第七章 微分方程经典例题

第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。

1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。

令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。

方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。

因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。

2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。

给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。

第七章 微分方程基础题一．选择题1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( ). A ．3 B ．4 C ．5 D ．22．关于微分方程222x d y dy y e dx dx++=的下列结论： ⑴该方程是齐次微分方程 ⑵该方程是线性微分方程⑶该方程是常系数微分方程 ⑷该方程为二阶微分方程 其中正确的是( ).A ．⑴ ⑵ ⑶B ．⑴ ⑵ ⑷C ．⑴ ⑶ ⑷D ．⑵ ⑶ ⑷ 3．方程x y dxdy cos 2=的通解是（ ） A ．C x y +-=sin ； B ．C x y +-=cos ；C ．C x y +=cos 1；D ．Cx y +-=sin 1及特解0y =. 4．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A ．22()y xy x yy '''-=B ．2457()5()0y y y x '''+-+=C ．2222()()0x y dx x y dy -++=D ．0xy y y '''++=5．下列方程中是线性微分方程的为( ).A ．x y x y ='+'2）（B ．x y y y =-'2C ．x e xy y x y =+'-''222 D ．y xy y y cos 3=+'-''． 6．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( ).A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ． x y -=7．方程22xy x y y '=+是( ).A ．齐次方程B ．一阶线性方程C ．伯努利方程D ．可分离变量的方程8．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( ).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+''9．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数.A ．通解B ．特解C ．是方程所有的解D ． 上述都不对10．y y ='满足2|0==x y 的特解是( ).A ．1+=x e yB ．x e y 2=C ．22x y e =D ． 3x y e =11．下列微分方程中( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程.A ．02=-''y yB ．032=+'-''y y x yC ．045=-''x yD ． 012=+'-''y y12．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( ).A ．1=yB ．x y =C ．x y sin =D ． x e y =13．下列微分方程中，可分离变量的是( ).A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dxdy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy =-sin D ． 2x y xy y e '+= 14．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( ). A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．x y 2='，()31=yD ． x y 2=''，()31=y15．微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( ).A ．x e 2与22x eB ．x e 2-与2x xe -C ．x e 2与2x xeD ． x e 2-与24x e -二．填空题1．xy y dx dy x ln ⋅=是 方程.2． x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数.3．x e y 2-=''的通解是 .4．0)(24=+'+'''xy y y 是 阶微分方程.5．x y y 2='的通解为 . 6．0=+xdy y dx 的通解为 . 7．220d Q dQ Q L R dt dt c++=是______阶微分方程. 8．3阶微分方程3x y ='''的通解为 .9．052=+'-''y y y 的特征方程是 .10．x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解，则该方程的通解为 .三．计算题1．验证：函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程2220(0)d x k x k dt+=≠的通解，并求满足初始条件00,0t t dxx A dt ====的特解.2．求解下列一阶线性微分方程的通解或特解(1) 2y x y '= (2)21x y xy -'= (3) 2(1)arctan x y x '+= (4) ln ln 0y xdx x ydy += (5) 2dy xy dx =，01x y == (6) 011x y dx dy y x-=++， 0|1x y == (7) ()()0y x dy x y dx ++-= (8) y x dy x xe y dx=+(9) xy x y dx dy tan += (10) 0xy y '-= (11)x y y y x '=+，12x y == (12) 22()0x y dx xydy +-=，1|0x y == (13)20y y x x '--= (14) 02d d )6(2=+-y xy x y (15) x e x y y sin cos -=⋅+' (16) 1sin x y y x x'+= (17) 32x dy x y x e dx-=，1|0x y == (18) cos 2cot 5,|4x x dy y x e y dx π=+==- 3．用降阶法解下列微分方程(1) sin y x x ''=+ (2) 0xy y x '''++=(3) y y y '=''2 0|1x y ==，0|2x y ='=(4) sin 2y x ''=，01x y ==，01x y ='=4．求下列微分方程的通解或特解(1) 560y y y '''-+= (2) 6130y y y '''++=(3) 20y y y '''++=(4) 430y y y '''-+=，02x y ==，04x y ='=(5) 690y y y '''-+=，0|2x y ='=，0|0x y ==(6) 320y y y '''++=，0|1x y ='=，0|1x y ==提高题一．选择题1．方程x e y x y x =++')1(的通解是（ ）．A .x e C y x -=；B .)21(2C e x e y x x +=； C .)21(2C e x e y x x +=-； D .)2(2C e xe y x x+=-. 2．已知方程()()0y P x y Q x y '''++=的一个特解1y ,则另一个与它线性无关的特解为( ).A .()21211P x dx y y e dx y -⎰=⎰； B . ()21211P x dx y y e dx y ⎰=⎰； C .()2111P x dx y y e dx y -⎰=⎰； D .()2111P x dx y y e dx y ⎰=⎰. 3．已知1()y x 是微分方程()()y P x y Q x '+=的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解( ).A ．()1P x dx y y e -⎰=+B ．()1P x dx y y Ce -⎰=+C ．()1P x dx y y e C -⎰=++D ．()1P x dx y y e ⎰=+4．若连续函数()f x 满足30()()ln 33xt f x f dt =+⎰，则()f x 的表达式为( ). A ．ln 3x e B ．3ln3x e C ．ln 3x e + D ．3ln 3x e +5．已知ln x y x =是微分方程()y y y x x ϕ'=+ 的解，则()y xϕ 的表达式为( ). A ． 22y x - B ．22y xC ．22x yD ．22x y - 6．微分方程22()0yy y '''-=的通解是( ).A ． 1y C x =-B ．2121y C C x =-C ． 121y C C x =-D ．11y Cx=-二．填空题1．过点1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=曲线方程为 . 2．微分方程30xy y '''+=的通解为 .3．设()y y x =是二阶常微分方程sin cos y ay by x x '''++=+满足初始条件(0)(0)0y y '==，则0()lim 1cos x y x x→=- . 4．设()y y x =满足()y x o x ∆=+∆，且(0)0y =，则10()y x dx =⎰.三．综合应用与证明题1．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程()y x y y x -='-22的解．2．验证x y ωcos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通解．3．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12+=x y 相切的积分曲线． 4．设:()L y y x =在点(,)x y 处切线的斜率211y k x +=+，且曲线过点(1,0)，试求曲线L 的方程．5．求微分方程430y y y '''-+=的一条积分曲线，使其在点0(0,2)M 处与直线20x y -+=相切．6．设函数()f x 连续，且满足20()2()(2)x x f x tf t dt x e -+=-⎰，求()f x ．。

