高考文科数学模拟试卷8

江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。

绝密 ★ 启用前江西省普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（八）本试题卷共28页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2017四川四市一模]已知i 是虚数单位，若()1i 13i z +=+，则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】由题意，得13i (13i)(1i)2i 1i (1i)(1i)z ++-===+++-，故选A ． 2．[2017昆明一中]已知集合{}012345A =，，，，，，集合40x B x x -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ，≤，则A B =（ ） A ．{}5 B ．{}05， C ．{}15，D ．{}045，，【答案】B【解析】由题意得，集合{}1234B =，，，，所以{}05AB =，，故选B ．3．[2017成都一模]命题“a b >，则a c b c +>+”的逆命题是（ ）． A ．若a b >，则a c b c ++≤ B ．若a c b c ++≤，则a b ≤ C ．若a c b c +>+，则a b > D ．若a b ≤，则a c b c ++≤【答案】C 【解析】“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，所以原命题的逆命题是“若c b c a +>+，则b a >”，故选C ．4．[2017广东联考]设函数()()1232e 2log 1 2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩，，≥，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】()()()()032log 312e2ff f f ===⨯=，选C ．5．[2017江西联考]运行如图所示框图的相应程序，若输入 a b ，的值分别为4log 3和3log 4，则输出M 的值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．1-【答案】D【解析】43log 3 log 4a b ==，，∴ 1 01b a ><<，，∴b a >，根据程度框图，432log 3log 421M a b =⨯-=⋅-=-，故选D ．6．[2017抚州七校]在ABC △中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos ,2b A a B c a b +===，则ABC △的周长为（ ）A ．7.5B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】∵2cos cos ,2b A a B c a b +===，∴由余弦定理可得：222222222b c a a c b b a c bc ac+-+-⨯+⨯=，整理可得：2322c c =， ∴解得：1c =，则ABC △的周长为5122=++=++c b a ，故选D ．7．[2017天水一中]函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图象，可以将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度【答案】B【解析】由已知可得：2πππ1,π=2()sin(2)()sin()063A T f x x f ωϕϕω===⇒⇒=+⇒-=-+=ππ3π()sin(2),()cos 2sin(2)332f x x g x x x ϕ⇒=⇒=+=-=+⇒将()f x 的图象向左平移3ππ723π212-=⇒将()f x 的图象向右平移5π12，故选B ． 8．[2017凉山一模]某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4 D．6+【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，该棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选A ． 9．[2017重庆一模]已知ABC △的外接圆半径为2，D 为该圆上的一点，且AB AC AD +=，则ABC △的面积的最大值为（ ） A ．3 B ．4C．D．【答案】B【解析】由题设AB AC AD +=可知四边形ABDC 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知90BAC ∠=︒，且当AB AC =时，四边形ABDC 的面积最大，则ABC △的面积的最大值为(2max11sin90422S AB AC =⨯︒=⨯=，应选答案B ．10．[2017淮北一中]若直线 :l y ax =将不等式组20600,0x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥≥，表示的平面区域的面积分为相等的两部分，则实数a 的值为（ ） A ．711B ．911C ．713D ．513【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，阴影部分总面积为14，要使7ABC S =△，只需1147,26AC h h ⋅⋅==，将146h =代入60x y +-≤，解得113x =，即147611113a ==．11．[2017南固一中]椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>左右焦点分别为12F F P ，，为椭圆M上任一点且12PF PF 最大值取值范围是2223c c ⎡⎤⎣⎦，，其中c 则椭圆离心率e 取值范围（ ）A．12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎣⎦，C．1⎫⎪⎪⎣⎭D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】2122122PF PF PF PF a ⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭≤，即222232a c a c ⎧⎨⎩≤≥c a 率e的取值范围是32⎣⎦，，故选B ．12．[2017南白中学]设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞B ．(3,0)(0,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(0,3)-∞-【答案】D【解析】由题意得，令()()()h x f x g x =，则当0x <时，()()()()()0h x f x g x f x g x '''=+>，所以当0x <时，函数()h x 为单调递增函数，又由()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以()h x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x >时，函数()h x为单调递增函数，且(3)(3)0f f -=-=，当0x <时，不等式()()0f x g x <的解集是(,3)x ∈-∞-，当0x >时，不等式()()0f x g x <的解集是(0,3)x ∈，所以不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-，故选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前高考模拟试题（八）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}4,2{}3,2,1{==B A ，，则=B A C U )(()A.}4,2,1{ B.}4,3,2{ C.}4,2,0{ D.}4,3,2,0{2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ie 3π表示的复数的模为()A.1B.21 C.23 D.3π3.设随机变量ξ服从正态分布)7,(μN ，若)4()2(>=<ξξP P ，则μ与)(ξD 的值分别为()A.7)(3==ξμD ，B.7)(3==ξμD ，C.7)(3==ξμD ，D.7)(3==ξμD ，4.已知53)4cos(=-x π，则=x 2sin ()A.2518 B.2524-C.257-D.2575.下列不等式一定成立的是()A.)0(lg )41lg(2>>+x x x B.)(1112R x x ∈>+C.)(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+，π D.)(||212R x x x ∈≥+6.函数)(cos ππ≤≤-=x x x y 的图象可能是()A BC D7.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则111)(B D CA CE ⋅-的最大值为()A.22 B.1C.2 D.68.