤+<≤ 1[()]i i i m E l D x l η-=<≤ 于是1()0()0lim ()lim [()]i i i D D S D mE l D x l δδη-→→=<≤0=，即[0,1]()0D x dx =⎰.我们知道()D x 在[0,1]不是Riemann 可积的，所以Lebesgue 可积函数类比Riemann 可积函数类要广.2．有界可测函数积分的性质定理5.1.2 设nE R ⊂，mE <∞，()f x 、()g x 都是E 上的有界可测函数，则 （i ）对任意的a R ∈，()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰；（ii ）若1,,m E E 是E 的可测子集，()i j E E i j φ=≠ ，1mi i E E ==，则1()()()mEE E f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰；（iii ）(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；（iv ）当()()..f x g x a e ≤于E 时，()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰；证明 证（ii ）. 只须就2m =的情形证明.设()(,)f E αβ⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 令111[]i i i E E l f l -=<≤，221[]i i i E E l f l -=<≤，1,2,,i n = . 那么121[]i i i i i E E E E l f l -==<≤ ，且12i i E E φ= ，所以12i i i mE mE mE =+，1,2,,i n = .对于分点组D ，用12(),(),()E E E S D S D S D 分别表示f 在12,,E E E 上对应D 的大和数.1()nE i i i S D l mE ==∑1211nniiiii i l mE l mE===+∑∑12()()E E S D S D =+ 该等式对任意的分点组D 成立.对任意的0ε>，存在(,)αβ的分点组1D ，使得111()inf{()}2E E DS D S D ε<+，也存在(,)αβ的分点组2D ，使得222()inf{()}2E E DS D S D ε<+.设*12D D D = ，则*D 即是1D 也是2D 的加细，因此12***()inf{()}()()()E E E E EDf x dx S D S D S D S D =≤=+⎰121212()()()()E E E E S D S D f x dx f x dx ε≤+<++⎰⎰由0ε>是任意的，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx ≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数和()sup{()}EDf x S D =⎰可证相反的不等式，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.证（iii ）. 设()(,)f E αβ⊂，()(,)g E αβ''⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，对(,)αβ''的任一分点组01:m D l l l αβ''''''=<<<= . 令1[]i i i E E l f l -=<≤，1[]j j j E E l g l -'''=<≤ 1[]ij i j j E E l g l -''=<≤11[,]i i j j E l f l l g l --''=<≤<≤1[]j i i E l f l -'=<≤，(1,2,,;1,2,,.)i n j m == 由此可知，E 可分解为有限个互不相交的可测集的并.1111n m n mij i j i j i j E E E E ===='=== .于是()()iji j ij E f g dx l l mE '+≤+⎰i ij j ij l mE l mE '=+.11()()ijn mEE i j f g dx f g dx ==+=+∑∑⎰⎰11nmiijji j l mE l mE ==''≤+∑∑()()f g S D S D'=+. 该不等式对(,)αβ的任意分点组D 和(,)αβ''的任意分点组D '都成立. 因为inf{()}f EDfdx S D =⎰，inf{()}g ED gdx S D ''=⎰.所以对任意的0ε>，有(,)αβ的分点组1D 和(,)αβ''的分点组1D '，使 1()()2f E S D f x dx ε<+⎰， 1()()2g ES D g x dx ε'<+⎰.因此可得11()()()f g Ef g dx S D S D '+≤+⎰()()EEf x dxg x dx ε<++⎰⎰由0ε>是任意的，有()()()EEEf g dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数及所有小和数的上确界可得相反的不等式. 因而()()()EEEf g dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证（i ）. 引理1 若()f x c ≡（常数），x E ∈. 则()Ef x dx cmE =⎰.因为存在,R αβ∈，使c αβ<<. 对(,)αβ的任一分点组01n l l l αβ=<<<= . 若1(,]i i c l l -∈，1i n ≤≤，则1[]i i mE l f l -<≤mE =，任取1(,]i i i l l η-∈，则1||()i i i c l l D ηδ--≤-≤.因此当()0D δ→时，i c η→.而当k i ≠时，1[]k k E l f l φ-<≤=，因而1[]0k k mE l f l -<≤=，于是11()0()01lim[]lim []nk k k i i i D D k mE lf l mE l f l δδηη--→→=<≤=<≤∑c mE =⋅.以下证明()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.若0a =，则()0af x ≡，x E ∈. 