极坐标与直角坐标的互化同步练习(有答案)

第一课时 极坐标系与极坐标系互化作业一、选择题1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )．2、点M 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛35π，，下列所给出的坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 3．已知点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于极轴的对称点坐标是 ( )． B.⎪⎭⎫ ⎝⎛67,2π 4、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形二、填空题5．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为_______． 6．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．7．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________8．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2π))三、解答题9．(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．10．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'P 点坐标。

极坐标与直角坐标的互化公式例题引言在解决数学问题时，我们常常会遇到不同坐标系之间的转换问题。

极坐标和直角坐标是常用的两种坐标系，它们之间存在着互化公式。

本文将通过几个例子来介绍极坐标与直角坐标的互化公式，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。

例一：极坐标转直角坐标已知一个点P的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与正方向x轴的夹角。

我们需要将该点的极坐标转换为直角坐标表示。

假设点P的极坐标为(3, π/6)，现在我们来求其对应的直角坐标。

根据极坐标与直角坐标之间的关系，点P的直角坐标表示为(x, y)。

根据互化公式，可以得到以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将已知的极坐标(3, π/6)代入上述公式，可以计算出点P的直角坐标：x = 3 * cos(π/6) = 3 * √3 / 2 = 3√3 / 2 y = 3 * sin(π/6) = 3 * 1/2 = 3/2所以，点P的直角坐标为(x, y) = (3√3/2, 3/2)。

例二：直角坐标转极坐标现在，我们考虑将直角坐标转换为极坐标的情况。

给定一个点Q的直角坐标表示为(x, y)，我们需要求出其对应的极坐标。

假设点Q的直角坐标为(4, 4√3)，我们来求解其极坐标。

根据互化公式，我们得到以下关系：r = √(x^2 + y^2) θ = atan(y/x)将已知的直角坐标(4, 4√3)代入上述公式，可以计算出点Q的极坐标：r = √(4^2 + (4√3)^2) = √(16 + 48) = √64 = 8 θ = atan((4√3)/4) = atan(√3) =π/3因此，点Q的极坐标为(r, θ) = (8, π/3)。

例三：极坐标系与直角坐标系图示通过以上两个例题的互化，我们可以更好地理解极坐标和直角坐标之间的转换关系。

下面我将通过图示来展示这种转换。

首先，我们绘制一个以极坐标为基准的坐标系。

极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。

极坐标与直角坐标的互化例题及答案解析一、题目1题目描述：已知极坐标$(r, \\theta)$，其中r=3，$\\theta=\\frac{\\pi}{6}$，求其对应的直角坐标(x,y)。

解析：根据极坐标与直角坐标的互化公式，$$ x = r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y = r \\cdot \\sin(\\theta) $$代入已知数据，得到$$ x = 3 \\cdot \\cos\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) \\\\ y = 3 \\cdot\\sin\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) $$利用三角函数的特殊值，可得$$ x = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\\\ y = 3 \\cdot\\frac{1}{2} = \\frac{3}{2} $$所以，对应的直角坐标为$(x, y) = \\left(\\frac{3\\sqrt{3}}{2},\\frac{3}{2}\\right)$。

二、题目2题目描述：已知直角坐标(x,y)，其中x=4，y=2，求其对应的极坐标$(r,\\theta)$。

解析：根据直角坐标与极坐标的互化公式，$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2} \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$ 代入已知数据，得到$$ r = \\sqrt{4^2 + 2^2} \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{2}{4}\\right) $$ 计算可得$$ r = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5} \\\\ \\theta =\\arctan\\left(\\frac{1}{2}\\right) $$所以，对应的极坐标为$(r, \\theta) = \\left(2\\sqrt{5},\\arctan\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right)$。