定义运算32414321:a a a a a a a a -=，将函数)0(cos 1sin 3)(>=ωωωxx x f 的图象向左平移32π个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是()A.41 B.43 C.45 D.479.数列}{n a 中，)1()2(1*11≥∈-=+=+n N n a a a n n n ，，，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则=10S ()A.682- B.682C.62- D.6210.经过双曲线1422=-y x 的右焦点的直线与双曲线交于两点B A 、，若4=AB ，则这样的直线有()条.A.4B.3C.2D.111.对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导数，)(x f ''是的)(x f '导数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数12532131)(23-+-=x x x x g ，则=+⋅⋅⋅++)20192018()20192()20191(g g g ()A.2019B.2018C.2017D.201612.已知椭圆134:22=+y x C ，直线4:=x l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于BA ，两点，点C 在直线l 上，则“x BC ∥轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知点P 在曲线14:+=x e y C 上，则曲线C 在P 处切线的倾斜角的取值范围是_______.14.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有_______种.（用数字作答）15.已知球O 是正三棱锥BCD A -（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3=BC ，32=AB ，点E 在线段BD 上，且BE BD 3=，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_______.16.已知在ABC △中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，则下列四个论断中正确的是_______.（把你认为是正确论断的序号都写上）①若b B a A cos sin =，则4π=B ；②若324===c b B ，π，则满足条件的三角形共有两个；③若c b a ，，成等差数列，A sin ，B sin ，C sin 成等比数列，则ABC △为正三角形；④若25==c a ，，ABC △的面积4=ABC S △，则53cos =B .三、解答题：共70分。

2021年高三数学模拟示范卷（文科）（八）含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}，B={x|﹣3≤x＜1}，则A∩B等于（）A．[﹣3，1）B．[﹣3，﹣2）C．[﹣3，﹣1] D．[﹣3，2）2．复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设函数f（x）=，若f（m）=7，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．34．已知向量=（1，0），=（2，2），且+λ与垂直，则实数λ等于（）A．﹣1 B．C．﹣D．15．若函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（）A．B．C．D．6．若a为实数，命题“任意x∈[0，4]，x2﹣2a﹣8≤0”为真命题的充要条件是（）A．a≥8 B．a＜8 C．a≥4 D．a＜47．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=08．已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足a3=a1+2a2，则等于（）A．2+3 B．2+2 C．3﹣2 D．3+29．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．执行如图所示的程序框图，如果输入a=，b=1，那么输出的b值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形，三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该棱柱的外接球与内切球的半径之比为（）A．：B．：1 C．：D．：112．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=（x ﹣1）2﹣1，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）A．（﹣，4﹣）B．（8﹣2，4﹣） C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某市在某次高一数学竞赛中，对800名参赛学生的成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这800名学生在该次数学竞赛中成绩不低于80分的学生人数是．14．已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=，a n=﹣2S n S n（n≥2），则S200=．﹣116．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•=﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，且cosA=．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若b=2，△ABC的面积S=4，求a．18．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：态度放开不放开无所谓调查人群已婚人士2200人200人y人未婚人士680人x人z人已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2，点M在PC上，PM=mMC．（1）求证：平面PAD⊥平面MBD；（2）试确定m的值，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的3倍．20．已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k的直线交椭圆C于点M，N两点（异于A点），且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2，且当x∈（，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m﹣3e恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．xx年全国100所名校高考数学模拟示范卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}，B={x|﹣3≤x＜1}，则A∩B等于（）A．[﹣3，1）B．[﹣3，﹣2）C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|﹣3≤x＜1}，所以A∩B={x|﹣3≤x＜﹣2}=[﹣3，﹣2）．故选：B．2．复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．3．设函数f（x）=，若f（m）=7，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．3【考点】函数的值．【分析】根据解析式对m进行分类讨论，分别代入解析式化简f（m）=7，求出实数m的值．【解答】解：①当m≥2时，f（m）=7为：m2﹣2=7，解得m=3或m=﹣3（舍去），则m=3；②当m＜2时，f（m）=7为：=7，解得m=27＞2，舍去，综上可得，实数m的值是3，故选：D．4．已知向量=（1，0），=（2，2），且+λ与垂直，则实数λ等于（）A．﹣1 B． C．﹣D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于λ的方程解之．【解答】解：因为向量=（1，0），=（2，2），所以+λ=（1+2λ，2λ），且+λ与垂直，所以（+λ）•=0即1+2λ=0，解得；故选：C．5．若函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=sin（2x+φ）的图象关于直线x=对称，求出φ=﹣+kπ，k∈Z；再结合0＜φ＜π得出φ的值．【解答】解：函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则2×+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=﹣+kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，所以当k=1时，φ=．