类比探究专题(二)——直角结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究的处理思路是什么？问题2：类比迁移的具体操作是什么？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？类比探究专项训练（一）一、单选题(共7道，每道15分)1.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD，ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD，ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程．（3）类比探究：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD，ME，试判断△MED的形状．（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）1．（1）中MD和ME之间的数量关系和位置关系分别是( )A.MD=ME，MD与ME不垂直B.MD=ME，MD⊥MEC.，MD⊥MED.，MD与ME不垂直答案：B解题思路：见第3题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）（2）中MD和ME之间的数量关系和位置关系分别是( )A.MD=ME，MD与ME不垂直B.MD=ME，MD⊥MEC.，MD⊥MED.，MD与ME不垂直答案：B解题思路：见第3题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.（上接第1，2题）（3）中△MED的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.含30°角的直角三角形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.已知正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F，连接PB．（1）如图1，当点P在线段AO上时（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交CD于点E，则DF，EF之间有怎样的数量关系？线段PA，PC，CE之间有怎样的一个等量关系？请给出证明过程．（2）如图2，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），过点P作PE⊥PB，交直线CD 于点E，（1）中的两个结论是否仍成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）1．（1）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第7题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.2．（上接第4题）（1）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第7题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.3．（上接第4，5题）（2）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第7题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究7.4．（上接第4，5，6题）（2）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

类比探究问题（习题）＞例题示范例1：如图1,在正方形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的点, 且ZE4F=45。

，则有结论EF=BE+DF成立.（1）如图2,在四边形ABCD中，AB=AD. ZB=ZD=90。

, E, F分别是BC, CD上的点，且ZEAF是ZB4D的一半，那么结论EF二BE+DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理山.⑵ 如图3,若恪（1）中的条件改为：在四边形ABCD 4^，AB=AD.ZB+上ADC=180。

，延长SC到点E,延长CD到点F,使得ZEAF 仍然是ZBAD的一半，则结论EF二BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.图1D图2F思路分析：1.题目中有旋转结构，可以类比.题U结论思路：如图1,延长CB到G,使BG二DF,根据已知条件容易证明^ ABG幻△ADF,由此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ABAD.2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・2.类比上面思路，解决笫一问•如图2,延长CB到G,使BG=DF, 根据已知条件容易证明^ABG^^ADF.山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF=_ ZBAD,2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以△故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・3.照搬思路解决第二问•结论EF=BE+DF不成立，应为EF=BE-DF.如图3,在BC上截取BG=DF, 山于ZB+ZAQC=180。

，Z/1DF+Z/IDC=18O^ 可以得到ZB=ZADF,所以△ABG幻△ADF,山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ZBAD.2 所以得到ZEAF=ZEAG,所以△AEF竺△AEG,A)90。

△ADF空△ABG (SAS)I AAEF^AAEG (SAS)I故EF=EG=BE-BG=BE-DF ・D>巩固练习1.如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF (CG>BC)中，点C, G在同一直线上，M是AE的中点.(1)探究线段MD, MF的位置关系及数量关系，并证明.(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D, C, G三点在同一直线上，如图2,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.(3)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边在同一直线上，如图3,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图2E2.在△ABC中，已知BC >AC.动点D绕△ABC'的顶点A逆时针旋转，丄LAD=BC,连接CD. E, F分别为AB, CD的中点，直线EF与直线AD眈分别交于点M, N.如图1,当点D旋转到BQ 的延长线上时，点N恰好与点Fifi合，取AC的中点H,连接HE, HF.根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论ZAMF二ZBNE (无需证明).(1)当点D旋转到图2中的位置时，ZAMFLj ZBNE有何数量关系？请写出猜想，并给出证明.(2)当点Q旋转到图3中的位置时，ZAMF与ZBNE有何数量关系？请直接写出结论.3.已知AABC,以△ABC的边4C为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD AB=AE. AC=AD. ZBAE= ZCAD=90\ M 是BC中点，连接AM, DE.(1)如图1,在△ABC中，当ZB4C二90。