由引理1，()000()()EEEaf x dx mE f x dx a f x dx =⋅===⎰⎰⎰.若0a >，设()af x αβ<<，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= .由于()f x aaαβ<<，分点组D 相当于(,)a aαβ的一个分点组011:n l l l D a a a a aαβ=<<<= .任取1[,]i i i l l η-∈，则1,ii i l l a a a η-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 1111[]nni i i i i i i i l l mE l af l mE f aa ηη--==⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎣⎦∑∑，而1111()0()011lim lim nnii i i i i D D i i l l ll a mE f a mE f a a a aa a δδηη--→→==⎡⎤⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()E a f x dx =⎰，并且1()0()0D D δδ→⇔→，因此1()01()lim[]ni i i ED i af x dx mE laf l δη-→==<≤∑⎰11()01l i m ()nii iD E i l l amE f a f x dx a a a δη-→=⎡⎤=<≤=⎢⎥⎣⎦∑⎰.若0a <，则0a ->. 则0[()]Eaf a f dx =+-⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰于是()EEafdx a fdx =--⎰⎰Ea fdx =⎰.综上，对任意的a R ∈，有()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.证（iv ）. 引理2 定义在零测度集上的任何有界函数是可积的，而且积分为零. 事实上，设()f x 定义在E 上，0mE =，设()f x αβ<<，x E ∈. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，则由1[]i i E l f l E -<≤⊂，所以1[]0,1,2,,i i mE l f l i n -<≤== .于是，任取1[,]i i i l l η-∈，11[]0ni i i i mE lf l η-=<≤=∑，因此1()01()lim[]0ni i i ED i f x dx mE lf l δη-→==<≤=∑⎰.为证（iv ），令()()()F x g x f x =-，则()0..F x a e ≥于E . 由引理2，不妨设()0,F x x E ≥∈.设()(,)F E αβ⊂. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 对每一个1i n ≤≤，考察1[]i i i mE l F l η-<≤，其中1[,]i i i l l η-∈，若0i η<，则当()0D δ→时，0i l <，此时1[]i i E l F l φ-<≤=，因而1[]0i i i mE l F l η-<≤=.若0i η≥，则由1[]0i i mE l F l -<≤≥知1[]0i i i mE l F l η-⋅<≤≥，因此1()01()lim[]0ni i i ED i F x dx mE lF l δη-→==<≥≥∑⎰，于是()(()())EEF x dx g x f x dx =-⎰⎰ [()(())]Eg x f x dx =+-⎰ ()()EEg x dx f x dx =+-⎰⎰()()0EEg x dx f x dx =-≥⎰⎰. 因而()()EEg x dx f x dx ≥⎰⎰.推论 设mE <∞，且()f x 是E 上的有界可测函数，则||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.证明 因为||||f f f -≤≤，所以由定理5.1.2的（iv ）和（i ）有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰，即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理 5.1.3 设mE <∞，()f x 是E 上的有界可测函数，若()0..f x a e ≥于E ，且()0Ef x dx =⎰，则()0..f x a e =于E .证明 因为()0..f x a e ≥E ，则[0]0mE f <=，且[0]()0E f f x dx <=⎰，若能证明[0]0mE f >=，则定理得证.[0][0][0]E E f E f E f ==<> .令1,1,2,n E E f n n ⎡⎤=≥=⎢⎥⎣⎦ ，则1[0]n n E f E ∞=>= ，对任意取定的n N +∈，有 0()Ef x dx =⎰[0][0]()()E f E f f x dx f x dx <≥=+⎰⎰[0]()E f f x dx ≥=⎰[0]()()nnE E f E f x f x dx ≥-=+⎰⎰1()nn E f x mE n≥≥⎰所以0,1,2,n mE n == ，因此11[0]0n n n n mE f m E mE ∞∞==⎛⎫>=≤= ⎪⎝⎭∑ ，于是()0..f x a e =于E .§5.2 一般可测集上一般可测函数的积分对于广义Riemann 积分，有积分区间无限的广义积分和无界函数的广义积分，对于Lebesgue 积分也有无限测度集上的积分和无界可测函数的积分的情形.本节的任务就是讨论这种一般情形的积分.1．有限可测集上无界可测函数的积分（i ）非负函数情形 设nE R⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.N R +∈，称[]()m i n {(N f x f x N =为()f x 的N -截断函数.有了N -截断函数的概念，我们可以构造有界可测函数列{()}n f x .其中()[]()n n f x f x =.1,2,n = .显然，这样构造的函数列{}n f 满足：12()()()n f x f x f x ≤≤≤≤ ，x E ∈.