微分方程例题选解微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。
解：原方程化为 xy x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x ⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x udu 12=-， 积分得 C x u+=ln 1， 原方程的通解为 ln x y x C=+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(414224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。
注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。
解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dxdp +=， 分离变量得 dx p dp =+21，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。
6. 求解微分方程2'''(21)x y y x e -=+。
解：对应齐次方程的特征方程为02=-r r ，特征根为01=r ，12=r ，齐次通解为 x e C C Y 21+=。
可设待定特解 x e b ax y 2)(*+=，代入原方程得12)(23+=++x b ax a ，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x y 2)1(*-=，原方程的通解为 212(1)x x y C C e x e =++-。
7. 求解微分方程''4x y y xe -=。
解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ，特征根为11=r ，12-=r ，齐次通解为 x x e C e C Y -+=21。
可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得x b ax a 4)2(22=++，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=，原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-。
8. 求解微分方程3''6'9(62)x y y y e x -+=+。
解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ，齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。
可设待定特解 x e b ax x y 32)(*+=，代入原方程得2626+=+x b ax ，比较系数得 1=a ，1=b ，从而x e x x y 323)(*+=，原方程的通解为 332312()()x x y C C x e x x e =+++。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。
解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，原方程化为 dx yxy y xy d -=++sin )sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，从而通解为 x Ce y xy -=+sin 。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(22-+='+。
解：设22y x u +=，则uy y x u '+='，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )111(=-+，积分得 C x u u +-=-+cos ln )1ln(， 原方程的通解为C x y x y x =+-+++cos ln )1ln(2222。
11. 利用代换xu y cos =将方程x e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解。
解：由x y u cos =，得x y x y u sin cos -'='，x y x y x y u cos sin 2cos -'-''=''。
原方程化为 x e u u =+''4，其通解为 52sin 2cos 21xe x C x C u ++=， 原方程的通解为 xe x C x x C y xcos 5sin 2cos 2cos 21++=。
12. 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解为x x e x e y )1(2++=。
试确定常数c b a ,,，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为0)2)(1(=--r r ，即0232=+-r r ，于是 3-=a ，2=b 。
将x xe y =1代入方程，得x x x x ce xe e x e x =++-+2)1(3)2(， 1-=c 。
原方程的通解为 x x x xe e C e C y ++=221。
13. 已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。
解：由题设特解知原方程的通解为x x x xe e C e C y ++=-221，特征根为1-和2， 所以特征方程为0)2)(1(=-+r r ，即022=--r r ，故可设此微分方程为)(2x f y y y =-'-''，将x xe y =代入方程，得x e x x f )21()(-=，故所求方程为y y y 2-'-''x e x )21(-=。
14. 设)(r f u =满足方程42222=∂∂+∂∂yu x u ，其中22y x r +=，求)(r f 。
解：)(r f r x x u '=∂∂，)()(322222r f r y r f r x x u '+''=∂∂，)()(322222r f rx r f r y y u '+''=∂∂， 4)(1)(2222='+''=∂∂+∂∂r f r r f yu x u ，]4[)(111C dr e e r f dr r dr r +⎰⎰='⎰-)2(112C r r+=， ⎰+=dr C r rr f )2(1)(12212ln C r C r ++=。
15. 设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛++=≤+22224224)21()(ty x t dxdy y x f e t f π 求)(t f 。
解：由于 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛+≤+222422)21(ty x dxdy y x f ⎜⎠⎛⎜⎠⎛=πθ2020)21(t rdr r f d ⎜⎠⎛=t dr r rf 20)21(2π 所以 dr r rf e t f t t )21(2)(2042⎜⎠⎛+=ππ， 求导得 )(88)(24t f t te t f t πππ+='，]8[)(8482C dt e e t e t f tdt t tdt +⎰⎰=-⎰ππππ)4(242C t e t +=ππ， 由1)0(=f ，得1=C ，因此242)14()(t e t t f ππ+=。
16. 设)(x f 连续可微，1)0(=f ，确定)(x f ，使曲线积分⎰+-L dy x f ydx x f x )()]([ 与路径无关，并计算⎰+-=)1,1()0,0()()]([dy x f ydx x f x I 。
解：由曲线积分与路径无关，得 )()(x f x x f -='，)()(C dx xe e x f dx dx +⎰⎰=⎰-x Ce x -+-=)1(，由1)0(=f ，得2=C ，从而 =)(x f x e x -+-21，于是 ⎰--+-+-=)1,1()0,0()21()21(dy e x ydx e I x x edy e 22101==⎰-。
17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为c 020时，一物体由c 0100冷却到c 060须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
解：设在时刻t 物体的温度为)(t T ，则有)20(--=T k dtdT ，且100)0(=T ，60)20(=T 分离变量得 kdt T dT -=-20， 积分得 C kt T ln )20ln(+-=-，即 kt Ce T -+=20，由100)0(=T 得 80=C ，kt e T -+=8020，再由60)20(=T 得 kt e -+=802060， 202ln =k ， 故t e T 202ln 8020-+=，令30)(=t T ，得 t e 202ln 802030-+=，60=t 。
共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
18. 设物体A 从点)1,0(出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。