第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

第七章 微分方程—练习题参考答案一、填空题1. 三阶；2. 023=+'-''y y y ；3. 1-='xy y ； 4. x e 22ln ⋅ ； 5. x x e c e c 221-+；6. 错误 、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB; 6-8: CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122-=+x xdx y ydy ， 两边积分得，c x y ln 21)1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y .（2）解：整理得，xy x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dxdu x u ln =+， 变量分离得，xdx u u du =-)1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln，或写为1+=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-. （4）解：整理得，x y x x dx dy 1ln 1=+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-， 代入初始条件1==e x y 得21=c ，从而所求特解为)ln 1(ln 21x x y +=. （5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan 11c x dx xy +=+='⎰， 2121)1ln(21arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰，即原方程通解为212)1ln(21arctan c x c x x x y +++-=. （6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰， 从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 21221c e c x x y x ++--=.2、解：将⎰+=x du u f x x f 0)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，又由⎰+=xdu u f x x f 0)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，所以所求1)(-=x e x f .3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因3221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关， 从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=，所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=，即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。

第七章 习题一基本概念，一阶微分方程的积分解法一．选择题1．在n 阶微分方程的解中，通解为（ D ）（A ）含有任意常数的解； （B ）含有n 个任意常数的解； （C ）含有独立常数的解； （D ）含有n 个独立的任意常数的解． 2．微分方程096=+'-''y y y 满足条件2|0='=x y ，0|0==x y 的特解为 （ D ）（A ）C xe x +221； （B ）C xe x +321； （C ）x 2； （D ）x xe 32.3．设1)(C x f ∈，则微分方程)()()(x f x f y x f y '='+'的通解是（ C ）（A ）)()(x f Ce x f -+； （B ）C e e x f x f x f +-)()()(； （C ）)(1)(x f Ce x f -+-； （D ）)(1)(x f Ce x f +-．4．若)(1x y 是非齐次线性方程)()(x q y x p y =+'的特解，则该方程的通解是（ B ）（A ）⎰+-dx x p e x y )(1)(； （B ）⎰+-dxx p Ce x y )(1)(； （C ）C e x y dx x p +⎰+-)(1)(； （D ）⎰+dx x p Ce x y )(1)(． 二．计算题1．设1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，其中0)(≠x Q ，若21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解，其中α、β是常数，求αβ+。

解：因为1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，所以11'()()y P x y Q x ααα+=，22'()()y P x y Q x βββ+= 两式相加可得：1212()'()()()()y y P x y y Q x αβαβαβ+++=+。

