2-5 节点电压法

① ①
G21U ① + G22U ② = ∑ GU S + ∑ IS
② ②
一般式：nk节点
US4
① I4 I1 I2 I3
R4
② I5 I6
GkkU k +
j =1 j ≠ k
∑
n −1
GkjU j = ∑ GU S + ∑ IS
k k
R3 R5
节点方程的列写规律：
IS7
R1
R2
③
US6 R6
1）方程第一项：主节点电压乘以该节点的自电导 自电导：与主节点相连的各支路电导之和。总为“ + ” 2）方程第二项：各个相邻节点电压与互电导乘积之和。 互电导：主节点与相邻节点之间各条支路电导之和。总为“ - ”
（G1+G2+G3+G4）U① -（G3+G4）U②= G4US4 + IS7 -（G3+G4）U① +（G3+G4+G5+G6）U② = -G4US4 + G6US6
US4
R4
② I5 I6
一般式：nk节点
GkkU k +
j =1 j ≠ k
∑
n −1
① I4 I1 I2 I3
GkjU j = ∑ GU S + ∑ IS
R2
其中： I1= U①/R1=G1×U① I2= U①/R2=G2×U① I3=（ U①- U② ）/R3=G3×（ U①- U②）
③
I4=（ U①- U②- US4）/R4=G4×（ U①- U②- US4） I5= U② /R5=G5×U② I6=（U②-US6）/R6=G6×（U②-US6）
1）把受控源视为独立电源列 写节点电压方程； 2）增加附加方程，建立受控 源的控制变量与节点电压之 间的关系。
①
r I4
g U3
IS2
R4
U 3 R 3 I4
②
例4: 已知R3=R4=4Ω，γ=3， g=1S，IS2=0.5A，用节点电压 法，求I4的电流。
解：含两个受控源
1 1 γ I4 U① （ + ） gU 3 − IS 2 + = R3 R 4 R3
①
IS3
② R4
Us1 Us 2
③
I4
Us4
R5
解：取纯电压源支路的任一节点为参考节点，设节点3为参考节 点，则节点1的电压可直接得到： U① = US2 = 4V 节点2的电压方程为：
(1/R4＋1/R5)U② － U① /R4 = －IS3 －US4/R4
代入数据解得
U② =（－IS3 －US4/R4 ＋ US2 /R4）/ (1/R4＋1/R5) = －4（V） I4 = （ U② － U① ＋US4）/R4 = 1（A）
对于n个节点、b条支路的电路：
G11U ① + G12U ② + ...... + G1( n −1)U ( n −1) = ∑ GU S + ∑ IS
① ①
G21U ① + G22U ② + ...... + G2( n −1)U ( n −1) = ∑ GU S + ∑ IS
② ②
.......... .......... .......... G( n −1)1U ① + G( n −2)2U ② + ...... + G( n −1)( n −1)U ( n −1) =
a点：
令US=12V，则 U c = b2 × 2 2 + b1 × 21 + b0 × 20
U c = 1 × 2 2 + 1 × 21 + 1 × 20 = 7 倘若二进制代码为“111”，则
倘若二进制代码为“100”，则
U c = 1 × 2 2 + 0 × 21 + 0 × 20 = 4
讨论：含受控源电路
US6 R6
R2
③
对于n个节点的电路，因为已选定一个节点为参考点，则有n -1 个节点电压变量，必须建立n -1个独立方程才可求解。
2）推导节点电压法方程：
US4
R4
① ②
-IS7+I1+I2+I3+I4=0 -I3-I4+I5+I6=0
IS7
① I4 I1
R1
I2
I3
R3 R5
② I5 I6
US6 R6
1）节点电压：选取电路中任一 节点作为参考节点，则其余各节 点相对于该参考点之间的电压， 就称为节点电压。 如图，选取节点3为参考节点，则 节点1的电压 U① = U13 节点2的电压 U② = U23 节点1和2之间的电压 U12= U①-U②
① I4 I1
IS7 R1
R4
I2
I3
R3 R5
② I5 I6