并且lim ()()n f x f x =.因而12()()()n EEEf x dx f x dx f x dx ≤≤≤≤⎰⎰⎰ ，所以极限lim()n n Ef x dx →∞⎰存在（可能是+∞）.定义 5.2.1 设n E R ⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.()[]()n n f x f x =，,1,2,x E n ∈= .称lim ()n n Ef x dx →∞⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()n Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()n Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）一般函数情形定义5.2.2 设()f x 在n E R ⊂上可测，如果()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积，那么称()()EEf x dx f x dx +--⎰⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.当()f x +和()f x -都在E 上可积时，称f 在E 上可积.定义中要求()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积是因为如果()f x +和()f x -在E 上都不可积时，()Ef x dx +=+∞⎰且()Ef x dx -=+∞⎰.此时()Ef x dx +-⎰()()()Ef x dx -=+∞-+∞⎰，没有意义，因而没有积分值.若()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积时，()Ef x dx +-⎰()Ef x dx -⎰有意义，但可能为+∞或-∞.无论()Ef x dx ⎰是有限数，+∞或-∞，我们都说()f x 在E 上有积分值，当|()|Ef x dx <+∞⎰时，称f 在E 上可积.2．非有限测度可测集上的积分（i ）()f x 是非负可测函数设nE R ⊂，mE =∞.设12{(,,,):||,1,2,,}m n i x x x x m i n K =≤= .令m m E E =K ，则m mE <∞，1,2,m = ，且12m E E E ⊂⊂⊂⊂ 是单调增加集列，有1lim m mm m E EE ∞→∞=== .由前面讨论，()f x 在每个m E 上有积分值()mE f x dx ⎰.记()mm E J f x dx =⎰.则{}m J 是单调增加数列，极限lim m m J →∞存在（可能是+∞）.定义5.2.3 设n E R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的非负可测函数.称lim lim ()mm m m E J f x dx →∞→∞=⎰（m E 如上说明）为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()lim ()mEm E f x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）()f x 是一般可测函数定义5.2.4 设nE R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的可测函数.如果()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰至少有一个是有限数，则称()Ef x dx +⎰()Ef x dx --⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.若()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数，称()f x 在E 上可积.至此，非有限测度集和无界可测函数积分的概念已经建立，以下继续讨论积分的性质. 定理5.2.1 （1）设()f x 是E 上的函数，0mE =，则()0Ef x dx =⎰.（2）设()f x 在E 上可积，则[||]0mE f =∞=，即()f x 是E 上几乎处处有限的函数. 证明 （1）由0mE =，()f x 在E 上可测，所以[]n f +和[]n f -都是E 上的有界可测函数(1,2,)n = ，从而[]()0n Ef x dx +=⎰，[]()0n Ef x dx -=⎰，(1,2,)n = .所以()Ef x dx +=⎰lim []()0n n Ef x dx +→∞=⎰，()Ef x dx -=⎰lim []()0n n Ef x dx -→∞=⎰.于是()Ef x dx =⎰()Ef x dx +-⎰()0Ef x dx -=⎰.（2）令1[]E E f ==+∞，2[]E E f ==-∞.往证120mE mE ==.用反证法，若10mE δ=>，则对任意的正整数n ，有()[]()n EE f x dx f x dx ++≥≥⎰⎰1[]()n E f x dx n δ+=⎰，1,2,n = ，所以()Ef x dx +=+∞⎰，这与()f x 在E 上可积矛盾.因此必须有10mE =.同理可证20mE =.于是1212[||]()0mE f m E E mE mE =∞=≤+= .定理5.2.2 设()f x 在E 上可测，()g x 在E 上非负可积，|()|(),f x g x x E ≤∈，则()f x 也在E 上可积，且|()|()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰.证明 因为|()|()()f x f x f x +-=+，所以()()f x g x +≤，()()f x g x -≤.对任意的正整数,k n 有[]()kn E f x dx +≤⎰[]()kn E g x dx ≤⎰()Eg x dx <+∞⎰，所以对每一个正整数k ，{[]()}kn E f x dx +⎰，(1,2,)n = 是单调增加有上界的数列，有有限极限()kE f x dx +=⎰lim []()kn n E f x dx +→∞≤⎰()kE g x dx <+∞⎰.