八数类比探究专题(人教）知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造． 3. 类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点 平行夹中点 见中点，要倍长 多个中点， 斜边中线 延长证全等 倍长之后证全等 考虑中位线 （2）旋转结构 常见模型1如图，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构，所以连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ． 常见模型2CEDC B AEDC B A如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°，则EF =BE +DF ．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD =AB ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．（3）直角结构直角结构——斜直角放正FEFG E B C ABCD E DECBA精讲精练 【中点结构】1. 已知P 是Rt △ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．图1BCQ (P )EF A AFE PQCB 图2（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．3. 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA的延长线上时，如图1所示，易证． （1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．12MF FN BE +=图1ADBCNMEF 图2A DBCN M EF图3ADBC NMEF4. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ． （1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系为__________． （2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明． （3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE5. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ． （1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N 图2N M F EDCBA6.已知，在四边形ABCD中，点E，点F分别为AD，BC的中点，链接EF．（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB，CD，EF之间的数量关系为________________；（2）如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB，CD，EF之间的数量关系？AB C DEFG 图1AB CDEF图2图1ABDEFG图2ABCDEFG图3AB CD EFG 【旋转结构】7. 以四边形ABCD 的边AB ，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE ，连接EB ，FD ，交点为G ．（1）问题发现：当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是___________．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．图1A BCDE F图2AB EC FD图3B A DCEF8. 已知四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF =60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出．．．．线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点F 到BC 的距离．图1GF ED CBA 图2ED CB A图3GFED CBA9. 如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．小明是这样解决的：延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接AG ，再证明△GAF ≌△EAF ，可证得结论． 感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，且∠BAE =45°，DE =4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式 BD 2+CE 2=DE 2始终成立，请说明理由．G FEDCBA图1FED CBA图210. 问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______． （2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF =70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】11. （1）观察猜想如图1，点B ，A ，C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE =90°，AD =AE ，则BC ，BD ，CE 之间的数量关系为_______________； （2）问题解决如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，CB =4，AB =2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连接BD ，求BD 的长；图1 图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，CB =4，AB =2，DC =DA ，请直接写出BD 的长．EDCBADCB ADCBA12. 情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC ≌△DEF ，且∠C =∠F =90°，现如图放置，则∠ABE =___________． 问题探究：如图2，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF ，过点E ，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M ，N ，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：如图，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF ，连接EF 交射线HA 于点G ，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．图1AB (D )CEF图2AB CEFHN M 图3M13.的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长；如果不能，试说明理由．AB CDPEF备用图FEPDCBA【其他类型】14.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P(1，2)，Q(2，-2)，N(12，-1)中，是“垂点”的点为______；（2）点M(-4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值______；（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标______；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为______．图1图215. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA =PE ，PE 交CD 于F ． （1）证明：PC =PE ； （2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．图1ABC PD EF图2APDEFBC16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ． （1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S △，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDC B ADCABFEN图2D CABFEN图3。

类比探究（一）——直角、平行（习题）1. 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AFEF=，则CD CG 的值是______． （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m ＞0），则CD CG 的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BCb BE=（a ＞0，b ＞0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．GF DC BA图1GF E DBA图2ADCEFB图32. 如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________．A (D )C (E )BF图1QPDEFB C A图2Q PDE F B CA图33. 在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过点G 的直线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，AGGD=_______． （2）如图2，当EF ∥BC 时，求证：1=+AFCFAE BE ．（3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB ，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 提示：①过点A 作AM ∥BC ，交EF 于点M ，直线FE 交BC 于N ；②NB +NC =2ND ．（4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．AB (E )CDFG图1ABCD EF G 图2GFE D CBA图3ABCD EFG图4【参考答案】1. （1）32； （2）2m ；（3）ab ．2. （1）EP =EQ ，证明略；（2）EP =12EQ ，证明略；（3）EP =1mEQ ．3. （1）2；（2）证明略；（3）（2）中的结论仍然成立，证明略； （4）（2）中的结论不成立，理由略．。

