常微分方程典型例题.ppt

常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。

、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程xy 2y xlnx 满足y （1）x 2y)= x 21 n x.2.（ 06,4分）微分方程y =y （1 x ）的通解为— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得理（丄 1）dx.积分得 In y In x x G ，即 |y e C 1x e x y x因此，原微分方程的通解为y Cxe x ,其中C 为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1. （ 97,2,5 分）求微分方程（3x 2 2xy y 2）dx （x 2 2xy ）dy 0的通解解：所给方程是奇次方程•令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得3（ 1+u- u 2） dx+x ：1-2 u ） du=0.分离变量得上生 du - dx, 1 u ux积分得 In 1 u u 23In x C 1,即 1 u u 2=Cx 3.以u —代入得通解x 2 xy y 2—. xx2 （9927 分）求初值问题（y '•口）dx xdy 0（x 0）,的解.y x 1 0常微分方程积分得 x 2y=C+ x 2 In xdx C In xdx 3 1 1由y(1) 9得C 0 y 3xlnx1x. 9 1-的解为 9分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为鱼+ 2ydx x2In x,两边乘e x =x 2得解：所给方程是齐次方程(因dx, dy 的系数(y+•，厂『)与(-x)都是一次齐次函数)令dy xdu udx,带入得x(u .1 u 2dx x( xdu udx) 0,化简得 12 u 2dx xdu 0.分离变量得dx du 门 ---------- =0. x 、1 u 2积分得ln xln(u .1 u 2)G,即 u 』1 u 2 Cx以u —代入原方程通解为y+... —y 2 Cx 2.x “再代入初始条件y xi 0,得C = 1.故所求解为y+J x 2 y 2x 2,或写成y *(x 2 1).(三) 全微分方程 练习题(94,1,9分)设f (x)具有二阶连续导数，f(0) 0, f (0) 1,且[xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求f (x)以及全微分方程的通解解：由全微分方程的条件，有—[xy(x y) f(x)y] —[f (x) x y],y x即 x 2 2xy f (x) f (x) 2xy,亦即 f (x) f (x) x 2. 2(四) 由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程4. (98,3分)已知函数y y(x)在任意点x 处的增量y= J x ,当x 0时,1 x是x 的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于()(A)2 .(B) .(C)e 〔(D) e 7.分析：由可微定义，得微分方程y 二.分离变量得1 xdy,两边同时积分得 In y arctanx C ,即y Ce arctanx .因而f (x)是初值问题y y x - 1y x 0 0, y | x f (x) 2 cos x sin x2x2.原方程化为 [xy 2 y (2 cos x sin 先用凑微分法求左端微分式的原函数： 其通解为1 x 2y 22xy y(cos x的解，从而解得12x) y]dx (x y 2x 2sin x cosx) dy yd (2sin xcos x) (2sin x cos x)dy0.0.0,1 2 2 1 2 2 (y dx x dy ) 2( ydx xdy) 2 2 1 :d [ x y 2xyy(cos x 2sin x)] 2y 1 x代入初始条件y(0)，得C=，于是y(x) e arctanx ,由此，y(1) eY 应选(D)二、二阶微分方程的可降阶类型5X00,3分)微分方程xy 3y 0的通解为 _____分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y=P(x)，则y=P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为P+-P=0,两边乘x 3得(Px 3) =0.通解为y P C 0 -再积分得所求通解为 yx C 2 G. xx 6. (02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x° 1，y1x 0—的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 •令y P(y)(以y 为自变量)，则y dy dP P dP .dx dx dy代入方程得yP dP +P=0，即『竺+卩=0(或P=0,，但其不满足初始条件y x 0 —)dy dy 2 分离变量得dP0, P yC 积分得 In P +ln y =C ，即 P=C(P=0对应 G=0)；y1 1由x 0时y 1， P=y —,得C 1 一，于是2 21y P 一 ,2ydy dx,积分得 y 2 x C 22y • 又由y x0 1得C 2. 