故选：A．6．若a为实数，命题“任意x∈[0，4]，x2﹣2a﹣8≤0”为真命题的充要条件是（）A．a≥8 B．a＜8 C．a≥4 D．a＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用参数分离法进行转化，求出函数的最值即可得到结论．【解答】解：若“任意x∈[0，4]，x2﹣2a﹣8≤0”，则等价为x2≤2a+8，∵x∈[0，4]，∴x2∈[0，16]，∴x2的最大值为16，即16≤2a+8，则2a≥8，得a≥4，即，命题“任意x∈[0，4]，x2﹣2a﹣8≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故选：C．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】可用筛选，由4x±3y=0得y=±x，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线y=±x距离为d==b，所以有：a+c=2b，取a=3，b=4，得4x±3y=0，整理得y=±x，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足a3=a1+2a2，则等于（）A．2+3 B．2+2 C．3﹣2 D．3+2【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据a3=a1+2a2列方程解出公比q，代入式子化简计算即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，∵a3=a1+2a2，∴a1q2=a1+2a1q，即q2﹣2q﹣1=0，解得q=1+或q=1﹣．∵{a n}的各项均为正数，∴q=1+．∴==q2=3+2．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．10．执行如图所示的程序框图，如果输入a=，b=1，那么输出的b值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：输入a=，则log3a=log3＞10不成立，b=b+1=2；a==3，则log3a=log33＞10不成立，b=b+1=3；a=33=27，则log3a=log327＞10不成立，b=b+1=4；a=274=312，则log3a=log3312＞10成立，输出b=4，结束程序．故选：B．11．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形，三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该棱柱的外接球与内切球的半径之比为（）A．：B．：1 C．：D．：1【考点】球内接多面体．【分析】利用底面是边长为2的正三角形，可得正三角形的内切圆的半径为=1，外接圆的半径为2，进而得出内切球的半径、三棱柱的高，求出棱柱的外接球的半径，即可得出棱柱的外接球与内切球的半径之比．【解答】解：∵底面是边长为2的正三角形，∴正三角形的内切圆的半径为=1，外接圆的半径为2，∴内切球的半径=1，∴三棱柱的高为2，∴棱柱的外接球的半径为=，∴该棱柱的外接球与内切球的半径之比为：1，故选：B．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=（x ﹣1）2﹣1，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）A．（﹣，4﹣）B．（8﹣2，4﹣） C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣2）【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=k（x﹣1）有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，若x∈[﹣2，0]时，则﹣x∈[0，2]时，此时f（﹣x）=（﹣x﹣1）2﹣1=（x+1）2﹣1=﹣f （x），即f（x）=﹣（x+1）2+1，x∈[﹣2，0]，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，等价为f（x）=k（x﹣1）恰有三个不同的实数解，即函数f（x）与y=k（x﹣1）有三个不同的交点，作出函数f（x）和y=k（x﹣1）的图象如图：当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，则f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4+1）2+1=﹣（x﹣3）2+1，由f（x）=1﹣（x﹣3）2=k（x﹣1），得x2+（k﹣6）x+8﹣k=0，此时对称轴x=﹣∈（2，4），得﹣2＜k＜2，∵k＞0，∴0＜k＜2，由判别式△=（k﹣6）2﹣4（8﹣k）=0得k2﹣8k+4=0得k=4﹣2，或k=4+2，（舍）则k=4﹣2，此时两个函数有2个交点．当x∈[﹣4，﹣2]时，x+4∈[0，2]，则f（x）=f（x+4）=（x+4﹣1）2﹣1=（x+3）2﹣1，x∈[﹣4，﹣2]，此时当f（x）与y=k（x﹣1）相切时，即（x+3）2﹣1=k（x﹣1），即x2+（6﹣k）x+8﹣k=0，此时对称轴x=∈（﹣4，﹣2），得﹣2＜k＜2，∵k＞0，∴0＜k＜2，判别式△=（6﹣k）2﹣4×（8+k）=0得k2﹣16k+4=0得k=8﹣2，或k=8+2（舍），即k=8﹣2，此时两个函数有4个交点．故若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2＜k＜4﹣2，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某市在某次高一数学竞赛中，对800名参赛学生的成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这800名学生在该次数学竞赛中成绩不低于80分的学生人数是200．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出得分不低于80分的频率，再求得分不低于80分的人数．【解答】解：由频率分布直方图知，得分不低于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.25，∴得分不低于80分的人数为800×0.25=200．故答案为：200．14．已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，且A（2，2），此时z=2×2+2=6；故答案为：6．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=，a n=﹣2S n S n﹣1（n≥2），则S200=．【考点】数列递推式．【分析】a n=﹣2S n S n﹣1化简可得﹣=2，且=2，从而可判断数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而求得．【解答】解：∵a n=﹣2S n S n﹣1，∴S n﹣S n﹣1=﹣2S n S n﹣1，∴﹣=﹣2，即﹣=2，且=2，故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴=2+2（n﹣1）=2n，故S n=，故S200=，故答案为：．16．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•=﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|=．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据•=﹣3，首先可以由韦达定理，得出抛物线的方程，然后，利用抛物线的定义，将|AM|与4|BM|进行表示，利用基本不等式，由取等的条件，求得点A，B的坐标，由两点间的距离公式即可求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x=my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2=2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，∵•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2=•=，∴有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（舍去负值），∴x1x2==1，由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9，当且仅当x1=4x2时取得等号．由于x1x2=1，可以解得，x2=2（舍去负值），∴x1=，代入抛物线方程y2=4x，解得，y1=，y2=±2，即有A（，±）B（2，±2），∴|AB|===．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，且cosA=．