而{()}kE f x dx +⎰，(1,2,)k = 也是单调增加有上界的数列，也有有限极限()Ef x dx +=⎰lim ()kk E f x dx +→∞≤⎰lim ()kk E g x dx →∞⎰()Eg x dx =<+∞⎰.同理可证()Ef x dx -≤⎰()Eg x dx <+∞⎰. 因此()f x 在E 上可积.由|()|()f x g x ≤，x E ∈，有[||]()[](),1,2,n n f x g x n ≤= ，所以对每一个正整数k ，有[||]kn E f dx ≤⎰[](),1,2,kn E g x dx n =⎰ .令n →∞，有|()|kE f x dx ≤⎰(),1,2,kE g x dx k =⎰.令k →∞，有|()|Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.定理5.2.3 设E 是可测集，则（i ）当12,,,m E E E 是E 的互不相交的可测子集，1mi i E E ==，()f x 在E 上有积分值时，()f x 在每一个i E 上有积分值，且()Ef x dx =⎰1()E f x dx +⎰2()()mE E f x dx f x dx ++⎰⎰.特别地，当()f x 是E 上的非负可测函数时，()Ef x dx ⎰()iE f x dx ≥⎰，1,2,,i m = ；（ii ）对任意常数c ，()Ecf x dx =⎰()Ec f x dx ⎰；（iii ）若()f x ，()g x 都是E 上的可积函数，则[()()]Ef xg x dx +=⎰()Ef x dx +⎰()Eg x dx ⎰；（iv ）若()f x 在E 上有积分值，且()()f x g x =..a e 于E ，则()Ef x dx =⎰()Eg x dx ⎰；（v ）当()f x ，()g x 都在E 上可积，且()()f x g x ≤()x E ∈时，()Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.证明 证（i ）. 只须就2m =的情形证明，一般情形利用归纳法可证. 由定理5.1.2的（ii ），对任意的正整数,k m ，有[]km E f dx +=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx +++⎰⎰ ， []k m E f dx -=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx --+⎰⎰ ，先对m 后对k 取极限，有Ef dx +=⎰12E E f dx f dx +++⎰⎰， Ef dx -=⎰12E E f dx f dx --+⎰⎰.若()f x 在E 上有积分值，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰至少有一个是有限数，不妨设Ef dx+⎰是有限数，那么1E f dx +⎰2E f dx ++⎰是有限数.从而1E f dx +⎰和2E f dx +⎰都是有限数，因而()f x 在1E 和2E 上都有积分值，且()Ef x dx =⎰Ef dx +-⎰Ef dx -⎰()12E E f dx f dx ++=+⎰⎰()12E E f dx f dx ---+⎰⎰1()E f x dx =⎰2()E f x dx +⎰.当()f x 是E 上非负可测函数时，由()i i E E E E =- ，且()i i E E E φ-= ，1,2i =.则()Ef x dx =⎰()()iiE E E f x dx f x dx -+⎰⎰(),1,2iE f x dx i ≥=⎰.为证明（ii ）和（iii ），先证明如下结果：引理1 若(),()f x g x 是E 上的非负函数，0c >，则对任意正整数n 成立. （1）2[][][][]n n n n f g f g f g +≤+≤+； （2）[][]1[][][]n n nccc f cf c f +≤≤，其中[]nc 表示不超过nc的最大整数，而[]n f 等表示f 的n -截断函数.证明 （1）先证[][][]n n n f g f g +≤+. 设0x E ∈，若0()f x n <且0()g x n <，则000000[()()]()()[()][()]n n n f x g x f x g x f x g x +≤+=+.若0()f x 和0()g x 中至少有一个不小于n ，例如0()f x n ≥，则000[()()][()]n n f x g x n n g x +=≤+00[()][()]n n f x g x =+.再证2[][][]n n n f g f g +≤+.由于[][]n n f g f g +≤+，[][]2n n f g n +≤，所以[][]min{,2}n n f g f g n +≤+2[]n f g =+. （1）得证. （2）[]min{,}min{,}n n cf cf n c f c==， 而min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nf f f c c c≤≤+.所以min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nc f c f c f c c c≤≤+.于是[][]1[][][]n n n ccc f cf c f +≤≤. （2）得证.证（ii ）. 若0c =，则0cf =()x E ∈.对任何正整数,k m 有()000kkk E E cf dx dx mE ===⎰⎰，所以()lim ()0kEk E Ecf dx cf dx c fdx →∞===⎰⎰⎰.若0c >，则()cf cf ++=，()cf cf --=，由引理1的（2），[][]1[][][]m m mc cc f cf c f ++++≤≤，因此()()lim []km EEm E k cf dx cf dx cf dx +++→∞→∞==⎰⎰⎰[]1l i m[]km m E c k c f dx +→∞+→∞≤⎰Ec fd x +=⎰.另外()()EEcf dx cf dx ++=⎰⎰l i m[]km m E k cf dx +→∞→∞=⎰[]lim[]km m E c k c f dx +→∞→∞≥⎰Ec f dx +=⎰.因此()EEcf dx c f dx ++=⎰⎰.同理1()EEcf dx c f dx --=⎰⎰.