2005年全国高中数学联赛试题和详细解析

2000年全国高中数学联赛试题

第一试

（10月15日上午8:009:40）

一、 选择题

本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1． 设全集是实数，若A={x|2x≤0}，B={x|2210x=x10},则BA是 （ ）

(A) {2} (B) {1} (C) {x|x≤2} (D) 

2． 设sin＞0,cos＜0,且sin3＞cos3,则3的取值范围是 （ ）

(A) (2k+6,2k+3), kZ (B) (32k+6,32k+3),kZ

(C)(2k+65,2k+),kZ (D)(2k+4,2k+3)(2k+65,2k+),kZ

3． 已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 （ ）

(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 63

4． 给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0 （ ）

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

1981年--2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编

1、集合部分

2018A1、设集合

99,,3,2,1A

，集合

AxxB|2

，集合

AxxC2|

，则集合CB

的元素个数为

24

★解析：由条件知，

48,,6,4,2CB

，故CB

的元素个数为24

。

2018B1、设集合

8,1,0,2A

，集合

AaaB|2

，则集合BA的所有元素之和是

◆答案：31

★解析:易知

16,2,0,4B

，所以

16,8,4,2,1,0BA

，元素之和为31

.

2018B三、（本题满分50分）设集合

nA,,2,1

，YX,

均为A

的非空子集（允许YX

）．X

中的最大元与Y

中的最小元分别记为YXmin,max

．求满足YXminmax

的有序集合对),(YX

的数目。

★解析:先计算满足YXminmax

的有序集合对),(YX

的数目.对给定的Xmmax

，集合

X

是集合

1,,2,1m

的任意一个子集与

m

的并，故共有12

m

种取法.又Ymmin

，故Y

是



nmmm,,2,1,

的任意一个非空子集，共有121

mn

种取法.

因此，满足YXminmax

的有序集合对),(YX

的数目是：





12122122

11

1111





nn

mmn

mnn

mmnmn

由于有序集合对),(YX

有

2

121212nnn

个，于是满足YXminmax

的有序集合对

),(YX

的数目是



124122122

nnnnnnn

2017B二、（本题满分40分）给定正整数m

，证明：存在正整数k

，使得可将正整数集N

分拆为k

个互不相交的子集

kAAA,,,

21

，每个子集

iA

中均不存在4

个数dcba,,,

（可以相同），满

足mcdab

．

★证明：取1km

，令{(mod1),}

iAxximxN



，1,2,,1im

设,,,

iabcdA

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及

工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数

学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对

基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道

填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当

增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150

分。答卷时问为120分钟。 一 试

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体

的体积之和为 （ ）。

（A）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3

（C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3

5．方程组0,

0,

0xyz

xyzz

xyyzxzy



的有理数解(,,)xyz的个数为 （ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 6．设ABC的内角ABC、、所对的边abc、、成等比数列，则

sincotcos

sincotcosACA

BCB

的取值范围是（ ）。

（A）(0,) （B） 51

(0,)

2

（C）5151

(,)

22

（D）51

(,)

2



二、填空题（每小题9分，共54分）

11．设()fx是定义在R上的函数，若(0)2008f ，且对任意xR，满足

(2)()32xfxfx，(6)()632xfxfx，则)2008(f= .

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .

三、解答题（每小题20分，共60分）

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题

本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分

一、填空题（每小题8分，共计96分）

1.

设集合1

0,

21x

Ax

x−

=



−



集合2

{20}Bxxxm=++

。若AB

，则实数m的取值范

围为 。

2.设函数

:1,2,32,3,4f→

满足 ()

()1()ffxfx−=

，则这样的函数有_______个。

3.函数2

2sinsin1

sin1xx

y

x++

=

+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}

nx

满足：

1122(1)

,,1

2(1)nn

nnn

xxxn

xnn++

==

++，则通项

nx=

__________。

5 .已知四面体ABCD−

的外接球半径为1，1,60BCBDC=

=

，则球心到平面BDC

的

距离为______________。

6.已知复数z

满足24510

(1)1zz=−=

，则z=

__________________。

7.已知平面上单位向量,a

b垂直，

c

为任意单位向量，且存在(0,1)t

，使得向量(1)atb+

−

与向量ca

−

垂直，则ab

c

+−

的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n，成立2024

2024

0, i

ini

inaCa

=

=

，则

12024aa+=

_________。

9.设实数,,(0,2]abc

，且3ba

或4

3ab+

，则max{,,42}bacbc−−−

的最小值为

___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy

上，椭圆E

的方程为22

1

124xy

+=

，

1F

为E

的左焦点；圆C

的方

程为222

())xaybr−+−=（

，A

为C

的圆心。直线l

与椭圆E

和圆C

相切于同一点(3,1)P

。

则当

1OAF

最大时，实数r=

_____________________。 11.设n为正整数，且

32

0(1)1

92624312kkn