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若b=2，△ABC的面积S=4，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式、诱导公式化简即可得出．（2）sinA=，由S=，解得c．再利用余弦定理可得：a2=22+c2﹣2×2×ccosA．【解答】解：（1）∵cosA=，∴sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A﹣1=+﹣1=．（2）∵cosA=，∴sinA==．由S==×，解得c=5．∴a2=22+c2﹣2×2×ccosA=4+52﹣=17，解得a=．18．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：态度放开不放开无所谓调查人群已婚人士2200人200人y人未婚人士680人x人z人已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）先持抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（2）由y+z=800，y≥710，z≥78，用列举法求得满足条件的（y，z）有13种，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720，列举求得调查失效的情况共10种，由此求得调查失效的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴=0.08，解得x=120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120=800．∴应在“无所谓”态度抽取800×=80人．（2）∵y +z=800，y ≥710，z ≥78，故满足条件的（y ，z ）有：，，，，，，，，，，，，，共13种．记本次调查“失效”为事件A ，若调查失效，则2200+200+y ＜4000×0.78，解得y ＜720． ∴事件A 包含，，，，，，，，，共10种．∴P （A ）=19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2，点M 在PC 上，PM=mMC ．（1）求证：平面PAD ⊥平面MBD ；（2）试确定m 的值，使三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证平面MBD ⊥平面PAD ，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD 内一直线与平面PAD 垂直，而根据平面PAD 与平面ABCD 垂直的性质定理可知BD ⊥平面PAD ；（2）由PM=mMC ，可得三棱锥P ﹣MBD 体积=×三棱锥P ﹣BCD 体积，三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍，可得三棱锥P ﹣MBD 体积=V P ﹣BCD ，即可求出m 的值．【解答】（1）证明：在△ABD 中，由于AD=2，BD=4，AB=2，所以AD 2+BD 2=AB 2．故AD ⊥BD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（2）解：∵PM=mMC ，∴三棱锥P ﹣MBD 体积=×三棱锥P ﹣BCD 体积，∵AB=2DC=2，∴S △ABD =2S △BCD ，∴V P ﹣ABD =2V P ﹣BCD ，∵三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍，∴三棱锥P ﹣MBD 体积=V P ﹣BCD ，∴=，∴m=2．20．已知离心率为的椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 的左顶点，且满足|AF 1|+|AF 2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k的直线交椭圆C于点M，N两点（异于A点），且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的定义可得a=2，离心率为，c=1，求出b，即可求椭圆C的标准方程；（2）联立方程组得到（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，利用AM⊥AN，结合韦达定理得到7m2+16km+4k2=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2a=4，解得a=2，∵离心率为，∴c=1，∴=，∴椭圆C的标准方程为=1；（2）设直线l：y=kx+m，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），代入=1，可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2＞m2﹣3∵AM⊥AN，∴（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）=0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，∴（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，∴（k2+1）•+（mk﹣2）（﹣）+m2+4=0，∴7m2+16km+4k2=0，∴7m=﹣2k，m=﹣2k，当7m=﹣2k时，y=kx+m=﹣mx+m=m（﹣x+1）（k≠0）直线l过定点（，0）当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）∵右顶点为A（2，0）∴直线l过定点（2，0）不符合题意，根据以上可得：直线l过定点（，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2，且当x∈（，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m﹣3e恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的值；（2）求得g（x）的表达式，求得导数，以及单调区间，可得最大值，由题意可得g（x）max≤2m﹣3e，解不等式可得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2的导数为f′（x）=（2x﹣2）lnx+x﹣2+2ax，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为2a﹣1，由切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直，可得2a﹣1=﹣3，解得a=﹣1；（2）g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2+2x2﹣x﹣2=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，可得g′（x）=（2x﹣2）lnx+3x﹣3=（x﹣1）（2lnx+3），当x∈（e﹣2，e）时，g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x∈（e，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减．由g（e）=2e2﹣3e＞g（e）=2e﹣e﹣3，可得2e2﹣3e≤2m﹣3e，解得m≥e2．即有m的范围是[e2，+∞）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解答】证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．xx年7月29日;,35877 8C25 谥40788 9F54 齔22289 5711 圑20865 5181 冁32389 7E85 纅!:32305 7E31 縱23990 5DB6 嶶39618 9AC2 髂<。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A∩B=（ ） A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-= 3．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．3005．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“a b //”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1BCD ．28．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 二、填空题9．复数()1i i +的实部为．10．13222,3,log 5-三个数中最大数的是．11．在ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠=． 12．已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b =．