所以()EEcf dx c fdx =⎰⎰.当0c <，可按定理5.1.2中的（i ）相应的情形证明.证（iii ）. 先设()f x 和()g x 都是非负可测函数.由引理1的（1），对任意的正整数m ，有2[][][][]m m m m f g f g f g +≤+≤+，所以对任意的正整数k ，有[][][]kkkm m m E E E f g dx f dx g dx +≤+⎰⎰⎰2[]km E f g dx ≤+⎰，由f 和g 是可积的，有lim[[][]]kkm m m E E k f dx g dx →∞→∞+⎰⎰()()EEf x dxg x dx =+⎰⎰，所以，lim []()()km m E EEk f g dx f x dx g x dx →∞→∞+≤+⎰⎰⎰2lim []km m E k f g dx →∞→∞≤+⎰.由左边不等式知f g +可积，有()EEEf g dx fdx gdx +≤+⎰⎰⎰.由右边不等式，有()EEEfdx gdx f g dx +≤+⎰⎰⎰.因此()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.再设()f x 和()g x 都是一般的函数.由于()f g f g ++++≤+，()f g f g ---+≤+.因此若,f g 都在E 上可积，则f g +也在E 上可积.因为()()()()f g f g f g f g f g +-++--+-+=+=+-+，所以()()f g f g f g f g +--++-+++=+++，因而[()][()]EEf g f g dx f g f g dx +--++-+++=+++⎰⎰，由已证结果，有[()()EEEEEEf g dx f dx g dx f dx g dx f g dx +--++-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以[()()()()EEEEEEf g dx f g dx f dx f dx g dx g dx +-+-+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.此即()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.证（iv ）. 设()()f xg x =..a e 于E ，()f x 在E 上有积分值，记1[()()]E f x g x ==，2[()()]E f x g x =≠，则20mE =，12E E φ= ，12E E E = .由（i ），12EE E fdx fdx fdx =+⎰⎰⎰12E E gdx fdx =+⎰⎰因为零测度集上的有界函数积分为零（§5.1引理2）.所以对任何正整数m ，2[]0m E f dx +=⎰，2[]0m E f dx -=⎰，因而22lim []0m E m E f dx f dx ++→∞==⎰⎰，22lim []0m E m E f dx f dx --→∞==⎰⎰.所以2()0E f x dx =⎰，同理2()0E g x dx =⎰.因为f 在E 上有积分值，所以由（i ），f 在1E E ⊂也有积分值，而在1E 上，f g ≡，因此g 在1E 上有积分值.对任意的正整数,m k ，由k mE <∞，[]m g +和[]m g -都是有界函数，依测度有限集上有界函数的积分定义，有121[][][][]kk k k m m m m E E E E E E E g dx g dx g dx g dx ++++=+=⎰⎰⎰⎰.令m →∞，k →∞，则1EE g dx g dx ++=⎰⎰.同理，1EE g dx g dx --=⎰⎰.因为g 在1E 上有积分值，所以g 在E 上有积分值.并且_EEEgdx g dx g dx +=-⎰⎰⎰11E E g dx g dx +-=-⎰⎰11E E gdx fdx ===⎰⎰12E E Efdx fdx fdx +=⎰⎰⎰.证（v ）. 设()()()F x g x f x =-，则()0()F x x E ≥∈，并且()F x 在E 上可积，且()0EF x dx ≥⎰，而(),()f x g x 都在E 上可积，并且()()()g x F x f x =+.由（iii ）()[()()]()()EEEEg x dx F x f x dx F x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰()Ef x dx ≥⎰.至此定理证毕.定理 5.2.4（积分的绝对可积性） 设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上可积的充要条件是|()|f x 在E 上可积，并且|()||()|EE f x dx f x dx ≤⎰⎰.证明 若()f x 在E 上可积，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰都是有限数，即f +和f -都在E 上可积，而|()|()()f x f x f x +-=+，由定理5.2.3的（iii ）有|()|()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=+<∞⎰⎰⎰，因而|()|f x 在E 上可积.反之，若|()|f x 在E 上可积，则由||f f +≤，||f f -≤，由定理5.2.2，f +和f -都在E 上可积，所以f 在E 上可积.并且由||||f f f -≤≤，有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰， 此即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理5.2.5（积分的绝对连续性） 设()f x 在E 上可积，则对任意的0ε>，存在0δ>，使得对于E 的任意子集A ，当mA δ<时，就有|()|Af x dx ε<⎰.证明 （1）先证明在mE <∞，且()f x 在E 上有界的条件下结论成立.设|()|()f x x E ≤K ∈，则任取可测集,A E ⊂|()|Af x dx ⎰|()|Af x dx mA ≤≤K ⋅⎰.对任意的0ε>，取εδ≤K，则当mA δ<时，有|()|Af x dx mA εε≤K ⋅<K ⋅=K⎰.