2018年中考二次函数综合题分类训练

第一部分 考点研究第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题 浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 与一次函数结合(杭州必考)1．(2013杭州20题10分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2．(2014杭州23题12分)复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1，0)点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x >1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．3．(2016杭州22题12分)已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b (ab ≠0)．在同一平面直角坐标系中．(1)若函数y 1的图象过点(－1，0)，函数y 2的图象过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图象经过y 1的图象的顶点．①求证：2a ＋b ＝0；②当1<x <32时，比较y 1与y 2的大小．4．(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．命题点 2 与几何图形结合类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24)5．(2012温州24题14分)如图，经过原点的抛物线y ＝－x 2＋2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A .过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合)．连接CB ，CP . (1)当m ＝3时，求点A 的坐标及BC 的长； (2)当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ?(3)过点P 作PE ⊥P C 且PE ＝PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由．第5题图类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考)6．(2013绍兴24题14分)抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．(1)求点B及点D的坐标；(2)连接B D，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．类型三与面积有关的综合题(温州2考)7．(2016温州23题10分)如图，抛物线y＝x2－mx－3(m>0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；(3)作AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连接AE，交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．第7题图类型四与三角形相似有关的综合题8．(2017宁波25题12分)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示)．第8题图答案1．解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8；(2分)①当n ＝8时一次函数为y 2＝43x ＋8，y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，第1题解图①∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向下，B (10，0)，如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；(5分)②当n ＝－8时一次函数为y 2＝43x －8，y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为A (6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；(8分)第1题解图②综上所述，当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.(10分) 2．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题．(2分) 理由如下：①当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，当x ＝1时，y ＝0，即存在函数y ＝－x ＋1，其图象过(1，0)点，故是真命题；②当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5分)③由题可知当k ＝1时，函数解析式为y ＝2x 2－5x ，又x ＝－b 2a ＝54>1时，由图象可知当x >1时，y 随x 先减小再增大，故是假命题；(8分) ④当k ≠0时，y ＝4ac －b 24a ＝－24k 2＋18k，当k >0时，函数图象开口向上，y 有最小值，最小值为负数；当k <0时，函数图象开口向下，y 有最大值，最大值为正数，故是真命题．(12分)3．(1)解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，∴a ＝1，b ＝1；(3分)(2)①证明：∵函数y 1的图象的顶点坐标为(－b 2a ，－b24a)，∴a (－b 2a )＋b ＝－b 24a ，即b ＝－b22a ，∵ab ≠0，∴－b ＝2a ， 即证2a ＋b ＝0；(7分)②解：∵b ＝－2a ，∴y 1＝ax (x －2)，y 2＝a (x －2)， ∴y 1－y 2＝a(x －2)(x －1)， ∵1＜x ＜32，∴x －2＜0，x －1＞0，∴(x －2)(x －1)＜0，∴当a ＞0时，a (x －2)(x －1)＜0，即y 1＜y 2， 当a ＜0时，a (x －2)(x －1)＞0，即y 1＞y 2.(12分)4．解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)图象经过点(1，－2)，∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a)(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )，(2分) 化简得，a 2＋a －2＝0，解得，a 1＝－2，a 2＝1， ∴y 1＝x 2－x －2；(4分)(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)， ①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时， 把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＝b ；(6分)②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时， 把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＋a ＝－b ；(8分)(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝－a ＋a ＋12＝12，m <n ， ∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m <n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比点P 离对称轴x ＝12的距离大，(10分)∴|x 0－12|<1－12，∴0<x 0<1.(12分)5．解：(1)当m ＝3时，y ＝－x 2＋6x ， 令y ＝0，得－x 2＋6x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝6， ∴A (6，0)． 当x ＝1时，y ＝5， ∴B (1，5)．∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的对称轴为直线x ＝3， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝4；(3分)(2)过点C 作CH ⊥x 轴于点H (如解图①)，第5题解图①由已知得∠ACP ＝∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠PCB ， 又∵∠AHC ＝∠PBC ＝90°， ∴△ACH ∽△PCB ，∴AH CH ＝PB BC.∵抛物线y ＝－x 2＋2mx 的对称轴为直线x ＝m ，其中m ＞1， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝2(m －1)，∵B (1，2m －1)，P (1，m )， ∴BP ＝m －1，又∵A (2m ，0)，C(2m －1，2m －1)， ∴H (2m －1，0)，∵AH ＝1，CH ＝2m －1， ∴12m －1＝m －12（m －1）， ∴m ＝32；(7分)(3)∵B ，C 不重合，∴m ≠1.(Ⅰ)当m ＞1时，BC ＝2(m －1)，PM ＝m ，BP ＝m －1.(ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图①)， ∵∠CPE ＝90°，∴∠MPE ＋∠BPC ＝∠MPE ＋∠MEP ＝90°， ∴∠BPC ＝∠MEP .又∵∠C B P ＝∠PME ＝90°，PC ＝EP ， ∴△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(m －1)＝m ，∴m ＝2，此时点E 的坐标是(2，0)； (ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图②)，第5题解图②过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP ＝NP ＝OM ＝1，∴m －1＝1， ∴m ＝2，此时点E 的坐标是(0，4)；(11分)(Ⅱ)当0＜m ＜1时，BC ＝2(1－m )，PM ＝m ，BP ＝1－m ， (ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图③)，第5题解图③易证△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(1－m )＝m ，∴m ＝23，此时点E 的坐标是(43，0)；(12分)(ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图④)，第5题解图④过点P 作PN ⊥y 轴上点N ，易证△BPC ≌△NPE ，∴BP ＝NP ＝OM ＝1， ∴1－m ＝1， ∴m ＝0(舍去)．综上所述，当m ＝2时，点E 的坐标是(2，0)或(0，4)， 当m ＝23时，点E 的坐标是(43，0)．(14分)6．解：(1)∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，∴当y＝0时，(x－3)(x＋1)＝0，解得x＝3或－1，∴点B的坐标为(3，0)．∵y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D的坐标为(1，－4)；(4分)(2)①∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，－3)．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为(1，0)．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，如解图①所示，则H点坐标为(1，－3)，第6题解图①∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝2，CB＝32，BD＝25，∴△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R.∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝45°＋∠DCP，∠QCO＝∠RCO＋∠QCR＝45°＋∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴OC OQ ＝CD CB ＝13，∴OQ ＝3OC ＝9，即Q (－9，0)．∴直线CQ 的解析式为y ＝－13x －3，直线BD 的解析式为y ＝2x －6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －3y ＝2x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97y ＝－247，∴点P 的坐标为(97，－247)；(9分)②(Ⅰ)当点M 在对称轴右侧时，若点N 在射线CD 上，如解图②所示，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G.第6题解图②∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CNM ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CN MN ＝BE DE ＝12，∵MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a ，∵∠CDE ＝∠DCF ＝45°，∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN ＋NF ＝3a ，∴MG ＝FG ＝322a ，∴CG ＝FG －FC ＝22a ，∴M (322a ，－3＋22a )， 代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝729，∴M (73，－209)，若点N 在射线DC 上，如解图③所示，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .第6题解图③∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CN M ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CNMN ＝BEDE ＝12，∴MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a .∵∠CDE ＝45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN －NF ＝a ，∴MG ＝FG ＝22a ，∴CG ＝FG ＋FC ＝322a ，∴M (22a ，－3＋322a )，代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝52，∴M (5，12)；(Ⅱ)当点M 在对称轴左侧时，∵∠CMN ＝∠BDE ＜45°，∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在． 综上可知，点M 坐标为(73，－209)或(5，12)．(14分) 7．解：(1)∵抛物线的对称轴是x ＝m2，∴AC ＝m ，∴BE ＝2AC ＝2m ；(3分)(2)当m ＝ 3 时，点D 落在抛物线上，理由如下：∵m ＝3，∴AC ＝3，BE ＝23，y ＝x 2－3x －3，把x ＝23代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(23)2－3³23－3＝3，∴OE ＝3＝OC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∠DOE ＝∠AOC ，∴△OED ≌△OCA ，∴DE ＝AC ＝3，∴D (－3，3)，∴把x ＝－3代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(－3)2－3³(－3)－3＝3，∴点D 落在抛物线上；(7分)(3)①由(1)得BE ＝2m ，则点B 的横坐标为2m ，如解图①，当x ＝2m 时，y ＝2m 2－3，则点B 的纵坐标为2m 2－3，∴OE ＝2m 2－3.第7题解图①∵AG ∥y 轴，∴EG ＝AC ＝12BE ， ∴FG ＝12OE ， ∵S △DOE ＝S △BGF ，即12DE ²OE ＝12BG ²FG ，∴DE ＝12BG ＝12AC .∵∠DOE ＝∠AOC ，∴tan∠DOE ＝tan∠AOC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∴DE OE ＝AC OC ，∴OE ＝12OC ＝32，∴2m 2－3＝32，∴m ＝±32，又∵m >0，∴m ＝32；(8分) ②322.