13．如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为．14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是． 三、解答题（共80分）15．已知函数()2sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．16．已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 17．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC BC ==，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．（1）求证：VB ∥平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB （3）求三棱锥V ABC -的体积．19．设函数()2ln (0)2x f x k x k =->． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（•北京）若集合A={x|﹣5＜x ＜2}，B={x|﹣3＜x ＜3}，则A∩B=（ ） A ．{x|﹣3＜x ＜2}B ．{x|﹣5＜x ＜2}C ．{x|﹣3＜x ＜3}D ．{x|﹣5＜x ＜3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合A={x|﹣5＜x ＜2}，B={x|﹣3＜x ＜3}， 则A∩B={x|﹣3＜x ＜2}． 故选：A ．2．（•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．（x ﹣1）^^^2+（y ﹣1）^^^2=1 B ．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=1C ．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=2D ．（x ﹣1）^^^2+（y ﹣1）^^^2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x ﹣1）^^^2+（y ﹣1）^^^2=2． 故选：D ．3．（•北京）下列函数中为偶函数的是（ ） A ．y=x^^^2sinx B ．y=x^^^2cosx C ．y=|lnx|D ．y=2﹣^^^x【分析】首先从定义域上排除选项C ，然后在其他选项中判断﹣x 与x 的函数值关系，相等的就是偶函数．【解答】解：对于A ，（﹣x ）^^^2sin （﹣x ）=﹣x^^^2sinx ；是奇函数； 对于B ，（﹣x ）^^^2cos （﹣x ）=x^^^2cosx ；是偶函数； 对于C ，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣^^^x）=2^^^x≠2﹣^^^x，2^^^x≠﹣2﹣^^^x；是非奇非偶的函数；故选B4．（•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．5．（•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a ＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．7．（•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．8．（•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）5月1日12 350005月15日48 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升 C．10升D．12升【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．二、填空题9．（•北京）复数i（1+i）的实部为﹣1．【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．10．（•北京）2﹣^^^3，，log_____25三个数中最大数的是log_____25．【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，即可得到最大数．【解答】解：由于0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，则三个数中最大的数为log_____25．故答案为：log_____25．11．（•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=．故答案为：．12．（•北京）已知（2，0）是双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．【分析】求得双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．13．（•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为7．【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．14．（•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．三、解答题（共80分）15．（•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin^^^2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin^^^2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．16．（•北京）已知等差数列{an}满足a_____1+a_____2=10，a_____4﹣a_____3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b_____2=a_____3，b_____3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【分析】（I）由a_____4﹣a_____3=2，可求公差d，然后由a_____1+a_____2=10，可求a_____1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．∵a_____4﹣a_____3=2，所以d=2∵a_____1+a_____2=10，所以2a_____1+d=10∴a_____1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{bn}的公比为q，∵b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，∴∴q=2，b_____1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等17．（•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √× √√217 × √× √200 √√√×300 √× √×85 √× × ×98 × √× ×（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．18．（•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB=•S△VAB=，∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．20．（•北京）已知椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x^^^2+3y^^^2=3，∴椭圆C的标准方程为：+y^^^2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y_____1），B（1，﹣y_____1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y_____1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y_____1），∴直线BM的斜率kBM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x_____1，y_____1），B（x_____2，y_____2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k^^^2）x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0，由韦达定理，得x_____1+x_____2=，x_____1x_____2=，∵kBM﹣1====0，∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．19．