（2）一般情形()f x 在E 上可积，则|()|f x 也在E 上可积，由lim [|()|]|()|nn n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰知，对任意的0ε>，存在正整数N ，使|()|[|()|]2NN EE f x dx f x dx ε-<⎰⎰.另一方面，由情形（1），对这个0ε>，存在0δ>，使当N A E ⊂，且mA δ<时，有[|()|]2N A f x dx ε<⎰，因此，当A E ⊂且mA δ<时，便有()|()||()||()||()|N NAAA A E A E f x dx f x dx f x dx f x dx -≤=+⎰⎰⎰⎰()||(||[||])[||]N NNN N A A E A E A E f dx f f dx f dx -=+-+⎰⎰⎰，因为()N N N A A E A E E E -=-⊂- ，所以|()|||(||[||])[||]NN NN N AE E E A E f x dx f dx f f dx f dx -≤+-+⎰⎰⎰⎰(||[||])[||]22NNN N EE A E f dx f dx f dx εεε=-+<+=⎰⎰⎰.例 1 设()f x 在[,]E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b af x x dx ϕε-<⎰.证明 设[||]n e E f n =>，则1[||]nn E f e∞==∞=.因为{}n e 是单调减少集列，所以1lim n n n n e e ∞→∞== .而由mE b a =-<∞知，1me <∞，因而1lim (lim )()[||]0n n n n n n me m e m e mE f ∞→∞→∞=====∞=由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，必存在正整数N ，使||4NN e N me f dx ε⋅<<⎰.令N N B E e =-，在N B 上由Lusin 定理，存在闭集N N F B ⊂和R 上的连续函数()x ϕ，使得（1）()4N N m B F Nε-<；（2）当N x F ∈时，()()f x x ϕ=，且sup |()|sup |()|NRF x f x N ϕ=≤.所以|()()||()()||()()|NNb ae Bf x x dx f x x dx f x x dx ϕϕϕ-=-+-⎰⎰⎰|()||()||()()|NNN Ne e B Ff x dx x dx f x x dxϕϕ-≤++-⎰⎰⎰|()()|NF f x x dx ϕ+-⎰2044N N me N Nεε≤+⋅+⋅+442εεε<++ε=.§5.3 Lebesgue 积分的极限定理本节讨论如下的问题，假设{}n f 是集E 上的一个函数序列，按某种意义收敛到f ，如果每个n f 在某种意义下都有积分，()f x 是否有积分？如果()f x 也有积分，n f 的积分之极限是否等于()f x 的积分？也就是极限与积分是否可以交换顺序的问题.我们会看到这个问题在Lebesgue 积分范围内得到比在Riemann 积分范围内更为完满的解决，这也正是Lebesgue 积分的最大成功之处.定理5.3.1（Lebesgue 控制收敛定理） 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，即|()|()..n f x F x a e ≤于(1,2,)E n = ，且()F x 在E 上可积，如果()()mn f x f x −−→，则()f x 在E 上是可积的，并且lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 若0mE =，结论显然成立，因此不妨设0mE >.由于mn f f −−→，由F·Riesz 定理，存在{()}n f x 的子列{()}i n f x ，使 lim ()()..i n i f x f x a e →∞=于E ，由|()|()..i n f x F x a e ≤于E 知|()|()..f x F x a e ≤ 于E . 因为()F x 在E 上可积，所以()f x 在E 上可积.往证lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（1）mE <∞因为()F x 在E 上可积，由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，存在0δ>，使当e E ⊂且me δ<时，有()4eF x dx ε<⎰.又因为m n f f −−→，所以存在N N +∈，使当n N ≥时，有[||]2n n mE mE f f mEεδ=-≥<，所以当n N ≥时，()4nE F x dx ε<⎰，因此|()()|n EEf x dx f x dx -=⎰⎰|(()())|n Ef x f x dx -⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|nnn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰2()()2nnE F x d x m EE mEε≤+⋅-⎰22εεε<+=.因此，lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（2）设mE =∞因为()F x 在E 上可积，对任意的0ε>，取,k m 充分大，使()[]()4km EE F x dx F x dx ε-<⎰⎰，所以()()()kkE E EE F x dx F x dx F x dx -=-⎰⎰⎰()[]()4km EE F x dx F x dx ε≤-<⎰⎰另一方面，在k E 上可测函数列{||}n f f -满足：||2..n f f Fa e -≤于,1,2,k E n = ，||0mn f f -−−→，k mE <∞.因此，由（1）的结果，存在正整数N ，使当n N ≥时||2kn E f f dx ε-<⎰.所以|()()|n EEf x dx f x dx -⎰⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰ 2()2kE EF x dx ε-≤+⎰.242εεε<⋅+=因此lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.