高中数学直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若M点的极坐标为(−2, −π6)，则M点的直角坐标是（）A.(−√3, 1)B.(−√3, −1)C.(√3, −1)D.(√3, 1)2. 将曲线ρcosθ+2ρsinθ−1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A.y+2x−1=0B.x+2y−1=0C.x2+2y2−1=0D.2y2+x2−1=03. 点M的直角坐标为(−√3, −1)化为极坐标为（）A.(2, 5π6) B.(2, 7π6) C.(2, 11π6) D.(2, π6)4. 已知圆的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A.ρ=2cosθB.ρ=2sinθC.ρ=−2cosθD.ρ=−2sinθ5. 在极坐标系中，过点(2, π2)且与极轴平行的直线方程是()A.ρ=2B.ρsinθ=2C.θ=π2D.ρcosθ=26. 将极坐标(2, 3π2)化为直角坐标为（）A.(0, 2)B.(0, −2)C.(2, 0)D.(−2, 0)7. 点M的极坐标(5, 2π3)化为直角坐标为（）A.(52, 5√32) B.(−52, 5√32) C.(−52, −5√32) D.(52, −5√32)8. 已知点P(1,−√3)，则它的极坐标是（）A.(2,π3) B.(2,4π3) C.(2,−π3) D.(2,−4π3)9. 在长方体中，，，，过点B作直线l与直线及直线所成的角均为，这样的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.410. 平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点，且，，则的值为()A. B. C. D.11. 在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心到极轴距离为________．12. 化极坐标方程ρcos2θ=sinθ为直角坐标方程为________．13. 极坐标方程p=cosθ化为直角坐标方程是________．14. 化极坐标方程3ρcosθ+4ρsinθ=2为直角坐标方程为________．（请化为一般方程）15. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，那么它的直角坐标方程是________．16. 化极坐标方程ρ2cosθ−ρ=0为直角坐标方程为________．17. （坐标系与参数方程选做题）极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是________．18. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的直角坐标方程是________．19. 点M的直角坐标是(−1,√3)，则点M的极坐标为________．20. △OP1P2的一个顶点在极点O，其它两个顶点分别为P1(−5, 3π4)，P2(4, π12)，则△OP1P2的面积________．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =−12t ，y =3+√32t(t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin (θ+π3). (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为 (0,3) ，直线l 与曲线C 的交点为A ,B ，求|MA|+|MB|的值.22. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=−4sin θ． （1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆O 1，圆O 2交点的直线的直角坐标方程．23. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1和直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos (θ−π4)=2√2.(1)求圆C 1和直线C 2的直角坐标方程.(2)求圆C 1和直线C 2交点的极坐标.24. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 {x =−1+2cos φ，y =2sin φ（φ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为 (−2,0) ，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)求PM →⋅PN →的值．25. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =1+r cos α，y =√3+r sin α（α为参数，r >0），曲线C 2：{x =5+√32t ，y =√3+12t（t 为参数），且曲线C 1和C 2相切．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若点M ，N 为曲线C 1上两动点，且满足∠MON =π3，求△MON 面积的最大值．26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +12t ，y =√3a −√32t ， (t 为参数，a ∈R )．在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=3．(1)若点A(2, 0)在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；(2)已知a >0，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且|PQ|的最小值为√62，求a 的值．27. 已知直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−4cos θ=0(ρ≥0，0≤tℎeta <2π)．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若M(1,0)，直线l 与曲线交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|．28. 已知A 、B 两点的极坐标分别是(2, π3)，(4, 5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．29. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =t −1t ,y =t 2+1t −8,（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知过原点的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|OA|=2|OB|，求直线l 的斜率．30. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cos θy =sin θ（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．（1）求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．31. （1）把点M(−√6，−√2)的直角坐标化为极坐标； 31.（2）求圆心在极轴上，且过极点和点D(2√3，π6)的圆的极坐标方程．32. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的参数方程：{x =2+2cos α,y =2sin α(0≤α≤π)与曲线C 2的极坐标方程：ρ=8sin θ．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)曲线C 1和C 2是否有两个公共点？若有，求出经过这两个公共点的直线的极坐标方程；若没有，请说明理由．33. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cos α+√3sin α,y =sin α−√3cos α（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π6)=3．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．34. 把直角坐标方程(x −3)2+y 2=9化为极坐标方程．35. （选修4−4：极坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆ρ=√2上的点到直线ρcos (θ+π3)=1的距离的取值范围．36. 选修4−4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，曲线C 1，C 2相交于点M ，N ．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长．37. 在极坐标系中，△ABC 的3个顶点的极坐标为A(ρ1, θ1)，B =(ρ2, θ2)，C(ρ3, θ3)，求证：△ABC 的面积为S =12|ρ1ρ2sin (θ2−θ1)+ρ2ρ3sin (θ3−θ2)+ρ3ρ1sin (θ1−θ3)|38. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ． (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．39. 已知圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ=8sin θ1+cos 2θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．40. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12t ，y =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ． (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．参考答案与试题解析高中数学直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 A【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】本题利用直角坐标和极坐标的互化公式直接求得结果 【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式：x =p cos θ，y =p sin θ 得到 x =−√3 y =1则M 点的直角坐标是(−√3, 1) 故选：A 2.【答案】 B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】利用{x =ρcos θy =ρsin θ即可得出．【解答】解：由曲线ρcos θ+2ρsin θ−1=0， 及{x =ρcos θy =ρsin θ， 可得x +2y −1=0．∴ 曲线ρcos θ+2ρsin θ−1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x +2y −1=0． 故选B ． 3. 【答案】 B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】由题意求得 ρ=√x 2+y 2=2，再根据此点位于第三象限，且tan θ=√33，可取θ=7π6，从而得到它的极坐标(ρ, θ)． 【解答】解：∵ 点M 的直角坐标为(−√3, −1)，∴ ρ=√x 2+y 2=2，再根据此点位于第三象限，且tan θ=−√3=√33，∴ 可取θ=7π6，故选：B ． 4.【答案】B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆的极坐标方程法二：设M(ρ, θ)是圆C上任一点，∠MOx=θ，利用直角三角形而出ρ，θ关系式即可．【解答】解：法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，圆的直角坐标方程为x2+y2−2y=0，所以ρ2−2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．法二：圆的直角坐标方程为x2+y2−2y=0，即x2+(y−1)2=1，设M(ρ, θ)是圆C上任一点，∠MOx=θ，若θ为钝角，则sin(π−θ)=sinθ所以2sinθ=ρ．故选B．5.【答案】B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．【解答】解：点(2, π2)在直角坐标系下的坐标为(2cosπ2, 2sinπ2)，即(0, 2)，∴过点(0, 2)且与x轴平行的直线方程为y=2．即为ρsinθ=2．故选B．6.【答案】B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，可求出点的直角坐标．