18、19、勒贝格积分概念与性质

勒贝格积分论摘要:对勒贝格积分进行了深入的研究，重点从三方面详细论述了勒贝格积分的威力，首先勒贝格可积函数的范围比黎曼积分更广泛，其次实例说明勒贝格积分在高等数学中求极限方面的几个实际应用，最后在勒贝格积分的意义及性质下进行推广。

关键词:勒贝格、积分、极限、应用、推广。

第一章引言1.1勒贝格积分产生的背景19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称SR-积分)等。

只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。

然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。

在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。

通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。

因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。

1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合SR-积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称SL-积分）。

20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

1.2积分介绍积分是“和”的概念。

即将东西加起来。

所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。

比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。

用极限法就可以求得精确的面积。

这是传统的积分概念(黎曼积分)。

勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。

比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。

又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。

第七章 勒贝格积分理论简介本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。

所说可测均指。

所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。

可测-L 在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。

由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集上的符号函数是可以积分的当且仅当E f 是可测的，由此引入了可测函数的概念。

但是从可测函数的角)(1+<≤i i y f y E 度考虑，可测函数可以另外的方式引入。

本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。

进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。

§1 可测函数的定义刻画与运算我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。

7.1定义：设是定义在上的函数，若对任意集合是可侧集，f E R ∈a )(a f E <称是可侧函数。

f 7.2命题. 设是集合上的函数。

f E (1)若是可侧，在上连续，则是上可测函数。

E f E f E (2)若是上可测函数，，则集合，，,f E R ∈a E )(f a E ≤)(f a E <都是可测集。

)(a f E ≤(3)若，且在上可测，则是上的可测函数。

φ==)0(f E f E f1E 证明：(1)对任意，是中开集，即存在中开集,使得R ∈a )(a f E <E R G ,故是可侧集。

E G a f E =<)()(a f E <(2)结论可由如下的集合等式得到)(a f E E n <=∈ω)(\)(a f E E f a E <=≤)1()(1f na E f a E n ≤+=<∞= )(\)(f a E E a f E <=≤(3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><=<><>=<0)1()0(0)0(0)0()1()1(a a f E f E a f E a f E a f E a f E 可知是可侧集。

勒贝格积分的基本理论及其应用探析一、引言勒贝格积分是微积分学中的重要概念之一，在实际问题的求解中发挥了重要作用。

本文旨在探讨勒贝格积分的基本理论，并结合实际应用进行分析。

二、勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分是对非负函数而言的一种广义积分，它是由法国数学家亨利-勒贝格在19世纪末提出的。

