曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的在数学中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。

它们在描述平面上的点、图形和曲线方程时具有不同的表达方式。

在某些情况下，我们需要在两种坐标系之间进行转换，以便更方便地求解和分析问题。

而将极坐标方程和直角坐标方程互相转化是一种常见的转换方式。

本文将介绍如何互化极坐标方程和直角坐标方程。

一、从极坐标转换为直角坐标在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）共同确定。

我们可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别表示直角坐标系下的点的坐标。

使用这两个公式，我们可以将给定的极坐标转换为直角坐标。

例如，如果我们有一个极径r=3和极角θ=π/4，我们可以使用上述公式计算出对应的直角坐标为：•x = 3 * cos(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2•y = 3 * sin(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2因此，原来的极坐标(3,π/4)在直角坐标系下的表示为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)。

二、从直角坐标转换为极坐标同样地，我们也可以通过一些公式将直角坐标转换为极坐标。

给定一个点在直角坐标系下的坐标(x, y)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标：•r = √(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正向的夹角。

通过这两个公式，我们可以将给定的直角坐标转换为极坐标。

例如，如果我们有一个点在直角坐标系下的坐标为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)，我们可以使用上述公式计算出对应的极坐标为：•r = √((√2 * 3 / 2)^2 + (√2 * 3 / 2)^2) = √(9/2 + 9/2) = √(9 + 9) = √18•θ = arctan((√2 * 3 / 2) / (√2 * 3 / 2)) = arctan(1) = π/4因此，原来的直角坐标(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)在极坐标系下的表示为(√18, π/4)。

极坐标参数方程与直角方程的互化1. 引言极坐标和直角坐标是数学中两种常见的坐标系统。

它们可以用于描述平面上的点的位置，但表示方式不同。

本文将介绍极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系，帮助读者更好地理解这两种坐标系统之间的转换方式。

2. 极坐标参数方程极坐标参数方程是一种使用极径和极角来表示平面上的点坐标的方式。

通过极径表示点到原点的距离，通过极角表示点所在的方向。

极坐标参数方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点的极角，f(θ)是一个函数，用于描述点的位置。

极坐标参数方程的转换方式如下：•将直角坐标点(x, y)转换为极坐标点(r, θ)：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)•将极坐标方程r = f(θ)转换为直角坐标方程：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)3. 直角方程直角方程是一种使用水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）来表示平面上的点坐标的方式。

直角方程通常使用方程的形式来表示点的位置，例如：y = f(x)其中，x是点的水平坐标，y是点的垂直坐标，f(x)是一个函数，用于描述点的位置。

直角方程的转换方式如下：•将极坐标点(r, θ)转换为直角坐标点(x, y)：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)•将直角方程y = f(x)转换为极坐标方程：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)4. 示例下面将通过一个简单的示例来展示极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系。

考虑一个极坐标参数方程r = 2sin(θ)，我们将通过转换来得到对应的直角方程。

首先，我们将极坐标方程转换为直角坐标方程： - x = r * cos(θ) = 2sin(θ) * cos(θ) - y = r * sin(θ) = 2sin(θ) * sin(θ)对于这个简单的极坐标方程，我们可以通过简单的三角函数运算得到对应的直角方程。

极坐标方程和直角坐标方程的互换在数学中，坐标系是用来描述和表示点在平面上或空间中位置的工具。

常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系是笛卡尔坐标系的一种特例，在直角坐标系中，一个点的位置由它在水平轴上的横坐标和在竖直轴上的纵坐标确定。

而在极坐标系中，一个点的位置由它距离原点的距离和与参考方向的夹角确定。

在实际应用中，我们经常会遇到需要在直角坐标系和极坐标系之间进行互换的情况。

下面将介绍如何在极坐标方程和直角坐标方程之间进行互换。

极坐标方程转直角坐标方程给定一个极坐标方程，我们希望将其转换为直角坐标方程。

考虑一个点的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与参考方向的夹角。

在直角坐标系中，我们将点的位置表示为(x, y)。

由于x轴和y轴与极坐标系的极轴和参考方向相互垂直，我们可以利用三角函数来进行转换。

根据三角关系，我们有以下等式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)因此，可将极坐标方程转化为直角坐标方程。