第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD=_____BC ； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．βαC'B'DCA图1图2AB CDB'C'DC BA2. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC=a ，BC 边上的高AD=h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）． 【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB=50cm ，BC=108cm ，CD=60cm ，且4tan tan 3B C ==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．FEDC BAAB C D EMNPQ ABCDE图（2）图图1 图2 图3E DCBAADBA图（4）AB CDBA3. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．D C B A FED C BAE FGPDCBA图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．PD C BADCB A图4图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ．4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB． （2）如图2，若∠ABC=120°，cos ∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC=cos ∠ADC=35，CD=5，CF=ED=n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．EDCBA图1E DCBA图2F EDCB A图3【参考答案】1.（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明略；（3）存在，2.【探索发现】12；【拓展应用】14 ah；【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1944 cm2．3.（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；（3）略；（4）165．4.（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为75-（3）AD的长为5256nn++．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若a+b=3，，则ab等于（）A.2B.1C.﹣2D.﹣12．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（）A．B．19m C．m D．m3．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y＝ax+b图象的只可能是( )A. B. C. D.4．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）A．B．C．D．5．若关于x的方程223axa x=-的解为x＝1，则a等于（）A.0.5B.﹣0.5C.2D.﹣2. 6．下列各式计算正确的是（）A．a2×a3＝a6B=C ．21111x x x -=-+ D ．（x+y ）2＝x 2+y 27．书店、学校、食堂在平面上分别用A 、B 、C 来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC 的度数应该是( ) A ．65°B ．35°C ．165°D ．135°8．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．长方体B ．圆锥C ．圆台D ．圆柱9．16的平方根为（ ） A ．±4 B ．±2 C ．+4 D ．210．下列运算正确的是（ ） A.2a 2+2a 2=4a 2B.（a 2）3=a 5C.a 2•a 3=a 6D.a 6÷a 3=a 211．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，两弦AB 与CD 垂直相交于点E ，若CE ＝3cm ，DE ＝9cm ，则AB ＝（ ）cm 12．生活中，有时也用“千千万”来形容数量多，“千千万”就是100亿，“千千万”用科学记数法可表示为( ) A ．0.1×1011 B ．10×109C ．1×1010D ．1×1011二、填空题 13．如图，在O 中，点C 为弧AB 的中点，OC 交弦AB 于D ，如果8AB =，5OC =，那么OD 的长为___．14．如图，在.△ABC 中，各边的长度如图所示，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是__．15．在△ABC 中，AB=6cm ，点P 在AB 上，且∠ACP=∠B ，若点P 是AB 的三等分点，则AC 的长是_____．16．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根的和为_____．17．因式分解：x 3-25x______．18．方程组 5211ax y x x by y 的解为+==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩，则点P （a ，b ）在第_____象限． 三、解答题19．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）20．（1）计算：83(1)24(2)--+⨯- （2）解方程：222111x x x +=--21．如图，两条射线BA//CD ，PB 和PC 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，分别交AB ，CD 与点A ，D ．（1）求∠BPC 的度数； （2）若,60,2AD BA BCD BP ︒⊥∠==，求AB+CD 的值；（3）若ABP S ∆为a ，CDP S ∆为b ，BPC S ∆为c ，求证：a+b=c ．22．点A （－1，0）是函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 的图像与x 轴的一个公共点． （1）求该函数的图像与x 轴的另一个公共点的坐标以及m 的值；（2）将该函数图像沿y 轴向上平移 个单位后，该函数的图像与x 轴只有一个公共点．23．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，AB=12cm ，AD=CD=8cm ，动点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，动点F 从点B 出发沿BA 以每秒1cm 的速度向点A 运动，过点E 作AB 的垂线交折线AD-DC 于点G ，以EG 、EF 为邻边作矩形EFHG ，设点E 、F 运动的时间为t(秒)，矩形EFHG 与四边形ABCD 重叠部分的面积为S(cm 2).(1)求EG 的长(用含t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，点G 与点D 重合？(3)当点G 在DC 上时，求S(cm 2)与t(秒)的函数关系式(S>0)；(4)连接EH 、GF 、AC 、BD ，在运动过程中，当这四条线段所在的直线有两条平行时，直接写出t 的值. 24．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD ，设AD ＝m ，DC ＝n ，BE ＝p ，DE ＝q ．（1）若tanC ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离； （2）若m ＝n ， B D ＝，求四边形ABCD 的面积．25．（1）计算：3tan30°﹣|12-|﹣2﹣1+（π﹣2019）0；（2）解不等式组：2(1)3212223x x x x x +>-⎧⎪-⎨-≤-⎪⎩【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．3 14．315． 或 16．217．x （x+5）（x-5） 18．一 三、解答题19．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y ＝700x ，当10＜x≤90时，y ＝﹣5x 2+750x ，当x ＞90时，y ＝300x ；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元． 【解析】 【分析】（1）设件数为x ，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解； （2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x 的值，确定销售单价． 【详解】（1）设商家一次购买这种产品x 件时，销售单价恰好为2800元． 由题意得：3200﹣5（x ﹣10）＝2800，解得：x ＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，由题意得： 当0≤x≤10时，y ