目录
一、 【（全国）数学：初一、初二、初三】全国初中数学联赛 ..................................................... 2
二、 【（全国）数学：六年级、初一、初二、初三】全国中学生数理化学科能力竞赛 ............. 5
三、 【（全国）数学：初三】全国初中数学竞赛............................................................................. 7
四、 【（全国）数学：六年级、初一、初二】华罗庚金杯少年数学邀请赛 ................................. 8
五、 【（全国）数学：初一、初二】“希望杯”全国数学邀请赛 ............................................... 11
六、 【（上海）数学：初一、初二、初三】上海市初三数学竞赛（新知杯） ........................... 14
一、全国初中数学联赛
【竞赛简介】
1981年，中国数学会开始举办“全国高中数学联赛”，经过1981、1982、1983三年的实践，这一群众性的数学竞赛活动得到了广大中学师生欢迎，也得到教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。“试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则，得到了更多的理解和拥护，由此“全国高中数学联赛”形成制度。同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。
1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。
第1页共12页2024-2025学年高中数学选择性必修二综合测试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列{a
n}的通项公式为a
n＝n2＋n.则12是该数列的第()
A．2项B．3项C．4项D．5项
2．中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国
赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面
的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)＝10－5t2＋5t，则该运动员
在起跳后1秒时的瞬时速度为()
A．10米/秒B．－10米/秒C．5米/秒D．－5米/秒
3．等差数列{a
n}中，已知a
3＋a
7＝6，则S
9＝()
A．36B．27C．18D．9
4．设单调递增的等比数列{a
n}满足1
a
2＋1
a
4＝13
36，a1a
5＝36，则公比q＝()
A．3
2B．9
4C．2D．5
2
5．已知函数f(x)＝sinx－mx为增函数，则实数m的取值范围为()
A．(－∞，－1]B．[－1，1]C．(－1，1)D．[1，＋∞)6.
在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，
已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度W＝1
6bh2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形
的宽b的值为()
A．1
4dB．1
3dC
．2
2dD
．3
3d
7．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数
学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]平均分为
三段，去掉中间的区间段(1
3，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，1
3]，[2
3，1]
分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：……；如此这样．每次在
上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操
作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间
第一章 数论初步
第一节 特殊的自然数
A1－001 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．
【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．
x＝1000a＋100a＋10b＋b
＝11（100a＋b）
其中0＜a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．
A1－002 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．
【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2．
【证】 设2n2＝kd，k是正整数，如果 n2＋d是整数 x的平方，那么
k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）
但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．
A1－003 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．
【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．
【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成
n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2） ＝（n2＋3n＋1）2－1
因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
A1－004 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．
【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．
【证】 设此算术级数公差是 d，且其中一项 a＝m2（m∈N）．于是
a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2
对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．
课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！
课程招生简章：/webhtml/project/liansaigz.shtml
选课中心地址：/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_
第一章 数论专题
我们把未知数的个数多于方程的个数,且其解受到某种限制的方程,叫做不定方程.通常主要研究不定方程的正整数解、整数解、有理数解等.
不定方程问题的常见类型是：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）确定不定方程解的数量（有限还是无限）.
不定方程问题的常用解法是：
（1）代数分析与恒等变形法，如因式分解、配方、换元等；
（2）估计范围法，利用不等式放缩等方法,确定出方程中某些变量的取值范围,进而求整解；
（3）同余法，即恰当选取模m,对方程两边做同余分析,以缩小变量的范围或发现性质,从而得出整解或判定无解；
（4）构造法，构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解；
（5）无穷递降法，无穷递降法是一种用反证法表现的特殊形式的归纳法,由Fermat创立并运用它证明了方程x4+y4=z4没有非零整解.从此,无穷递降作为一种重要的数学思想方法广为流传应用,并在平面几何、图论及组合中经常用到它.