以极坐标方程r = 2cos(θ)为例，我们来将其转换为直角坐标方程：x = 2cos(θ) * cos(θ) = 2cos²(θ)y = 2cos(θ) * sin(θ) = sin(2θ)所以，极坐标方程r = 2cos(θ)在直角坐标系中的方程为x = 2cos²(θ)和y =sin(2θ)。

直角坐标方程转极坐标方程给定一个直角坐标方程，我们希望将其转换为极坐标方程。

同样考虑一个点的直角坐标表示为(x, y)，我们需要找到与之对应的极坐标(r, θ)。

在直角坐标系中，点到原点的距离可以通过勾股定理计算：r = √(x² + y²)而点与参考方向的夹角可以通过反三角函数计算：θ = a rctan(y / x)根据上述公式，我们可以根据给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。

以直角坐标方程x = 2cos²(θ)和y = sin(2θ)为例，我们来将其转换为极坐标方程：r = √(x² + y²) = √(4cos^4(θ) + sin^2(2θ))θ = arctan(y / x) = arctan(sin(2θ) / 2cos²(θ))所以，直角坐标方程x = 2cos²(θ)和y = sin(2θ)在极坐标系中的方程为r =√(4cos^4(θ) + sin^2(2θ))和θ = arctan(sin(2θ) / 2cos²(θ))。