(10分)【解法提示】由①知B (2m ，2m 2－3)，E(0，2m 2－3)，A(m ，－3)， ∵G 是BE 的中点，∴GF ＝m 2－32，则AF ＝m 2＋32，易得直线BO 的解析式为y ＝2m 2－32m x ，设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1m ＋b 1＝－3b 1＝2m2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2mb 1＝2m 2－3，∴直线AE 的解析式为y ＝－2mx ＋2m 2－3.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx ＋2m 2－3y ＝2m 2－32m x，解得x ＝（2m 2－3）²2m6m －3，∴点M 的横坐标为（2m 2－3）²2m6m 2－3.如解图②，过点M 作MN ⊥AG 于点N ，第7题解图②则MN ＝m －（2m 2－3）²2m6m 2－3＝2m 3＋3m6m 2－3，由S △BGF ＝S △AMF 得12MN ²AF ＝12GB ²GF ，即2m 3＋3m 6m 2－3²(m 2＋32)＝m ²(m 2－32)，解得m ＝322，或m ＝0(舍去)，或m ＝－322(舍去)．8．解：(1)把点C (6，152)代入y ＝14x 2＋14x ＋c ，得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3，(1分)∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3，∴A (－4，0)，(2分)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为y ＝34x ＋3；(4分)(2)①∵在Rt △AOB 中，tan∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan∠OAD ＝OD OA ＝34，∴∠OAB ＝∠OAD ，(6分)∵在Rt△PO Q 中，M 为PQ 中点，∴OM ＝MP ，∴∠MOP ＝∠MPO ，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM ＝∠AON ，∴△APM ∽△AON ；(8分)②如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E .第8题解图 又∵OM ＝MP ，∴OE ＝EP ，∵点M 横坐标为m ，∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4，(9分) ∵tan∠OAD ＝34，∴cos∠EAM ＝cos∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，(10分)∵△APM ∽△AON ，∴AM AN ＝AP AO ，(11分)∴AN ＝AM²AO AP ＝5m ＋202m ＋4.(12分)。

二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018?泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣52﹣2x﹣3=2xx﹣5，整理得：2﹣4x+2=0则x，2=2），（x﹣2﹣=2，＞3，解得：x=2x+21故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．2+bx+c（b杭州）四位同学在研究函数y=x，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有2．（2018?2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为31是方程x；丁发现当x=2时，最小值；乙发现﹣y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论正确，则，【解答】解得：，2﹣2x+4∴抛物线的解析式为y=x．2﹣2x+4=71时，y=x，当x=﹣∴乙的结论不正确；2﹣2x+时，y=x4=4，当x=2∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤﹣3．（2018?潍坊）已知二次函数y=﹣（xh）5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意第1页（共14页）不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．2=﹣）1，2时，有﹣（2﹣h【解答】解：当h＜解得：h=1，h=3（舍去）；212的最大值为0），不符合题意；y=﹣（x﹣h当2≤h ≤5时，2=﹣1，时，有﹣（5﹣h）当h＞5解得：h=4（舍去），h=6．43综上所述：h的值为1或6．故选：B．22+3（其中x是自变量），当x3a≥2时，y随x2018?4．（泸州）已知二次函数y=ax 的增+2ax+大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）．DC2 B．．1或A．1或﹣【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．22+3（其中x是自变量）+2ax+3a【解答】解：∵二次函数y=ax，﹣=﹣1∴对称轴是直线x=，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，2+3=9，+2a+3a∴x=1时，y=a2+3a﹣3a6=0，∴∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为2018?．（滨州）如图，若二次函数y=axx=1，与y轴交于点C，5与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；2﹣4ac＜③b0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）第2页（共14页）4．．3 D．1 B．2 CA轴的交点，进而分别分析得出答案．x【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与2，且开口向下，x=1≠0）图象的对称轴为bx+c（a【解答】解：①∵二次函数y=ax+，故①正确；c+b+b+c，即二次函数的最大值为a∴x=1时，y=a+，故②错误；c=0b+时，x=﹣1a﹣②当2，故③错误；04ac2个交点，故b＞﹣③图象与x轴有，），0A、点B（﹣1④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点，），0∴A（3，故④正确．3x＜0时，﹣1＜故当y＞．B故选：）满足（s（m）与飞行时间t．6（2018?连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h2）24t+1函数表达式h=﹣t．则下列说法中正确的是（+的升空高度相同和点火后13sA．点火后9s火箭落于地面．点火后24sB139m10s的升空高度为C．点火后145mD．火箭升空的最大高度为三个选项，将解析式配方成顶点、CA、B24、10时h的值可判断【分析】分别求出t=9、13、选项．D式可判断的升空13s；所以点火后9s和点火后时，h=136；当t=13时，h=144【解答】解：A、当t=9高度不相同，此选项错误；，此选项错误；1m，所以点火后24s火箭离地面的高度为t=24时h=1≠0B、当，此选项错误；h=141mt=10时C、当22，此选项正确；145m14512）知火箭升空的最大高度为t﹣++24t+1=﹣（t﹣D、由h=．故选：D2）﹣1，下列说法正确的是（．（2018?成都）关于二次函数y=2x4x+7），1y轴的交点坐标为（0A．图象与轴的右侧yB．图象的对称轴在值的增大而减小x时，y的值随C．当x＜03的最小值为﹣．yD从而可以解答本题．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立，【分析】22，﹣+1）3【解答】解：∵y=2x4x+﹣1=2（x错误，A﹣1，故选项y=∴当x=0时，错误，B1，故选项x=该函数的对称轴是直线﹣错误，的增大而减小，故选项C时，y随xx当＜﹣1正确，D3取得最小值，此时y=﹣，故选项y1x=当﹣时，143第页（共页）故选：D．2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x8．（2018?凉州区）如图是二次函数y=ax轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；﹣=1，②∵对称轴x=∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；2+bm+c≤a+1时，有amb+c，≠当m所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．第4页（共14页）2）的顶点坐标是（） +5．（2018?岳阳）抛物线y=3（x﹣29），﹣5 D．（2 C．（2，5）5A．（﹣2，）B．（﹣2，﹣5）2）即可求解．，kk的顶点坐标是（﹣hy=a（x+）h+【分析】根据二次函数的性质2，5）的顶点坐标为（2x﹣2），+5【解答】解：抛物线y=3（．故选：C2P．若点bx的图象开口向下，且经过第三象限的点（2018?宁波）如图，二次函数y=axP+10．）b的图象大致是（﹣b）x+的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a．．CAD．B．的正负情况，从而可以得到一次函数经过ba﹣a、b、【分析】根据二次函数的图象可以判断哪几个象限，本题得以解决．解：由二次函数的图象可知，【解答】，＜0＜0，ba，＜0时，y=a﹣b当x=﹣1的图象在第二、三、四象限，+bb）x∴y=（a﹣．D故选：2轴的交y），与A（﹣1，0（2018?达州）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于点11．．，对称轴为直线x=20，3）之间（不包括这两点）点B在（0，2）与（）是函数图象上的两，，点Ny（Mc9a；②+3b+＞0；③若点y（，）0abc下列结论：①＜21．ay；④﹣＜＜﹣＜y点，则21145第页（共页）其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，x=＞0∴对称轴，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；2＜，③由于的对称点的坐标为（，y）关于直线x=2），且（，y22∵，∴y＜y，故③正确，21④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，＜﹣，故④正确∴﹣＜a故选：C．2+bx+ccy=x+的图象如图，则二次函数y=ax在平面直角坐标2018?．12（青岛）已知一次函数系中的图象可能是（）第6页（共14页）．．．CAD．B，由此即可得0、c【分析】＞根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜02轴负正半轴，再对照四yy轴的交点在﹣＞0出：二次函数y=ax，与+bx+c的图象对称轴x=个选项中的图象即可得出结论．，【解答】0解：观察函数图象可知：＜0、c＞2轴负正半轴．﹣＞0x=，与y轴的交点在y∴二次函数y=ax++bxc的图象对称轴．A故选：2，3），（0，a≠0）经过点（﹣1，0y=ax．（2018?天津）已知抛物线）+bx+c（a，b，c为常数，13轴右侧．有下列结论：其对称轴在y；0）①抛物线经过点（1，2有两个不相等的实数根；+c=2+bx②方程ax3b＜＜a+③﹣3）其中，正确结论的个数为（3．．2 D0 A．B．1 C，结论①错0时y＞0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1【分析】①由抛物线过点（﹣1，误；2有两c=2bxx轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax++）作②过点（0，2个不相等的实数根，结论②正确；，进而即可c=33）可得出y轴交于点（0，＞y0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与③由当x=1时，＜3a+b，结合a＜0、c=3可得出c1得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣，0）可得出a+b=2a+，结论③正确．此题得解．3+b＜＜综上可得出﹣3a 轴右侧，y0），对称轴在【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，，结论①错误；0y＞∴当x=1时轴的平行线，如图所示．x2）作②过点（0，∵该直线与抛物线有两个交点，2有两个不相等的实数根，结论②正确；+axc=2+bx∴方程，0+c＞y=a③∵当x=1时+b．cb＞﹣∴a+2，），0）经过点（03≠为常数，，，（+y=ax∵抛物线+bxcabca147第页（共页）∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．2）在同一平面直角0a≠ay=ax﹣（a．（2018?德州）如图，函数y=ax是常数，且﹣2x+1和14）坐标系的图象可能是（．D．． C A．B【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．2﹣2x+，此时二次函数y=ax1的图象应、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0【解答】解：A该开口向下，故选项错误；2﹣2x+1的图象应该开口向上，＞a的图象可得：a0，此时二次函数y=axB、由一次函数y=ax﹣﹣＞x=0，故选项正确；对称轴2﹣2x+10，此时二次函数y=ax的图象应该开口向上，aC、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：＞﹣＞0x=，和x轴的正半轴相交，故选项错误；对称轴2﹣2x+1的图象应该开口向上，的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax﹣D、由一次函数y=axa故选项错误．故选：B．2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（威海）抛物线（15．2018?y=ax）第8页（共14页）20＞+b4ac D．＜b C．b2a+8a＞A．abc＜0 B．a+c根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【分析】0a＜解：（A）由图象开口可知：【解答】，＞0由对称轴可知：，＞0∴b，＞0∴由抛物线与y轴的交点可知：c正确；，故Aabc＜0∴，＜01，y（B）由图象可知：x=﹣，＜0b+c∴y=a﹣正确；B＜b，故a∴+c，2（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于，0，a＜∴＞22，b8a＜∴4ac﹣2正确；C4acb，故+8a＞∴，0a＜x=＜1，（D）对称轴错误；，故0D2a+b＜∴．故选：D2）与n，），顶点坐标（1x轴交于点A（﹣1，016．（2018?衡阳）如图，抛物线y=ax+bx+c与；a≤﹣＜0；②﹣1≤3a），2，（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①+b 轴的交点在（y022有两个不相等的实1﹣bx+x+bm总成立；④关于的方程axc=n++③对于任意实数m，ab≥am）数根．其中结论正确的个数为（个．4．3个D21A．个B．个C，b=a，则2a3a+﹣，再由抛物线的对称轴方程得到＜利用抛物线开口方向得到【分析】a0b=149第页（共页）于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③2+bx+c与直线y=axy=n﹣1有两个交点可对④进行判断．进行判断；根据抛物线【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，﹣=1，即b=而抛物线的对称轴为直线x=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，≤﹣，所以②正确；≤a∴﹣1∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，2+bm+≥amc，∴a+b+c2+bm，所以③正确；+b≥am即a∵抛物线的顶点坐标（1，n），2+bx+c与直线y=n∴抛物线y=ax﹣1有两个交点，2+bx+c=n﹣1∴关于x的方程ax有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0y=ax17．（2018?枣庄）如图是二次函数），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0．