【解答】x＝ρcosθ＝2×cos3π2=0y＝ρsinθ＝2×sin3π2=−2∴将极坐标(2, 3π2)化为直角坐标是(0, −2) 7.【答案】B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】直接利用极坐标和直角坐标的互化公式计算．【解答】解：点M的极坐标(5, 2π3)，由x=5cos2π3=5×(−12)=−52，y=5sin2π3=5×√32=5√32．得(5, 2π3)的直角坐标为(−52, 5√32)．故选B．8.【答案】C【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】略9.【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的点斜式方程【解析】先求异面直线所成的角，再根据直线/与直线A1D及直线AC1所成的角相等，且最小为π6，从而得到这样的直线I的条数为3条．【解答】建立坐标系，如图所示：∘y易得：A1(√70,1),D(0,0,0),A(√7,0,0),C1(0,√10,1)cosθ=A1D→⋅AC1→|A1D→||AC1→|=1．求得直线A1D及直线AC1的夹角为π3则过点B可作3条直线与直线A1D及直线AC1所成的角均为π3故选：C．10.【答案】A【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化任意角的三角函数圆的极坐标方程【解析】根据三角函数的定义x0=cosα=cos[(α+π6)−π6]，结合已知条件，即可求解．【解答】因为α∈(−π2,0)cos(α+π6)=35，所以α+π6∈(−π3⋅π6)若α+π6∈(0,π6),cos(α+π6)>√32>35，所以不符合，所以α+π6∈(−π3,0)sin(α+π6)=−45所以x0=cosα=cos[(α+π6)−π6]=35×√32−45×12=3√3−410故选：A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】由已知中圆的极坐标方程为ρ=2sinθ，我们分别取θ=0，θ=π2，并由此可以确定出圆的一条直径两端点的坐标，进而代入中点坐标公式，即可得到答案．【解答】解：∵圆的极坐标方程为ρ=2sinθ．则它表示过极坐标原点，(2, π2)点的，以2为直径的圆故圆心落在(1, π2)点．在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心到极轴距离为：1．故答案为：1．12.【答案】x 2=y【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】直接利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．【解答】解：极坐标方程ρcos 2θ=sin θ，即ρ2cos 2θ=ρsin θ可得x 2=y ．故答案为x 2=y ．13.【答案】(x −12)2+y 2=14【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】先将原极坐标方程ρ=cos θ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．【解答】解：将原极坐标方程ρ=cos θ，化为：ρ2=ρcos θ，化成直角坐标方程为：x 2+y 2−x =0，即(x −12)2+y 2=14．故答案为：(x −12)2+y 2=14． 14.【答案】3x +4y −2=0【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，将原极坐标方程3ρcos θ+4ρsin θ=2化成直角坐标方程即可．【解答】解：将原极坐标方程3ρcos θ+4ρsin θ=2，化成直角坐标方程为：3x +4y =2，即3x +4y −2=0．故答案为：3x +4y −2=0．15.【答案】(x −2)2+y 2=4【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程.【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+ y2=4x，即：(x−2)2+y2=4．故答案为(x−2)2+y2=4．16.【答案】x2+y2=0或x−1=0【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】由极坐标方程ρ2cosθ−ρ=0可得ρ=0或ρcosθ−1=0，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．【解答】解：由极坐标方程ρ2cosθ−ρ=0可得ρ=0或ρcosθ−1=0，ρ=0表示原点O(0, 0)．由ρcosθ−1=0，化为x−1=0．综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2=0或x−1=0．17.【答案】(x−2)2+y2=4【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】由ρ=4cosθ得，ρ2=4ρcosθ，根据极坐标与直角坐标互化公式：ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直角坐标方程．【解答】解：由ρ=4cosθ得，ρ2=4ρcosθ，则x2+y2=4x，即(x−2)2+y2=4，故答案为：(x−2)2+y2=4．18.【答案】x2+y2=1【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】由题意可得，曲线C上的任意一点到原点的距离等于1，根据圆的定义求得曲线C的直角坐标方程．【解答】解：由题意可得，曲线C上的任意一点到原点的距离等于1，故曲线C的直角坐标方程是x2+y2=1，故答案为x2+y2=1．19.【答案】(2,2π3 )【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】根据点的极坐标与直角坐标的互化公式可得答案．【解答】解：极径ρ=√(−1)2+(√3)2=2，由cosθ=−12得极角为2π3，所以点M的极坐标为(2, 2π3).故答案为：(2, 2π3)．20.【答案】5√3【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】本题先求出三角形一角，再利用三角形的一角的两边，用三角形面积公式得到三角形的面积大小．【解答】解：极坐标系下，P1(−5, 3π4)，∴P1(5,−π4)．∵P2(4, π12)，∴∠P10P2=π12+π4=π3，∵|OP1|=5，|OP2|=4，∴S△0P1P2=12|OP1||OP2|sin∠P1OP2=12×5×4×√32=5√3．故答案为：5√3．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：(1)把ρ=4sin(θ+π3)，展开得ρ=2sinθ+2√3cosθ，两边同乘ρ得，ρ2=2ρsinθ+2√3ρcosθ①，将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入①，即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2√3x−2y=0②.(2)将{x =−12t,y =3+√32t 代入②式，得 t 2+3√3t +3=0, 点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为 t 1,t 2，则t 1+t 2=−3√3，t 1⋅t 2=3,∴ t 1<0，t 2<0,则由参数t 的几何意义即得|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=3√3.【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)把ρ=4sin (θ+π3)， 展开得ρ=2sin θ+2√3cos θ，两边同乘ρ得，ρ2=2ρsin θ+2√3ρcos θ①，将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ， ρsin θ=y ，代入①，即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2√3x −2y =0 ②.(2)将{x =−12t,y =3+√32t代入②式，得 t 2+3√3t +3=0, 点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为 t 1,t 2，则t 1+t 2=−3√3，t 1⋅t 2=3,∴ t 1<0，t 2<0,则由参数t 的几何意义即得|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=3√3.22.【答案】解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）x =ρcos θ，y =ρsin θ，由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ．所以x 2+y 2=4x ．即x 2+y 2−4x =0为圆O 1的直角坐标方程．…．同理x 2+y 2+4y =0为圆O 2的直角坐标方程．…．（2）由{x 2+y 2−4x =0x 2+y 2+4y =0解得{x 1=0y 1=0{x 2=2y 2=−2． 即圆O 1，圆O 2交于点(0, 0)和(2, −2)．过交点的直线的直角坐标方程为y =−x ．…【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）x =ρcos θ，y =ρsin θ，由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ．所以x 2+y 2=4x ．即x 2+y 2−4x =0为圆O 1的直角坐标方程．…．同理x 2+y 2+4y =0为圆O 2的直角坐标方程．…．（2）由{x 2+y 2−4x =0x 2+y 2+4y =0解得{x 1=0y 1=0{x 2=2y 2=−2． 即圆O 1，圆O 2交于点(0, 0)和(2, −2)．过交点的直线的直角坐标方程为y =−x ．…23.【答案】(1)由x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，∵ ρ=4sin θ，∴ ρ2=4ρsin θ，∴ x 2+y 2=4y ，即x 2+(y −2)2=4.∵ ρcos (θ−π4)=2√2，∴ ρ(√22cos θ+√22sin θ)=2√2.∴ x +y −4=0.即有C 1：x 2+(y −2)2=4;C 2：x +y −2=0.(2)将直线和圆的方程联立后{x +y −4=0，x 2+y 2−4y =0,解得{x =0,y =4或{x =2,y =2,即交点为(0,4),(2,2).即交点的极坐标为(4,π2);(2√2,π4). 【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】根据极坐标与直角坐标的转化，利用x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ=x 2+y 2，把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)将直线和圆的方程联立后{x +y −4=0，x 2+y 2−4y =0,计算得出直角坐标(0,4),(2,2)，则交点的极坐标为(4,π2)，(2√2,π4).【解答】(1)由x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，∵ ρ=4sin θ，∴ ρ2=4ρsin θ，∴ x 2+y 2=4y ，即x 2+(y −2)2=4.∵ ρcos (θ−π4)=2√2， ∴ ρ(√22cos θ+√22sin θ)=2√2.∴ x +y −4=0.即有C 1：x 2+(y −2)2=4;C 2：x +y −2=0.(2)将直线和圆的方程联立后{x +y −4=0，x 2+y 2−4y =0,解得{x =0,y =4或{x =2,y =2,即交点为(0,4),(2,2).即交点的极坐标为(4,π2);(2√2,π4). 24.【答案】解：(1)l 的点斜式方程为y =2(x +2)，即2x −y +4=0,则l 的极坐标方程为2ρcos θ−ρsin θ+4=0.,曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4.(2)直线l 的参数方程为{x =−2+t cos α,y =t sin α（t 为参数，α为l 的倾斜角）， 代入曲线C 的普通方程，得t 2−2t cos α−3=0.设M ，N 对应的参数分别为t 1,t 2，则PM →⋅PN →=t 1t 1=−3.【考点】根与系数的关系直线的参数方程参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)l 的点斜式方程为y =2(x +2)，即2x −y +4=0,则l 的极坐标方程为2ρcos θ−ρsin θ+4=0.,曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4.