第一节勒贝格积分的引入

勒贝格积分论摘要:对勒贝格积分进行了深入的研究，重点从三方面详细论述了勒贝格积分的威力，首先勒贝格可积函数的范围比黎曼积分更广泛，其次实例说明勒贝格积分在高等数学中求极限方面的几个实际应用，最后在勒贝格积分的意义及性质下进行推广。

关键词:勒贝格、积分、极限、应用、推广。

第一章引言1.1勒贝格积分产生的背景19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称SR-积分)等。

只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。

然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。

在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。

通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。

因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。

1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合SR-积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称SL-积分）。

20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

1.2积分介绍积分是“和”的概念。

即将东西加起来。

所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。

比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。

用极限法就可以求得精确的面积。

这是传统的积分概念(黎曼积分)。

勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。

比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。

又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。

勒贝格积分的概念在数学分析和测度论中，积分是求一个函数在某个区间内的累积量的基本工具。

对于一类较为复杂的函数传统的黎曼积分往往不够应用，这就引出了勒贝格积分的概念。

勒贝格积分由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lébeau）于20世纪初提出，它的重要性不仅在于其理论深度，还由于其广泛的应用。

勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义以测度为基础。

首先，需要了解可测函数与测度空间的概念。

测度在实数轴上，我们通常用“长度”来度量某个区间的大小。

例如，区间[a, b]的长度为(b - a)。

这种对长度的度量可以推广到更一般的情况下，即测度。

在更广泛的集合论和分析中，测度是一种赋予集合“大小”的方法。

设(X)为一个集合，若给定一个σ-代数()与一个非负的加法可数可加集函数()，则称((X, , ))为一个测度空间。

在此空间中，测度()为我们提供了一种量化能否对集合进行积分的方法。

可测函数一个函数是可测函数，如果其逆像对所有开集在测度下都可测。

这一性质使得我们可以运用勒贝格测度理论进行分解和重构，使得我们能够对其进行积分操作。

令(f: X )为一个可测函数，并且定义勒贝格积分为：[ _X f d ]这里，(d) 表示对测度()进行积分。

对于Lebesgue积分，我们有一个更直观的在区间上的定义，这与概率论中的期望有些相似。

勒贝格积分与黎曼积分的区别传统黎曼积分是通过将区间分割成更小子区间，然后求每个子区间内对应函数图像下方矩形面积之和实现。

但这种方法对于不连续或具有复杂性质的函数不适用。

相比之下，勒贝格积分则更加灵活，允许我们对包含更多“维度”的未知数进行处理。

通过引入重复应用可测性的理念，勒贝格积分能够处理更多种类的函数和基于不同自变量域的问题。

勒贝格积分的一些重要性质勒贝格积分拥有众多重要性质，使其在数学及其它科学领域内被广泛应用。

线性性质：对于任意常数(a, b)和可积函数(f, g)，我们有[ (af + bg) d= a f d+ b g d. ]单调收敛定理：若一列可测非负函数(f_n)满足 (f_n f ,(n ))，则 [ f_n df d. ]重复应用：如有一列互不重合且具有有限长度的集合，可以得到如下结果： [ {{n=1}^{} E_n} f d= {n=1}^{} {E_n} f d. ]变化性与限制性：如果(f_n(x))逐点收敛到(f(x))，且(f_n(x))被某个可积函数所界限，则同样可以得到结论： [ _{n } f_n d= f d. ]这些性质提供了工具，使其不仅在纯数学理论中发挥作用，同时也能用于实际计算。

勒贝格积分的定义定义1 设是非空可测集，如果，其中为互不相交的非空可测集，则称有限集合族是的一个可测分划，简称分划。

是的另一个分划。

如果对于任一，存在，使，称比细。

引理1 给定任两个分划、，必存在比它们都细的第三个分划我们记证明显然合乎要求。

定义2 设是定义在测度有限的集上的有界函数，对的任一分划，令，则，，分别称为关于分划的大和与小和（它们由完全确定）引理2 （1）设，，则（2）设分划比细，则，。

（3）对于任两个分划比总有，（4），这里上、下确界是对的所有可能的分划取的。

证明由定义很容易证明这些结论是显然的。

定义3 设是定义在测度有限的集上的有界函数，记=，分别称为在上的上、下积分。

如果=，则称在上可积，且称此共同值为在上的积分，记为。

以上有限可测集上有界函数的积分定义，我们看到它在形式上同积分完全类似，除了积分区域更一般外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同，即那里的区间在这里一律换成了可测集。

因此我们也有下面类似的结论。

定理1 设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为：对任何，存在的分划使，这里定理2 设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件是在上可测。