=0,2. 4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统的极坐标方程［自主学习］曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 互化的前提条件： ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合.③ 两种坐标系中取相同的长度单位.X = p cos 0 ,⑵互化公式：1|y = p sin 0 ,(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：epp1 — e cos 0 .［合作探究］p = 1和p =—1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个， x 2+ y 2= 1.将直角坐标方程化成极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.⑴ x + y = 0;2 2(2) x + y + 2ax = 0( a * 0);2 2(3) ( x — 5) + y = 25.［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此2 2 2题，需要将x = p cos 0 , y = p sin 0 ,及x + y = p 代入直角坐标方程，再化简即可. ［精解详析］ ⑴将 x = p cos 0 , y = p sin 0 代入 x + y = 0 得 p cos 0 + p sinr 22 |2p = x + y , ytan 0 = x xH(][例1] ［对应学生用书 P12］［对应学生用书P13］••• p (cos 0 + sin 0 ) = 0. =0,••• cos 0 + sin 0 = 0. /• sin 0= —cos 0 .ta n 0 = — 1.3 n 十7 n•- 0 = ~^( P》0) 和0 = _^( P》0) •综上所述，直线x+ y= 0的极坐标方程为3 n 7 n0 =〒(P》0)和0=才(P》0)•2 2(2) 将x= p cos 0 , y = p sin 0 代入x + y + 2ax= 0 得2 2 2・2八P cos 0 + p sin 0 + 2a P cos 0 = 0, 即p ( p + 2a cos 0 ) = 0.•• P = —2a cos 0 .2 2•••圆x + y + 2ax= 0(a z 0)的极坐标方程为p = —2a cos 0 .2 2 2 2(3) ( x—5) + y = 25,即：x + y —10x = 0.把x2+『=p 2, x= p cos 0 代入上式得：2P —10 p cos 0 = 0.即p = 0 或p = 10cos 0 .•.•极点p = 0在圆p = 10cos 0上，•••所求圆的极坐标方程为p = 10cos 0 .［片法■规律■小结］、将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x= p cos 0 , y = p sin 0 , x2+ y2= p 2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性.1. 把圆的直角坐标方程(x —a)2+ (y—b) 2= r2化为极坐标方程.2 2 2 2 解：把x = p cos 0 , y= p sin 0 代入方程(x—a) + (y —b) = r，得(p cos 0 —a)+ ( P sin 0 —b) 2= r2.如果设圆心(a, b)的极坐标为(P 0, 0 o)，贝Ua= p 0cos 0 0, b= p 0sin 0 0，再代入上方程可得：(p cos 0 — p 0COS 0 0)2+ ( p sin 0 — p °sin 0 0)2= r2.2 2 2 2 2 2--P (cos 0 + sin 0 ) — 2 p 0 p (cos 0 cos 0 0+ sin 0 sin 0 0) + p 0(cos 0 0 + sin 0 0)2=r .•- p — 2 p 0 p cos( 0 — 0 0) + p 0—r = 0.这就是所求的圆的极坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线. ⑴ p sin 0 = 1;(2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0; (3) p=— 2cos 0 ; (4) p = cos 0 — 2sin 0 .［思路点拨］ 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用， 解答此题需要利用 p cos 0 = x, p sin 0 = y 求解.有时需要在等式两边同乘 p ，构造出p cos 0和p sin 0 .［精解详析］(1) p sin 0 = 1 ? y = 1，表示的是一条直线. (2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0? p cos 0 + p sin 0 — 4= 0,x + y — 4= 0，表示的是一条直线.(3) p =— 2cos 0 两边同乘以 p 得 p =— 2 p cos 0 , ••• x 2 + y 2 + 2x = 0，即(x + 1)2 + y 2= 1. 表示的是以(一1,0)为圆心，以1为半径的圆. (4) p = cos 0 — 2sin 0两边同乘以 p 得2 p = p cos 0 — 2 p sin 0 , • x + y = x — 2y ，即 x + y — x + 2y = 0, 即 x ―12+ (y + 1)2= -2 2.极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以 p ，尽可能使得p cos 0换成x , p sin 0换成y , p 2换成x 2 + y 2.但注意p = 0是原方程的解时，所得 到的直角坐标方程与原极坐标方程等价. 若p =0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x , y 不同时为0的限制.b^1[例2]把极坐标方程化为直角坐标方程［方法-规律•小结］2. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p cos 2 0 = 8; ⑵ p = 2cos 0 --4 .解：⑴因为p 2cos 2 0 = 8,2 2 2.2所以 p cos 0-p sin 0 = 8.所以化为直角坐标方程为 x 2— y 2= 8.n(2)因为 p = 2cos 0 cos —+ 2sin=2cos 0 + 2sin 0 ,所以 p 2 = ,2p cos 0+•. 2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为 x 2+ y 2— 2x — 2y = 0.［例3］ 求两个圆= 4cos , = 4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.［思路点拨］本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题， 解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解.［精解详析］ 法一：p = 4cos 0的圆心为(2,0)，半径为2, p = 4sin 0的圆心为(2 , ^)，半径为2.两圆圆心的距离为d = 22 + 22 — 2 X 2 X 2cos : = 2 2.而两圆半径之和为 4,两圆半径之差为 0. •••两圆相交.法二：p = 4cos 0两边同乘以 p 得p 2= 4 p cos 0 ,22• p = 4cos 0 可化为 x + y — 4x = 0,22即(x — 2) + y = 4,•表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.p = 4sin 0两边同乘以p 得p = 4 p sin 0 ,n 0 sin42 2•p = 4sin 0 可化为x + y —4y= 0, 即x2+ (y—2) 2= 4,•••表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆. 两圆的圆心距为d =- U 2+ 〔〕一？ 2= 2”；；2,两圆半径之和为4,之差为0, •两圆相交.［片法•规律•小结］、对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.解：把点A 2, 7^化为直角坐标为（，2,-把直线p sin j 0 + — = -^化为直角坐标方程为 p sin n . n \f 20 • cos 4 + p cos 0 • sin 4 - ？,•••点A 2, - 2）到直线x + y - 1 = 0的距离为」2- .. 