综上定理得证.定理5.3.1' 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，若lim ()()..n n f x dx f x a e →∞= 于E ，则()f x 在E 上可积且lim ()()n n Ef x dx f x dx →∞=⎰.定理5.3.1''（勒贝格有界收敛定理） 设mE <∞，{()}n f x 是可测集E 上的可测函数列且测度收敛于()f x ，如果{()}n f x 一致有界，即存在常数M ，使得对任意的x E ∈和对任意的正整数n ，有|()|n f x M ≤，则()f x 在E 上可积，且有()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.定理5.3.1''对于Riemann 积分不适用.例1 设12{,,,,}n r r r 是[0,1]中的全体有理数. 作如下函数列：1111,;()0,[0,1]{}.x r f x x r =⎧=⎨∈-⎩ 122121,,;()0,[0,1]{,}.x r r f x x r r =⎧=⎨∈-⎩ … … … … … … … …12121,,,,;()0,[0,1]{,,,}.n n n x r r r f x x r r r =⎧=⎨∈-⎩… … … … … … … …那么{()}n f x 在[0,1]上一致有界，|()|1,[0,1],1,2,n f x x n ≤∈= . 而且1,()()0,n f x D x ⎧→=⎨⎩因为每个()n f x 在[0,1]上只有有限个不连续点，因而Riemann 可积，然而()D x 在[0,1]上不是Riemann 可积的.定理5.3.2（勒维Levi ，1875-1961，意大利数学家） 设 （i ）{()}n f x 是E 上非负可测函数列； （ii ）1()()n n f x f x +≤ (,1,2,)x E n ∈= ； （iii ）()lim ()n n f x f x →∞=，则()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 先设()Ef x dx <∞⎰，对任意的0ε>，取正整数,k m ，使[]()()2k m E E f x dx f x dx ε>-⎰⎰.此处k k E E =K ，12{(,,,)k n x x x K = ：||,1,2,,}i x k i n ≤= .注意到k mE <∞，且在k E 上[]()lim[]()m n m n f x f x →∞=，由Egoroff 定理知，存在k E E ε⊂，使4mE mεε<，且在k E E ε-上[]()n m f x 一致收敛到[]()m f x .设正整0n 使0n n ≥时，对一切k x E E ε∈-，都有x 为[0,1]上的有理数；x 为[0,1]上的无理数.0[]()[]()4(1)m n m k f x f x mE ε≤-<+则当0n n ≥时，()[]()[]()4k k n n m m EE E E E f x dx f x dx f x dx εεε--≥≥-⎰⎰⎰，而[]()[]()[]()kk m m m E E E E f x dx f x dx f x dx εε-=+⎰⎰⎰[]()4k m E E f xdx εε-<+⎰，所以当0n n ≥时，()[]()4k n m EE E f x dx f x dx εε->-⎰⎰[]()44km E f xdx εε>--⎰()Ef x dx ε>-⎰.因此lim()()n n EEf x dx f x dx ε→∞≥-⎰⎰，由0ε>是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞≥⎰⎰.另一方面，对任意的n ，显然有()()n f x f x ≤()x E ∈，所以()()n EEf x dx f x dx ≤⎰⎰，从而lim()()n n EEf x dx f x dx →∞≤⎰⎰.综上得lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.当()Ef x dx =∞⎰时，由积分定义，对任意的0M >.存在,k m 使得[]()km E f x dx M ≥⎰，由[]()[]()n m m f x f x →()n →∞与[]()km E f x dx <∞⎰及上面的证明，知lim []()[]()kkn m m n E E f x dx f x dx M →∞=≥⎰⎰.于是lim ()lim []()n n m n En Ef x dx f x dx →∞→∞≥⎰⎰lim []()kn m n E f x dx →∞≥⎰M ≥.由0M >是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∞=⎰⎰.定理得证.定理 5.3.3（Lebesgue 基本定理） 设{()}n f x 是可测集E 上的非负可测函数列，1()()n n f x f x ∞==∑，则1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.证明 设1()(),1,2,nn i i g x f x n ===∑ ，则{()}ngx 是E 上非负可测函数列，且1()()(,1,2,)n n g x g x x E n +≤∈= ，1lim ()()n n n n g x f x ∞→∞==∑()f x =.由Levi 定理有1lim ()(())()n i n EEEi g x dx f x dx f x dx ∞→∞===∑⎰⎰⎰，而1lim ()lim (())nn i n En Ei g x dx f x dx →∞→∞==∑⎰⎰1lim ()ni n Ei f x dx →∞==∑⎰1()i Ei f x dx ∞==∑⎰.所以1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.定理5.3.4（积分对区域的可数可加性） 若,1,2,i E i = 是E 的互不相交的可测子集列，1i i E E ∞== ，当()f x 在E 上有积分值时，则()f x 在每一个i E 上都有积分值，且1()()iEE i f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.。