（•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，）（） f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：棱数（E）多面体面数（F）顶点数（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4πC.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f （x）在R上是单调减函数，故C错.D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.故选：B.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4.故选：A.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式.【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误.故选：A.【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用.二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 x2+（y﹣1）2=1 .【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程.【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0.∴2tanθ=1，∴tanθ=.故答案为：.【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题. 14.（5分）观察分析下表中的数据：棱数（E）多面体面数（F）顶点数（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案.【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题. （几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，。

2020届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（八）本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式:样本数据x 1,x 2，…，x n .的方差s 2=])(....)()[(n122221x x x x x x n -++-+- 其中x 为样本平均数柱体体积公式V = Sh 其中S 为底面面积，h 为髙 锥体体积公式V=h 31S 其中S 为底面面积，h 为髙球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=34πR 2其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A=}065x N {x 2≤-+∈x ，B=}{A C C ⊆，则集合B 中元素的个数为A.3B.4C.27D.28 2.已知复数z 满足i z12z =-+，则z 的值为 A.25 B.45 C.210 D.25 3.在△ABC 中，75==BC BA ，，D 为AC 中点，则AC BD ⋅的值为 A.-1 B.-2 C.l D.24.—个三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上正方形小格的边樣为1，则该几何体的体积为 A.332 B.364C.32D.64 5.设命题R x p ∈∃:"使得ax 2+x+1<0”，命题x x 31-a 3f :"q -⋅+=）（）（x 为增函数”若q p ∧⌝为真命题，则实数a.的取值范围是 A.（-∞,1] B.[41,1) C.(41,1] D.[41,1]6.我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中有一两鼠穿垣问题，其内容如下：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两侧，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第—天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半.则它们何时相遇？下图为计算该问题的程序框图，若输人的P 为5，则输出的t 值为A.1 52 B.1 54 C.2176 D.2 172 7.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a ，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则A.平均分变大，方差变大B.平均分变小，方差变小C.平均分变小，方差变大D.平均分不变，方差变小8.已知函数f(x)=sin(6x πω+)(0>ω)，对任意的x ∈R 有分f （x 1）≤f(x)≤f(x 2)^恒成立,且丨x 1-x 2丨的最小值为2π，则下列结论正确的是A.f(6x π-)是奇函数 B.f(6x π+)是偶函数C.点（06，π)是f(x)的一个对称中心 D.x=-6π是f(x)的一条对称轴9.若a >b >0,0<c <1,则A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c<b cD.c a>cb10.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为A.√32B.√22C.√33 D.1311.若函数f (x )=x-13sin 2x+a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是A.[-1,1]B.[-1,13] C.[-13,13] D.[-1,-13]12.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π第II 卷（非选择题 共90分）第II 卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题-23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：（本大提共4题 每题5分 共20分，把答案填在题中横线上）13．设向量a =(x ,x+1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 14．已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15．设直线y =x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=1,a n b n+1+b n+1=nb n.3(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18．（本小题，满分12分）如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.（本小题，满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n 的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20．（本小题，满分12分）在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21．（本小题，满分12分）已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22．（本小题，满分10分）OA为半径作如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,12圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥C D.23．（本小题，满分12分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acosty =1+asint (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a . 24．已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y =f (x )的图象; (Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.数学（供文科考生使用）参考答案1.B2.C3.C4.A5.D6.D7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.A13.-23【解析】本题考查平面向量垂直的性质,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.因为a=(x,x+1),b=(1,2),a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.