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第六章 正交多项式和最佳一致逼近

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第六章 函数最佳逼近

第六章 函数最佳逼近

最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform approximating polynomial */ 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最 小。
v 1.0
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。
（2） x x dx n 0,1, 存在；
b a
n
（3）对非负连续函数 f ( x )，若 f x x dx 0，则在上
a
b
一定有 f ( x) 0，那么称 ( x )是区间 [a, b]上的权函数。
权函数的一种解释是物理上的密度函数，相应的 a x dx 表示 。 总质量，当权函数常数时，表示质量分布是均匀的。
1 d P0 ( x ) 1, Pn x n 2 n! dx
n
x
2
1
n
n 1, 2,
思考: Pn ( x ) 的最高次项系数为？ 最高次项系数为1的Legendre 多项式有什么样的形式？
Pn 的重要性质：
0, mn 正交性 1 P ( x ) P ( x )dx 2 1 n m , mn 2n 1
( x x k ) 2 qn k ( x )
2.几个常用的正交多项式 勒让德多项式/* Legendre polynomials */
当区间为[1,1] ，权函数 ( x) 1时，由 1, x , x 2 , , x n , 正交化得到的多项式称为Legendre多项式，用Pn ( x ) 表示。 其简单的表达式为

最佳一致逼近多项式3.3

最佳一致逼近多项式3.3

定理说明任意连续函数都可以用多项式来近似 3.3.1 基本概念及其理论
Bn ( f , x) =
f ( x) −
* pn ( x)
∞
=
max a≤ x≤b
f
n k =0* ( x ) − p n ( x ) n= kmin f n − k ( x) )− p k ( x ) = k xp n ((x1∈ Pn x )
f ( x) − pn ( x)
pn(x) 在[a,b]上的偏差。 为 f (x) 与 是点到集合的距离
p n ∈Pn pn ∈P a ≤ x ≤b
E n = inf {∆( f , pn )} = inf max f ( x ) − pn ( x )
称为f (x)在 [a, b]上与 Pn 的偏差。 定义2
f ( x 0 ) − p n ( x 0 ) = ∆ ( f , pn ) = f ( x ) − pn ( x )
称 x 0为 p n ( x )的偏差点 .
∞
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = − E n
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = E n
负偏差点 正偏差点
正负偏差点有多少？ 有什么特点？
−1≤ x ≤1
p2 ( x ) − 3ax 4+3bx3+ c 2 3 = ( x) = 2 x x= x − x
3
⇓ 3次多项式！
(1 − a ) 2 ( 2 − b ) (1 + c ) max f ( x ) − p2 ( x ) = 2 max x + x + x− −1≤ x ≤1 −1≤ x ≤1 2 2 2
是两点之间的距离
∆( f , p n ) ≥ 0

Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近

Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近

数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。

通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。

使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。

比较常用的p=2，称为平方逼近。

设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。

求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。

正交多项式

正交多项式
第六章 函数逼近与拟合
（Function Approximation and Interpolation）
❖ 主要内容：
❖ 正交多项式的构造； ❖ 常用的多项式； ❖ 一致逼近的基本概念； ❖ 最佳一致逼近多项式； ❖ 均方逼近的基本概念； ❖ 最佳均方逼近多项式； ❖ 最小二乘曲线拟合的基本概念； ❖ 用正交多项式作最小二乘曲线拟合。
5 )( x 8
5) 8
3 64
x2
5 4
x
11 32
Qj (x) 为 j 次多项式
1. 正交多项式(Orthogonal Multinomial)
切比雪夫多项式：设 x cos , 0 则称 Tn (x) cos(n ) cos(n arccos x)
为（第一类）n 阶切比雪夫多项式。
x)m
(
x)n
(
x)dx
0, 0,
m n，(x) > 0
mn
则称此函数系为在此区间上关于权函数 ( x)的正交函数系。
当
b a
(
x)n
(
x)n
(
x)dx
1时称之为规范的正交函数系；
当此函数系中的每一个函数均为多项式时称之为正交多项式（系）。
6. 1正交多项式(Orthogonal Multinomial)
b a
x(
x
0
)2
dx
,
d1
d0
b a
Q02
(
x)dx
பைடு நூலகம்
b dx，
a
d1
b a
Q12
( x)dx
b a
(
x
0
)2
dx
Example 6.1