定理3 设，是定义在测度有限的可测集上的有界函数且可积，则，（但在上是可积的。

证明由定理2及第四章第一节的定理可直接得出结论。

定理4 设在上可积，则它必同时可积，且有相同的积分值证明首先是有界的，其次在上可积，则必几乎处处连续，从而可测，因而可积。

最后由积分的定义知道其值是相同的。

注意定理4的逆定理是不成立的。

例如，在上的狄里克雷函数不是可积的，但作为简单函数是可测的，从而是可积的。

勒贝格积分学习内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论。

它也是实变函数数论研究的中心内容。

一、关于勒贝格积分的建立本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替。

一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的。

第一步是建立非负函数的积分。

它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的。

第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的。

二、勒贝格积分的性质勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)，这是它与黎曼积分重要区别之一。

(2)勒贝格积分的绝对连续性，设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同。

(4)可积函数可用连续函数积分逼近，设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较三、关于积分极限定理积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义，其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用。

专题勒贝格积分及相关理论主要内容1.勒贝格积分的研究背景2.点集的勒贝格测度3.可测函数4.勒贝格积分的概念及相关理论1902年“积分、长度、面积”第1讲勒贝格积分的研究背景勒贝格: 1902年博士论文“积分、长度、面积”(Lebesgue, 法,1875－1941)求积问题四边形求积问题八边形求积问题十六边形一、定积分的进展概述柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的, a b x y o ?A a b x yo 不足: 若闭区间上具有无限多不连续点, 柯西积分就不适用了.重新定义定积分为一个分割的和的极限 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857)()[,].f x a b 设是定义在上的有界函数 1854年黎曼 (Riemann, 德, 1826－1866) 重新定义定积分(后也称黎曼积分)01:,i n T a x x x x b =<<<<<=step1.分割区间 1max{}i i n T x ≤≤=∆1,i i i x x x -∆=-step2. 近似作和黎曼和1()n ii i f x ξ=∆∑=(,)i S T ξ记作依赖于划分T , 以及点的取法 i ξ01()d lim ().n bi i a T i f x x f x ξ→==∆∑⎰step3. 求极限得黎曼积分,0,,()[,],i T T f x a b ξ→不论和如何选择 当时黎曼和都趋于同一个值则称该值为函数在区间上的积分即达布大和 1[,]sup {()}.i i i x x x M f x -∈=1,nT i i i S M x ==∆∑ 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 提出了达布大和、小和达布小和1[,]inf {()}.i i i x x x m f x -∈=1,nT i i i S m x ==∆∑上积分与下积分()d inf ,bT a Tf x x S =⎰()d sup .b T a T f x x S =⎰结论 1 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰()d ()d .bb a a f x x f x x =⎰⎰01lim 0,ni i T i x ω→=∆=∑1()[,i i i i i M m f x x x ω-=-其中为在]上的振幅.结论 2 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰x i -1 x i(1) 对被积函数和积分域要求过于严格 要求积分域为区间,对一般点集而言, R 积分无定义;二、 黎曼积分的局限性 (一维情形为例)01()[,]lim 0ni i T i f x a b x ω→=⇔∆=∑函数在区间上可积 要求被积函数在区间[a , b ]上的变化不能太快, 至少急剧变化的点不能太多, 可积函数是“差不多连续”.(黎曼积分意义下可积的函数类太小)例1 [0,1]上的狄利克雷函数1,[0,1]()0,[0,1]\x D x x ∈⎧=⎨∈⎩不是R 可积的. 证明 对任意的划分T , 1,i ω=总有从而0011lim lim 1n ni i i T T i i x x ω→→==∆=∆=∑∑故D (x )在[0,1]上不是R 可积的..0≠狄利克雷( Dirichlet, 德, 1805－1859)在很强的条件下(可积函数列一致收敛)才能交换极限运算与积分运算次序(见数学分析教材);(2)积分与极限可交换的条件太严格问题⇒？ O y x()y f x =()n y f x =ba ()y f x ε=-()y f x ε=+一致收敛的几何直观例210lim (d ).n n f x x →∞=⎰所以1x εyxO 2x 113x ε- 函数列一致收敛的要求过分强.10(d im )l n n f x x →∞⎰1231231,{,,,,}(),1,2,3,0,[0,1]\{,,,,}n n n x r r r r f x n x r r r r ∈⎧==⎨∈⎩例3 设{r n }为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集, 故可把它排成序列), 构造[0,1]上的函数列 1,[0,1]lim ()()0,[0,1]\n n x f x D x x →∞∈⎧==⎨∈⎩不R 可积. 可积函数列的极限函数(逐点收敛)未必可积. {()}[0,1]R ,n f x 则在上可积但(3)关于微积分基本定理()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件1 在上是连续的.' 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857) ()d ()(),[,]xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件2 在上是可积的.' 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 在满足以下条件之一下是成立的:()[](),,,f x a b f x 假设在上是可微的 且是有界的'⇒？ ()d ()(),[,].xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰ 1881年沃尔泰拉 (Volterra, 意, 1860－1940) 为了扩充可积函数类, 拓宽积分与其它运算交换的条件, 需要将传统的黎曼积分定义推广.做出了一个可微函数, 其导函数有界, 但导函数不是R 可积的.假设 (b )的必要性？问题感谢大家的聆听！。