第七章 微分方程§7．1微分方程的基本概念1. 填空(1) 微分方程356()40x y y y x '''++=的阶数是 二阶 ; (2) 微分方程2(76)()y x y dx x y dy e -+-=的阶数是 一阶; (3) 微分方程2sin d d ρρθθ+=的阶数是一阶;(4) 微分方程212(),x y C C x e =+则当120,1C C ==时,00|0,|1;x x y y =='==(5) 已知曲线上点(,)p x y 处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分.则曲线所满足的微分方程是20yy x '+=2. 验证(3)x y x c e =+是微分方程20y y y '''-+=的解,它是否是该微分方程式的通解?为什么?证: 3(3),6(3)x x x x y e x c e y e x c e '''=++=++ 则有26(3)2[3(3)](3)0x x x x x y y y e x c e e x c e x c e '''-+=++-++++=则(3)x y x c e =+是微分方程的解,但只含有一个任意常数,所以它不是通解.3. 设212()x y C C x e =+(1) 验证y 是微分方程440y y y '''-+=的通解. 解22222122122(),44()x x x x y C e C C x e y C e C C x e '''=++=++,因为22222212212124444()48()4()0x x x x x y y y C e C C x e C e C C x e C C x e '''-+=++--+++=所以212()x y C C x e =+是微分方程的解,且含有两个相互独立的任意常数,因而是微分方程的通解.(2) 求参数方程12,C C 使得它满足初始条件(0)0,(0)1y y '== 解:由(0)0,(0)1y y '==得0111002120(0)0,12 1.C e C C C e C e C =+=⇒==+⇒=§7．2可分离变量微分方程1. 求下列可分离变量微分方程的解 (1)()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= 解:(1)(1)0,(1)(1),11y x xyyxyxxyy x e dy e dxe e dx e e dy e e dy e e dx e e --++=+=--=-+ 1(1)(1),,ln 1ln 1ln 1111y x y x y xy x y x e dy e dx d e d e e e C e e e e --+==--=-++-+-+⎰⎰⎰⎰111101011(1)(1),(1)(1),1010y y xyx yx y x x e e e e C e e C e e C e e ⎧⎧->-<+-=⇒+-=⇒+-=⎨⎨+>+<⎩⎩111010(1)(1),(1)(1),1010y y x yx y xx e e e e C e e C e e ⎧⎧-<->⇒+-=-⇒+-=-⎨⎨+>+<⎩⎩则通解为(1)(1)x y e e C +-=. (2)cos s sin sin 0xco ydx x ydy +=11sin cos cos sin ,ln cos n sin ln cos sin cos sin cos sin y x d y d xdy dx dx y l x C y C x y x y x =-=⇒=+⇒=⎰⎰⎰⎰1cos sin cos sin y C x y C x ⇒=±⇒=所以通解为arccos(sin )y C x =2. 求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件下的特解 (1)20,| 1.y x x y e y -='==解:220221111111,,,|1,,2222y y x y x x x y x e dy dx y e e c y c e e e e e e e ----='==⇒=+=⇒=-=+-⎰⎰所以特解为2111ln()22x y e e-=--+(2)2sin ln ,|x y x y y y e π='==解:111,ln ln ln csc ln ln csc ln (csc )ln sin dy dxy x ctgx C y C x ctgx y C x ctgx y y x==-+⇒=-⇒=±-⎰⎰ ln (csc )y C x ctgx ⇒=-2|1,x y e C π==⇒= 则1cos ln csc tan sin 2x xy x ctgx x -⇒=-==,所以特解为 tancsc 2xx ctgxy ee-==(3)sin (12)cos 0,(0)4x ydx e ydy y π-++==解cos cos sin sin (2),,,sin sin sin sin 121222x x x x x xydy dx ydy dx d y e dx d y d e y y y y e e e e -----+===-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1111ln sin ln(2)ln ln (2)sin sin 22x x x x C Cy e C C e y y e e -±=-++=+⇒=⇒=++(0)sin443C y C y ππ=⇒=⇒==则特解为y =3. 质量为1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质量运动的速度成反比,在10t s =时速度等于50/,cm s 外力为42/,g cm s ⋅问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解:1010,|50,|420,20,120,20t t t dvF k v F k mvv t m v t vdv tdt v dt=='===⇒=∴==⇒==⎰⎰22210110,|50250,20500,2t v t c v c v t ==+=⇒==+ 所求特解为v60|269.3(/)t v cm s =≈4. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解:1112tan ,ln ln ln 2y y dy dxy y x C xy C xy C xy C x xy x α'==-=-=-⇒=-+⇒=⇒=±⇒=⎰⎰又因(2)3y =知C=6,则所求的曲线方程为6xy =§7．3齐次方程1. 求下列齐次方程的通解.(1) 22()0x y dx xydy +-=解:2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,令2'111,,,,,yu u y ux y u xu xu u udu dx xu ux+''===+=-==22221111ln ln ln ln 2u x C C x u C x =+=⇒= 通解为222ln()y x Cx =(2) 3(l n l n )dyx y y x dx=- 解:3ln ,dy y ydx x x=令ln 1(3ln 1),3ln ,,,,.(3ln 1)3ln 133ln 1y du dx d u dx d u dxu xu u u u x u u x u x u x-'==-===---⎰⎰ 33333111ln 3ln 1ln()3ln 1ln(1)3y u C x u C x Cx Cx x -=⇒-=±=⇒=+ 所以通解为313Cx y xe+= (3) (2s i n 3c o s )3c o s 0y yy x y d x x d y x xx+-=解:2sin3cos 2sin 3cos 3,,,,3cos 2tan 3cos y y x y dyy u u udx x x u y ux u x u du y dxx u x ux x++'===+==令 3221133ln sin ln ln sin 2tan 2dx du u x C u C x Cx x u =⇒=+⇒=±=⎰⎰ 再将yu x=代入原方和得通解为 32sin yCx x= 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件下的通解. (1)1,|2x x yy y y x='=+= 解:令yu x=,2211111,,ln ln ,|2222x du y xu u u x C x C y C u dx xx =⎛⎫'===+⇒=+=⇒= ⎪⎝⎭所以通解为222(ln 2)y x x =+(2)22221(2)(2)0,|1x x xy y dx y xy x dy y =+-++-==解:222222212221y y dy x xy y x x dx y xy x y y x x ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭=-=+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,令y u x =,2222112,1211u u dx u xu u du x u u u u --⎛⎫'+==- ⎪++-+⎝⎭ 1112211ln ln ln ln11u u x C C x C x Cx u u +++==⇒=±=++,从而有 221(),|11x x y C x y y C =+=+=⇒=因此特解为22x y x y +=+§7．3一阶线性微分方程1. 求下列一阶线性微分方程的通解. (1) x y y e -'==解: ()dx dxx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e dx C e x C ------⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤=+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (2) ln (2ln )0y ydx x y dy +-=解:21ln dx x dy y y y+= 2222ln ln 2ln ln 2ln ln ln ln ln ln 111dy dy d y d y y y y y y y y yx e e dy C e e dy C e e dy C y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =22ln(ln )ln(ln )222211(ln )(ln )(ln )(ln )ln y y e e dy C y y dy C y y d y C y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =2221(ln )(ln )ln ln 3(ln )Cy y d y C y y -⎡⎤+=+⎣⎦⎰. 2..求下列一阶线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)sin ,|1x dy y x y dx x xπ=+== 解: 111ln ln ln ln sin sin sin dx dx x x x xx x x x x y e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =11sin 1sin (cos )x x xdx C x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ |11x y C ππ==⇒=-则特解为1(cos 1)y x xπ=-+-(2) ln (ln )0,|1x e x xdy y x dx y =+-==解:1ln dy y dx x x x+= 1111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 111dx dx d x d x x x x x x x x xy e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 1ln(ln )ln ln 21111[ln ln ][(ln )]ln ln 2x x e e dx C xd x C x C x xx -⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰1|12x e y C ==⇒=,因而特解为21[(ln )1]2ln y x x=+. 2. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,且在点(,)x y 处的切线斜率等于2.x y + 解:依题意知2,2y x y y y x ''=+-=1222()2dx dx x x x x x x x y e xe dx C e xe dx C e xe d x C e xde C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =2(2(()2()x x x x x x x x xe xe e dx C e xe e d x C e xe e C ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+=-+-+=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 022,|02x x x Ce y C ==--+=⇒=则微分方程的特为2(1)x y e x =--3. 设有一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例系数为1k )的力作用于它,此处还受一与速度成正比(比例系数为2k )的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系. 解:2112,k kmv k t k v v v t m m''=-+=2222221112k k k k k k dt dt t t t t m m m m m mk k k m v e te dt C e te dt C e tde C m m m k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 222211222(()k k k k t t t t mm m mk k m ete e dt C t Cek k k --⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 111022222|0.t mk k mk v C v t k k k ==⇒=∴=- §7．5可降阶的高阶微分方程1. 求微分方程的通解. (1)x y xe x '''=+解:()2112x x x x x y xe x dx xe dx xdx xde xdx xe e x C '''=+=+=+=-++⎰⎰⎰⎰⎰2311211226x x x x y xe e x C dx xe e x C x C ⎛⎫'''=-++=-+++ ⎪⎝⎭⎰3421212311(2)(3)624x x x y xe e x C x C dx x e x C x C x C '=-+++=-++++⎰(2) ()21y y '''=+解:令21112,,1,,arctan ,tan(),tan()1dp dyp y y p p pdx p x C P x C x C dx p '''''===+==+=+=++ 1112tan()()ln cos()y x C d x C x C C =++=-++⎰2. 求下列微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)2002,|1,|1x x x y y e y y ==''''+===解:令2222222241111,,2,[][][]4dx dx x x x x x x x p y y p p p e p e e e dx C e e e dx C e e C ---⎰⎰'''''==+==+=+=+⎰⎰222222112131313,(0)1,()444488x x x x x x y e C e y C y e e dx e e C ---''=+=⇒==+=-+⎰ 25(0)1,4y C =⇒= 因而特解为22135.884x x y e e -=-+ (2) 2111,|0,| 1.x x x y xy y y ==''''+===解:令1121122211111,,1,,[][]dx dx xx p y y p x p xp p p p e e dx C xdx C x x x xx -⎰⎰''''''==+=+==+=+⎰⎰=21112111ln 1ln 11[][ln ],(1)11,,(ln )2x x dx C x C y C y y dx dx x C x x x x x x x ''+=+=⇒==+=+=+⎰⎰⎰ 2(1)00y C =⇒= ,则特解为21(ln )ln 2y x x =+ §7．6高阶线性微分方程1. 验证21xye =及22x yxe =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解,写出该方程的通解.证:2222222221114(42)246420x x x x x y xy x y e x e x e x e e '''-+-=+-+-= 222332224(42)[644842]0x y xy x y x x x x x x e '''-+-=+--+-= 121y y x=≠常数,则通解为 2221212()x x xy C e C xe C C x e =+=+2. 