最佳一致逼近多项式

最佳一致逼近多项式

§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。

记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。

n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。

要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。

为了说明这一概念，先给出以下定义。

定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。

显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。

若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。

定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。

注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。

【2019年整理】数值分析06-一致逼近

【2019年整理】数值分析06-一致逼近
a x b
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的 6-3 阜师院数科院第六章 函数逼近 ( x )为 f(x )在 H 中的最佳一致逼近函数。
W Y
§5 最佳一致逼近多项式
max ri max f ( x) ( x) min
a x b
则称x0为ψ (x)的偏差点，偏差点为正，称为正偏差点， 偏差点为负，称为负偏差点 可以从下面例中理解有关概念。
阜师院数科院第六章 函数逼近 6-4
W Y
最佳一致逼近多项式（续）
H H n span 1, x, , x

n

a
k 0
n
k
x
k
称为f(x)在[a,b]上的 n次最佳一致逼近多项式。
6-2
Y
在度量标准 max ri 下，求 (x) ，使
i
（达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差， 均匀一些），通常仍 然取 (x)为多项式，即求多项式 (x) 使残差： r f (x ) (x )
i i i
绝对值的最大值 达到最小。或可写为：在H中求满足 (x) （f 的逼近函数 (x) ）： max f ( x) ( x) min max f ( x) ( x)
好的近似直线：偏差均匀（一样大），即在0,,1三个点 （偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使 偏差值最小，例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易 6-8 阜师院数科院第六章 函数逼近 求，因为偏差点偏差能找到。
按偏差，最佳一致逼近问题为： 在n次多项式中，求一 最佳一致逼近概念 （按偏差） 个 max (x) ，在[a,b ]上使 (x)对f(x)的偏差 f ( x) ( x)

最佳逼近 - 正交多项式、最佳逼近


2
(x)
x2
1 3
3
(
x)
x3
3 5
x
4
(x)
x4
6 7
x2
+
3 35
5
(x)
x5
10 9
x3
+
5 21
x
6
(
x)
x6
15 11
x4
+
5 11
x
2
5 231
7
(x)
x7
231 143
x5
+
105 143
x3
35 429
x
3．正交多项式的性质
（1）{0 (x),1(x),,n (x)} 线性无关；
（2）任何 n 次多项式均可表示为0 (x),1 (x),,n (x),的线性组合；
（4）
Pn (x) 的最高次项系数为 an
(2n)! 2n (n!)2
，显然最高项系数为
1 的勒让德多项式为
~
Pn (x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x
2
1)n
]
；
（5） Pn (x) 在区间[1,1] 内有 n 个不同的实零点。
勒让德多项式的由来：
勒让德微分方程:
(1
-
x2)
d
2P(x) dx2
称为逼近的误差或余项。 这里必须表明两点：其一是函数类 M 的选取。何为简单函数？在数值分析中所谓简单函数
主要是指可以用四则运算进行计算的函数，最常用的有多项式及有理分式函数；其二是如何确
定 P 与 f 之间的度量。 定义 3.9 设函数 f (x) 是区间[a, b] 上的连续函数，对于任意给定的 "e 0 ，如果存在多项

6.2最佳一致逼近

区间 1,1 上的最小零偏差多 项式
注： 该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.
利用这个极值性质，切比雪夫多面式就成为[-1, 1]上逼 近其它函数f (x)的重要工具。 2．切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 下面分两种情况讨论
多项式
2、 C a, b上最佳一致逼近多项式的存在性
定理6.2（Borel定理)
对任意的 f x C a, b , 在
Hn
中都存在对
* f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn x ,使得
f x pn* x


pn x H n
inf
且
引理6.2
limBn ( f , x ) f ( x ),
n
x [0,1] 一致成立
引理6.3 若函数r阶可导
limBn
n (m)
( f , x ) f ( m ) ( x ), x [0,1]
m<=r
引理6.4 如果函数 f C[0,1] 并且是凸函数，则
Bn ( f , x)
6.2 最佳一致逼近
最佳一致逼近
1、算例
e
x
e
1 2 1 x x 2
0.8
1 x
最佳一致逼近
1 2 1 3 1 4 1 x x x x 2 6 24
1 2 1 3 1 x x x 2 6
最佳一致逼近
e
1 2 1 x x 2
x
1 x
最佳一致逼近
1 2 1 3 1 4 1 x x x x 2 6 24 1 2 1 3 1 x x x 2 6
也是凸函数
6.2.2 最佳一致逼近多项式 相关的概念 定义6.8 若 P x Hn , f x C a, b, n

数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近


插值逼近的性质
插值逼近的误差
插值逼近的误差取决于插值多项式的阶数和插值点的选择，一般 来说，阶数越高，误差越小。
插值逼近的稳定性
插值逼近的稳定性取决于插值多项式的选择和计算方法，选择合适 的插值多项式和计算方法可以提高稳定性。
插值逼近的应用
插值逼近在数值分析、数学建模、信号处理等领域近
多项式逼近是一种常用的逼近方法，通 过将函数表示为一系列多项式的和，来 逼近原函数。多项式逼近具有精度高、 适用范围广等优点，但计算量大、稳定 性差。
VS
插值法
插值法是一种常用的多项式逼近方法，通 过构造一个多项式来逼近原函数。插值法 具有数学基础扎实、计算稳定等优点，但 需要解决插值节点过多导致计算量大、数 值不稳定性等问题。
最佳一致逼近的误差通常用范数表示，常用的范数有L∞范数、 L2范数和L1范数等。
逼近的数学模型
01
逼近问题通常可以转化为求解一个 泛函极值问题，即寻找一个多项式 p(x)，使得它在给定区间[a, b]上与 目标函数f(x)的误差最小。
02
逼近问题的数学模型可以表示为 求解一个极值条件下的优化问题 ，常用的方法有梯度法、牛顿法 、拟牛顿法等。
深入研究逼近定理
进一步探索逼近定理的内在机制，为逼近理论的 发展提供理论支持。
逼近误差分析
对逼近误差进行深入分析，建立更加精确的逼近 误差估计，提高逼近精度。
推广逼近理论
将逼近理论应用于更广泛的领域，如微分方程、 积分方程等，推动相关领域的发展。
逼近在实际问题中的应用拓展
数值计算
利用最佳一致逼近方法进行数值计算，提高计算精度和效率。
CHAPTER
最佳一致逼近的方法
线性逼近的方法