勒贝格积分的定义是通过简单函数的逼近来实现的。

与黎曼积分相比，勒贝格积分具有以下特点：1. 非负性：勒贝格积分定义要求被积函数非负。

2. 收敛性：勒贝格积分定义中的逼近序列必须收敛。

3. 可测性：被积函数必须是可测函数。

三、勒贝格积分的应用探析1. 几何学中的应用勒贝格积分在几何学中具有重要应用。

例如，通过勒贝格积分可以计算曲面的面积、体积以及重心位置等。

此外，在计算物体的质心、电荷分布等问题中，勒贝格积分也可以发挥重要作用。

2. 概率论与统计学中的应用勒贝格积分在概率论与统计学中也有广泛应用。

例如，在概率密度函数的计算中，勒贝格积分可以用来计算随机变量的概率。

此外，在统计推断中，通过对概率分布函数进行勒贝格积分可以计算得到随机变量的期望值和方差等重要统计量。

3. 数值计算中的应用勒贝格积分在数值计算中也具有重要应用。

由于一些函数无法通过解析方法求积分，数值计算方法可以通过勒贝格积分的逼近来实现积分的计算。

例如，常用的数值积分方法之一的随机采样方法就是基于勒贝格积分理论。

4. 物理学中的应用勒贝格积分在物理学中也有广泛应用。

例如，在电磁场问题中，可以通过对电荷密度进行勒贝格积分来计算电场强度。

类似地，在流体力学中，可以通过对流体密度进行勒贝格积分来计算物体所受的浮力。

5. 经济学中的应用勒贝格积分在经济学中也有一些应用。

例如，在经济学中的效用函数计算中，可以通过对效用函数进行勒贝格积分来计算消费者的总效用。

此外，在确定需求曲线和供给曲线时，勒贝格积分也可以发挥重要作用。

四、勒贝格积分的优势与不足1. 优势勒贝格积分相较于黎曼积分具有更广泛的适用性，可以处理更加一般的函数。

勒贝格积分的性质与应用摘要：在函数勒贝格积分存在的条件下，对勒贝格积分的性质进行思考和证明，将勒贝格积分性质进行扩展和进一步的研究。

同时，对勒贝格积分性质的应用进行整理，突出勒贝格积分的优点，从而对勒贝格积分性质和应用形成更加清晰的认识，促进与积分性质相关问题的解决，提高应用实变函数理论分析问题与解决实际问题的能力。

关键词：勒贝格积分性质应用0.引言黎曼积分的出现，使得一大类在牛顿积分意义下或柯西积分意义下不可积的函数进行积分变成了可能,从而使得常见的积分问题基本上都能得到完满的解决,但黎曼可积的函数主要的还是连续函数,或者说不连续点不太多的函数[1]。

针对Riemann积分中存在的缺陷,法国数学家勒贝格成功的引入了一种新的积分,即Lebesgue积分。

勒贝格积分是实变函数论的中心内容，积分理论建立在勒贝格测度论的基础上，是黎曼积分理论的升华，它不仅包含了黎曼积分理论的成果，而且很大程度上摆脱了黎曼积分的困境。

勒贝格意义上的积分，使得可积函数类大大增加，而且具有良好的性质，积分与极限交换顺序的条件也大大减弱，使积分运算更加便捷，更适合数学各分支及很多实际问题的需要[2][3]。

1.勒贝格积分的双向性[4]在黎曼积分中，函数黎曼可积与函数具有黎曼积分值是等价的。

但在勒贝格积分中，函数勒贝格可积与函数具有勒贝格积分值并不等价。

勒贝格可积与勒贝格积分的定义区别：勒贝格积分存在:设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分不同时为+∞，则称f(x)在E上有积分，并定义f(x)在E上的积分为∫f(x) E dx=∫f+(x)Edx−∫f−(x)Edx。

积分值为有限数或±∞。

勒贝格可积：设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分都为有限数时，即当f+(x)与f−(x)均在E上可积时，称f(x)在E上可积，其积分值为有限数。

2.勒贝格积分的性质目前关于勒贝格积分的诸多性质，大多都是在函数勒贝格可积的条件下给出的，然而有很多实际问题当中出现的函数虽然具有勒贝格积分，但不是勒贝格可积的，这类积分就不能用勒贝格可积条件下的诸多性质。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出的，它是黎曼积分的一种推广和扩展。

1. 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义是基于集合论的，它将函数的积分看作是对函数在某个区间上的值进行加权求和的过程。

具体来说，给定一个函数f(x)和一个定义在区间[a, b]上的集合E，勒贝格积分的定义如下：∫f(x)dμ = sup{∫φ(x)dμ | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)在E上几乎处处成立}其中，sup表示上确界，简单函数是指形如φ(x) = ΣaiχAi(x)的函数，其中ai是常数，Ai是区间[a, b]上的可测集合，χAi(x)是Ai上的特征函数。

2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，使得它成为了数学分析中不可或缺的工具。

以下是一些勒贝格积分的性质：（1）线性性质：对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dμ = a∫f(x)dμ + b∫g(x)dμ。