Ab2﹣4ac＞0可对A进行判断；x【分析】根据抛物线与轴有两个交点有b由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，22＞4ac，所以A0，即b选项错误；∴b4ac﹣＞∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，第10页（共14页）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．2+bx+c的图象与x轴交于A、B18．（2018?随州）如图所示，已知二次函数y=ax 两点，与y轴2+bx+c交于C、D两点，y=axy=﹣x+c与抛物线D点在x轴下交于点C对称轴为直线x=1．直线方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=次函数有最大值，则ax﹣x+c与抛物线2+bx+c交于C、D两点，D点在y=axx轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，﹣=1x=，∵抛物线的对称轴为直线∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，2+bx+c≤a+∴axb+c，2+bx≤a+∴axb，所以③正确；2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于y=axcxy=∵直线﹣+与抛物线3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，第11页（共14页）即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．2+m﹣1的图象与x轴有交点，则y=xm﹣x的取值范围是（）19．（2018?襄阳）已知二次函数A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．2+m﹣1的图象与x【解答】解：∵二次函数y=x轴有交点，﹣x2×（m﹣1）≥01），﹣4×1∴△=（﹣解得：m≤5，故选：A．2+a与二次函数，且Ly=3x台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=020．（2018?2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；【解答】解：如图，由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），22+b可得a=﹣5y=﹣2x，b=6，分别代入y=3x+a，∴a+b=1，故选：A．2+ax+b与x轴两个交点间的距离为22018?21．（绍兴）若抛物线y=x，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．第12页（共14页）【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），22﹣1．﹣1）=x）﹣2x=（x（∴该抛物线解析式为y=xx﹣2将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）22﹣4．+1）﹣1﹣3=（x2﹣4=0，+1）﹣3时，y=（x当x=∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．2+bx+c（安顺）已知二次函数y=axa≠0）的图象如图，分析下列四个结论：22．（2018? 222，）b＜0；④（a+bc﹣4ac＞0；③3a+c＞0①abc＜；②其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a ﹣b+c＞0，两22，＜c）b+个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c ＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；2﹣4ac＞0，故②正确；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，22＜0﹣b，+]+ac）﹣b=（ac）（b）+（即[ac+][22，b+c）＜a∴（第13页（共14页）故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．第14页（共14页）。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出以下函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.假设抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时刻t（s）知足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．那么以下说法中正确的选项是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部份，与轴的交点在点和之间，对称轴是.关于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P．假设点P的横坐标为-1，那么一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同窗在研究函数（b，c是常数）时，甲发觉当时，函数有最小值；乙发觉是方程的一个根；丙发觉函数的最小值为3；丁发觉当时，．已知这四位同窗中只有一名发觉的结论是错误的，那么该同窗是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如下图,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

二次函数综合题类型一与角度有关的问题★1.抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点 P 的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA 的大小，并说明理由．第 1 题图解：(1)当y＝0时，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，∴B 点的坐标为(3，0)，当x＝0，得 y＝3，即 C 点坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋3(k≠0)，将点 B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得 k＝－1，∴直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3；(2)由(1)可知OB＝OC＝3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，抛物线对称轴为 x＝1，设抛物线对称轴交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E，当点 P 在 x 轴上方时，如解图①，第 1 题解图①∵∠APB＝∠ABC＝45°，且 PA＝PB，∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°，2∠DPB＝12∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB，在 Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22，∴PE＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点 P 在 x 轴下方时，由对称性可知 P 点坐标为(1，－2－22)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点 P,使∠APB=∠ABC，P点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)；（3）如解图②，作点A关于y轴对称的点F，点 F 的坐标为(1，0)，则∠OCA＝∠OCF，设直线 CF 的解析式为 y＝kx＋b，把点 C(0，3)，F(1，0)代入求得 k＝－3，b＝3，则直线 CF 的解析式为 y＝－3x＋3，y＝－3x＋3联立，y＝－x2＋2x＋3x1＝0解得y1＝3 ，x2＝5y2＝－12，直线 CF 与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，－12)，第1题解图②设点 Q 的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，当0＜a＜5 时，∠OCF＜∠OCQ，则∠OCA＜∠OCQ；当a＝5时，∠OCF＝∠OCQ，则∠OCA＝∠OCQ；当a＞5时，∠OCF＞∠OCQ，则∠OCA＞∠OCQ.类型二线段及周长问题★1. 如图，抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－4)，且抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点 P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及 x 轴于 F、D 两点.请问是否存在这样的点 E，使 DE＝2DF？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.第 1 题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (4，0)，B (－4，－4)，⎧ － 1⨯16 + 4b +c = 0⎧ 1 ⎪ 4 ⎪b =， 2 ∴ ⎨ 1，解得 ⎨⎪ ⎪⎪－⨯16 - 4b +c = -4⎩c =2 ⎩ 4∴抛物线的解析式为 y ＝－14 x 2＋12 x ＋2；（2）由抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2 可得其对称轴为直线x ＝1 2－1 ＝1，点 C 的坐标为(0，2)，2 ⨯(－4)如解图，作点 C 关于对称轴 x ＝1的点 C′，则 C′的坐标为(2，2)，连接BC ’；即 BC′＝(2 + 4)2+ (2 + 4)2＝62，BC′与对称轴的交点即为所求点 P ，连第 1 题解图接 CP ，此时△PBC 的周长最小．设直线 BC′的解析式为 y ＝kx ＋m ，∵点 B(－4，－4)，C′(2，2)，⎧ 2k+m= 2，解得⎨⎧ k =1，∴⎨-4k+m= -4⎩m =0⎩∴直线BC′的解析式为 y＝x，将 x＝1代入 y＝x，得 y＝1，∴点 P 坐标为(1，1)．∴BC＝42+ (2 + 4)2= 213 .∵△PBC 的周长为 CP＋BC＋PB＝BC＋BC′，∴△PBC 周长的最小值为213＋62；(3)由点A(4，0)，B(－4，－4)可得直线AB的解析式为y＝12x－2，设点E(x，12x－2)，其中－4<x<4，则F(x，－14 x2＋12x＋2)，DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14 x2＋12x＋2|，当2－12x＝－12x2＋x＋4，即点F位于x轴上方，解得 x1＝－1，x2＝4(舍去)，将 x＝－1代入 y＝1x －2，得到y＝－5，∴E(－1，－5)，222当 2－12x＝12x2－x－4，即点F位于x轴下方，解得 x1＝－3，x2＝4(舍去)，将 x＝－3代入 y＝12x－2，得到 y＝－72，∴E(－3，－72)．综上所述：点 E 的坐标为：(－1，－52)，(－3，－72)．★2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y＝－x＋4与x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y＝ax2＋bx与直线 y＝－x＋4交于另一点B，且点 B 的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P作 PM∥OB 交第一象限内的抛物线于点 M ，过点 M 作MC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PF⊥MC 于点 F，设 PF 的长为 t，①求 MN 与 t 之间的函数关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；②当 MN 取最大值时，连接 ON ，直接写出sin ∠BON 的值．第 2 题图解：(1)∵y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，∴A (4，0)，∵点 B 的横坐标为1，且直线 y ＝－x ＋4经过点 B ，∴B (1，3)，∵抛物线 y ＝ax 2＋bx 经过 A (4，0)，B (1，3)，⎧16a + 4b = 0 ，∴ ⎨3 ⎩a + b =⎧a = -1解得 ⎨.⎩b =4∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋4x ；(2)①如解图①，作BD ⊥x 轴于点D ，延长MP 交x 轴于点E ，第 2∵B(1，3)，A(4，0)，∴OD＝1，BD＝3，OA＝4，∴AD＝3，∴AD＝BD，∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∵MC⊥x 轴，∴∠ANC＝∠BAD＝45°，∴∠PNF＝∠ANC＝45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN＝∠PNF＝45°，∴NF＝PF＝t，∵∠PFM＝∠ECM＝90°，第 2 题解图①∴PF∥EC，∴∠MPF＝∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC＝∠BOD，∴∠MPF＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠MPF，∴OD BD＝MF PF＝3，∴MF＝3PF＝3t，∵MN＝MF＋FN，∴MN＝3t＋t＝4t；②如解图②，作 BG⊥ON 于 G 点，第 2 题解图②当过点 M 的直线与直线 AB 平行且与抛物线只有一个交点时， MN 取最大，∴设与 AB 平行的直线 y＝－x＋b，当－x2＋4x＝－x＋b；即 x2－5x＋b＝0，25＝25－4b＝0，解b＝4 .25∴直线 y＝－x＋4，∴抛物线 y＝－x2＋4x 与 y＝－x＋254的交点 M(52，154)，∴N 点的横坐标为52，N 点的纵坐标为－52＋4＝32，即 N(52，32 )，∴ON 的解析式为 y＝53 x，∵BG⊥ON，5设 BG 的解析式为 y＝－3 x＋b，将 B(1，3)代入 y＝－5x＋b，解得 b＝14，3 3 514∴BG 的解析式为 y＝－3 x＋3，⎧y =3x⎧x =35 517⎪⎪联立⎨514 ，解得⎨21 ，⎪⎪⎪y = -x +⎪ y =3 3 17⎩⎩3521即G(17，17)．∴由勾股定理，得 OB＝12+ 32＝10 ，BG＝(1735-1)2+ (1721- 3)2＝61734，634∴sin∠BON＝BG＝17 ＝685 .OB10 85★3 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PD∥y 轴交直线 AC 于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，⎧9 + 3b+c= 0⎧b =－4，∴ ⎨，解得⎨1+b+c= 0 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y＝x2－4x＋3；(2)令x＝0，则y＝3，∴点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，设点 P(x，x2－4x＋3)，∵PD∥y 轴，∴点 D(x，－x＋3)，3 9 ∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1<0，∴当 x＝32时，线段 PD 的长度有最大值94；(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA＝MB，由三角形的三边关系，|MA－MC|<BC，∴当 M、B、C 三点共线时，|MA－MC|最大，即为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋m(k≠0)，⎧k + m =0⎧k= -3，则⎨，解得⎨m =3 ⎩m =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝－3x＋3，∵抛物线 y＝x2－4x＋3的对称轴为直线 x＝2，∴当 x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，∴点 M(2，－3)，即抛物线对称轴上存在点 M(2，－3)，使|MA－MC|最大．类型三面积问题★1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为 M(－1，4)．