例5：网络N的节点方程为：方程中电导的单位S，电流的单位为 A。如果在网络N的节点（3）与参 4U1-2U2 - U3=3 考节点之间加入一个0.2Ω的电阻与 - 2U1+6U2 - 4U3=0 受控源串联的支路，求该加入支路 - U1 - 2U2+3U3=1 的功率。 0.2Ω 解： ③ I3’ 4U1’-2U2 ’ - U3 ’ =3 1.2U2’ - 2U1 ’ +6U2 ’ - 4U3 ’ =0 N - U1 ’ - 2U2 ’ +（3+1/ 0.2）U3 ’ =1+1.2U2 ’ / 0.2 ④
22分别与二进制数码的第一、二、
2R 0 2R 20 1 R 2R 0 21 1 R 2R 0 US 22 1 2R U0
三位输入端相对应。当该位代码 为“1”时，对应开关接通电源US ； 当该位代码为“0”时，则对应开关 接地。已知R=1Ω。求 U0
。
R 2R 2R 0 20 1 2R 0 21 1
1 1 1 1 1 1 ( + + )U ② − ( + )U ① = US 3 + IS 6 R3 R4 R5 R3 R4 R3
R4
代入数据整理得 3 U① -2 U② = -4 3 U② -2 U① = 9 解得节点电压为
IS4
②
R12 ①
R3
Us1
R11
I3 Us3 R2 I1 IS2
③
IS6
US
US
a点： b点： c点：
1 1 1 ( + + 1) U a − U b = U S 方程： 2 2 2 1 1 −U a + (1 + 1 + ) U b − U c = U S 2 2 1 1 1 − U b + (1 + + ) U c = U S 2 2 2
1 2 U a − U b = b0 × U S 2 5 1 −U a + U b − U c = b1 × U S b点： 2 2 1 − U b + 2 U c = b2 × U S c点： 2 4b2 + 2b1 + b0 1 1 U0 = Uc = US × = U S (b2 × 22 + b1 × 21 + b0 × 20 ) 2 6 12
k k
R3 R5
IS7
R1
R2
③
US6 R6
3）右边第一项：为与主节点相连的各支路上的电压源电压与 该支路电导的乘积之代数和，电源电势方向指向主节点时为正， 反之为负。 4）右边第二项：为与主节点相连的各支路上的电流源电流代 数和，电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。
（G1+G2+G3+G4）U① -（G3+G4）U②= G4US4 + IS7 -（G3+G4）U① +（G3+G4+G5+G6）U② = -G4US4 + G6US6
2-5
（n-1)个独立节点KCL （b-n+1)独立回路KVL （b-n+1)独立回路KVL （n-1)个独立节点KCL
节点电压法
支路电流法 回路电流法 节点电压法
以节点电压作为独立变量，对（n-1）个独立节点列写KCL 方程，先求出节点电压，再进一步求取其他电量，这种方 法称为节点电压法。
US4
R5
U① = 1.2V, U② = 3.8V
各支路电流分别为： U① = US1- I1 (R11＋R12)
I5
I1=（US1－ U① ）/(R11＋R12) = －0.2（A） U① － U② = R3×I3- US3 I3=（ U① － U② ＋US3 ）/R3 = 0.4（A） I4=（ U① － U② ）/R4 = －2.6（A） I5 = U ②
US4
① I4 I1 I2 I3
R4
② I5 I6
R3 R5
IS7
R1
R2
③
US6 R6
（G1+G2+G3+G4）U① -（G3+G4）U②= G4US4 + IS7 -（G3+G4）U① +（G3+G4+G5+G6）U② = -G4US4 + G6US6
G11U ① + G12U ② = ∑ GU S + ∑ IS
含纯受控电压源支路的电路
例7 已知R2=2Ω，R3=3 Ω ，
R4=4 Ω ，R5=5 Ω, R6=6 Ω, α=β=2, US4=4V，用节点电压法
①
α U3
I1
R2
②
βI5
③
U3
I3
R3
求 I1 和 I4 。