（2）单调性质：如果在E上几乎处处有f(x) ≤ g(x)，则∫f(x)dμ ≤ ∫g(x)dμ。

（3）绝对收敛性：如果∫|f(x)|dμ存在，则∫f(x)dμ也存在。

（4）有界性：如果在E上几乎处处有|f(x)| ≤ M，其中M是常数，则∫f(x)dμ存在且|∫f(x)dμ| ≤ M。

（5）积分与极限的交换：如果函数序列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，且存在可积函数g(x)使得|f_n(x)| ≤ g(x)在E上几乎处处成立，则有lim(n→∞)∫f_n(x)dμ = ∫f(x)dμ。

3. 勒贝格积分与黎曼积分的关系勒贝格积分是对黎曼积分的一种推广和扩展。

黎曼积分是通过将区间[a, b]划分成若干小区间，然后在每个小区间上对函数进行近似求和来定义的。

第七章 勒贝格积分理论简介本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。

所说可测均指可测-L 。

所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。

在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。

由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集E 上的符号函数f 是可以积分的当且仅当)(1+<≤i i y f y E 是可测的，由此引入了可测函数的概念。

但是从可测函数的角度考虑，可测函数可以另外的方式引入。

本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。

进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。

§1 可测函数的定义刻画与运算我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。

7.1定义：设f 是定义在E 上的函数，若对任意R ∈a 集合)(a f E <是可侧集，称f 是可侧函数。

7.2命题. 设f 是集合E 上的函数。

(1)若E 是可侧，f 在E 上连续，则f 是E 上可测函数。

(2) 若f 是E 上可测函数，R ∈a ，则集合E ，)(f a E ≤，)(f a E <,)(a f E ≤都是可测集。

(3)若φ==)0(f E ，且f 在E 上可测，则f1是E 上的可测函数。

证明：(1)对任意R ∈a ，)(a f E <是E 中开集，即存在R 中开集G ,使得E G a f E I =<)(,故)(a f E <是可侧集。

(2)结论可由如下的集合等式得到)(a f E E n <=∈ωY)(\)(a f E E f a E <=≤)1()(1f na E f a E n ≤+=<∞=Y )(\)(f a E E a f E <=≤(3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><=<><>=<0)1()0(0)0(0)0()1()1(a a f E f E a f E a f E a f E a f E I Y 可知)1(a fE <是可侧集。

Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系数学与应用数学 2012级吴茂岚指导老师柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。

而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。

另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。

虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。

关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract：The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz's calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the "basic continuous" function. And many of the real problems encountered in the function does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of. Key word:Riemann integral, Real variable function,calculus一、引言Lebesgue在发表于1902年的经典论文《积分、长度与面积》与随后出版的两部论著《论三角函数》和《积分与原函数的研究》中第一次阐述了测度理论与积分思想。

积分的勒贝格积分积分是高等数学中一项重要的内容，被广泛用于各个领域的计算和研究中。

其中，勒贝格积分是一种被广泛采用的积分方法，其应用范围涵盖了大部分实数函数和复杂函数。

本文将结合实例，详细探讨勒贝格积分的定义、计算方法、性质及其与其他积分方法的对比等方面。

一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格发明的一种积分方法，其理论基础是将积分范围进行分割，然后计算每个小范围内的积分，最终将这些小范围内的积分加起来，得到整个积分的结果。

具体来说，勒贝格积分将被积函数划分为正函数和负函数的和，分别求出其在积分范围内的上、下积分和，然后将两者相加或相减，得到最终积分的结果。

其中，上积分指的是在积分区间范围内，被积函数处于一个上界之下的部分的积分值，而下积分则是指处于下界之上的部分的积分值。

这种分段计算的方法，不仅适用于实数函数，也适用于复杂函数，而且具有很高的计算精度和广泛的应用价值。

二、勒贝格积分的计算方法勒贝格积分的计算方法相对来说比较复杂，需要根据具体的函数形式，采用相应的积分公式进行计算。

下面将通过两个例子讲解具体的计算过程，以帮助读者更好地理解。

1、勒贝格积分的计算：计算f(x)=x在[0,1]上的勒贝格积分。

解：首先将函数f(x)划分为正函数和负函数的和，其结果为f(x)= max{0,x}-min{0,x}。

然后，分别计算max{0,x}和min{0,x}在区间[0,1]上的上、下积分。

max{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=1/2$$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=0$min{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=0$$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=-1/2$因此，f(x)在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}f(x)dx =∫_{0}^{1}(max\{0,x\}-min\{0,x\})dx$$=∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx-∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=1$2、勒贝格积分的计算：计算f(x)=sin(x)在[0,π]上的勒贝格积分。

勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。

勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些黎曼积分难以处理的函数和情况。

在实际应用中，勒贝格积分在概率论、信号处理、调和分析等领域有着重要的作用。

一、勒贝格积分的引入在介绍勒贝格积分之前，我们先来回顾一下黎曼积分的概念。

黎曼积分是通过将函数分割成若干小区间，在每个小区间上取样点，然后计算这些小区间上函数值的和的极限来定义的。

然而，黎曼积分在处理一些特殊函数时存在局限性，比如在处理间断点函数、无界函数或者非绝对可积函数时，黎曼积分无法很好地进行计算。

为了克服这些问题，勒贝格引入了一种新的积分概念——勒贝格积分。

勒贝格积分的核心思想是通过对函数的振幅进行测量，而不是对函数值进行测量来进行积分。

这种方法可以更好地处理一些复杂函数，使得更多类型的函数都可以被积分。

二、勒贝格可积函数在勒贝格积分理论中，一个函数被称为勒贝格可积的条件是其绝对值的积分是有限的。

具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果其绝对值|f(x)|在[a, b]上可积，即∫|f(x)|dx是有限的，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是勒贝格可积的。

勒贝格可积函数的概念相对于黎曼可积函数更加宽泛，能够包含更多类型的函数。

比如，对于一些在有限点上取值无穷大的函数或者在有限点上不连续的函数，这些函数在勒贝格积分的意义下也可以是可积的。

三、勒贝格积分的定义对于一个勒贝格可积函数f(x)，其在区间[a, b]上的勒贝格积分定义为：∫f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx = sup{∫φ(x)dx | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)}其中，简单函数是指只取有限个值的函数，且在有限个区间上是常值函数。

勒贝格积分三种定义的等价证明勒贝格积分有三种不同的定义，它们之间是等价的。

这三种定义分别是：微积分定义：给定一个函数f(x) 和一个实数a，在 a 和b 之间的勒贝格积分定义为F(b) - F(a)，其中F(x) 是f(x) 的原函数。

欧拉-勒贝格定义：给定一个函数f(x)，在 a 和 b 之间的勒贝格积分定义为∫f(x)dx = lim(n->infinity) Σf(x_i)(x_i -x_i-1) (i =1,2,3,…n)极限定义：给定一个函数f(x)，在 a 和 b 之间的勒贝格积分定义为lim(n->infinity) Σf(x_i)(x_i - x_i-1) (i =1,2,3,…n)这三种定义之间的等价证明可以通过使用高斯定理，即欧拉-勒贝格积分定义等于微积分定义，极限定义等于微积分定义。

首先, 微积分定义和欧拉-勒贝格定义之间的等价性可以通过使用高斯定理证明，即可以将欧拉-勒贝格积分转化为微积分。

欧拉-勒贝格积分就是在没有定义原函数的情况下计算积分，可以通过将欧拉-勒贝格积分转化为微积分来证明它们之间的等价性.其次, 微积分定义和极限定义之间的等价性可以通过证明极限定义是微积分定义的极限形式。

极限定义的意思是把函数在确定的区间上分成越来越多的部分，并计算这些部分的累加和，而微积分定义就是在这个区间上的函数的变化量。

显然，当分割的区间数越来越多时，极限定义得到的结果就会越来越接近微积分定义得到的结果。

所以, 极限定义是微积分定义的极限形式。

综上所述, 微积分定义, 欧拉-勒贝格定义和极限定义是等价的。

可以通过使用高斯定理和证明极限定义是微积分定义的极限形式来证明它们之间的等价性。