【备注】本题从平面向量的数量积为0入手,转化为含x的方程,解题十分顺畅,体现了向量的思维应用价值.14.-43【解析】本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式等知识.通性通法因为sin(θ+π4)=35,所以cos(θ-π4)=sin[π2+(θ-π4)]=sin(θ+π4)=35,因为θ为第四象限角,所以-π2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-3π4+2kπ<θ-π4<2kπ-π4,k∈Z,所以sin(θ-π4)=-√1−(35)2=-45,所以tan(θ-π4)=sin(θ−π4)cos(θ−π4)=-43.光速解法因为θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos(θ+π4)=45,所以tan(θ-π4)=sin(θ−π4)cos(θ−π4)=−cos[π2+(θ−π4)]sin[π2+(θ−π4)]=-cos(θ+π4)sin(θ+π4)=-43.【备注】本题易错点是利用同角三角函数的基本关系式求余弦值时,未注意到角的取值范围,或注意到角的取值范围,但因为角在某象限的三角函数值的符号判断出错,导致求解的结果出错.15.4π【解析】本题考查直线与圆的位置关系,圆的面积等知识,意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力.圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=√a2+2,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为|−a+2a|√2=|a|√2,所以(|a|√2)2+(√3)2=(√a2+2)2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.【备注】破解此类题的关键是过好三关:一是借形关,即会思图与用图;二是方程关,利用直角三角形(弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形)寻找关于参数的方程;三是公式应用关,即利用圆的面积公式求解.16.216 000【解析】本题考查线性规划的实际应用,意在考查考生的实际应用能力,以及运算求解能力.设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件,y 件,生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元.依题意得{ 1.5x +0.5y ≤150x +0.3y ≤905x +3y ≤600x ∈N y ∈N,即{ 3x +y ≤30010x +3y ≤9005x +3y ≤600x ∈N y ∈N , 目标函数为z =2 100x+900y .其可行域为四边形OMNC 及其内部区域中的整点,其中点O (0,0),M (0,200),N (60,100),C (90,0),当直线z =2 100x+900y 经过点N (60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000,即生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.【备注】破解此类题的关键:一是构建模型,读懂应用背景,构建简单线性规划模型.二是判断二元一次不等式表示平面区域的方法——“选点法”:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.三是求线性目标函数的最值的一般步骤:一画二移三求.本题突破口是准确作出可行域,准确理解z 的几何意义,就可以借助图形得到答案.17.(Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n ,得b n+1=bn 3,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则 S n =1−(13)n 1−13=32-12×3n−1. 【解析】本题考查等差数列,数列的递推关系式,等差数列的通项与等比数列的前n 项和公式等知识,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力. (Ⅰ)把n =1代入式子a n b n+1+b n+1=nb n ,即可求出数列{a n }的首项,再利用等差数列的通项公式,即可求其通项公式;(Ⅱ)将(Ⅰ)中得到的{a n }的通项公式代入式子a n b n+1+b n+1=nb n ,即可判断{b n }为等比数列,再利用等比数列的前n 项和公式,得出结果.【备注】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.首项与公差是等差数列的“基本量”,首项与公比是等比数列的“基本量”.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法.18.(Ⅰ)因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE .所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG .又由已知,可得PA =PB ,所以G 是AB 的中点.(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下:由已知可得PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,又EF ∥PB ,所以EF ⊥PA ,EF ⊥PC ,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由(Ⅰ)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD =23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA =6,可得DE =2,PE =2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2.所以四面体PDEF 的体积V =13×12×2×2×2=43.【解析】本题考查空间几何体中线、面的位置关系等知识,意在考查考生的空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力.(Ⅰ)欲证G 是AB 的中点,只需证明PG ⊥AB .(Ⅱ)利用三棱锥的体积公式求解四面体PDEF 的体积.【备注】无19.(Ⅰ)当x ≤19时,y =3 800;当x >19时,y =3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y 与x 的函数解析式为y ={3 800,x ≤19500x −5 700,x >19(x ∈N). (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4 000×90+4 500×10)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】本题考查柱状图、频数、平均数等知识,意在考查考生的数据处理能力、统计意识和应用意识,化归与转化能力,运算求解能力.(Ⅰ)读懂题意与柱状图,即可用分段函数的形式表示y 与x 的函数解析式;(Ⅱ)读懂不小于即是大于或等于,并且把频率问题转化为频数问题,即可求出n 的最小值;(Ⅲ)分别求出n =19与n =20时,这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,比较平均数大小,即可得出结论.【备注】本题易错点有两处:一是混淆了频率分布直方图与柱状图,导致全题皆错;二是审题不清或不懂题意,导致解题无从入手.避免此类错误,需认真审题,读懂题意,并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别,纵轴表示的意义.20.(Ⅰ)由已知得M(0,t),P(t 22p,t).又N为M关于点P的对称点,故N(t 2p ,t),ON的方程为y=ptx,代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p .因此H(2t2p,2t).所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.【解析】本题考查抛物线的图象和性质,直线和抛物线的位置关系等知识,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)利用对称性与线段的中点坐标公式,即可得|OH||ON|的值;(Ⅱ)判断直线MH与C的位置关系,即可得出结论.【备注】破解此类解析几何题的关键:一是“对称”引路,利用线段中点的坐标公式即可快速求出两线段的比值;二是“转化”桥梁,即会利用分析法,把所需判断直线与抛物线是否有其他公共点的问题转化为判断直线MH与C的位置关系问题.21.