勒贝格积分的定义和应用积分是高等数学中的一个重要概念，勒贝格积分是其中的一种。

本文将着重探讨勒贝格积分的定义和应用。

一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是法国数学家勒贝格（Henri Lebesgue）于20世纪初创立的一种积分。

与黎曼积分相比，它具有更广泛的应用范围和更强的理论基础。

首先，我们需要了解可积函数的概念。

对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果存在一个实数I，使得对于任意的ε>0，都存在一个宽度足够小的区间[a1,b1]，使得其中的任何一组点x1,x2,...,xn，满足有|Σ(fiΔxi)-I|<ε其中，Δxi=xi+1-xi，fi为xi,x(i+1)之间的任意点。

则函数f(x)在区间[a,b]上可积。

我们称这个实数I为函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼积分。

但是，黎曼积分并不能处理所有函数，比如说在区间[0,1]上的Dirichlet函数：1,x属于[0,1]的有理数f(x)=0,x属于[0,1]的无理数如果我们想对这个函数进行积分，我们会发现无论采取什么方法，这个函数在[0,1]上的积分都不存在。

因此，勒贝格引入了新的积分概念——勒贝格积分。

勒贝格积分的定义与黎曼积分不同，勒贝格积分是先将函数f(x)拆分成单调递增或递减的函数，然后再对其进行积分。

这样就能够处理其他类型的函数，比如Dirichlet函数。

二、勒贝格积分的应用勒贝格积分在实际应用中具有广泛的用途，下面将介绍其中的一些应用。

1.概率论概率密度函数是概率论中的一个重要概念。

对于一个随机变量X，概率密度函数f(x)表示X在某一区间内取值的概率密度大小。

而对于连续型随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(x)=lim(n->∞)[P(a<X<b)/n]其中，P(a<X<b)表示X在区间(a,b)内取值的概率，n则表示将区间(a,b)划分成越来越多的小区间。

那么，这个式子中的极限存在吗？答案是肯定的，因为f(x)是一个单调递增或递减的函数，因此可以使用勒贝格积分进行求解。