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB 面积相等时，求点 D 的坐标；(3)点P 在线段AM 上，当PC 与y 轴垂直时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为 E ，将△PCE 沿直线 CE 翻折，使点 P 的对应点 P′与 P 、E 、C 处在同一平面内，请求出点 P′坐标，并判断点 P′是否在该抛物线上．第 1 题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点C (0，3)，顶点为 M (－1，4)，⎧c =3⎧a = -1⎪ b⎪b = -2⎪- = -1， ∴ ⎨ 2a，解得 ⎨⎪ ⎪ ⎪a - b + c =4⎩c =3⎩∴所求抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)令y ＝－x 2－2x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，故A(－3，0)，B(1，0)．∴AB＝4，∴OA＝OC＝3，△AOC 为等腰直角三角形．∴直线 AC 的解析式为 y＝x＋3，如解图①，设 AC 交对称轴 x＝－1于点F(－1，yF)．Array易得 yF＝2，故点 F(－1，2)．设点 D 坐标为(－1，yD)，则S△ADC＝12|DF|·|AO|＝12×|yD－2|×3.又 S△ABC＝1|AB|·|OC|＝1×4×3＝6.2 2第 1 题解图①由12×|yD－2|×3＝6 得：|yD－2|＝4，故 yD＝－2或 yD＝6.∴点 D 坐标为(－1，－2)或(－1，6)．(3)如解图②，点P′为点P关于直线CE的对称点．过点 P′作P′H⊥y 轴于点 H，设 P′E 交 y 轴于点 N.在△EON 和△CP′N中⎪∠CP'N = ∠EON =90，⎨故△CP′N≌△EON(AAS)．∴CN＝EN，设 NC＝m，则 NE＝m，第 1 题解图②易得直线 AM 的解析式为 y＝2x＋6，当y＝3时，x＝－32，故点 P(－32，3)．∴P′C＝PC＝32，P′N＝3－m，在 Rt△P′NC中，由勾股定理，得(32)2＋(3－m)2＝m2，解得 m＝158，则3－m＝98.即 CN＝158，P′N＝98，∵S△P′NC＝12|CN|·|P′H|＝12|P′N|·|P′C|，∴P′H＝109.由△CHP′∽△CP′N 可得CH CP'=CP CN'，故 CH＝CP CN'2＝65.∴OH＝3－65＝95，∴P′的坐标是(109，95)．将点 P′(109，95)的坐标代入抛物线解析式，等式不成立，所以点 P′不在该抛物线上．★2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数 y＝－x＋b 的图象交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为－7.点 P 是二次函数图象上 A、B 两点之间的一个动点(不与点 A、B 重合)，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的垂线交 AB 于点 C，作PD⊥AB 于点 D.(1)求b及 sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出 m 的值；如果不存在，请说明理由．第 2 题图解：(1)∵当y＝0时，－x2＋2x＋8＝0，∴x1＝－2，x2＝4.∵点 A 在 x 轴负半轴上，∴A(－2，0)，OA＝2，∵点 A 在一次函数 y＝－x＋b 的图象上，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴一次函数表达式为 y＝－x－2，如解图，设直线 AB 交 y 轴于点 E，则 E(0，－2)，OE＝OA＝2，∴△AOE 为等腰直角三角形，∠AEO＝45°，∵PC⊥x 轴交 AB 于点 C，∴PC∥y 轴，∴∠AEO＝∠ACP＝45°，2；∴sin∠ACP＝sin45°＝第 2 题解图(2)∵点P在二次函数y＝－x2＋2x＋8图象上且横坐标为m，∴P(m，－m2＋2m＋8)，∵PC⊥x 轴且点 C 在一次函数 y＝－x－2的图象上，∴C(m，－m－2)，∴PC＝－m2＋3m＋10，∵PD⊥AB 于点 D，∴在 Rt △CDP 中，sin ∠ACP ＝PDPC＝22，∴PD ＝－22m 2＋322m ＋5 2 ；(3)存在，m 的值为－1或2.理由如下：如解图，分别过点 D 、B 作 DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为 F 、G.∵sin ∠ACP ＝22，∴cos ∠ACP ＝ 22，又∵∠FDP ＝∠ACP ，∴cos ∠FDP ＝22，在 Rt △PDF 中，DF ＝22PD ＝－12m 2＋32m ＋5，∵点 B 纵坐标为－7，且点 B 在直线 AB ：y ＝－x －2上，∴点 B (5，－7)，∴BG ＝5－m ，∵P 不与 A 、B 两点重合，∴－2<m <5， ∴当S ∆PCD＝DF ＝1时，解得 m 1＝－1或 m 2＝5(舍)． S ∆PBC BG 2 当 S ∆PCD＝DF＝2 时，解得m 1＝2 或m 2＝5(舍)，S ∆PBC BG∴m 的值为－1或2.★3.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)，把点 A(0，4)代入上式，解得 a＝54，∴y＝54 (x－1)(x－5)＝54x2－245x＋4＝54 (x－3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线 x＝3.(2)存在，P点坐标为(3，85)．理由如下如解图①，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP，BA，∵点 B 与点 C 关于对称轴对称，∴PB＝PC，第 3 题解图①∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC，∴此时△PAB 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，把 A(0，4)，C(5，0)代入 y＝kx＋b 中，⎧b =4⎧4⎪k =－5 ，得⎨，解得⎨⎩5k+b= 0 ⎪⎩b =4 ∴直线 AC 的解析式为 y＝－45x＋4，∵点 P 的横坐标为3，∴y＝－45×3＋4＝85，∴P 点坐标为(3，85)．(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，理由如下：如解图②，设 N 点的横坐标为 t，第 3 题解图②此时点 N(t，45t2－245t＋4)(0<t<5)．过点 N 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴、AC 于点 F、G，过点A作 AD⊥NG，垂足为点 D.由(2)可知直线AC的解析式为y＝－45x＋4，把x＝t 代入 y＝－45x＋4得 y＝－45t＋4，则G(t，－45t＋4)．此时 NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t，∵AD＋CF＝OC＝5，∴S△NAC＝ S△ANG＋ S△CNG＝12 NG·AD ＋12 NG·CF ＝12 NG·OC ＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252，∴当 t＝52时，△NAC 的面积最大，最大值为252，由 t＝52，得 y＝45t2－245t＋4＝－3，∴N 点坐标为(52，－3)．类型四特殊三角形存在问题★1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的 解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1 上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．第 1 题图 ⎧b=－1⎪－⎧a =－12a解： (1) ⎪⎪， 依题意，得⎨a + b + c =0 ，解得⎨b =－2⎪ ⎪⎪c =3 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线 x ＝－1，抛物线经过 A (1，0)，∴B(－3，0)．把 B(－3，0)，C(0，3)分别代入 y＝mx＋n，⎧-3m+n= 0⎧m=1，得⎨，解得⎨n =3 ⎩n =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.（2）如解图，连接MA，第 1 题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使 MA＋MC 值最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点．设直线 BC 与对称轴 x＝－1的交点为 M，把 x＝－1，代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.∴M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若 P 为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝3+217 ，t2＝3-217 .综上所述，满足条件的 P 点共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，3+217 )，P4(－1，3-217 )．★2.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴直线 x＝1.(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求 h 的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任意一点，点Q在直线l：x＝－3 上，△PBQ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由．第 2 题图解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝3.把B(3，0)代入 y＝ax2＋bx＋3，得 9a＋3b＋3＝0，又－2b a＝1，∴解得a＝－1，b＝2.∴解析式是：y＝－x2＋2x＋3；【一题多解】设所求解析式为：y＝m(x－1)2＋n，⎧4m+n= 0⎧m= -1，则把 B(3，0)，C(0，3)代入得⎨，解得⎨m + n =3 ⎩n =4⎩解析式是：y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x＋3.(2)由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点 D 作 y 轴的平行线分别交 CB，OB 于点 E，F，∴△BEF∽△BCO，则OC EF＝BO BF，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.【一题多解】由 y＝－(x－1)2＋4 得抛物线顶点D(1，4)，∵△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，第 2 题解图①∴EF＝BF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.(3)设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴与l 的垂线，垂足分别是点 M ， N ，∠PMB ＝∠PNQ ＝90°，∠BPM ＝∠QPN ，PB ＝PQ ，∴△PMB ≌△PNQ ，PM ＝PN .第 2 题解图②①当点 P 在 x 轴上方时，有－x 2＋2x ＋3＝x ＋3，即：x 2－x ＝0，解得 x 1＝0，x 2＝1，∴P 1(0，3)，P 2(1，4)．②当点 P 在 x 轴的下方时，有：－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋3)，即：x 2－3x －6＝0，解得 x ＝ 3 ± (-3)2- 4 ⨯1⨯ (-6)＝ 3 ± 33 ，2 2∴P 3( 3－ 33，－ 9－ 33 )，P 4( 3 + 33，－ 9 + 33)， 2 2 2 2∴满足条件的点 P 有四个点，分别是 P1(0，3)，P2(1，4)，P3(3－233 ，－9－233 )，P4(3+233 ，－9+233 )．★3. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(c>0)的图象与x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且OB＝OC＝3，顶点为 M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为 Q，若 OQ＝m，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵OB＝OC＝3，∴B (3，0)，C (0，3)，⎧0 = -9 + 3b +c ⎧b =2， ∴ ⎨，解得 ⎨⎩3 =c⎩c =3二次函数的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图所示，连接AC ，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，则 M (1，4)，设直线 MB 的解析式为 y ＝kx ＋n ，⎧ 4 =k +n，则有 ⎨⎩0 = 3k +n⎧ k = -2， 解得 ⎨⎩n =6∴直线 MB 的解析式为 y ＝－2x ＋6，∵PQ ⊥x 轴，OQ ＝m ，第 3 题解图∴点 P 的坐标为(m ，－2m ＋6)，∴S 四 边 形ACPQ ＝ S Rt △AOC ＋ S 梯 形 PQOC ＝ 1AO ·CO ＋ 1 (PQ ＋ 2 2CO )·OQ ＝12×1×3＋12(－2m ＋6＋3)·m ＝－ m 2＋92 m ＋32(1≤m <3)；7 16210 10 (3)线段 BM 上存在点 N ( ，)，(2，2)，(1＋，4－)5 555使△NMC 为等腰三角形．理由如下：如解图，连接 MC ，由于 N 是直线 BM 上一点，由(2)知：直线 BM 的解析式为：y＝－2x ＋6，因此设 N (x ，－2x＋6)且1<x <3，由勾股定理可得：CM ＝ (1 - 0)2+ (4 - 3)2= 2 ，CN ＝ x 2+(-2x +3)2，MN＝(x -1)2+ (-2x+ 2)2，①当 NC ＝CM 时， x 2+(-2x +3)2＝ 2 ，解得 x 1＝75，x 2＝1(舍去)，此时 N (75，165)；②当 MN ＝CM 时， (x -1)2+ (-2x + 2)2＝ 2 ，解得 x 1＝1＋510，x 2＝1－510(舍去)，此时 N (1＋ 10，4－210)；55③当 CN＝MN 时，x2+(-2x +3)2＝(x-1)2+ (-2x+ 2)2，解得 x＝2，此时 N(2，2)．类型五特殊四边形的存在问题★1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．第 1 题图备用图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两 点，⎧-1 -b +c = 0⎧b =2， ∴ ⎨，解得 ⎨ ⎩-9 + 3b +c =⎩c =3∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图①，连接PC 、PE .抛物线对称轴为直线 x ＝－2ba ＝2－＝1， 2×（－1）当 x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点 D 坐标为(1，4)，第1题解图①设直线 BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，⎧m = -2将 B 、D 分别代入表达式，解得⎨⎩n =6 ，则 y ＝－2x ＋6，设点 P 的坐标为(x ，－2x ＋6)，∵C (0，3)，E (1，0)，∴由勾股定理可得 PC 2＝x 2＋[3－(－2x ＋6)]2，PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，∵PC＝PE，∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，解得 x＝2，y＝－2×2＋6＝2，∴点 P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3),如解图②，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，①2－a＝－(－a2＋2a＋3)，解得 a＝1± 21 ，2②2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝第 1 题解图②3 ±13，2∴M 点的坐标为( 1－21，0)，( 1 +21，0)，( 3－13，0)，2 2 2( 3 13 ，0)．2★2.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与 C 重合)，在 x 轴上找一点 E，使点 B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 E 点坐标．