(2)直线l 的参数方程为{x =−2+t cos α,y =t sin α（t 为参数，α为l 的倾斜角），代入曲线C 的普通方程，得t 2−2t cos α−3=0.设M ，N 对应的参数分别为t 1,t 2，则PM →⋅PN →=t 1t 1=−3.25.【答案】解：(1)由题意得C 1:(x −1)2+(y −√3)2=r 2，C 2:x −√3y −2=0，因为曲线C 1和C 2相切，所以r =|1−3−2|2=2，即C 1:(x −1)2+(y −√3)2=4，化简得x 2−2x +y 2−2√3y =0，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代人得，ρ=2cos θ+2√3sin θ=4sin (θ+π6)， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin (θ+π6)．(2)设M (ρM ,θ)，N (ρN ,θ+π3)，则ρM =4sin (θ+π6)，ρN =4cos θ，所以S △MON =12|ρM ||ρN |sin π3=√34×16×|sin (θ+π6)||cos θ| =|2√3sin (2θ+π6)+√3|，所以当sin (2θ+π6)=1，即θ=π6+kπ，k ∈Z 时，△MON 面积取得最大值，最大值为3√3．【考点】直线的参数方程圆的参数方程参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意得C1:(x−1)2+(y−√3)2=r2，C2:x−√3y−2=0，因为曲线C1和C2相切，所以r=|1−3−2|2=2，即C1:(x−1)2+(y−√3)2=4，化简得x2−2x+y2−2√3y=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代人得，ρ=2cosθ+2√3sinθ=4sin(θ+π6)，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π6)．(2)设M(ρM,θ)，N(ρN,θ+π3)，则ρM=4sin(θ+π6)，ρN=4cosθ，所以S△MON=12|ρM||ρN|sinπ3=√34×16×|sin(θ+π6)||cosθ|=|2√3sin(2θ+π6)+√3|，所以当sin(2θ+π6)=1，即θ=π6+kπ，k∈Z时，△MON面积取得最大值，最大值为3√3．26.【答案】解：(1)直线l的参数方程为{x=a+12t，y=√3a−√32t，(t为参数，a∈R)．点A(2, 0)在直线l上，所以把点A(2, 0)代入直线的参数方程，解得a=1．所以{x=1+12t，y=√3−√32t转换为普通方程为√3x+y−2√3=0，将普通方程转化为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−2√3=0.(2)曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3，转换为直角坐标方程为：x2+y23=1，转换为参数方程为{x=cosθ，y=√3sinθ，（θ为参数）.直线l的参数方程为{x=a+12t，y=√3a−√32t，（t为参数）转换为直角坐标方程为y−√3ax−a=−√3，整理得：√3x+y−2√3a=0，所以：|PQ|=√3cos√3sin√3a|√(√3)2+1=|√6sin(θ+π4)−2√3a|2，所以当sin(θ+π4)=1时，|PQ|min=|√6−2√3a|2=√62，解得：a=√2．【考点】椭圆的极坐标方程直线的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）进一步利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．【解答】解：(1)直线l的参数方程为{x=a+12t，y=√3a−√32t，(t为参数，a∈R)．点A(2, 0)在直线l上，所以把点A(2, 0)代入直线的参数方程，解得a=1．所以{x=1+12t，y=√3−√32t转换为普通方程为√3x+y−2√3=0，将普通方程转化为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−2√3=0.(2)曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3，转换为直角坐标方程为：x 2+y 23=1，转换为参数方程为{x =cos θ，y =√3sin θ，（θ为参数）. 直线l 的参数方程为{x =a +12t ，y =√3a −√32t ，（t 为参数） 转换为直角坐标方程为y−√3a x−a =−√3，整理得：√3x +y −2√3a =0， 所以：|PQ|=√3cos √3sin √3a|√(√3)2+1=|√6sin (θ+π4)−2√3a|2， 所以当sin (θ+π4)=1时，|PQ|min =|√6−2√3a|2=√62， 解得：a =√2．27.【答案】解：（1）∵ ρsin 2θ−4cos θ=0， ∴ ρ2sin 2θ−4ρcos θ=0，∴ 代入x =ρcos θ，y =ρsin θ， 得y 2−4x =0， 故曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．（2）将{x =1+√22t y =√22t代入y 2=4x ，得t 2−4√2t −8=0，M(1,0)为直线l 所过的定点， 由韦达定理得t 1+t 2=4√2，t 1t 2=−8<0， ∴ |MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 1t 1=8．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ ρsin 2θ−4cos θ=0，∴ ρ2sin 2θ−4ρcos θ=0， ∴ 代入x =ρcos θ，y =ρsin θ， 得y 2−4x =0，故曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ． （2）将{x =1+√22t y =√22t代入y 2=4x ，得t 2−4√2t −8=0，M(1,0)为直线l 所过的定点， 由韦达定理得t 1+t 2=4√2，t 1t 2=−8<0，∴ |MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 1t 1=8． 28. 【答案】解：由A 、B 两点的极坐标分别是(2, π3)，(4, 5π6)， 得A 、B 两点的直角坐标为A(1,√3)，B(−2√3,2)． 所以|AB|=√(1+2√3)2+(√3−2)2=2√5．过A 、B 的直线方程为：(2−√3)x +(2√3+1)y −8=0． 所以O 到直线的距离为d =√(2−√3)2+(2√3+1)2=4√55． 所以△AOB 的面积S =12×2√5×4√55=4．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】化点的极坐标为直角坐标，然后由两点间的距离公式求距离，求出过A ，B 的直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到AB 的距离，代入面积公式求三角形的面积． 【解答】解：由A 、B 两点的极坐标分别是(2, π3)，(4, 5π6)， 得A 、B 两点的直角坐标为A(1,√3)，B(−2√3,2)． 所以|AB|=√(1+2√3)2+(√3−2)2=2√5．过A 、B 的直线方程为：(2−√3)x +(2√3+1)y −8=0． 所以O 到直线的距离为d =√(2−√3)2+(2√3+1)2=4√55． 所以△AOB 的面积S =12×2√5×4√55=4．29.【答案】 解：（1）曲线C 的参数方程消参， 得直角坐标方程为y =x 2−6，cos 即ρ2cos 2θ−ρsin θ−6=0为曲线C 的极坐标方程． （2）方法一：设直线l 的倾斜角为α，则斜率k =tan α， ∵ |OA|=2|OB|，∴ 设A ，B 的极坐标分别为A(2ρ,α)，B(ρ,α+π)， 代入曲线C 的极坐标方程，得{4ρ2cos 2α−2ρsin α−6=0，ρ2cos 2(α+π)−ρsin (α+π)−6=0 ⇒{4ρ2cos 2α−2ρsin α−6=0，①ρ2cos 2α+ρsin α−6=0，②由②×4−①，整理得ρsin α=3，③将③代入②，得ρ2cos 2α=3⇒ρcos α=±√3，④ 由③÷④，得tan α=±√3，即所求直线的斜率k =±√3．方法二：设直线l 的方程为{x =u cos α，y =u sin α，（u 为参数），其中α为l 的倾斜角，直线l 的斜率k =tan α，将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得u sin α=u 2cos 2α−6，即u 2cos 2α−u sin α−6=0， 显然Δ=sin 2α+24cos 2α>0， ∴ {1+u 2=sin αcos 2α,u 1u 2=−6cos 2α,① 其中u 1，u 2分别为A ，B 对应的参数，即OA =u 1，OB =u 2， 由|OA|=2|OB|，得|u 1|=2|u 2|，又由u 1u 2<0知，u 1=−2u 2，② 将②代入①，得{−u 2=sin αcos 2α,③−2u 22=−6cos 2α,④③2÷④得tan 2α=3⇒tan α=±√3，故所求直线的斜率k =±√3． 【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）曲线C 的参数方程消参， 得直角坐标方程为y =x 2−6，cos 即ρ2cos 2θ−ρsin θ−6=0为曲线C 的极坐标方程． （2）方法一：设直线l 的倾斜角为α，则斜率k =tan α， ∵ |OA|=2|OB|，∴ 设A ，B 的极坐标分别为A(2ρ,α)，B(ρ,α+π)， 代入曲线C 的极坐标方程，得{4ρ2cos 2α−2ρsin α−6=0，ρ2cos 2(α+π)−ρsin (α+π)−6=0 ⇒{4ρ2cos 2α−2ρsin α−6=0，①ρ2cos 2α+ρsin α−6=0，②由②×4−①，整理得ρsin α=3，③将③代入②，得ρ2cos 2α=3⇒ρcos α=±√3，④ 由③÷④，得tan α=±√3，即所求直线的斜率k =±√3．方法二：设直线l 的方程为{x =u cos α，y =u sin α，（u 为参数），其中α为l 的倾斜角，直线l 的斜率k =tan α，将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得u sin α=u 2cos 2α−6，即u 2cos 2α−u sin α−6=0， 显然Δ=sin 2α+24cos 2α>0，∴ {1+u 2=sin αcos 2α,u 1u 2=−6cos α,① 其中u 1，u 2分别为A ，B 对应的参数，即OA =u 1，OB =u 2， 由|OA|=2|OB|，得|u 1|=2|u 2|，又由u 1u 2<0知，u 1=−2u 2，② 将②代入①，得{−u 2=sin αcos 2α,③−2u 22=−6cos α,④③2÷④得tan 2α=3⇒tan α=±√3，故所求直线的斜率k =±√3． 30.【答案】 解：（1）曲线C 1：(x −1)2+y 2=1⇒x 2+y 2=2x ⇒ρ=2cos θ， 曲线C 2：ρ=4sin θ⇒x 2+y 2−4y =0．（2）{ρ=2cos θρ=4sin θ⇒cos θ=2sin θ，取θ为锐角，∴ tan θ=12⇒sin θ=√55，∴ |AB|=ρ=45√5．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）曲线C 1：(x −1)2+y 2=1⇒x 2+y 2=2x ⇒ρ=2cos θ， 曲线C 2：ρ=4sin θ⇒x 2+y 2−4y =0．（2）{ρ=2cos θρ=4sin θ⇒cos θ=2sin θ，取θ为锐角，∴ tan θ=12⇒sin θ=√55，∴ |AB|=ρ=45√5．31. 【答案】解：（1）因为M(−√6，−√2)，所以ρ=√(−√6)2+(−√2)=√8=2√2， 因为tan θ=√2−√6=√33，因为点M 位于第三象限，所以θ=7π6，所以点M 的极坐标为(2√2，76π)．（2）∵ D(2√3，π6)，∴ 点D 对应的直角坐标为(3, √3)，因为圆心在极轴上，且过极点，所以设圆心坐标为(r, 0)， 则圆的标准方程为(x −r)2+y 2=r 2，因为点(3, √3)在圆上，所以代入得(3−r)2+(√3)2=r 2，解得r =2， 所以圆的标准方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，所以ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ， 所求圆的极坐标方程为ρ=4cos θ．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】（1）利用极坐标公式，将点转化为极坐标． （2）利用圆的极坐标公式求圆的极坐标方程． 【解答】解：（1）因为M(−√6，−√2)，所以ρ=√(−√6)2+(−√2)=√8=2√2， 因为tan θ=√2−√6=√33，因为点M 位于第三象限，所以θ=7π6，所以点M 的极坐标为(2√2，76π)．