2- 1| .2 d = =—dJ + 12，故点A 2,晋到直线p sin i B +亍=¥的距离为J| ［本节热点命题关汪］「本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化.［考题印证］（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C ,直线C 2的极坐标方程分别为 p = 4sin 0 , p cos （ 0 -"^-） = 2边.求C 与C 2的交点的极坐标.3.已知直线的极坐标方程为|J 这条直线的距离.p sin，求点•- x + y = 1.［命题立意］本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化.［自主尝试］由p = “/x2+ y2, p cos 0 = x, p sin 0 = y 得，圆C i的直角坐标方程为x2+ (y—2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y — 4 = 0,2得p = —2( p cos 0 —p sin 0 )，即所以圆C ,直线C 的交点直角坐标为(0,4) , (2,2),再由p =x 2+ y 2, p cos 0 = x , p sin 0 = y ,将交点的直角坐标化为极坐标、选择题i .将方程0 =-4( p > 0)化为直角坐标方程为()B . y = x ( x >0)D y=#x (x >0)n yy解析：选 B ' ■/ tan= (x 丰 0) ,「. - = 1( x 丰 0). 4 x xy = x .而 0 = —( p >0)表示射线,•••所求的直角坐标方程为 y = x (x >0).2.圆心在点(一1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )A. p = 2(sin 0 — cos 0 )B . p = 2(cos 0 — sin 0 )C. p = 2sin 0D. 解析：选A 如图所示，圆的半径为 •圆的直角坐标方程为 (x + 1)2+ (y — 1)2= 2,2 2即x + y = — 2( x — y )，化为极坐标方程,X 2 + y — 2 2=4, 由 X + y — 4= 0.Xi= 0,解得；iy i = 4,X 2= 2, y 2= 2.[对应学生用书P14]A. y = xC. y = x (x w 0) 所以C 与G 的交点的极坐标VING/QNCip = 2cos2一2 —1 + 1p =2(sinA. I 1 // I 2 C. I 1和l 2重合B . I l 丄 l 2D. I 1和I 2斜交解析：选B 对于I l 可化为x sinsin aa+ycos a=a ，ki =—矿a、填空题5. _______________________________________________________ 直线2 p cos 0 = 1与圆p = 2cos 0相交的弦长为 __________________________________________ .解析：直线的方程为 2x = 1，圆的方程为x 2+y 2— 2x = 0，圆心为（1,0），半径r = 1,圆 心到直线的距离为 d =答案：•. 3n一6.在极坐标系中，定点 A （1 ,―），点B 在直线I : p cos 0 + p sin 0= 0上运动,当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 _________ .解析：将 p cos 0 + p sin 0 = 0化为直角坐标方程为 x + y = 0,点A 1,寺化为直角坐标得 A （0,1）,如图，过A 作AE 丄直线I 于B ,因为△ AOB3n为等腰直角三角形，又因为 |OA = 1,则|OB 七,0 =〒，故B 点的极 坐标是B 今,3n .答案：子，34n7. _____________________________________________________________________ 过极点O 作圆C: p = 8cos 0的弦ON 则ON 的中点M 的轨迹方程是 _________________________3.直线 11 ： p sin( 0 + a ) = a 和丨2： 7te^2a 的位置关系是（k 1 • k 2 =—1.- •• I 1丄 1 ,故选B.4.极坐标方程 p = sin 0 + 2cos 0表示的曲线为（）A .直线B .圆C . 椭圆D.双曲线解 析：选B 由p = sin 0 + 2cos 0 ,得 p = p sin 0 + 2 p cos 0对于12可化为x cos a — y sin二 x 2 + y 2 = y + 2x ，即 x 2+ y 2— 2x — y = 0，表示圆.cos aa = 0, k 2=——sin a 42+ 0 = 2,设所求的弦长为丨，则= 2 + 2 2, 解得I = 3.解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC = 4，连接CM 「••• M为弦ON的中点，•••CMLON故M在以0C为直径的圆上. “•••点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .法二：设M点的坐标是(p , 0 ) , p i, 0 i).T N点在圆p = 8cos 0 上，•• p i = 8cos 0 i,①p 1= 2 p ,••• M是ON的中点，•弋0 i= 0 .将它代入①式得 2 p = 8cos 0，故点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .答案：p = 4cos 08. (天津高考)已知圆的极坐标方程为p = 4cos 0 ,圆心为C,点P的极坐标为4, n^ ］则CP= ________ .解析：如图，由圆的极坐标方程为p = 4cos 0知0C= 2，又因为点P的极坐标为4, n3，所以0P= 4，/ P0=专，在△ POC中，由余弦定理得CP= OP1+ OC- 2OP- OC cos 3= 16+ 4-2X 4X 2X = 12,所以CP= 2 3.答案：2 3三、解答题9.0 O和0 O 的极坐标方程分别为p = 2cos 0 , p 2- 2 p (cos 0 + sin 0 ) = 0.(1) 把O O和O Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) 求经过O 0,0 Q交点的直线的直角坐标方程.解：(1) T x= p cos 0 , y = p sin 0 ,由p = 2cos 0 得p = 2 p cos 0 , 所以x2+ y2= 2x.即x2+ y2- 2x= 0为O O的直角坐标方程.. . 2 2同理x + y - 2X- 2y= 0为O Q的直角坐标方程.2+ y2- 2x —2y = 0,2 2⑵法一：由+ y - 2x = 0,即O 0,0 O 2交于点(0,0)和(2,0).过交点的直线的直角坐标方程为 y = 0.法二：①—②得y = 0,即y = 0为过O 0,0 Q 交点的直线的直角坐标方程.10 .在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为p cos i 守=1, M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1) 写出C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标； (2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程. 解：(1)由 p cos 0 —-3 = 1 得，p i 1cos 0 + ^sin 0 = 1.2 2从而C 的直角坐标方程为1x +~2^y = 1，即 x + 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,所以 M 2,0)； 当0 =寺时，P =攀，所以N 号,-2 .⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为［,233 ［ 所以P 点的直角坐标为］，¥ .3p = 1 — 2cos 0，过极点作直线与它交于 A, B 两点,且|AB = 6,求直线 AB 的极坐标方程.解：设直线 AB 的极坐标方程为 0 = 0 1, A p 1,0 1) , B ( p 2, 0 1 + n )，贝U p 1 =X 2= 2, y 2= 0.解得则P 点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为np € ( —m,+m ).0 =百,11.已知双曲线的极坐标方程为31 — 2cos 0 i________ 3 _______ 3 P 2— 1 — ?1阴 0 i + n — 1 + 2cos 0 i33|AB = 1 p1+p 2|= 1 — 2cos 0 i + 1 + 2cos 0 i61— 4cos 0 i故直线AB 的极坐标方程为 n n 3 n0 =㊁或0 =~4或0 =〒•11 — 4cos2 0 -=± 1. cos 10 i = 0 或 cos 0 i =±_2亍。

