数值计算方法.ppt

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0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
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证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
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2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
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有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
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2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。

数值计算与符号计算
计算机的诞生源于数值计算，“计算”一词在过 去仅是数值计算的意思。数值计算的结果是一个 数值。像Fortran、C等高级语言，主要用于数 值计算。 现在计算机除了传统的数值计算外，还可以进行 数学符号的演算，也称计算机代数 计算机代数。所谓符号， 计算机代数 可以是字母、公式，也可以是数值，数值是表达 式的一种最简单的形式。符号计算 符号计算是相对实质计 符号计算 算而言的，对于符号计算，计算机处理的数据和 处理后的结果是符号（表达式）。
SAS简介 SAS简介
SAS(Statistical Analysis System)软件系统由美国 SAS公司编制。该软件系统于1966年研制成为商业软 件，开始仅用于数据的统计分析，后经不断更新和补充， 现在的SAS已发展成为一个功能强、效率高、使用方便 且适用于多种操作系统的信息处理和科学计算组合软件 系统，具有完备的数据存取、管理、分析和显示功能， 在数据处理和统计分析领域，SAS被誉为国际上的标准 软件系统，1996年和1997年被《Datamation》杂志 评为建立数据仓库的首选产品，已被120多个国家和地 区29000多个机构所采用，直接用户超过300万人，广 泛应用于金融、保险、经济、医疗、卫生、生产、运输、 通讯、政府部门、科研和教育等领域。
数学软件
仝辉 北京邮电大学理学院 Email： Email：yjssxjm@ 课件下载： 课件下载：/tonghui/yjssxjm
数学家可以把符号计算软件看作是最 基本的语言，如同计算机学家的C语言。 ——陈木法 让一些杰出的人才奴隶般地把时间浪 费在计算上是不值得的。 ——莱布尼兹
SAS→ SAS→科学方法、业务范围
统计分析 时间序列分析 运筹决策 …… 质量管理 财务管理 生产优化 风险管理 市场调查和预测 …… SAS可将各种数据以灵活多样的各种报表、 图形和三维透视的形式直观地表现出来。

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10
L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =

6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9

两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
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4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
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4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
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4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来

5.2.3 n次拉格朗日插值
➢问题描述
插值基点：x0，x1，…，xn（n+1个点互异） 插值函数：不超过n次的多项式
插值条件：Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
➢基函数
li (x)
(x x0 ) (x xi1 )(x xi1 ) (x xn ) (xi x0 ) (xi xi1 )(xi xi1 ) (xi xn )
定义5-3
设H
是
n
不超过n次的多项式的全体的集合，
0
(
x)
,1
(
x),
,n (x)
是H n中n
1个线性无关的多项式，则0 (x),1 (x),
,
n
(
x)是H
的
n
一组基函数。
注意：基函数是不唯一的；
n
H n中的任一多项式pn (x)均可由基函数唯一表示，即pn (x) kii (x) i0
➢定理5-1 (插值函数的存在唯一性定理)
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、 三角函数插值等
➢函数插值涉及的基本问题
插值函数的存在唯一性问题
插值函数的构造问题
截断误差估计与收敛性问题
➢ 代数多项式插值函数的构造方法
拉格朗日插值法 埃尔米特插值法
牛顿插值法
样条函数插值法
拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组 合，这些基函数与被插函数无关，只需用插值基点有来构造。
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x) ➢线性插值及几何意义
n=1时的n次多项式L1(x) 称为线性插值。此时，有两个互异的 插值基点:x0，x1，插值条件为: L1(x0)=y0, L1(x1)=y1 。

数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]
x.^2 =[1^2,2^ห้องสมุดไป่ตู้,3^2]=[1,4,9] 2.^x = ?
矩阵的“除法”
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则
B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B
当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
例：设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。
其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
向量特殊运算介绍
min max mean 最小值 最大值 平均值 sum prod std 总和 总乘积 标准差
format 只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值！
几个小技巧
Matlab 的命令记忆功能：上下箭头键
可以先输入命令的前几个字符，再按上下键缩小搜索范围
, then f (2) ?
矩阵
Matlab 的操作对象是 矩阵 矩阵的直接输入
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用空格或逗号分隔 矩阵行与行之间用 分号分开 直接输入法中，分号可以用回车代替
清除当前工作空间中的变量

clear

(2) 利用迭代法求解。在该区间内确定一合适的初值
x0 ，按某种算法产生一个近似解序列，该序列 收敛于精确解x*
x0 , x1, x2 , x3 ,, xn
计算机在稀土工程中的应用
2. 二分法
设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) 0 ，
采用二分法求解可按下列步骤进行：
如前面的例子可改写为：
(309016 0.005608 T 2 501182 T 1) /177 .5 T
计算机在稀土工程中的应用
简单迭代的误差与收敛
xk1 g(xk )
x* g(x*)
两式相减，并由中值定理有：
x * xk1 g(x*) g(xk ) g'()( x * xk )
入炉物料显热 铜锍显热 (k1 k2T (k3 k4T )[Cu]m ) Wm
化学反应热 重油燃烧热
炉渣显热 (k5 k6T ) Ws
N
烟气显热 ni ( Ai BiT CiT 1 DiT 2 ) i1
塔散热 经验数据
通过求解方程：热收入+热支出=0，即可求得温度T。 现已知某生产时期热平衡方程如下，求温度T：
由此可见，该递推算法随n的增大，误差传播迅速增大， 是不稳定算法。
计算机在稀土工程中的应用
算法2: 逆向递推
由：In 1 nIn1
有：In1 (1 In ) / n
按In估计式：
e1
1
n 1 In n 1
取：
I 30
e1 ( 30
1) 1
/
2
0.0221
30 0.0102
按 s30 0.0221 sn1 (1 sn ) / n 逆向递推

er ( y )
e ( y ) f(x)f(x) x xx f ( x ) xx f(x) x

x f(x) f(x)

er (x)
相对误差条件数
注：关于多元函数 yf(x1,x2,...xn ,)可类似讨论， 理论工具：Taylor公式
2、向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出 A 的已
数值计算方法
第0章 课程介绍
什么是数值计算方法? 数值计算方法特点 数值计算方法重要性 本课程主要内容 本课程要求
什么是数值计算方法?
实际 问题
建立数学模型
近似结果 输
上机
出
计算
设计高效、 可靠的数值 方法
程序 设计
什么是数值计算方法? 数值计算方法是一种研究并解决数学问题的数值
若 x 的每一位都是有效数字，则x 称是有效数。
特别地，经“四舍五入”得到的数均为有效数
5.定理：
将 x 近似值 x 表示为 x 0.a 1a2 ak an 10m，
若 x * 有k位有效数字，则
； | er
|
1 2a1
10(k1)
x 反之，若
er
1 ， 10(k1) 则
注：(1)
近似数
x
1
,
x
2
四则运算得到的误差分别为
| e(x1 x2)| |e(x1)e(x2)|,
er ( x1 x2 )

e(x1) x1 x2

e(x2) x1 x2
,
(避免两近似数相减)
e
(
x x
1 2
)

x1e(x2) x2e(x1) x22