（2）∵ D(2√3，π6)，∴ 点D 对应的直角坐标为(3, √3)， 因为圆心在极轴上，且过极点，所以设圆心坐标为(r, 0)， 则圆的标准方程为(x −r)2+y 2=r 2，因为点(3, √3)在圆上， 所以代入得(3−r)2+(√3)2=r 2，解得r =2， 所以圆的标准方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，所以ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ， 所求圆的极坐标方程为ρ=4cos θ． 32. 【答案】解：(1)因为曲线C 1：{x =2+2cos α,y =2sin α,（0≤α≤π）与曲线C 2：ρ=8sin θ，所以C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4(y ≥0)，C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−8y =0． (2)因为C 1：x 2+y 2=4x ，代入C 2得x =2y ， 所以4y 2+y 2−8y =0， 所以y =0或y =85，所以C 1，C 2有两个公共点(0,0)，(165,85)，经过这两点的直线方程为y =12x ，其极坐标方程为tan θ=12(ρ∈R )．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆与圆的位置关系及其判定 直线的两点式方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 无 无 【解答】解：(1)因为曲线C 1：{x =2+2cos α,y =2sin α,（0≤α≤π）与曲线C 2：ρ=8sin θ，所以C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4(y ≥0)，C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−8y =0． (2)因为C 1：x 2+y 2=4x ，代入C 2得x =2y ， 所以4y 2+y 2−8y =0， 所以y =0或y =85，所以C 1，C 2有两个公共点(0,0)，(165,85)，经过这两点的直线方程为y =12x ，其极坐标方程为tan θ=12(ρ∈R )． 33. 【答案】解：(1)由{x =cos α+√3sin α，y =sin α−√3cos α， 两边平方求和得，x 2+y 2=(cos α+√3sin α)2+(sin α−√3cos α)2=4， ∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2=4．∵ρcos(θ−π6)=3，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴√3x+y=6，即直线l的直角坐标方程为y=−√3x+6.(2)把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由(1)易得ρA=2，∴|AB|=|ρA−ρB|=2√3−2．【考点】参数方程的优越性参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由{x=cosα+√3sinα，y=sinα−√3cosα，两边平方求和得，x2+y2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4，∴曲线C的普通方程为x2+y2=4．∵ρcos(θ−π6)=3，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴√3x+y=6，即直线l的直角坐标方程为y=−√3x+6.(2)把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由(1)易得ρA=2，∴|AB|=|ρA−ρB|=2√3−2．34.【答案】解：原方程可展开为x2−6x+9+y2=9，x2−6x+y2=0→ρ2−6⋅ρcosθ=0∴ρ=0或ρ=6cosθ即ρ=6cosθ．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：原方程可展开为x2−6x+9+y2=9，x2−6x+y2=0→ρ2−6⋅ρcosθ=0∴ρ=0或ρ=6cosθ即ρ=6cosθ．35.【答案】解：圆ρ=√2化为直角坐标方程得：x2+y2=2直线ρcos(θ+π3)=1，即12ρcosθ−√32ρsinθ=1，化为直角坐标方程为：12x−√32y=1，即x−√3y−2=0∴圆心(0, 0)到直线的距离d=1+3=1故圆上动点到直线的最大距离为√2+1，最小距离为0故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0, √2+1]【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】将圆ρ=√2，直线ρcos(θ+π3)=1化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，进而得到圆上动点到直线的最大距离和最小距离，可得答案．【解答】解：圆ρ=√2化为直角坐标方程得：x2+y2=2直线ρcos(θ+π3)=1，即12ρcosθ−√32ρsinθ=1，化为直角坐标方程为：12x−√32y=1，即x−√3y−2=0∴圆心(0, 0)到直线的距离d=√1+3=1故圆上动点到直线的最大距离为√2+1，最小距离为0故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0, √2+1]36.【答案】解：(I)由ρ=4sinθ得，ρ2=4ρsinθ，即曲线C1的直角坐标方程为x2+y2−4y=0，由θ=π6(ρ∈R)得曲线C2的直角坐标方程为y=√33x．…(II)把y=√33x代入x2+y2−4y=0得x2+13x2−4√33x=0，即43x2−4√33x=0．解得x1=0，x2=√3，所以y1=0，y2=1，故M、N的坐标分别为(0, 0)、(√3, 1)．故|MN|=√3+1=2．…【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】(I)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C1的直角坐标方程，同理求得得曲线C2的直角坐标方程．(II)把两曲线的方程联立方程组求出M、N的坐标，即可求得|MN|的值．【解答】解：(I)由ρ=4sin θ得，ρ2=4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， 由θ=π6(ρ∈R)得曲线C 2的直角坐标方程为y =√33x ．… (II)把y =√33x 代入x 2+y 2−4y =0得x 2+13x 2−4√33x =0，即43x 2−4√33x =0．解得x 1=0，x 2=√3，所以y 1=0，y 2=1，故M 、N 的坐标分别为(0, 0)、(√3, 1)． 故|MN|=√3+1=2．… 37.【答案】证明：由A(ρ1, θ1)，B(ρ2, θ2)，C(ρ3, θ3)，得A(ρ1cos θ1, ρ1sin θ1)，B(ρ2cos θ2, ρ2sin θ2)，C(ρ3cos θ3, ρ3sin θ3)，|AB|=√(ρ1cos θ1−ρ2cos θ2)2+(ρ1sin θ1−ρ2sin θ2)2=√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)．AB 所在直线方程为y−ρ1sin θ1ρ2sin θ2−ρ1sin θ1=x−ρ1cos θ1ρ2cos θ2−ρ1cos θ1，整理得：(ρ2sin θ2−ρ1sin θ1)x −(ρ2cos θ2−ρ1cos θ1)y +ρ1ρ2sin (θ1−θ2)=0． 则C 到AB 的距离d =33221133221112122211222112．则：△ABC 的面积为S =12|AB|d =|ρ1ρ2sin (θ2−θ1)+ρ2ρ3sin (θ3−θ2)+ρ3ρ1sin (θ1−θ3)|． 【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】化极坐标为直角坐标，求出AB 的距离，写出AB 所在直线方程，由点到直线距离公式求出C 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式整理得答案． 【解答】证明：由A(ρ1, θ1)，B(ρ2, θ2)，C(ρ3, θ3)，得A(ρ1cos θ1, ρ1sin θ1)，B(ρ2cos θ2, ρ2sin θ2)，C(ρ3cos θ3, ρ3sin θ3)，|AB|=√(ρ1cos θ1−ρ2cos θ2)2+(ρ1sin θ1−ρ2sin θ2)2=√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)．AB 所在直线方程为y−ρ1sin θ1ρ2sin θ2−ρ1sin θ1=x−ρ1cos θ1ρ2cos θ2−ρ1cos θ1，整理得：(ρ2sin θ2−ρ1sin θ1)x −(ρ2cos θ2−ρ1cos θ1)y +ρ1ρ2sin (θ1−θ2)=0． 则C 到AB 的距离d =33221133221112122211222112．则：△ABC 的面积为S =12|AB|d =|ρ1ρ2sin (θ2−θ1)+ρ2ρ3sin (θ3−θ2)+ρ3ρ1sin (θ1−θ3)|． 38. 【答案】（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ． ∴ ρ2＝2√3ρsin θ，化为x 2+y 2=2√3y ， 配方为x 2+(y −√3)2=3． (II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)． ∴ |PC|=2(√2=√t 2+12≥2√3， 因此当t ＝0时，|PC|取得最小值2√3．此时P(3, 0)．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ．化为ρ2＝2√3ρsin θ，把{ρ2=x 2+y 2y =ρsin θ 代入即可得出；． (II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)．利用两点之间的距离公式可得|PC|=√t 2+12，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ． ∴ ρ2＝2√3ρsin θ，化为x 2+y 2=2√3y ， 配方为x 2+(y −√3)2=3． (II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)． ∴ |PC|=(3+12t)+(√32t −√3)=√t 2+12≥2√3，因此当t ＝0时，|PC|取得最小值2√3．此时P(3, 0)． 39. 【答案】解：由ρ=8sin θ1+cos 2θ得，ρcos 2θ=4sin θ，ρ2cos 2θ=4ρsin θ， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，所以所求曲线的直角坐标方程是：x 2=4y ， 所以，焦点到准线的距离为：2． 【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】利用二倍角公式化简极坐标方程为ρ=8sin θ1+cos 2θ，推出ρ2cos 2θ=4ρsin θ，利用y =ρsin θ，x =ρcos θ，化简为直角坐标方程，求出焦点到准线的距离． 【解答】 解：由ρ=8sin θ1+cos 2θ得，ρcos 2θ=4sin θ，ρ2cos 2θ=4ρsin θ，又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，所以所求曲线的直角坐标方程是：x 2=4y ， 所以，焦点到准线的距离为：2． 40. 【答案】解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ． ∴ ρ2=2√3ρsin θ， 化为x 2+y 2=2√3y ，配方为x 2+(y −√3)2=3． (2)设P(3+12t ，√32t)，又C(0,√3)， ∴ |PC|=12(√32√3)=√t 2+12≥2√3，因此当t =0时，|PC|取得最小值2√3，此时P(3, 0)．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】（1）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ．化为ρ2=2√3ρsin θ，把{ρ2=x 2+y 2y =ρsin θ代入即可得出；． （2）设P(3+12t ，√32t)，又C(0,√3)．利用两点之间的距离公式可得|PC|=√t 2+12，再利用二次函数的性质即可得出． 【解答】解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ． ∴ ρ2=2√3ρsin θ， 化为x 2+y 2=2√3y ，配方为x 2+(y −√3)2=3． (2)设P(3+12t ，√32t)，又C(0,√3)， ∴ |PC|=2(√2=√t 2+12≥2√3，因此当t =0时，|PC|取得最小值2√3，此时P(3, 0)．。