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化宁师中学廖天生打造高效课堂的首要任务就是要激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与、合作交流、共同探究，通过师生互动，交流展示，让学生体验成功的喜悦，从而增强自信、激发斗志。

在本节课上，我充分贯彻新课程的教学理念，重视对学生能力的培养，为学生创造了平等、和谐、欢乐的课堂学习氛围，以下是我对这堂课的教学反思，不当之处，还请多多指点。

一、反思教学过程：学习目标的实现关键取决于学生是否主动参与学习，因此课前的学习过程与学习状态非常重要，它是课堂教学的延续。

我在上本节课的前一天，先将导学稿发放给学生，要求学生课前阅读理解教材，学生通过合作交流、共同探究，加强对教材的理解，自觉主动地完成导学稿。

课前5分钟，小组交叉检查，上课时各组长汇报检查情况，我根据导学稿的完成情况对学生进行奖惩量化考核。

通过学生间的监督检查，有效地促进了学生自主参与学习。

本节课是建立在圆与直线的极坐标方程的基础上，是点的直角坐标与极坐标内容的深入学习，重点为曲线的直角坐标与极坐标方程的互化。

因此，我通过复习引入设计了与本节课密切相关的4道课前小测题，其中点的直角坐标与极坐标的互化关系式贯穿于整堂课的教学之中，②、③小题起着承前启后的作用。

这部分内容，主要由学生课前自主探究，合作交流完成，课堂上让学生上讲台向同学展示其学习的成果，体验学习的乐趣。

之后，我根据学生讲解的情况作出梳理、点评，并且对学生的“精彩表演”进行表扬与鼓励，学生自主学习、主动探究的热情得到进一步的提升。

本节课中课堂教学的第二个环节为小组讨论，合作探究过程、我让学生在课堂上再次阅读理解教材，相互交流、共同探讨，提出疑问，这样既锻炼了学生的自学能力，同时也培养了学生团结协作的精神。

为检验学生的学习情况，我在此环节特意设计了基础训练，能力拓展，考点探究等问题，由浅入深、循序渐进，进一步激发了学生的求知欲望。

通过学生的合作探究、交流展示，以及我对问题的深入点评，既解决了重点又突破难点，使本堂课的学习目标得以完美实现。

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程: ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺 时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是?=4cos ?+6sin ?，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ?sin ?=3 (B) ?sin ? = –3 (C) ?cos ? =2 (D) ?cos ? = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线λ的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线λ的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是(A) 2 (B)2 (C) 1 (D) 22 七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2,3π)中心对称 (D)极点中心对称 八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .。

二次曲线的极坐标方程与标准直角坐标方程互
化的一种简单方法
极坐标方程到标准直角坐标方程的转化是在学习数学中经常会遇到的一个问题，它可以帮助我们比较容易地研究特定的二次曲线。