第 2 题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，⎧a -3+ c =0∴⎨16a+12 +c= 0 ，⎩解得：a＝－1，c＝4.∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋3x＋4.(2)∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C(0，4)．设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b.⎧4k+b= 0，解得：k＝－1，b 将 B(4，0)，C(0，4)代入得：⎨⎩b= 4＝4，∴直线 BC 的解析式为：y＝－x＋4.过点 P 作 x 的垂线与直线 BC 交于点 Q，如解图：第 2 题解图∵点 P 的横坐标为 t，∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4)．∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴m＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t<4)．∴当 t＝2时，m 的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)．【解法提示】将 y＝4代入抛物线的解析式得：－x2＋3x＋4 ＝4.解得：x1＝0，x2＝3.∵点 D 与点 C 不重合，∴点 D 的坐标为(3，4)．又∵C(0，4)，∴CD∥x 轴，CD＝3.∴当 BE＝CD＝3时，B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形．∴点 E(1，0)或(7，0)．1★3.如图，抛物线y＝4x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若该抛物线的对称轴交x轴于点B，抛物线顶点为C，点P为抛物线上任意一点，设点 P 的横坐标为 x，当 S△ABP＝1时，请求出满足条件的所有的点 P 的坐标；(3)点M为抛物线对称轴上一个动点，点N为平面内任一点，能否满足以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形，若满足，请直接写出 M 点的坐标；若不满足，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵抛物线y＝14x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)，∴y＝14x(x－4)，即 y＝14x2－x.(2)如解图①，由题意，抛物线对称轴为直线x＝2，∴B(2，0),∴AB＝2，∵S△ABP＝1，∴1AB·|yP|＝1，2∴1×2·|yP|＝1，2∴|yP|＝1，第 3 题解图①∴yP＝±1，当yP＝1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2±2 2 ；当yP＝－1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2，∴P1(－2 2 ＋2，1)，P2( 2 2 ＋2，1)，P3(2，－1)；(3)M1(2， 5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32) 【解法提示】如解图②，连接 AC，∵A(4，0)，B(2，0)，点C是抛物线 y＝14x2－x 的顶点，∴C(2，－1)，以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形时，分两种情况讨论：Ⅰ、当 AC 为菱形的边时：第 3 题解图②①∵四边形 ACM1N1为菱形，AM1、CN1为对角线，∴AC＝CM1＝ 5 ，∴BM1＝ 5 －1，∴M1的坐标为(2， 5 －1)；②∵四边形 ACM2N2为菱形，AM2、CN2为对角线，AC＝ 5 ，∴AC＝CM2＝ 5 ，∴BM2＝ 5 ＋1，∴M2的坐标为(2，－ 5 －1)；。

2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编（解析版）二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 ，OE = ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx=++交x轴于点(1,0)B．A-和点(3,0)（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点(2,3)D在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ x⊥轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当AQD∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线23=-+-经过点(1,0)y x bx-，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)=++≠，以y轴上的点(0,)y ax bx c aM m为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x=--+关于点(0,)m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线22(0)=+-≠y ax ax b a①若抛物线y的衍生抛物线为22'=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是2(0)y bx bx a b它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？16．（2018•福建A 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ．（1）若点(0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ，C ，且ABC ∆有一个内角为60︒． ①求抛物线的解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O ，M ，N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠． 17．（2018•福建B 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y =-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以下问题：①求证：BC 平分MBN ∠；②求MBC ∆外心的纵坐标的取值范围．2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编参考解析二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -和点5(0,)2B 代入212y x bx c =-++得10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-++；（2）219(2)22y x =--+，9(2,)2C ∴，抛物线的对称轴为直线2x =，如图，设CD t =，则9(2,)2D t -，线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处，90PDC ∴∠=︒，DP DC t ==，9(2,)2P t t ∴+-，把9(2,)2P t t +-代入215222y x x =-++得2159(2)2(2)222t t t -++++=-， 整理得220t t -=，解得10t =（舍去），22t =，∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为5(4,)2，D 点坐标为5(2,)2， 抛物线平移，使其顶点9(2,)2C 移到原点O 的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点5(4,)2向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ，E ∴点坐标为(2,2)-，设(0,)M m ， 当0m >时，15(2)2822m ++=，解得72m =，此时M 点坐标为7(0,)2；当0m <时，15(2)2822m -++=，解得72m =-，此时M 点坐标为7(0,)2-； 综上所述，M 点的坐标为7(0,)2或7(0,)2-．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【解】：（1）由题意，点(1,18)A 带入ky x= 得：181k =18k ∴=设2h at =，把1t =，5h =代入5a ∴=25h t ∴=（2）5v =，1AB =51x t ∴=+25h t =，18OB =2518y t ∴=-+由51x t =+ 则1(1)5t x =-2211289(1)185555y x x x ∴=--+=-++当13y =时，2113(1)185x =--+ 解得6x =或4-1x …6x ∴=把6x =代入18y x=3y =∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13310-=（米)（3）把 1.8y =代入2518y t =-+得28125t =解得 1.8t =或 1.8-（负值舍去）10x ∴=∴甲坐标为(10,1.8)恰好落在滑道18y x=上 此时，乙的坐标为(1 1.8v +乙，1.8) 由题意：()1 1.815 1.8 4.5v +-+⨯>乙7.5v ∴>乙3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解】：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）①解方程2650x x -+-=得11x =，25x =，则(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C -，OCB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBC OCB ∴∠=∠=︒， AM BC⊥，AM B ∴∆为等腰直角三角形，4AM AB ∴=== 以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，//AM PQ ，PQ AM ∴==PQ BC ⊥，作PD x ⊥轴交直线BC 于D ，如图1，则45PDQ ∠=︒，4PD ∴==，设2(,65)P m m m -+-，则(,5)D m m -， 当P 点在直线BC 上方时，2265(5)54PD m m m m m =-+---=-+=，解得11m =，24m =，当P 点在直线BC 下方时，225(65)54PD m m m m m =---+-=-=，解得1m =，2m =， 综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图2，11M A M C =， 11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB∆为等腰直角三角形，2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-， 设直线1EM 的解析式为15y x b =-+， 把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--，解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -，13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 【解】：（Ⅰ）抛物线22y x mx m =+-经过点(1,0)A ，012m m ∴=+-，解得：1m =，∴抛物线解析式为22y x x =+-，22192()24y x x x =+-=+-，∴顶点P 的坐标为1(2-，9)4-；（Ⅱ）抛物线22y x mx m =+-的顶点P 的坐标为(2m-，28)4m m +-，由点(1,0)A 在x 轴的正半轴上，点P 在x 轴的下方，45AOP ∠=︒知点P 在第四象限， 如图1，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则45POQ OPQ ∠=∠=︒，可知PQ OQ =，即2842m m m+=-，解得：10m =，210m =-，当0m =时，点P 不在第四象限，舍去；10m ∴=-，∴抛物线的解析式为21020y x x =-+；（Ⅲ）由222(2)y x mx m x m x =+-=+-可知当2x =时，无论m 取何值时y 都等于4，∴点H 的坐标为(2,4)，过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D 、H 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、G，则90DEA AGH ∠=∠=︒，90DAH ∠=︒，45AHD ∠=︒， 45ADH ∴∠=︒，AH AD ∴=，90DAE HAG AHG HAG ∠+∠=∠+∠=︒， DAE AHG∴∠=∠，ADE HAG ∴∆≅∆，1DE AG ∴==、4AE HG ==，则点D 的坐标为(3,1)-或(5,1)-；①当点D 的坐标为(3,1)-时，可得直线DH 的解析式为31455y x =+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线31455y x =+上，28314()4525m m m +∴-=⨯-+，解得：14m =-、2145m =-，当4m =-时，点P 与点H 重合，不符合题意，145m ∴=-； ②当点D 的坐标为(5,1)-时，可得直线DH 的解析式为52233y x =-+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线52233y x =-+上，28522()4323m m m +∴-=-⨯-+， 解得：14m =-（舍)，2223m =-，综上，145m =-或223m =-， 则抛物线的解析式为2142855y x x =-+或2224433y x x =-+． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．【解】：（1）由题意(1,3)A ，(3,3)B ，2AB ∴=．（2）如图1中，设2(,4)P m m m -+，作//PN y 轴J 交BE 于N ． 直线BE 的解析式为y x =，(,)N m m ∴，2212(3)32PEB S m m m m ∆∴=⨯⨯-+=-+，∴当32m =时，PEB ∆的面积最大，此时3(2P ，15)4，3(2H ，3)，153344PH ∴=-=， 作直线OG 交AB 于G ，使得30COG ∠=︒，作HK OG ⊥于K 交OC 于F ，12FK OF =，12PH HF FO PH FH FK PH HK ∴++=++=+，此时PH HF OF ++的值最小，1122HG OC OG HK =， 33)32HK ⨯∴==+，PH HF OF ∴++的最小值为94+．（3）如图2中，由题意32CH =，CF =，12QF '=，1CQ =，(1,3)Q ∴-，(2,4)D ，DQ①当DQ 为菱形的边时，1(1,3S -，2(1,3S -， ②当DQ 为对角线时，可得3(1,8)S -， ③当DR 为对角线时，可得4(5,3)S综上所述，满足条件的点S 坐标为(1,3-或(1,3-或(1,8)-或(5,3)．