极坐标方程与直角坐标方程的互化例题及答案1. 问题描述给定直角坐标方程y=x2，将其表示为极坐标方程。

2. 解答步骤为了将直角坐标方程y=x2表示为极坐标方程，我们需要将直角坐标系中的(x,y)转换为极坐标系中的 $(r, \\theta)$。

步骤 1:将直角坐标(x,y)转换为极坐标 $(r, \\theta)$，其中r表示极径，$\\theta$ 表示极角。

在直角坐标系中，我们知道 $x = r \\cos(\\theta)$，$y = r \\sin(\\theta)$。

根据题目中的直角坐标方程y=x2，代入以上公式，得到 $r \\sin(\\theta) = (r\\cos(\\theta))^2$。

步骤 2:化简极坐标方程。

根据三角函数的乘法公式 $\\sin(\\theta) = \\frac{1}{2} [\\cos(\\theta -\\pi/2) - \\cos(\\theta + \\pi/2)]$，我们可以将极坐标方程化简为 $r\\sin(\\theta) = \\left( r \\cos(\\theta) \\right)^2$。

进一步化简，得到 $r \\sin(\\theta) = r^2 \\cos^2(\\theta)$。

步骤 3:互化极坐标方程与直角坐标方程。

通过对上述结果进行代换，可以得到直角坐标方程y=x2的极坐标方程为$r^2 \\sin(\\theta) = r^4 \\cos^2(\\theta)$。

3. 答案验证为了验证我们推导出的极坐标方程 $r^2 \\sin(\\theta) = r^4\\cos^2(\\theta)$ 是否正确，我们可以在直角坐标系与极坐标系中选择一些点进行计算。