今天，我们就来学习如何把极坐标方程转换成标准直角坐标方程。

首先，我们了解一下什么是极坐标方程和标准直角坐标方程
极坐标方程是根据极坐标定义的函数式，表示为：r = f(θ) 。

其中，r 为曲线的极径，θ为极角度。

标准直角坐标方程是把曲线映射到平面直角坐标系中的关系式，表示为：y = f(x) 。

其中，x 为曲线的横坐标，y 为曲线的纵坐标。

其次，我们来学习一种简便的方法
把极坐标方程转化成标准直角坐标方程。

假设极坐标方程为：r = f (θ)，将其转换为标准直角坐标方程，即：y = f (x)。

只需把极坐标变换成直角坐标，两组坐标之间存在如下关系：
x = r*cosθ
y = r*sinθ
将上式代入原极坐标方程，可以得到：
y = f (r*cos θ)·sin θ
由此就可以得到标准直角坐标方程：
y = f (x)·sin ( arccos (x/r) )
上述就是将极坐标方程转换成标准直角坐标方程的便捷方法，当我们想要从极坐标方程中求出二次曲线的标准坐标方程时，可以用上面的方法快速解决。

极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式：
转化方法及其步骤：
第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式
第二步：把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y 第三步：把ρ换成（根号下x2＋y2）；或将其平方变成ρ2,再变成x2＋y2
第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式.
例：把ρ＝2cosθ化成直角坐标方程.
将ρ＝2cosθ等号两边同时乘以ρ,得到：ρ2＝2ρcosθ
把ρ2用x2＋y2代替,把ρcosθ用x代替,得到：x2＋y2＝2x
再整理一步,即可得到所求方程为：
（x－1）^2＋y2＝1
这是一个圆,圆心在点（1,0）,半径为1
直角坐标转换为极坐标：
第一：两个坐标原点重合.x轴相重合.
第二：长度单位相同.
第三：通常使用“弧度制”.
在此情况下,我们有设直角坐标系里的曲线上的一个任一点的坐标为A（x,y).则它在极坐标系里的坐标为A（ρ,θ）.。

一、极坐标与直角坐标的关系在数学中，极坐标和直角坐标是描述平面上点位置的两种常见方式。

而极坐标方程可以通过一些简单的转换，化成与直角坐标方程等价的形式。

接下来，我们将深入探讨极坐标方程如何化成与直角坐标方程，并对其进行全面评估。

二、极坐标与直角坐标的转换关系1. 极坐标系的基本概念我们需要了解极坐标系的基本概念。

在极坐标系中，一个点的位置由它到极点的距离和它与极轴的夹角来确定。

其中，距离通常用r 表示，夹角通常用θ 表示。

这样，一个点的位置可以用(r, θ) 的形式表示。

2. 极坐标与直角坐标的转换公式接下来，让我们来看看极坐标与直角坐标之间的转换关系。

设平面上一点的直角坐标为 (x, y)，它对应的极坐标为(r, θ)。

那么它们之间的转换关系如下：- x = r * cos(θ)- y = r * sin(θ)通过这些转换公式，我们可以将一个点在极坐标系下的坐标，转换成直角坐标系下的坐标；反之亦然。

这样，我们就建立了极坐标与直角坐标之间的等价关系。

三、极坐标方程化成与直角坐标方程等价的步骤有了极坐标与直角坐标的转换关系，接下来我们将探讨如何将极坐标方程化成与直角坐标方程等价的形式。

具体步骤如下：1. 计算直角坐标系下的坐标我们需要根据极坐标的公式r = f(θ) 计算出点在直角坐标系下的坐标。

根据之前提到的转换公式，我们可以得到点的直角坐标 (x, y)。

2. 将极坐标方程替换成直角坐标方程接下来，我们可以将极坐标方程r = f(θ) 中的 r 替换成用直角坐标 (x, y) 表示的形式。

这样，我们就得到了与直角坐标方程等价的表达式。

3. 整理与化简我们需要对得到的直角坐标方程进行整理与化简，使其更加清晰和简洁。

这样，我们就成功地将极坐标方程化成了与直角坐标方程等价的形式。

四、个人观点与总结通过以上的讨论，我们深入了解了极坐标方程如何化成与直角坐标方程。

这种转换的过程不仅可以帮助我们更好地理解两种坐标系之间的关系，也可以在实际问题中起到重要作用。