一九八六年全国高中数学联合竞赛试题解答
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片中任取若干
块,
每块又
剪成7
块,
象这样
类
似地进
行下
去,
剪完某一次
为止,
剪出的纸块
数会不
会是1
987
?并请
你说明自己
得出结论
的依据。
(滩溪县
教师进
修学
校张裕,来稿)
解第一次
剪后可
得纸
片7
块,
第二次
取出,:
片,
各剪成7片后,
得出的纸片
数为
7一x,
+7
戈,=
7+
6戈,=6
(%:
+1)+
1
第三次取出x:
片,
又
各剪成7
片后
所得
的纸片数为
7+6
戈,
一x:
+
7x:“
7+G
(x:
」一
义:)
二6(xl+x:
十1)+1,第,
次取出x,
一,
片又
各
剪成7
片后
所指
的纸片数为
7+6
(%:+
x:+…+
x。
一:
)一x。
一
:
+7
戈。
一,
=
6(x:
+x:
+…+x,
一:`
1
)+1
即
每
次剪后得的
纸片数是6k+1,
但1
987二
6x331+1
能表示
成6左
十1
的形式,
故剪若干次后
纸片数会是19
87。
(
还有湖南邵阳
市教师进修学院
周,玉、
湖南沉江
三中高70班胡健康、
新孤阜
康六运
湖中学朱玉来来稿,
因收到较迟,
来不
及选
入。
编者)
一九八
六年
全国高
中数学联合竞赛试题
解答
安徽省
数学学
会竞赛委员
会
”
编
者按这是一份和“
参
考答
案”
不同
的解答二
第一试
一。
选择题
(本题
满分4
2分。
每
个小
题
7分)
不题共有6
个小题。
每个小题都有
代号
为(A
)、
(B)、
(C
)、
(D)
的四
个答案,
其
中有一
个且只
有一
个答案是正
确的。
请把你
认为正确
的那
个答案的代号
写在题后的
括号
内。
每个小题答对得7
分,
答错得0分,
不
答
记1分。
1。
设一1
(a
(0,
0=aresina,
那么不
等式
isnx
的解集为
(A)诬x
}Zn兀
+0
(x
<(Zn+1)兀
一0,
n
〔Z},
(B
){x
1Zn二一
0
((Zn
+1)“
+0,
n
任Z},
(C
){x
l(Zn
一1
)“
+0
(x
<2。“
一0,
”
〔Z},(D
)通x
{(
Zn
一1)二
一0
(x
(Zn二
+
0,
。
〔Z}。
答(D
)
2。
设z
为复数,
M=笼
川(:
一1
)至
=
!:
一1
{“
},那么
(A)
M={纯虚
数},
(B)
八I=
{
实数},
(C
)谧
实数}
=cM
〔{
复
数},
(D)
M二凌
复数}。
答(B
)。
由(z
一1
)2=
!:
一]
{:
=
(:
一1
)(呀一1),
若z
一1=O,则:
=1,
若z一1
斗O,则z
一l二
万一1,
:=
万一
,
故`
大
实数。
3。
设实数a、
b、
c满
足
raZ
一bc
一sa
+
7=0
【
b!+c,+bc
一6a
+
6=0,
那么a
的取值范围是
(A)(一“,+OC
),
(B
)(一co,1
〕U〔
9,+
二),
(C)(0,
7)-
4冬卜
(
勺)〔1,
9〕。
答(
刀)。
最简单的想法是由6艺+`艺
+b“
》。,
再从题中第二
个等式,
得一
6a+
6《O,
a》1,
于
是否
定结
论(A)、
(B
)、
(C
)
也可
以
把题中第一
个等式乘以
3加
第二
个式
子,
得(b一c
)名+
3a忿
一3
0a+
27二0
.’。
(b一c
)忿
=二一
3(a乞
十10a
一9)
…a`+1
0a
一
9=
(a一1
)(。一9
)攫0
1《应成
o9
4.
如果四
面体的每
一个
面冶阵不
是等腰
三角形,那么
其长度不等的棱的条数最少
为
(A
)3;(B
)4,(C
)5
,
(D
)6。
答(A)。
如
图,
作口A
BCD,
使
AB二a,
A
刀=
b,短对角线BD=`
(a、
b、
c互
不相等
)。
固定△ABD,
把△
丑CD已.
边长
为。、
b、`
的三
角琳,
井
积
等于十,而
外接圆
半径
为1。
分;
s
=
亿a+
侧b+、/c
,土C
+11
ro
+11
a
一
则`
与t
(A
)
(C
)
答(C)。
。a
乙ea
bc
。“
硕=一4的大小刀
关系是
s
>t;
s
(D
)不
确定。
由题设三角形而积
a
乙一二1勺布
上+一
{、
儿
2、/
C
+一
:一)2训一
厅,
:十
》2、/
b,上;白式理
等合
沿B刀
边折
起
来,
折至
A
C=c,
即可得右
图
所示四面
体,
它的每C
应夕`D
沙。
a妥A
面都
不是等
腰三
角形,
有三条长
度不等的
棱。
5.
平而上
有一
个点集
M和七
个不同的
圆C,、
CZ、
…、
C?,
其中圆C7恰好
经过
M中的7个点,
伺C.
恰好
经过M中的6个
点,
一,
圆C:
恰好经
过M中的1
个点,
那么
M
中的点数最少为
厂一
匕(A)11
;(B
)
答
(B)。
就圆
C,
而言,
集M
要有
7
个点A:、
AZ、
·一
A7
,
再考虑圆C。
时,
M要增加4
个以上
三个不
等式相加,i甲),’
训少
洲!::
当a
=b=
`
时成立,这
时,
」!n
乡c=一,
冷、
,x
a
=b=“=l,“=
、了八1
/4,所
以只
能有l
>:。
二
坡空题(
本题
满分28分,
每个小题
7分)
本题共有4
个小题。
每个小题的一
答案i书
是00一99
的某一个整
数,
请把你认为正1
向
的答案填在___
__
___
.lt。
1.
在底
面半
径为6
的圆
柱内,
介内个
半径也为6的球面,
其球心距为
兄。
之
丫们一
平面
与这二
球而
相切,且
与同
柱而相
交成一
椭
圆,
则这个椭圆
的长轴长一
,J
短轴长
匕仁;
胜
_一
__一O
答25。
作截面图,
O反O,
是两:;、的
球
点A`、A。、
A,。、
A,,
(另两
点为A。、
A。
),
,考
虑圆C。
时,
M只
要增加一
个点A::
,考
虑
圆C`、
C3、
C:、
C,
时,
M
已不
需要
增加
点。心,AB
是圆O,
及O:
的公切
线,易
知AB
是椭圆
的比
轴长。
丫OF_
上A
B,
00:
[_
A
C,
’.匕FO百二
乙BA
C,宇、、
{
`
、:
{_
_
」
:△
A召C
~△OF刀。
OF=6,(
)l
O
E一:
65,
AC二12,…
A刀=13。
又
牡州
椭圆
的知仙