(Ⅰ)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(ii)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1+∞)时,f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(iii)设a<0,若a≥-e2,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-e2,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).【解析】本题考查函数的单调性,函数的零点,导数的应用等知识,意在考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.(Ⅰ)先求f'(x),对参数a进行分类讨论,由f'(x)>0(f'(x)<0),得函数f(x)的单调递增(减)区间.(Ⅱ)对参数a进行分类讨论,利用导数法判断函数的单调性,从而判断是否有两个零点,最后确定a的取值范围.【备注】判断可导函数的单调性的关键:首先,确定函数的定义域;其次,求导数f'(x);最后,对参数进行分类讨论,解不等式f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间,解不等式f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间.注意:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.有关函数的零点问题常用导数法,判断函数的图象特征,寻找关于参数的不等式(组),从而求得结果.22.(Ⅰ)设E是AB的中点,连接OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线在Rt△AOE中,OE=12AB与☉O相切.(Ⅱ)连接OD,因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB .同理可证,OO'⊥CD .所以AB ∥CD .【解析】本题考查等腰三角形的性质,直线与圆相切,四点共圆的性质,线线平行的证明等知识,意在考查考生的数形结合能力,化归与转化能力.(Ⅰ)欲证直线AB 与☉O 相切,只需取AB 的中点,证明点O 与该中点的连线与AB 垂直,根据△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°易得结论;(Ⅱ)利用四点共圆的性质,即可证明AB ∥CD .【备注】破解此类题的关键:一是需熟记直线与圆相关的性质与定理,解题才有路;二是注意数形结合思想与转化思想在解题中的适时应用.23.(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2. C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2−2ρsinθ+1−a 2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0, 由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a =1.【解析】本题考查圆的参数方程,圆的极坐标方程与直线的极坐标方程,直线与圆的位置关系等知识.(Ⅰ)把曲线C 1的参数方程化为普通方程,即可判断出其表示的曲线,再利用极坐标公式化为极坐标方程;(Ⅱ)由已知两圆的公共点都在直线θ=α0上,可得关于参数a 的方程组,解方程组,求a 的值.【备注】求解此类问题的关键:首先,会转化,把圆的参数方程转化为普通方程,在转化过程中,一定要注意等价性,关注参数的取值范围;还需掌握极坐标与直角坐标的互化.其次,懂技巧,利用两圆的公共点都在直线上,寻找参数的方程.最后,会解方程.24.(Ⅰ)f (x )={x −4,x ≤−1,3x −2,−1<x ≤32,−x +4,x >32,y =f (x )的图象如图所示.(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象,当f (x )=1时,可得x =1或x =3; 当f (x )=-1时,可得x =13或x =5,故f (x )>1的解集为{x|1<x <3}; f (x )<-1的解集为{x|x <13或x >5}. 所以|f (x )|>1的解集为{x|x <13或1<x <3或x>5}.【解析】本题考查含有绝对值的函数的图象,解含有绝对值的不等式等知识.(Ⅰ)利用零点分区间法,先化简函数y=f(x),再画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)由y=f(x)的图象,可得不等式|f(x)|>1的解集.【备注】本题易错点有两处:一是用零点分区间法时,化简函数y=f(x)出错,导致所画的图象出错;二是不会利用图象的对称性来判断y=|f(x)|的图象,绕了一大弯,重新求解不等式.为避免出错,只需化简认真,图象用活,便可轻松破解。

1. 已知函数f（x）=ax^2+bx+c（a≠0），若f（-1）=0，f（2）=4，则f（1）的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 62. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则前10项的和S10等于（）A. 100B. 110C. 120D. 1303. 下列各式中，不是等比数列通项公式的是（）A. an=2^nB. an=-3×（-1）^(n-1)C. an=3n-2D. an=4×（-1/2）^(n-1)4. 已知复数z=（1+i）/（1-i），则|z|的值为（）A. 1B. √2C. √3D. 25. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，若a1=1，b1=1，且a1+b1=2，a2+b2=4，则a3+b3的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 126. 若不等式x^2-4x+3>0的解集为A，不等式x^2-4x-3<0的解集为B，则集合A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f（x）=log2（x+1），则函数f（x）的值域为（）A. [0, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0)8. 已知函数f（x）=ax^2+bx+c（a≠0），若f（1）=0，f（-1）=0，则f（0）的值为（）A. 0B. cC. aD. b9. 若向量a=（1，2），向量b=（2，1），则向量a·b的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 210. 已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，则函数f（x）的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 设数列{an}的前n项和为Sn，若an=2n-1，则S10=________。

12. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=3，a3+a5=18，则q=________。

13. 若复数z满足|z-1|=|z+i|，则z在复平面上的对应点位于________。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[1, 2]上存在极值，则f(x)在区间[1, 2]上的极值点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S3 = 21，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. y = √(x^2 - 1)B. y = log2(x - 1)C. y = x^2 + 1D. y = 1/x5. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集是：A. A的补集B. AC. R（实数集）D. 空集7. 已知函数y = sin(2x + π/6)的图象向右平移π个单位后，得到的函数的解析式是：A. y = sin(2x + π/6)B. y = sin(2x - 5π/6)C. y = sin(2x + 5π/6)D. y = sin(2x - π/6)8. 在三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则sinC的值为：A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√29. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是：A. (-∞, -1] ∪ [1,+∞)B. (-1, 1)C. (-1, 0) ∪ (0, 1)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)10. 若数列{an}的前n项和为Sn，且an = 3^n - 2^n，则S5的值为：A. 441B. 462C. 482D. 502二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点是______。