实变函数中的勒贝格积分理论实变函数中的勒贝格积分理论是数学中非常重要的一部分内容。

勒贝格积分理论为我们提供了一种有效的方法来计算函数的积分，不仅在理论上具有广泛的应用，也在实际问题的求解中起到了重要的作用。

本文将对实变函数中的勒贝格积分理论进行全面的介绍和论述。

1. 勒贝格积分的定义在介绍勒贝格积分之前，我们首先需要了解勒贝格可测集的概念。

勒贝格可测集是指具有良好性质的集合，可以用来刻画函数的不连续点和振荡现象。

基于勒贝格可测集的概念，我们可以定义勒贝格积分。

勒贝格积分具有广义积分所不具备的优良性质，如积分与函数几乎处处相等、线性性质、单调性等。

2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质。

其中包括积分的线性性、积分的单调性、积分的绝对收敛性等。

这些性质对于积分的计算和性质的分析起到了重要的作用。

此外，还有勒贝格积分的可加性、积分与极限的交换等性质也是勒贝格积分理论的重要内容。

3. 勒贝格积分与测度论测度论是研究测度的理论，而勒贝格积分则是测度的重要应用之一。

勒贝格积分理论可以看作是对测度论的应用和拓展，通过引入测度的概念来定义积分，从而使得积分更加通用和灵活。

测度论为勒贝格积分理论提供了严密的数学基础，使得我们能够对积分进行深入的研究和应用。

4. 勒贝格积分的应用勒贝格积分作为一种重要的积分方法，在实际问题的求解中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们需要计算一些曲线、曲面或者体积的积分，勒贝格积分能够提供一种有效的方法来进行计算。

此外，勒贝格积分还在概率论、统计学等领域有着重要的应用。

总之，实变函数中的勒贝格积分理论是一门重要的数学理论。

通过勒贝格积分的定义和性质，我们可以更好地理解和计算函数的积分。

同时，勒贝格积分理论还与测度论相互联系，形成了一个完整的理论体系。

勒贝格积分理论的应用也非常广泛，为我们解决实际问题提供了有力的数学工具。

通过深入地研究和应用勒贝格积分理论，我们可以更好地理解实变函数的性质和特点，为我们的科学研究和工程实践提供有力支持。

勒贝格积分公式一、勒贝格积分的定义。

1. 简单函数的勒贝格积分。

- 设E⊆R^n是可测集，φ(x)=∑_i = 1^k c_iχ_E_i(x)是E上的非负简单函数，其中c_i≥slant0，E_i⊆ E是可测集且E=bigcup_i = 1^k E_i，E_i∩ E_j=varnothing(i≠ j)，χ_E_i是E_i的特征函数。

- 则∫_Eφ(x)dx=∑_i = 1^k c_im(E_i)，这里m(E_i)表示集合E_i的勒贝格测度。

2. 非负可测函数的勒贝格积分。

- 对于E上的非负可测函数f(x)，定义∫_E f(x)dx=sup<=ft{∫_Eφ(x)dx:φ(x)≤slant f(x),φ(x)是简单函数}。

3. 一般可测函数的勒贝格积分。

- 设f(x)是E上的可测函数，将f(x)分解为f(x)=f^+(x)-f^-(x)，其中f^+(x)=max{f(x),0}，f^-(x)=-min{f(x),0}。

- 如果∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx至少有一个是有限值，则∫_E f(x)dx=∫_Ef^+(x)dx-∫_E f^-(x)dx。

当∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx都有限时，称f(x)在E上勒贝格可积。

二、勒贝格积分的基本性质。

1. 线性性质。

- 设f(x)和g(x)是E上的勒贝格可积函数，α,β∈R，则∫_E[α f(x)+βg(x)]dx=α∫_E f(x)dx+β∫_E g(x)dx。

2. 单调性。

- 若f(x)≤slant g(x)在E上几乎处处成立（即除了一个勒贝格测度为零的集合外成立），则∫_E f(x)dx≤slant∫_E g(x)dx。

3. 可加性。

- 设E = E_1∪ E_2，E_1∩ E_2=varnothing，f(x)在E上勒贝格可积，则∫_Ef(x)dx=∫_E_1 f(x)dx+∫_E_2 f(x)dx。