1,所求特解为y三、二阶线性微分方程(一) 二阶线性微分方程解的性质与通解结构7. (01,3分)设y e x (C 1sin x C 2 cosx)(C 1,C 2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分 方程的通解，则该方程为 ______________ .22分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是 r i , a 1 i ,从而得知特征方程为2 2(r r)(r r 2) r(r 1 r 2)r r 1r 2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解 y e x (Gsinx C 2 cosx)求得 y e x [(G C 2)si nx (G C 2)cos x], y e x ( 2C 2si nx 2C 1 cosx), 从这三个式子消去G 与C 2,得y 2y 2y 0.(二) 求解二阶线性常系数非齐次方程9. (07,4分)二阶常系数非齐次线性微分方程 y 4y 3y 2e 2x 的通解为y 二 ______________分析：特征方程2 4 3 ( 1)( 3) 0的根为 1, 3.非齐次项e x , 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae 2x .代入方程得(4 A 8A 3A)e 2x 2e 2xA 2.因此，通解为 y C 1e x C 2e 3x 2e 2x..10. (10,10分)求微分方程y 3y 2y 2xe 的通解. 分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解 .1由相应的特征方程2 3 2 0,得特征根1 1, 2 2相应的齐次方程的通解为y Ge x C 2e 2x . 2非齐次项f(x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解y x(ax b)e x .代入原方程得 ax 2 (4a b)x 2a 2b 3[ax 2 (2a b)x b] 2(ax 2 bx) 2x, 即 2ax 2a b 2x, a 1,b2.3原方程的通解为y Ge x C 2e 2x x(x 2)e x ,其中G, C 2为两个任意常数.(三) 确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型(04,2,4分)微分方程y yx 2 1 sin x 的特解形式可设为()分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是21 0,特征根为 i.由线性方程解的迭加原理，分别考察方程 y y x 2 1L (1与y y sin xL (2) 方程(1)有特解y ax 2 bx c,方程(2)的非齐次项f (x) e x sin x sinx( 0,1,i 是特征根),它有特解yx(Asinx Bcosx).因此原方程有特解 y ax 2 bx c x(Asinx Bbcosx)应选(A).(四) 二阶线性变系数方程与欧拉方程(A)y (C)y2 ax 2ax2bx c x(Asin x Bcosx).(B)y x(ax bx c 2bx c Asi nx.(D)y ax bx c A cosx.Asin xB cosx).因此特解为y 2x .1 x 2.四、高于二阶的线性常系数齐次方程分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i _1)，对应的特征方程是(1)(2i)(2i) (1)( 24)32440,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0,选(D).(00,2,3分)具有特解y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y yy y 0.(B)y y y y 0.(C)y6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1,从而特征方程为(r 1)2(r 1)0,即r 3 r 2 r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程(00,2,8分)函数y=f(x)在0,上可导，f(0) 1,且满足等式1 X f (x) f(x) — 0 f(t)dt 0,x 1 0(1)求导数f (x)；2)证明：当x 0时,成立不等式e x f(x) 1.分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量 d 2ydyd 2y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y dx dt dtdt相应的特征方程23 2 0,特征根1x e t (t In x)，将它化成常系数的情形: 0. 1, 22,通解为yGe t C 2e 2t .因此，所求原方程的通解为 y C 1 x CJ,其中C 1,C 2为任意常数.x (05,2,12分)用变量代换x cost(0 t 满足y x 0 1,y)化简微分方程(1 x 2)yxy y 0,并求其x02的特解.分析：建立y 对t 的导数与y 对x 的导数之间的关系• dt 业叫讣dx dt dx ' d 2ydt 2于是原方程化为 回到x 为自变量得 Gx 由 y(0) C 21 C 22 2 d y d y . 2. sin t dt 2 dx 2 0,其通解为 C 2、1 x 2.i.y (o ) C i參。