下载文档原格式
课题：2、极坐标与直角坐标的互化教学目的：知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.三．举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 例2.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.变式训练在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、巩固与练习：课后练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；2．互换的公式；3．互换的基本方法。
§1.2.2极坐标与直角坐标的互化（选修4-4P11）教学目的：知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体 教学过程：一、 知识回顾、引入新课（一） 知识回顾1. 什么是极坐标系（如图所示）及其四要素 ①极点； ②极轴；③长度单位；④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。
2. 点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应的限制条件 ①点的极坐标表示方法 ②3. 极坐标与直角坐标的区别主要区别：在于平面内一点的直角坐标是唯一的，而极坐标有无数种。
(二) 引入新课思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这两种坐标之间有什么关系呢？二、 新课讲授1. 极坐标与直角坐标的互化如图1-14，设点 是平面内任意一点，它的直角坐标是， 若把直角坐标系的原点作为极点， 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点 的极角为θ，则点 的极坐标为 问题一：点 的两种坐标之间的有什么关系？答：从图1-14可知：①①说明：已知平面内任意一点 的极坐标 可化成直角坐标 .● 1x ?极坐标系 πθρ20,0<≤>限制条件),(θρM M ),(y x xM M ),(θρM θρθρsin ,cos ==y x M ),(θρ),(y x问题二：如何将点 的直角坐标 化成极坐标 呢？ 答：由①可知：②②说明：已知平面内任意一点 的直角坐标 可化成极坐标 . 综上可知：（1）极坐标和直角坐标的互化关系式为（极 直） ①（直 极） ②（2）互化公式的三个前提条件： ① 极点与直角坐标系的原点重合（如图）; ②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合（如图）; ③两种坐标系的单位长度相同（如图）.2. 例题讲解可得 因此，点 的直角坐标为),(y x M )0(tan ),0(22≠=>+=x xyy x θρρM θρθρsin ,cos ==y x )0(tan ,22≠=+=x xyy x θρ)3.(32511例教材，的极坐标（将点例P M π 1θρθρsin ,cos ==y x 坐标的公式解：由极坐标化成直角23532sin 5,2532cos5==-==ππy x M .23525），（-),(θρ),(y x ),(θρ的取值。
1、利用点的坐标互化公式解决问题（重点）
2、常与三角函数和几何图形结合命题。
3、灵活运用互化公式求点的极（直角）坐标。
（难点）
点的极坐标和直角坐标的互化
（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为 ，x 轴的正半轴作为 ，并在两种坐标系中取相同的 ，如图所示。
（2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y ）,极坐标是（ρ，θ）（0≥ρ），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角。
想一想：若0≥ρ，πθ20<≤，如何将点的直角坐标（－1，1）化为极坐标？
题型一 把点的极坐标化为直角坐标： 【例1】分别把下列点的极坐标化为直角坐标 （1）（2，
3
π
）； （2）（4，－
2
π
）；
（3）（5，－5）； （4）（4，－12
π
）
题型二 将点的直角坐标化为极坐标
【例2】分别把下列点的直角坐标化为极坐标（限定0≥ρ，πθ20<≤）
： （1） （0，0） （2） （－1，－1） （3） （－2，32） （4） （
2
323π
π
，） （5） （26，－）； （6）（3，4）
【练习1】分别把点的极坐标（1，0），（1，－2π），（2，
2
3π），（
2
2
π
π，）。
【练习2】直角坐标为（2
3π，－
2
π
）的点的极坐
标为（ ） A.（6
5ππ，
）B.（6
7ππ，
）C.（6
11ππ，
）D.（2
π
π，）
题型三 极坐标与直角坐标的综合应用 【例3】 在极坐标系中，如果A （2，
4
π
），B(2,
4
5π)
为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标
（0≥ρ，πθ20<≤）。
【练习3】本例中，如果点的极坐标仍为 A （2，
4
π
），
B(2,
4
5π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直
角顶点C 的极坐标与该三角形的面积？
【练习4】在直角坐标系中，M （3，4），原点为O ，将
OM 绕点O 逆时针方向旋转3
π
得到ON,求点N 的直角坐
标。
课时作业
一、选择题
1、极坐标系中，点（1，－π）的直角坐标为 A.（1，0） B.（0，1）C.（－1，0）D.（0，－1） 2.直角坐标系中，点（1，－3）的极坐标可以是
A.（2，
3π
） B.（2，
32π）
C.（2，
3
4π
） D.（2，
3
5π
）
3.把点的直角坐标（3，－4）化为极坐标（ρ，θ）（0≥ρ，πθ20<≤），则
A. ρ＝3，θ＝4
B. ρ＝5，θ＝4
C. ρ＝5，tan θ＝
3
4 D. ρ＝5，tan θ＝-
3
4 4、在极坐标系中，点A(2, 6
π
)与B(2, －
6
π
)之间
的距离为
A.1
B.2
C.3
D.4 5、极坐标系中，极坐标为（3，－6）的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6、在极坐标系中，点A(
2
2，
6
π
),B(
2
2，
3
2π)，
则线段AB 中点的极坐标为
A.（2
1，
12
5π） B.（1，
12
5π）
C.（
2
2，
12
5π） D.（
2
2，
3
π
）
二、填空题
7.极坐标系中点（6，
3
7π）的直角坐标为
8、将点的直角坐标（－
2
π
，
2
π
）化为极坐标（ρ〉
0，πθ20<≤）为 9、已知点M 的极坐标为（5，θ），且tan θ=-3
4,
2
π
<
θ<π,则点M 的直角坐标为 。
三、解答题
10、已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x 32换
为点P ′(6,-3),限定ρ〉0，πθ20<≤时，求点P 的极坐标。
11、在极坐标系中，已知三点M （2，-
3
π
），N （2，0）,P
（2
3，
6
π
）。
判断M,N,P 三点是否在一条直线上？
说明理由。