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【解】：（1）如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ，当0x =时，y =C ∴，22y x =++(D ∴，DK ∴CK =-CD ∴（4分）（2）在2y x =+0y =，则20，解得：1x =-，2x =(A ∴-，0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y x =+设(E x +，2(,P x x -+，2PF x ∴=-EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴==+211(()22PE EC x AC AE ∴+=-+-，212=++，2=-，2x =+，（5分）∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，（6分）PC ∴=，11O B OB ==∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P 1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =，11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)，将1B 1O ，此时112PO B C P C +==，对应的点1O 的坐标为(0)，（7分）∴四边形11PO B C （8分）（3）2O M （12分） 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上， 230B CA CAB ∴∠=∠=︒，2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN=，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O ，2B E 22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠， 22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN=，此时M 与C 重合，22O M O C =③如图6，AM MN=，2212B C B C B H ===，即N 和H 、1C 重合， 230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN=，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，121222290C B O AO B ∴∠=∠=︒， 190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O =EM ∴=22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 (1,4)- ，OE = 3 ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【解】：（1）当1a =-时，抛物线的解析式为223y x x =--+，∴顶点(1,4)D -，(0,3)C ， ∴直线CD 的解析式为3y x =-+，3OE ∴=，故答案为(1,4)-，3．（2）结论：OE 的长与a 值无关． 理由：223y ax ax a =+-，(0,3)C a ∴-，(1,4)D a --，∴直线CD 的解析式为3y ax a =-，当0y =时，3x =，(3,0)E ∴，3OE ∴=，OE ∴的长与a 值无关．（3）当45β=︒时，3OC OE ==，33a ∴-=， 1a ∴=-，当60β=︒时，在Rt OCE ∆中，OC ==3a ∴-=，a ∴=4560β∴︒︒剟，a 的取值范围为1a -．（4）如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN AB ⊥于N ．PD PE =，90PMD PNE ∠=∠=︒，90DPE MPN ∠=∠=︒，DPM EPN ∴∠=∠， DPM EPN ∴∆≅∆， PM PN ∴=，DM EN =， (1,4)D a --，(3,0)E ，43EN n m ∴=+=-， 1n m ∴=--，当顶点D 在x 轴上时，(1,2)P -，此时m 的值1， 抛物线的顶点在第二象限，1m ∴<．1(1)n m m ∴=--<．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．【解】：（1）由题意(0,1)E ，(1,1)A -，(1,1)D 把(1,1)D 代入2112y x mx =-++中，得到1112m =-++，12m ∴=．（2）抛物线1G 的对称轴1mx m =-=-， 2AE ED m ∴==，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，4AD BC m ∴==，2AB CD ==， 84L m ∴=+．（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点，∴抛物线2G 的顶点21(,1)2M m m --在线段AE 上，∴21112m -=， 2m ∴=或2-（舍弃），82420L ∴=⨯+=．（4）1G 的顶点21(,1)2m m +，1G 中(2,21)m -，2G 顶点21(,1)2m m --，2G 中(4,49)m --． ①当2m …，最高点是抛物线1G 的顶点21(,1)2N m m +时， 若213122m +=，解得1m =或1-（舍弃）， 若21192m +=时，4m =或4-（舍弃）， 又2m …，观察图象可知满足条件的m 的值为12m 剟，②24m <…时，当(2,21)m -是最高点时，23219212112m m m ⎧-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩剟，解得24m <…，③当4m >时，349924921m m m ⎧-⎪⎨⎪->-⎩剟， 解得942m <…， 综上所述，912m剟， 1240L ∴剟．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【解】：（1）当0y =，2114033x x --=，解得13x =-，24x =，(3,0)A ∴-，(4,0)B ，当0x =，2114433y x x =--=-，(0,4)C ∴-；（2）5AC ，易得直线BC 的解析式为4y x =-， 设(Q m ，4)(04)m m -<<，当CQ CA =时，222(44)5m m +-+=，解得1m =2m =，此时Q 点坐标为4)-； 当AQ AC =时，222(3)(4)5m m ++-=，解得11m =，20m =（舍去），此时Q 点坐标为(1,3)-； 当QA QC =时，2222(3)(4)(44)m m m m ++-=+-+，解得252m =（舍去），综上所述，满足条件的Q 点坐标为4)-或(1,3)-； （3）解：过点F 作FG PQ ⊥于点G ，如图，则//FG x 轴．由(4,0)B ，(0,4)C -得OBC ∆为等腰直角三角形45OBC QFG ∴∠=∠=FQG ∴∆为等腰直角三角形，FG QG ∴==， //PE AC ，//PG CO ，FPG ACO∴∠=∠，90FGP AOC ∠=∠=︒， ~FGP AOC ∴∆∆．∴FG PG OA CO =，即34FG PG=，44233PG FG FQ ∴===，PQ PG GQ ∴=+==，FQ ∴=， 设(P m ，2114)(04)33m m m --<<，则(,4)Q m m -，2211144(4)3333PQ m m m m m ∴=----=-+，2214)2)33FQ m m m ∴=-+=-+20-<， QF ∴有最大值．∴当2m =时，QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【解】：（1）当0y =时，260x x +-=，解得13x =-，22x =，(3,0)A ∴-，(2,0)B ，当0x =时，266y x x =+-=-，(0,6)C ∴-，ABC∴∆的面积11(23)61522AB OC ==⨯+⨯=； （2）抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，5A B AB ∴''==，△A B C '''和ABC ∆的面积相等，6OC OC ∴'==，即(0,6)C '-或(0,6)，设抛物线L '的解析式为26y x bx =+-或26y x bx =++ 设(,0)A m '、(,0)B n '，当m 、n 为方程260x bx +-=的两根，m n b ∴+=-，6mn =-，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24(6)25b ∴-⨯-=，解得1b =或1-，∴抛物线L '的解析式为26y x x =--．当m 、n 为方程260x bx ++=的两根，m n b ∴+=-，6mn =，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24625b ∴-⨯=，解得7b =或7-，∴抛物线L '的解析式为276y x x =++或276y x x =-+．综上所述，抛物线L '的解析式为26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+． 11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为F ，点(2,3)D 在该抛物线上． ①求四边形ACFD 的面积；②点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴交该抛物线于点Q ，连接AQ 、DQ ，当AQD ∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解】：（1）由题意可得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+，(1,4)F ∴， (0,3)C ，(2,3)D ，2CD ∴=，且//CD x 轴，(1,0)A -，()1123243422ACD FCD ACFD S S S ∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形；②点P 在线段AB 上，DAQ ∴∠不可能为直角，∴当AQD ∆为直角三角形时，有90ADQ ∠=︒或90AQD ∠=︒，i ．当90ADQ ∠=︒时，则DQ AD ⊥，(1,0)A -，(2,3)D ，∴直线AD 解析式为1y x =+， ∴可设直线DQ 解析式为y x b =-+'，把(2,3)D 代入可求得5b '=，∴直线DQ 解析式为5y x =-+，联立直线DQ 和抛物线解析式可得2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， (1,4)Q ∴；ii ．当90AQD ∠=︒时，设2(,23)Q t t t -++，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+， 把A 、Q 坐标代入可得1121123k b tk b t t -+=⎧⎨+=-++⎩，解得1(3)k t =--， 设直线DQ 解析式为22y k x b =+，同理可求得2k t =-，AQ DQ ⊥，121k k ∴=-，即(3)1t t -=-，解得t =，当t =223t t -++=，当t时，223t t -++=， Q ∴点坐标为或； 综上可知Q 点坐标为(1,4)或或． 12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：（1）已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，则b = 4- ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 ．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，以y 轴上的点(0,)M m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y '，则我们又称抛物线y '为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x =--+关于点(0,)m 的衍生抛物线为y '，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围． 问题解决：（3）已知抛物线22(0)y ax ax b a =+-≠①若抛物线y 的衍生抛物线为222(0)y bx bx a b '=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．【解】：求解体验：（1）抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，130b ∴---=， 4b ∴=-，∴抛物线解析式为2243(2)1y x x x =---=-++， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-，∴抛物线的顶点坐标(2,1)-关于(0,1)的对称点为(2,1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2,1)， 令原抛物线的0x =，3y ∴=-，(0,3)∴-关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5)，设新抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+， 点(0,5)在新抛物线上，25(02)1a ∴=-+，1a ∴=，∴新抛物线解析式为22(2)145y x x x =-+=-+，故答案为4-，(2,1)-，245y x x =-+；抽象感悟：（2）抛物线2225(1)6y x x x =--+=-++①，∴抛物线的顶点坐标为(1,6)-，抛物线上取点(0,5)，∴点(1,6)-和(0,5)关于点(0,)m 的对称点为(1,26)m -和(0,25)m -，设衍生抛物线为2(1)26y a x m '=-+-，2526m a m ∴-=+-，1a ∴=，∴衍生抛物线为22(1)26225y x m x x m '=-+-=-+-②，联立①②得，2222525x x m x x -+-=--+， 整理得，22102x m =-， 这两条抛物线有交点，1020m ∴-…， 5m ∴…；问题解决：（3）①抛物线222(1)y ax ax b a x a b =+-=+--，∴此抛物线的顶点坐标为(1,)a b ---，抛物线y 的衍生抛物线为22222(1)y bx bx a b x a b '=-+=-+-，∴此函数的顶点坐标为2(1,)a b -，两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴2222b b a a ba ab a b⎧++=--⎨+-=-⎩， 0a ∴=（舍)或3a =， 3b ∴=-，∴抛物线y 的顶点坐标为(1,0)-，抛物线y 的衍生抛物线的顶点坐标为(1,12)， ∴衍生中心的坐标为(0,6)；②抛物线22y ax ax b =+-的顶点坐标为(1,)a b ---， 点(1,)a b ---关于点2(0,)k n +的对称点为2(1,22)a b k n +++，∴抛物线n y 的顶点坐标n A 为2(1,22)a b k n +++，同理：1(1n A +，222(1))a b k n ++++22122(1)(22)42n n A A a b k n a b k n n +∴=++++-+++=+．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C 代入2y ax bx c =++得：09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：23a =-，43b =，2c =，∴抛物线的解析式为224233y x x =-++．（2）设点P 的坐标为224(,2)33t t t -++．(1,0)A -，(3,0)B ，4AB ∴=．221124484(2)4(03)223333S AB PD t t t t t ∴==⨯⨯-++=-++<<； （3）当ODP COB ∆∆∽时，OD DP OC OB=即22423323t tt -++=， 整理得：24120t t +-=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，32DP OD == ∴点P 的坐标为． 当ODP BOC ∆∆∽，则OD DP BO OC=，即22423332tt t -++=， 整理得230t t--=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，23DP OD ==，∴点P 的坐标为．综上所述点P 的坐标为或． 14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）当0x =时，2224433y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,4)-；当0y =时，有2224033x x --=， 解得：12x =-，23x =，∴点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(3,0)．（2）设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(3,0)B 、(0,4)C -代入y kx b =+，304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为443y x =-． 过点Q 作//QE y 轴，交x 轴于点E ，如图1所示，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(22,0)t -，点Q 的坐标为3(35t -，4)5t -，3(22)52PB t t ∴=--=-，45QE t =，22144552()25544PBQ S PB QE t t t ∆∴==-+=--+．405-<， ∴当54t =时，PBQ ∆的面积取最大值，最大值为54． （3）当PBQ ∆面积最大时，54t =，此时点P 的坐标为1(2，0)，点Q 的坐标为9(4，1)-．假设存在，设点M 的坐标为222(,4)33m m m --，则点F 的坐标为4(,4)3m m -，2242224(4)23333MF m m m m m ∴=----=-+，2132BMC S MF OB m m ∆∴==-+．BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，253 1.64m m ∴-+=⨯，即2320m m -+=，解得：11m =，22m =．03m <<，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，点M 的坐标为(1,4)-或8(2,)3-．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【解】：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆， 则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆， 所以21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，。

2018年中考数学试题分类汇编之二次函数（2018山东德州）25. 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于、两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求、的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与、重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接,试确定△ 面积最大时点的坐标. (3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.（2018四川成都）28.如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为、是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值.26．（12018年山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan ∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（2018内蒙古通辽）26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．（2018四川资阳）24．（12.00分）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A （0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE ，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（2018四川达州）25．（12分）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．28．（9.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．25．（2018年山东省威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；25．（2018山东省东营市，25，12分） 如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．（2018 年山东省济宁市）（11.00 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标；（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2018年山东省淄博市）（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．（11分）（2018•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B （2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．25.（2018年潍坊市）如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与三角形AMG全等,求直线的解析式．25．（2018山东烟台）（14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2018山东聊城）（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（1 0，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD ，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S△OBN的值；（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t 为何值时S有最大值，最大值是多少？24．（2018山东菏泽）（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．23．（2018年广东省）（9分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．(2018年广西玉林)（12.00分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．23．(2018年河南)（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线B C于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．24．(2018江苏泰州)（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．24．(2018年海南)（15.00分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．25．(2018湖南永州)（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PO N的面积．26.(2018娄底)如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点，是线段的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;(2) 是抛物线上的动点；①当时，求的面积的最大值；②当时，求点的坐标.25．(2018湖南常德)（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．25．(2018湖南郴州)如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C 点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDP M是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．28．(2018甘肃定西)（12分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A ，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形A CPB的最大面积．25．(2018四川绵阳)（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P 为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．AOQ(2018四川自贡)如图，抛物线过、，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为，点是线段AD上的动点．求直线AD及抛物线的解析式；过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？在平面内是否存在整点横、纵坐标都为整数，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．25．(2018湖南衡阳)（10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．26. (2018贵州安顺) 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.27．(2018贵州遵义)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形C OEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．25．(2018贵州铜仁)如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△B OD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．(2018黑龙江齐齐哈尔)如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．．(2018黑龙江龙东)（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．25．(2018湖北黄石)（10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．（2018包头）26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD ．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2018嘉兴）23.已知，点M为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y=mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B。

2018中考数专题二次函数(共40题)线于点G .(1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式;(2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标;(3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标;②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求(x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其(1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值；(3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2-6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物F ，H 为AM+CM 它 顶点为D .3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式;(2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标.2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形.② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.(0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对称轴是直线X =15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (- 1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将Rt A ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点. 试探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6 .我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx (a丰0)表示，对于这样的抛物线：(1 )当抛物线经过点(-2，0)和(-1，3)时，求抛物线的表达式；(2 )当抛物线的顶点在直线y=- 2x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点人、A2、…，A n在直线y=- 2x上，横坐标依次为-1，- 2，- 3，…，-n (n为正整数，且n< 12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长.7 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A (- 1, 0),B (4, 0), C( 0,-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点卩，使厶POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△ PBC面积最大，求出此时P点坐标和厶PBC的最大面积.&如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3,若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1).(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△ EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.y 丄x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y= -_x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B (1) 求抛物线的函数表达式;(2 )点D 为直线AC 上方抛物线上一动点;①连接BC CD,设直线BD 交线段AC 于点E, △ CDE 的面积为 0, △ BCE 的面积为 9 , 求^ 的最大值;②过点D 作DF 丄AC,垂足为点F ,连接CD,是否存在点 D ,使得△ CDF 中的某个角恰好等①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程;③若二次函数的图象与 x 轴交于点A ( x i , 0) , B ( x 2, 点M ,以AB 为直径的半圆恰好过点 M ,二次函数的对称轴I与x 轴、直线BM 、直线AM 分 斗丄，求二次函数的表达式.②若c=- 〒b 2-2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切?0),且x i v X 2,与y 轴的正半轴交于 别交于点D 、E 、F ,且满足请说明理由.10 .已知二次函数 y= - x 2+bx+c+1,点Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ，请写出点 12•抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 A (1, 0)和点 B (5, 0). (1) 求该抛物线所对应的函数解析式；(2 )该抛物线与直线 y 二x+3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，E直线PM / y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .① 连结PC PD ,如图1,在点P 运动过程中，△ PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值；若不存在，说明理由；② 连结PB,过点C 作CQ 丄PM ,垂足为点 Q ,如图2,是否存在点 P,使得△ CNQ 与厶PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.\>1iNC,点B 坐标为(6, 0),点C 坐标为(0, 6),点D 是抛物线的顶点，过点 D 作x 轴的垂线,垂足为E,连接BD.当/ FBA=/ BDE 时，求点 F 的坐标; (3) 若点M 是抛物线上的动点，过点 M 作MN // x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上,Q 的坐标. A 和点B ,与y 轴交于点点F 是抛物线上的动点, (2)13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a丰0)与y轴交与点C (0, 3)，与x轴交于A、B两点，点B坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S,点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△ MBN为直角三角形？