在直角坐标系中选取点(x,y)：x y1 12 43 94 165 25将这些点分别代入直角坐标方程y=x2，可以得到相应的y值。

在极坐标系中选取点 $(r, \\theta)$：r $\\theta$1 02 03 04 05 0将这些点分别代入极坐标方程 $r^2 \\sin(\\theta) = r^4 \\cos^2(\\theta)$，可以得到相应的等式是否成立。

2020人教A 版选修4-4优化练习： 1.2 极坐标和直角坐标的互化一、选择题1.将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，-2)C ．(2,0)D ．(-2,0)2.把点的直角坐标(3，-4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ=3，θ=4B ．ρ=5，θ=4C ．ρ=5，tan θ=43D ．ρ=5，tan θ=-433.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．44.若A ，B 两点的极坐标为A(4,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，则线段AB 的中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π45.在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π36.在极坐标系中，若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6，求△ABO 的面积(O 为极点)为( )A ．2B ．3C ．4D ．67.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322 D.36－322二、填空题8.极坐标系中，直角坐标为(1，-3)的点的极角为________．9.极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3的直角坐标为________．10.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．11.已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x′＝2x ，y′＝3y变换为点P′(6，-3)，限定ρ＞0,0≤θ＜2π时，则点P 的极坐标为________．12.在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB(其中O 为极点)的面积为________．三、解答题13.已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标．14.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(-1,1)； (2)(4，-43)； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2； (4)(-6，-2)．15.在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．16.已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．答案解析1.答案为：B ；解析：由题意可知，x=2cos 3π2=0，y=2sin 3π2=-2.2.答案为：D ；解析：由公式得ρ= x 2＋y 2= 32＋－2=5，tan θ=y x =-43，θ∈[0,2π)．3.答案为：B ；解析：方法一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标分别为(3，1)与(3，-1)，于是|AB|=3－32＋＋12=2.方法二 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6知，|OA|=|OB|=2，∠AOB=π3，于是△AOB 为等边三角形，所以|AB|=2.4.答案为：A ；解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)， 则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2=x 2＋y 2，得ρ=2 2.因为tan θ=22=1，且点(2,2)在第一象限，所以θ=π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.5.答案为：A ；解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB=π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB|=22×2=1，设线段AB 的中点为C ， 则|OC|=12，极径OC 与极轴所成的角为5π12，所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.6.答案为：B ；解析：由题意可知，在△ABO 中，OA=3，OB=4，∠AOB=7π6-π3=5π6， 所以△ABO 的面积为S=12|OA|·|OB|·sin∠AOB=12×3×4×sin 5π6=12×3×4×12=3.7.答案为：C ；解析：A ，B 两点在极坐标系中的位置，如图．则由图可知∠AOB=13π12-π4=5π6.在△AOB 中，|AO|=|BO|=3，所以由余弦定理得|AB|2=|OB|2＋|OA|2-2|OB|·|OA|·cos 5π6=9＋9-2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32=18＋93=92(1＋3)2.所以|AB|=36＋322.一、填空题8.答案为：2k π-π3(k ∈Z)；解析：直角坐标为(1，-3)的点在第四象限，tan θ=-3，所以θ=2k π-π3(k ∈Z)．9.答案为：(3,33)；解析：∵x=ρcos θ=6cos 7π3=3，y=ρsin θ=6sin 7π3=33，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3化为直角坐标为(3,33)．10.答案为：3；解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝13y 后的点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|=3.11.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6； 解析：设点P 的直角坐标为(x ，y)，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，-3)， ∴ρ= 32＋－32=23，tan θ=－33.∵0≤θ＜2π，点P 在第四象限，∴θ=11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.12.答案为：3；解析：如图所示，|OA|=3，|OB|=4，∠AOB=π3-π6=π6，所以S △AOB =12|OA|·|OB|·sin ∠AOB=12×3×4×12=3.二、解答题 13.解：根据x=ρcos θ，y=ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322，B(-1，-3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D(0，-4)．14.解：(1)∵ρ=－2＋12=2，tan θ=-1，θ∈[0,2π)，由于点(-1,1)在第二象限，所以θ=3π4，∴直角坐标(-1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)∵ρ=42＋－432=8，tan θ=－434=-3，θ∈[0,2π)，由于点(4，-43)在第四象限．所以θ=5π3，∴直角坐标(4，-43)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π3.(3)∵ρ=⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22=32π2，tan θ=3π23π2=1，θ∈[0,2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ=π4， ∴直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.(4)∵ρ=－62＋－22=22，tan θ=－2－6=33，θ∈[0,2π)，7π∴直角坐标(-6，-2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6. 15.解：将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标， 得M(1，-3)，N(2,0)，P(3，3)．方法一 因为k MN =k PN =3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二 因为MN →=NP →=(1，3)．所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．16.解：以极点O′为坐标原点，极轴方向为x′轴正方向，建立新直角坐标系x′O′y′，设点M 的新直角坐标为(x′，y′)，于是x′=4cos π6=23，y′=4sin π6=2，由O′(x′，y′)=O′(0,0)，O′(x，y)=O′(2,3)，易得O′(x′，y′)与O′(x，y)的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋2，y ＝y′＋3，于是点M(x ，y)为⎩⎨⎧x ＝23＋2，y ＝2＋3＝5，所以点M 的直角坐标为(23＋2,5)．。

第一课时 极坐标系与极坐标系互化作业一、选择题1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 2、点M 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛35π，，下列所给出的坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 3．已知点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于极轴的对称点坐标是 ( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛67,2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 4、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形二、填空题5．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为_______． 6．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．7．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________8．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2π))三、解答题9．(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．10．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'P 点坐标。

4.2.2 极坐标和直角坐标的互化一、选择题。

1. 点的直角坐标(3,−4)化为极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<θ<2π)，则（）A.ρ=3，θ=4B.ρ=5，θ=4C.ρ=5，tanθ=43D.ρ=5，tanθ=−432. 极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 把点M的直角坐标(1,1)化成极坐标形式为(ρ≥0，−2π≤θ<0)（）A.（√2,π4） B.（2,π4） C.(√2,−π4) D.(√2,−7π4)4. 已知点M的极坐标为(5,π3)，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是（）A.(5,−π3) B.(5,4π3) C.(5,−2π3) D.(5,−5π3)5. 在极坐标系中，已知A，B两点的极坐标分别为A(4,7π6)，B(4,3π2)，则线段AB的长度|AB|为（）A.π3B.2C.2√3D.46. 与极坐标（−2,π6）不表示同一点的极坐标是（）A.(2,7π6) B.(2,−7π6) C.（−2,−11π6） D.（−2,13π6）二、填空题。

点（2，—2）的极坐标为________．直线l过点A(3,π3)，B(3,π6)，则直线l与极轴的夹角等于________．当ρ≥0，0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则M的直角坐标为________．三、解答题。

将下列各点的极坐标化为直角坐标：)；(√2,π4(6,−π)；3(5,π)．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)(√3,3)；(−1,−1)；(−3,0)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，AB，BC，CD，AD的中点分别为E，F，G，H，以菱形的中心为极点O和坐标原点，OA的方向为极轴方向与x轴正方向，建立极坐标系与平面直角坐标系，如图，既定ρ≥0，0≤θ<2π．求点E，F，G，H的极坐标与直角坐标；判断四边形EFGH的形状．参考答案与试题解析4.2.2 极坐标和直角坐标的互化一、选择题。