验证51y x =21y x =是方程2350x y xy y '''--=的解,23ln 9x y x -=是微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的解,写出微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的通解.证:251113(20155)0x y xy xy x '''--=--=, 2212213(235)0x y xy xy x'''--=+-=, 22222223332653ln ln ln ln 93939x x x x y xy xy x x x x x x x '''--=--+++=61yx y=≠ 常数,则微分方程的通解为 2511223121ln .9x y C y C y y C x C x x =++=+-3. 验证12121()(,2x x xe y C e C e C C x -=++是任意常数)是方程2x xy y xy e ''+-=的通解. 解:*12111,,2x x x ye y e y e x x -===,因为 1112222222222222222(11)0,2(11)0x x xy y xy e xy y xy e x x x x x x x x-''''+-=-++--=+-=+++--= ()()***212112(),22x x x x y x y y xy xe e e e y '''+-=-+==≠ 常数,所以通解为121()2x x xe y C e C e x -=++§7．7常系数齐次线性微分方程3. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解. (1)212120,1204,3y y y r r r r '''+-=+-=⇒=-= 所以通解为4312x x y C e C e -=+. (2)212690,6903y y y r r r r '''++=++=⇒==-所以通解为312()x y C C x e =+. (3)21,26100,61003y y y r r r i '''++=++=⇒=-±所以通解为312(cos sin )x y e C x C x -=+4. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)320,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===.解: 211,3202,1r r r r ++=⇒=-=-,则通解为22121212,2,(0)0,(0)11,1x x x x y C e C e y C e C e y y C C ----''=+=--==⇒==-则通解为2x x y e e --=-.(2) 250,(0)2,(0)5y y y y '''+===解:21,22505r r i +=⇒=±则通解为12cos5sin 5y C x C x =+12125sin 55cos5,(0)2,(0)52,1y C x C x y y C C ''=-+==⇒==则特解为2cos5sin 5y x x =+§7．8常系数非齐次线性微分方程5. 求下列二阶非齐次微分方程的通解 (1)228(1)x y y y x e -'''--=+解:24212122804,2,x x r r r r Y C e C e ---=⇒==-∴=+ 面1,2m λ==-为特征单根()()'''*2*222*2222(),(2)2(),24(2)4()x x x x x xy x ax b e y ax b e ax bx e y ae ax b e ax bx e ------∴=+=+-+=-+++()()***21728(1),1236x y y y x e a b -'''--=+⇒=-=-则特解为*217()1236x y x x e -=-+,因而微分方程的通解为:4212x x y C e C e -=+217()1236x x x e --+(2) 25sin 2x y y y e x '''-+=解:21,2250,121,2,0r r r i m αβ-+==±⇒===而12i +是特征方程的根,因而令*(cos 2sin 2)x y xe A x B x =+代入原方程求出1,04A B =-=,*1cos 24x y xe x =-所以微分方程的通解为121(cos 2sin 2)cos 24x x y C x C x e xe x =+-6. 求微分方程43y y '''-=满足初始条件(0)0,(0)1y y '==的特解解:212400,4r r r r -=⇒==对应齐次微分方程的通解为412,0x y C C e λ=+= 为特征单根,则*y ax =代入原方程得*33,44a y x =-∴=-,微分方程的通解为:41234x y C C e x =+-,由(0)0,(0)1y y '==知1297,,1616C C ==故特解为497316164x y e x =+- 7. 设函数()f x 连续,且满足0()()(),xx f x e t x f t dt =+-⎰求()f x .] 解:()()(),()()()()(),()()xxxxx x x x f x e tf t dt x f t dt f x e xf x f t dt xf x e f t dt f x e f x '''=+-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰ ()()x f x f x e ''⇒+=,而21,210,r r i +=⇒=±对应齐次微分方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+而0,1m λ==不是特征根,令*x y Ae =代入原方程求得12A =,则通解为 121cos sin 2x y C x C x e =++1211(0)1,(0)1,22f f C C '==⇒== ,则特解为1()[cos sin ]2x f x x x e =++。