最佳一致逼近

函数的最佳一致逼近
主讲 孟纯军
函数逼近和函数空间
回忆一下向量空间的定义. 多项式空间 C[a,b], 连续函数空间
定义：设S是线性空间，x1,...., xn S 若存在不全为零的数a1,...., an ,使得 a1x1 an xn 0 称x1,...., xn线性相关，否则，线性无关。
||
f
(x)
pˆ n (x) ||
min
p( x)n
||
f
(x)
pn (x) ||
其中 n 表示次数不超过n的多项式全体。
称pˆn (x)为f (x)在[a,b]的最佳逼近n次多项式。
最佳逼近多项式一定存在。
定义：给定f (x) C[a,b], p(x) n
若在x0 [a,b]处有：
函数的内积
函数空间C[a,b], (x)为给定的权函数，
对任何f (x), g(x) C[a,b],
b
( f (x), g(x)) a (x) f (x)g(x)dx
为函数f (x), g(x)的内积。
由函数的内积导出范数：
1
|| f (x) ||2 ( f (x), f (x))2
为u1,, un线性无关。
证明：设k1,, kn为n个数，则 u1 ,, un线性无关等价于 k1u1 knun 0 （1） 只有零解，即k1 kn 0
将方程（1）两边用ui做内积，得到
(u1, u1) (u1, u2 ) (u1, un ) k1 0
0.0571 0.0604
0
其中第一列为自变量x 的值。
4.1091 2.1951
0 0
1.3811 0
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§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
考虑函数系
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
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计算方法与数值计算
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另 一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）
中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。
最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近
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计算方法与数值计算
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
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计算方法与数值计算
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
带权 (x)的n次正交多项式。
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计算方法与数值计算
二、常用的正交多项式
1．切比雪夫(чебыщев)多项式 定义 5 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
0.5
1
-0.5
-1
P0(x), P1(x), P2(x), P3(x)
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计算方法与数值计算
勒让德多项式的性质：
(1) 正交性 勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1, 1]上带权 (x) = 1 的正交多项式序列。
1

sin nx
那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的) ，即每个函数的平方在区 [- , ]上的积分等于1。
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a
b
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义4 设在[a, b]上给定函数系{k(x)} ，若满足条件
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k
( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系。
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计算方法与数值计算
2．勒让德(Legendre)多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx 称为n次勒让德多项式。
定义 6 多项式
(n 0, 1, 2, )
前几项 P0 ( x ) 1, 1 P2 ( x ) (3 x 2 1), 2 1 P4 ( x ) (35 x 4 30 x 2 3), 8 1 P5 ( x ) (63 x 5 70 x 3 15 x ), 8

b
a
g ( x) ( x)dx 0
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计算方法与数值计算
2．内积
则称
定义2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0；
(2) (f, g) = (g, f )；
(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；
(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
T0 ( x) 1, T1 ( x) x Tn1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
(3) 奇偶性：
(n 1, 2, )
切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为 偶函数。
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计算方法与数值计算
第六章 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。这种近似代替又称为逼近，函数f (x)称

1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
mn mn0 mn0
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计算方法与数值计算
为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差
R( x) f ( x) p ( x)
称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题
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College of Scie1, 1]上有n 个不同的零点
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[1, 1]上有n + 1个不同的极值点
x k cos k

n
(k 0, 1, 2,
Tn ( x) cos[ n arccos( x)] cos( n ncar cos x) (1) n cos( narc cos x) (1) n Tn ( x)
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计算方法与数值计算
1．权函数
定义1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质：
(1) (x) ≥0，对任意x [a, b]， (2) 积分

b
a
x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
n
(3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) 0 称 (x)为[a, b]上的权函数
1
-0.5
-1
T0(x), T1(x), T2(x), T3(x)
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计算方法与数值计算
切比雪夫多项式的性质： (1) 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)} 是在区间[1, 1]上带权 1 ( x) 1 x2 的正交多项式序列。且
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计算方法与数值计算
若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为：
1 2
,
1

cos x,
1

sin x, , ,
1

cos nx,
(二) 平方逼近：
采用
[ f ( x) p( x)] dx
2 a
b
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。
上海理工大学理学院
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
计算方法与数值计算
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函 数f (x)。
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计算方法与数值计算
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计算方法与数值计算
(一) 一致逼近
max f ( x) p( x) 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x [ a ,b ]