极坐标与直角坐标互化姓名：___________班级：___________1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )A． B． C． (1,0) D． (1，π)2.圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心坐标是( )A． B． C． D．3.极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( )A．一条直线 B．一个圆 C．一条直线和一个圆 D．无法判断4.在极坐标系中,圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．5.在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．6.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．7.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________．8.在极坐标系中,过圆ρ＝6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程____．9.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ＝3,点到直线l的距离为________．10.已知直线的极坐标方程为ρsin＝,极点到该直线的距离是_________．11.已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OA＝OB，则点B的直角坐标为______________．12.把曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为______________.13.设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l 的极坐标方程为_________．14.在极坐标系中,直线l的方程为ρcosθ＝33,点到直线l的距离为_____．15.极坐标系中,点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_ _．16.在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.17.将下列各点进行极坐标与直角坐标互化A. B. C.(－，－1) D.(，－)(ρ>0,0≤θ<2π)18.已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．19.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．20.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．答案解析1.【答案】B【解析】由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.2.【答案】A【解析】ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，x2＋y2－5x＋5y＝0，2＋2＝52，∴圆心的直角坐标为，注意圆心在第四象限，化为极坐标为，注意ρ<0时点在极角终边的反向延长线上，∴与表示同一个点．3.【答案】C【解析】∵ρcosθ＝4sinθ·cosθ，∴ρcosθ－4sinθcosθ＝0，即cosθ(ρ－4sinθ)＝0，∴cosθ＝0或ρ＝4sinθ，由cosθ＝0知θ＝或θ＝表示一条直线；ρ＝4sinθ表示圆.4.【答案】6【解析】圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．圆心(0,4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.5.【答案】1【解析】在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.6.【答案】【解析】依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.7.【答案】x2＋y2－2y＝0【解析】将极坐标方程ρ＝2sinθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρsinθ，∴x2＋y2＝2y，故曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.8.【答案】ρcosθ＝3【解析】由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3,0)，所求直角方程为x＝3，则极坐标方程为ρcosθ＝3.9.【答案】2【解析】∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为 2.10.【答案】【解析】极点的直角坐标为O(0,0)，ρsin＝ρ＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，即极点到直线ρsin＝的距离为.11.【答案】(－，＋)【解析】依题意，点B的极坐标为，∵cos＝cos＝cos cos－sin sin＝×－×＝，sin＝sin＝sin cos＋cos sin＝×＋×＝，∴x＝ρcosθ＝4×＝－，y＝ρsin θ＝4×＝＋.12.【答案】x2＋(y－2)2＝4【解析】由ρ＝4sinθ得ρ2＝4ρsinθ.又，∴x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.13.【答案】【解析】∵x＝－5cos＝－，y＝－5sin＝－，∴点M的直角坐标是.14.【答案】【解析】ρ＝＝＝2，tanθ＝＝.∵点M在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝.因此，点M的极坐标是.15.【答案】(－4,4)【解析】x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4,4)．16.【答案】【解析】ρ＝＝2，tanθ＝＝－，又因为点在第四象限，得θ＝.因此，点P的极坐标为.17.【答案】ρcos＝1或ρsin＝1【解析】∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为(，1)，又∵直线l过点A 且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝(x－)tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1.18.【答案】2【解析】∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.19.【答案】2【解析】依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.20.【答案】【解析】曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.21.【答案】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.【解析】22.【答案】－8或2【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a＝2或a＝－8，故a的值为－8或2.23.【答案】（1）M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为；（2）θ＝(ρ∈R)【解析】(1)∵ρcos＝1，∴ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.又，∴x＋y＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.∴M(2,0)，N.∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)M、N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为θ＝.∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第2课时 极坐标和直角坐标的互化一、选择题1.已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝⎛⎭⎫5，π3 B.⎝⎛⎭⎫5，4π3 C.⎝⎛⎭⎫5，－2π3 D.⎝⎛⎭⎫－5，－5π3 答案 A2.原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，2π3 B.⎝⎛⎭⎫4，π3 C.⎝⎛⎭⎫4，4π3 D.⎝⎛⎭⎫4，2π3 答案 C解析 ∵x ＝－2，y ＝－23，∴ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(－23)2＝4，∵x ＝ρcos θ＝－2，∴cos θ＝－2ρ＝－12， 又θ为第三象限角，∴θ＝4π3， ∴该点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，4π3.故选C. 3.若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( ) A.(3,4)B.(4,3)C.(－4,3)D.(－3,4) 答案 D4.已知点M 的直角坐标是(3，－1)，则在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎫2，5π6 C.⎝⎛⎭⎫3，π6 D.⎝⎛⎭⎫2，11π6 答案 A解析 ρ＝x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33. 又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π.所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝⎛⎭⎫2，11π6. 5.在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A.(32，42)B.(－32，42)C.(－32，－42)D.(32，－42) 答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0).把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42).二、填空题6.把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫－10，π6化为直角坐标为 . 答案 (－53，－5)7.已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为 . 答案 5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎫332，32， 故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6. 8.将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为 .答案 (－1，－3)解析 由于M (－1，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转2π3得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3). 9.在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是 .答案 125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝⎛⎭⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23， 即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10.在极轴上与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为 . 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4， 所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0， 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0).三、解答题11.若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标.(ρ>0,0≤θ<2π) 解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos5π3＝2， y ＝ρsin θ＝4sin 5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23).(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22，tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2. ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫15，3π2.12.在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫43，7π6. (1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点).解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93. (2)S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3. 13.在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由.解 将极坐标M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3).方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线.方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线.14.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫23，π4 B.⎝⎛⎭⎫2，π4 C.⎝⎛⎭⎫32，3π4 D.⎝⎛⎭⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z ) 答案 C解析 因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3,3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫32，3π4，选C.15.已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标.解如图所示.设M在直角坐标系x′O′y′中的坐标为(x′，y′)，则x′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y′＝ρsin θ＝4sinπ6＝2，又M在原坐标系中的坐标为(x，y)，则x＝x′＋2＝23＋2，y＝y′＋3＝5，∴点M的直角坐标是(23＋2,5).。

考点2 极坐标与直角坐标的互化（2024·北京卷（理））在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a ＞0）与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1）2＋y 2＝1，圆心C （1,0），半径r ＝1.∵直线与圆相切，∴d ＝√22＝1，∴|a －1|＝√2. 又a ＞0，∴a ＝√2＋1.【答案】√2＋1（2024·全国Ⅰ卷（理））选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为（x ＋1）2＋y 2＝4.（2）由（1）知C 2是圆心为A （－1,0），半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B （0,2）且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满意题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【答案】见解析（2024·江苏卷）选修4－4：坐标系与参数方程−a)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6的弦长．【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为（2,0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为−a)＝2，ρsin(π6，则直线l过点A（4,0），且倾斜角为π6所以A为直线l与圆C的一个交点．.设另一个交点为B，则∠OAB＝π6如图，连结OB．因为OA为直径，从而∠OBA＝π，2＝2√3.所以AB＝4cos π6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2√3.【答案】见解析。