[0,1]的勒贝格积分摘要：一、引言1.勒贝格积分的概念2.勒贝格积分的性质3.[0,1] 的勒贝格积分的特殊性二、勒贝格积分的概念1.勒贝格积分的定义2.勒贝格积分的计算方法3.勒贝格积分的应用三、勒贝格积分的性质1.线性性质2.保号性3.可积函数的有界性四、[0,1] 的勒贝格积分的特殊性1.[0,1] 上的连续函数2.[0,1] 上的可积函数3.[0,1] 上的勒贝格积分的计算方法正文：一、引言勒贝格积分是数学中一种重要的积分方法，它可以用来求解各种复杂函数的面积、体积等。

勒贝格积分的概念最早由法国数学家勒贝格提出，经过多年的发展，已经成为现代数学中不可或缺的一部分。

在本文中，我们将重点探讨[0,1] 上的勒贝格积分。

二、勒贝格积分的概念勒贝格积分是一种非负的、可加的积分，它可以用来求解各种不连续函数的面积、体积等。

勒贝格积分的定义如下：设f(x) 是一个定义在实数集上的函数，S 是一个包含实数集的子集，那么f(x) 在S 上的勒贝格积分为：∫[S]f(x)dx = ∑[S]f(x)Δx其中，Δx 是S 的一个长度为1 的子集，f(x) 是Δx 上的函数值，∑[S] 表示对S 中的所有子集进行求和。

三、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：对于任意两个可积函数f(x) 和g(x)，有∫[S]f(x)dx +∫[S]g(x)dx = ∫[S](f(x) + g(x))dx。

2.保号性：对于任意可积函数f(x)，有∫[S]f(x)dx ≥ 0。

3.可积函数的有界性：如果一个函数f(x) 在某个区间[a, b] 上有界，那么它在[a, b] 上可积。

四、[0,1] 的勒贝格积分的特殊性[0,1] 是一个非常重要的区间，它具有以下几个特殊性质：1.[0,1] 上的连续函数：如果一个函数在[0,1] 上连续，那么它在[0,1] 上可积。

2.[0,1] 上的可积函数：如果一个函数在[0,1] 上可积，那么它在[0,1] 上连续。

勒贝格积分定义的历史探究一、本文概述勒贝格积分，作为现代数学分析中的核心概念，其定义的形成和发展历经了漫长的历史过程。

本文将通过深入的历史探究，揭示勒贝格积分定义产生的背景、原因及其对数学发展的影响。

我们将从19世纪末至20世纪初的数学背景出发，追溯勒贝格积分思想的起源，分析其在数学史上的重要地位。

本文还将探讨勒贝格积分定义在数学理论和应用中的影响，并评估其在现代数学中的地位和作用。

通过对勒贝格积分定义的历史探究，我们不仅可以更好地理解现代数学的发展脉络，还能从中汲取智慧和启示，为未来的数学研究提供有益的参考。

二、勒贝格积分定义的起源勒贝格积分的定义并非一蹴而就，而是经过一系列的理论探索和实践需求逐渐形成的。

其起源可以追溯到19世纪末的欧洲数学界，那时的数学家们正面临着对积分理论进行更深入理解和改进的需求。

早期的积分理论，如黎曼积分，虽然在处理连续函数时表现出色，但在处理一些具有“不规则”性质的函数时，如狄利克雷函数等，却显得力不从心。

这些函数的特性使得传统的积分理论无法给出准确的结果，因此，数学家们开始寻求一种更为强大和通用的积分定义。

在这样的背景下，勒贝格开始了他的探索之旅。

他深受当时数学界对集合论和测度论的研究影响，试图将这些理论融入积分定义中。

经过一系列的研究和尝试，勒贝格最终提出了一种基于测度的积分定义，即我们现在所说的勒贝格积分。

勒贝格的这一创新性的定义不仅解决了传统积分理论在处理某些函数时的困难，更重要的是，它为积分理论的发展开辟了新的道路。

勒贝格积分理论的出现，使得数学家们可以更深入地研究函数的性质，也为后续的数学研究，如函数论、实变函数论等，提供了有力的工具。

因此，可以说勒贝格积分定义的起源是数学发展的内在需求和数学家们对理论创新的追求的产物。

勒贝格本人也因此被誉为现代积分理论的奠基人，他的贡献不仅在于提出了一种新的积分定义，更在于推动了整个数学领域的发展。

三、勒贝格积分定义的形成勒贝格积分定义的形成，是数学史上一次划时代的变革。