2008年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、选择题(本题满分36分，每小题6分)
1.函数f(x)=5−4x+x2
2−x在(−∞,2)上的最小值是()
A.0B.1C.2D.3
解答
f(x)=2−x+1
2−x⩾2，等号成立时x=1.所以选C.
2.设A=[−2,4),B={x|x2−ax−4⩽0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为
()
A.[−1,2)B.[−1,2]C.[0,3]D.[0,3)
解答
设f(x)=x2−ax−4，依题意f(x)=0的两根x
1,x
2∈[−2,4).
由于∆=a2
+16>0，于是
f(−2)=2a⩾0,
f(4)=12−4a>0,a
2∈[−2,4)⇒a∈[0,3).所以选D.
3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到
有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2
3，乙在
每局中获胜的概率为1
3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期
望Eξ为()
A.241
81B.266
81C.274
81D.670
243
解答
由于比赛不满6局时胜者比对方多2分，则比赛局数只能是2,4,6.其中2局
分胜负的情况为甲或乙胜2局；4局分胜负的情况为甲或乙胜3局负1局，且
负的1局在前2局.于是需要比赛6局的情况是在前4局中，甲或乙在1,2
局和3,4局中均为1胜1负.相应分布列为
局数ξ246
概率P(
2
3)
2
+(
1
3)
2
C1
2·1
3(
2
3)
3
+C1
2·2
3(
1
3)
3
4(
1
3)
2(
2
3)
2
第1页共6页于是Eξ=2×5
9+4×20
81+6×16
81=266
81.所以选B.
4.若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的表面积之和为564cm2
，则这三
个正方体的体积之和为()
A.764cm3
或586cm3
B.764cm3
C.586cm3
或564cm3
D.586cm3
解答
设三个正方体的棱长分别为a,b,c，则6(a2
+b2
+c2
)=564⇒a2
+b2
+c2
=94.
由于(3k±1)2≡1(mod3)，于是a,b,c中必有2个数为3的倍数，不妨设为
a,b.检验得32
+62
=45⇒c=7；32
+92
=90⇒c=2.
从而a3
+b3
+c3
=586或764.所以选A.
5.方程组
x+y+z=0,
xyz+z=0,
xy+yz+xz+y=0的有理数解(x,y,z)的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解答
xyz+z=z(xy+1)=0⇒z=0或xy=−1.
当z=0时，
x+y=0,
xy+y=y(x+1)=0⇒
x=0,
y=0或
x=−1,
y=1.
当xy=−1时，
(x+y)2
=y−1,
xy=−1⇒(
y−1
y)
2
=y−1⇒y2
+1
y2=y+1
⇒y4−y3−y2
+1=(y−1)(y3−y−1)=0.由于y3−y−1=0没有有理根，
则y=1⇒x=−1.于是有理解(x,y,z)的个数为2，所以选B.
6.设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则sinAcotC+cosA
sinBcotC+cosB
的取值范围是()
A.(0,+∞)B.(
0,√
5+1
2)
C.(√
5−1
2,√
5+1
2)
D.(√
5−1
2,+∞)
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页解答
设等比数列a,b,c的公比为q，则b=aq,c=aq2
.
于是
a+b>c,
b+c>a⇒
q2−q−1<0,
q2
+q−1>0⇒√
5−1
2
5+1
2.
sinAcotC+cosA
sinBcotC+cosB=sinAcosC+cosAsinC
sinBcosC+cosBsinC=sin(A+C)
sin(B+C)
=sinB
sinA=b
a=q∈(√
5−1
2,√
5+1
2)
.所以选C.
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
7.设f(x)=ax+b，其中a,b为实数，f
1(x)=f(x),f
n+1(x)=f(f
n(x))，
n=1,2,···，若f
7(x)=128x+381，则a+b=.
解答
f
2(x)=a(ax+b)+b=a2
x+ab+b=a2
x+b(1−a2)
1−a，
f
3(x)=a(a2
x+ab+b)+b=a3
x+a2
b+ab+b=a3
x+b(1−a3)
1−a，···，
f
7(x)=a7
x+b(1−a7)
1−a=128x+381⇒a=2,b=3.所以a+b=5.
8.设f(x)=cos2x−2a(1+cosx)的最小值为−1
2，则a=.
解答
设t=cosx∈[−1,1]，则f(x)=2t2−1−2a(1+t)=2t2−2at−2a−1
=2(
t−a
2)
2
−a2
2−2a−1.
于是
a
2∈[−1,1],
−a2
2−2a−1=−1
2或
a
2>1,
1−4a=−1
2或
a
2<−1,
1=−1
2.
解得a=−2±√
3(−2−√
3舍去).所以a=−2+√
3.
9.将24个志愿者名额分配给3所学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种.
解答
将24个志愿者名额分配给3所学校，每校至少有一个名额的分配方法有C2
23=
253种；3所学校名额相同的分配方法有1种；有且仅有2所学校名额相同的
分配方法(即满足2x+z=24且x=z的正整数解)有10×3=30种.
第3页共6
页所以3所学校名额互不相同的分配方法共有253−1−30=222种.
10.设数列{a
n}的前n项和S
n满足：S
n+a
n=n−1
n(n+1),n=1,2,···，则通项
a
n=.
解答
S
n+a
n=2S
n−S
n−1=n−1
n(n+1)=2
n+1−1
n⇒2(
S
n−1
n+1)
=S
n−1−1
n
⇒数列{
S
n−1
n+1}
是公比为1
2的等比数列，且S
1−1
2=−1
2，
于是S
n−1
n+1=−(1
2)
n
⇒S
n=1
n+1−(1
2)
n
(n∈N∗
).
所以a
n=S
n−S
n−1=1
n+1−(1
2)
n
−1
n+(1
2)
n−1
=(1
2)
n
−1
n(n+1).
11.设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2008，且对任意x∈R，满足
f(x+2)−f(x)⩽3·2x
,f(x+6)−f(x)⩾63·2x
，则f(2008)=.
解答
f(2008)=f(0)+[f(2)−f(0)]+[f(4)−f(2)]+···+[f(2008)−f(2006)]
⩽2008+3(20
+22
+···+22006
)=2008+41004−1=22008
+2007；
f(2004)=f(0)+[f(6)−f(0)]+[f(12)−f(6)]+···+[f(2004)−f(1998)]
⩾2008+63(20
+26
+···+21998
)=2008+64334−1=22004
+2007，
又
f(x+6)−f(x)⩾63·2x
,
f(x)−f(x+2)⩾−3·2x⇒f(x+6)−f(x+2)⩾60·2x
⇒f(2008)−f(2004)⩾60·22002⇒f(2008)⩾f(2004)+60·22002
=64·22002
+2007=22008
+2007.所以f(2008)=22008
+2007.
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4√
6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
解答
如图，小球O是正四面体P−DEF的内切
球.设AC的中点为G，作OM⊥PG于M.
则有r=1⇒PO=3⇒PM=2√
2=1
3PG，
同理AN=2√
2=1
3AF⇒MN=2√
6.于是小球在正四面体一个面内能接触到的区
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