若存在，求出t14•如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (- 3, 0)，B (- 2，3)，C ( 0, 3 )，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1，m)，当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF// ND 交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.15•如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c (0)的图象经过 A (- 1, 0 )、B (4, 0)、C (0, 2) 三占 - 八、、♦(1) 求该二次函数的解析式； (2) 点D 是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、16•如图，抛物线 y=/+bx+c 经过B (- 1 , 0), D (-2, 5)两点，与x 轴另一交点为 A , 点H 是线段AB 上一动点，过点 H 的直线PQ 丄x 轴，分别交直线 AD 、抛物线于点 Q , P . (1) 求抛物线的解析式;(2) 是否存在点P ,使/ APB=90 ,若存在，求出点 P 的横坐标，若不存在，说明理由; (3) 连接BQ , 一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到 Q ,再沿线 段QD 以每秒一：个单位的速度运动到 D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动 过程中用时t 最少?9,求Si -住的最大值.17. 如图1，抛物线C i: y=x2+ax与Q：y=- x2+bx相交于点0、C, C i与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段A0的中点.(1)求亘的值；b(2 )若0C丄AC,求厶0AC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为I，顶点为皿，在(2)的条件下：①点P为抛物线C2对称轴I上一动点，当△ PAC的周长最小时，求点P的坐标;②如图2，点E在抛物线C2上点0与点M之间运动，四边形0BCE的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由18. 如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A (8, 0) , B ( 0, 4), D (- 1,0),点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(2)有一动点E从原点0出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA PB,设点E运动的时间为t ( O V t V 4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△ ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.19. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx- 5与x轴交于A (- 1, 0), B( 5,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B, C, D为顶点的三角形与△ ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE// x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC, CE分别相交于点F, G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M (4, m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P, Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P, Q的坐标.20. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a* 0)的图象的顶点坐标是(2, 1),并且经过点(4,2),直线ypx+1与抛物线交于B, D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m 交于对称轴右侧的点M (t, 1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2 )证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作BE X m,垂足为E,再过点D作DF丄m,垂足为F,求BE: MF的值.21 •如图1，抛物线y」-/+bx+c经过A (- , 0)、B ( 0,- 2)两点，点C在y轴上,△ ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE丄AC于点E,以DE为边作矩形DEGF使点F若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图1,点A坐标为(2, 0)，以OA为边在第一象限内作等边△ OAB,点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△ BCD,连接AD交BC于E.如图2,设BC 交抛物线的对称轴于点 F ,作直线CD,点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点 B , F , M , N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M 的坐标.25 .抛物线y=x 3+bx+c 与x 轴交于A (1, 0) , B ( m , 0),与y 轴交于C.如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ,在对称轴左侧的抛物线上—& ACD,求点E 的坐标；(3) 如图2,设F (- 1, - 4), FG 丄y 于G ,在线段0G 上是否存在点 P ,使/ OBP=/ FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.26. 如图，O M 的圆心M (- 1, 2), O M 经过坐标原点 0,与y 轴交于点A .经过点A 的 一条直线l 解析式为：y=-二x+4与x 轴交于点B ,以M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D( 2,x 轴交于点E ,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP 沿直线 EP 折叠，使点B 的对应点 B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标;(3) m=- 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴;如图1,抛物线的对称轴与(2) (1) 若0)和点C (- 4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线I是O M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PF// y轴，交直线I于点F, 是否存在这样的点卩，使厶PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及厶PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.27. 如图，抛物线y=ax"+bx+4交y轴于点A,并经过B (4, 4)和C (6, 0)两点，点D的坐标为(4, 0),连接AD, BC,点E从点A出发，以每秒甘勺个单位长度的速度沿线段AD 向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t 秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角厶EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E, F, G都与点A重合，点E在运动过程中，当△ BCG的面(2)有一点E，使&AC28.抛物线y=ax2+bx+c过A (2, 3), B (4, 3) , C (6,- 5)三点.(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE丄AB交AC于点E,若满足斗二一, 求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线I丄AB,若点P在直线I上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B P、Q为顶点的三角形与△ ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△ BPQ的面积；若不存在，请说明理由.29.如图，已知抛物线y=a/+—x+c与x轴交于A, B两点，与y轴交于丁C,且A (2 , 0),5C (0, - 4),直线I: y=-寺x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2^-x+c上的一动点，(1 )试求该抛物线表达式；(2)如图(1),过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2),过点P作PH丄y轴，垂足为H,连接AC.①求证：△ ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ ACD相似？30•如图，已知抛物线y=ax2-出ax-9a与坐标轴交于A, B, C三点，其中C ( 0, 3), / BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC, AB分别交于点M , N .(1 )直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标; (3) 证明：当直线I 绕点D 旋转时， + 丄均为定值，并求出该定值.AM AN【操作】将图①中抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物 线剩余部分的图象组成的新图象记为G ,如图②•直接写出图象 G 对应的函数解析式.【探究】在图②中，过点 B (0, 1)作直线I 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为 点C, D, E , F ,如图③.求图象 G 在直线I 上方的部分对应的函数 y 随x 增大而增大时x 的取值范围.【应用】P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为 m ，连接PD, PE.直接写出厶PDE 的面积32 .如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC 的边0A 、0C 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4, t ) (t >0),二次函数y=x 2+bx (b v 0)的图象经过点 B ,顶点为点D . (1 )当t=12时，顶点D 到x 轴的距离等于 __________ ;(2 )点E 是二次函数y=x 2+bx ( b v 0 )的图象与x 轴的一个公共点(点 E 与点O 不重合)， 求OE?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ,直线I 平行于x 轴，交二次函数y=x 2+bx ( b v 0)31•《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线一个交点为 A ，贝U a= _____ .y=a (x — 2) 2峙经过原点0,与x 轴的另圏① 圏② 图③的图象于点M、N，连接DM、DN,当厶DMN◎△ FOC时，求t的值.y/\OV1P 133.在平面直角坐标系中，直线y=-「x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=-・x2+bx+c4 2经过点B,与直线y=- x+1交于点C (4,- 2).4(1)求抛物线的解析式；(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME// y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求△ DEM的周长.(3)将厶AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°得到△ A1O1B1，点A, O, B的对应点分别是点A1, O1, B1，若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1, D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE丄.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2) 求证：直线DE是厶ACD外接圆的切线；(3) 在直线AC上方的抛物线上找一点P,使ACD,求点P的坐标；2(4) 在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ ACD相似，直接写出点M的坐标.35.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=- +bx+c的图象与坐标轴交于A, B, C 三点，其中点A的坐标为(-3, 0)，点B的坐标为(4, 0)，连接AC, BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点0出发，在线段0B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= _______ , c= _______ ;(2)在点P, Q运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ;若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N的坐标为(-£, 0)，线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线36. 如图，已知直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- /+bx+c经过A, B两点，点P在线段0A上，从点0出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒.个单位的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，△ APQ为直角三角形；(3)过点P作PE// y轴，交AB于点E,过点Q作QF// y轴，交抛物线于点F,连接EF,当EF// PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP, BM, MQ，问：是否存在t的值，使以B, Q, M为顶点的三角形与以O, B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说37. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B, C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B, C, Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过S(0, 4)的动直线l交抛物线于M , N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线I都有/ MTN=90 ?若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明(1 )直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标=ax2+2ax (a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.(2 )把抛物线C1绕点M (m , 0)旋转180。