1985年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

《竞赛数学解题研究》之平面几何

专题一、平面几何中的一些重要定理：

1、梅涅劳斯定理：

设D、E、F分别是ABC三边（或其延长线）上的三点，则D、E、F三点共线的充要条件是1EACEFCBFDBAD。

2、塞瓦定理：

设D、E、F分别是ABC三边（或其延长线）上的三点，则AF、BE、CD三点共线的充要条件是1EACEFCBFDBAD。

3、托勒密定理：

四边形ABCD内接于圆的充要条件是CDBCCDABBDAC

4、西摩松定理：

设P是ABC外接圆上任一点，过P向ABC的三边分别作垂线，设垂足为D、E、F，则D、E、F三点共线。

5、斯德瓦特定理：设P是ABC的边BC边上的任一点，则

BCPCBPAPBCABPCACBP222

6、共角定理：设ABC和CBA中有一个角相等或互补（不妨设A=A）则

CABAACABSSCBAABC

7、共边定理：设ABC和CBA中有一个边相等，则 CABAACABSSCBAABC

举例说明：

1、设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN三点共线，试求k。（IMO23,1982）

2、在四边形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面积之比为3：4：1，点M、N分别

是AC、CD上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN三点共线，求证：M、N分别是AC、

CD的中点。（1983，全国高中数学联赛试题）

3、在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：EACGAC （1999，全国高中联赛试题）

2013年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答 第1页 共5页 2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

选择题答案

1 2 3 4 5 6

D B B A C A

填空题答案

1 2 3 4 5 6 7 8

132 −1043 4 128 11 63 {1979, 1985, 1991, 2003} 2222()mnmn

一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）

1．已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 3, 4, 5, 6}，则集合

C={(a, b)|aA, bB, 且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}

的元素个数为

（A）7．

（B）8．

（C）9． （D）10．

解 当a＞0，b＞0时，x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

设集合D={(a,

b)|aA, bB}，D的元素个数为5×5=25个，而C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示：

因此,

C的元素个数等于10．

2．已知2482aa，则24a+8a等于

（A）7． （B）8． （C）9． （D）10．

解 2224824824882248aaaaaa．

3．如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数31kyx的图像上，若A点的坐标为(−2, −2)，则k等于

（A）2． （B）1． （C）0． （D）−1．

解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以

矩形CHOG的面积 = 矩形OFAE的面积 = |−2|×|−2|= 4．

即 3k+1=OG×GC= 4，因此k =1．

y=31kx

A B

F G

D E O H C

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座21应用题选讲

比赛讲座 21

－应用题选讲

应用题联系实质，生动地反应了现实世界的数目关系，可否从详细问题中概括出

数目关系，反应了一个人剖析问题、解决问题的实质能力 .

列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、查验、作结论等几个步骤 .

下边从几个不一样的侧面选讲一部分比赛题，从中表现解应用题的技术和技巧 .

1. 合理选择未知元

例 1 （ 1983 年轻岛市初中数学比赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55 分钟 . 回来时，他以

每小时 8 千米的速度经过平路后， 以每小时 4 千米的速度上坡，从 B地到 A地共用

小时，求 A、 B两地相距多少千米？

解法 1 （选间接元）设坡路长 x 千米，则下坡需

依题意列方程：

解之，得 x=3.

答： A、 B 两地相距

9 千米.

解法 2（选直接元辅以间接元）设坡路长为

x 千米， A、B 两地相距

y 千米，则犹如 下方程组 高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座21应用题选讲

解法 3（选间接元）设下坡需 x 小时，上坡需 y 小时，依题意列方程组：

例 2 （ 1972 年美国中学数学比赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价保持不变，那么他的收益（按进货价而定）可由当前的 x%增添到 (x+10)%，x 等于多少？

解 此题若用直接元 x 列方程十分不易，可引入协助元进货价 M，则 0.92M 是打折

扣的价钱， x 是收益，以百分比表示，那么写销售货价（固定不变）的等式，可得：

M（1+0.01x ）=0.92M[1+0.01 （x+10）].

约去 M，得

1+0.01x=0.92[1+01.1 （ x+10）].

解之，得 x=15.

例 3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？

编辑：505507100

第1页共2页2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.设集合}99,,3,2,1{A,}|2{AxxB，}2|{AxxC，则CB的元素个数为.

2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与平面所成角

不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为.

3.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为fedcba，，，，，，则defabc是偶数的概率为.

4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0(1:

22

22

baby

axC的左右焦点分别是

21FF，，椭圆C的弦ST和UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P，已知线段

PTPVPSPU，，，的长分别为1，2，3，6，则

21FPF的面积为.

5.设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间]1,0[上严格递减，且满足

1)(f，2)2(f，则不等式组





2)(121

xfx的解集为.

6.设复数z满足1|z|，使得关于x的方程0222xzzx有实数根，则这样的复

数z的和为.

7.设O为ABC的外心，若ACABAO2，则BACsin的值为.

8.设整数数列

1021,,,aaa，满足

58211033aaaaa，，且}2,1{

1iiiaaa

，

9,,2,1i，则这样的数列的个数为.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

9.(本小题满分16分)已知定义在R上的函数)(xf为







9,490|,1log|

)(3

xxxx

xf

设cba,,是三个互不相同的实数，满足)()()(cfbfaf，求abc的取值范围.编辑：505507100

第2页共2页10.已知实数列,,,

321aaa满足：对任意的正整数n，有1)2(

nnnaSa，其中

nS

表示数列的前n项和.证明：