第七章 微分方程7.1 微分方程的基本概念1. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）;1,222Cx y xy y +-=='；（2）x e x y y y y 2,02==+'-''.2. 指出下列各微分方程的阶数：（1）0)()(2222=++-dy y x dx y x ； ( )（2）0)(5)(7543=+-'+'''x y y y ； ( )（3）t e x dtx d t sin 22=-. ( ) 3. 已知曲线过点)1,1(-,且曲线上任一点的切线与x 轴交点的横坐标等于切点横坐标的平方，写出此曲线所满足的微分方程.7.2 可分离变量的微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）0ln =-'y y y x ； （2）)(22y y y x y '+='-' ；（3）0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x .2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）4|,sin cos sin cos 0 ===x y xdx y ydy x ；（2）0|,21)1(0==++=-x y y e dx dy x .3. 一曲线经过点（2,3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.4. 将温度为0T 的物体放在温度为1T 的空气中逐渐冷却)(10T T >，由实验测定，物体在空气中冷却的速度与这一物体的温度和其周围空气的温度之差成正比，求任意时刻t 物体的温度.7.3 一阶线性微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）12+=+'x y y x ；（2）x ex y y sin cos -=+' ；（3）01)2(3=+'-y y xy .2. 求微分方程x x y dxdy sec tan =-满足条件0)0(=y 的特解 .3. 设)(x f 具有连续的一阶导数，且满足2022)()()(x dt t f t x x f x+'-=⎰，求)(x f 的表达式.7.4 可降阶的高阶微分方程1. 求下列各微分方程的通解：（1）x xe y ='' ;（2）12)1(2='+''+y x y x ;（3）.0)(122='-+''y yy .2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）1|,0|,0)1(002='=='-''-==x x y y y x y x ;（2）0|,1|,01113='==+''==x x y y y y .3. 设函数22),(y x r r f u +==在0>r 内满足方程02222=∂∂+∂∂y u x u ，其中)(r f 二阶可导，求)(r f .7.5 高阶线性微分方程1. 验证：x x x C x C y ln 92251-+=（其中21,C C 为任意常数）是方程x x y y x y x ln 5322=-'-''的通解.2. 已知x x y =)(1是齐次线性方程0222=+'-''y y x y x 的一个解，求非齐次线性方程32222x y y x y x =+'-''的通解.7.6 二阶常系数齐次线性微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）04='-''y y ; （2）032=+'+''y y y ;（3）02520422=+-x dt dx dtx d ; （4）033=+'+''+'''y y y y .2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）5|,0|,04300-='==-'-''==x x y y y y y ;（2）3|,0|,013400='==+'-''==x x y y y y y .3. 长6米的链条自桌上滑下，运动开始时，链条垂下部分为1米，若不计摩擦，问链条全部滑下桌面需要多少时间？7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）xe y y y 22=-'+'' ;（2）x xe y y y =+'-''23 ;（3）x x yy sin 9=+'' ;（4）x y y 2sin =-'' .2．设函数)(x f 连续，且满足⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(,求)(x f .7.8 变量代换法1．求下列齐次方程的通解：（1）xy y dx dy x ln = ;（2）01(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x .2．求微分方程0)433()(=-+++dy y x dx y x 的通解.3．设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段____OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程.4. 求伯努利方程4xy y dxdy=-的通解：。