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第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
一阶常微分方程习题（一）1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）2） y(1+x 2y 2)dx=xdy 3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
一阶微分方程求解例题今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。
因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。
接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。
先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。
一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。
因为常数 c越大，方程的解就越难求解。
但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。
这里就需要把 c值降低到0或1。
此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。
所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。
再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。
那么这个最大值问题解决了吗？二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。
由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。
注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。
于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。
我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。
但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。
典型例题1、判断下列一阶微分方程的类型并求其通解（1）0)41(2=+−dy x ydx ；（2）.0cos )cos (=+−dy x yx dx x y y x ；（3）0)sin (=−+dx x y xdy ；（4）0)4(3=+−dx y y x xdy ；（5）ydy dx y xydy dx +=+2；（6）0)12(23=−+dy xy dx y ；（7）.0324223=−+dy y x y dx y x （8）231dy x x ydx x++=−+2、求一阶微分方程的特解（1）求解微分方程x yx ydx dytan +=满足初始条件61π==x y 的特解.（2）求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足所给初始条件.1==e x y 的特解3、求下列微分方程的通解（1）求x y xe ′′′=的通解（2）02)1(222=−+dx dyx dx y d x （3）求方程02=′−′′y y y 的通解4、求下列微分方程的特解（1）求方程x e y x cos 2−=′′满足1)0(,0)0(=′=y y 的特解.（2）求微分方程初值问题：,2)1(2y x y x ′=′′+,10==x y 30=′=x y （3）求微分方程)(22y y y y ′−′=′′满足初始条件,1)0(=y 2)0(=′y 的特解.5、求下列微分方程的通解（1）440y y y ′′′++=（2）340y y y ′′′−−=（3）250y y y ′′′++=（4）(5)(4)220y y y y y y ′′′′′′+++++=（5）(4)250y y y ′′′′′−+=6、求方程12360y y y′′′−+=满足条件：01x y ==，00x y =′=的特解。
7、求解下列微分方程（1）求方程22y y y x ′′′−+=的一个特解。
（2）求方程2x y y y e ′′′−+=的一个特解。
一阶微分方程典型例题
例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .
解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有
)(x N kx dt
dx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNt
kNt
ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0
0x N x c −= 例2 求2
sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02
sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22
sin −=, 积分之，得通积分 2
sin 44tan ln x c y −=. 对应于02
sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin
≠y ，故所求通解中可能会失去使 02
sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y
的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x
y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠
∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x
e x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx
d =)(，积分后，得c
e x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x
e x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10
==x y 之特解. 解 将原方程改写为1
cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−
c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11
x y x −=−. 例5 求方程 4y
x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程
31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有
x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=
. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y y
x ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 2
12x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA
对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA
上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣
⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,2
1)(20>=−∫x x xy dt t y x
两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y x
y ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA
的方程为 ⎩
⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y。
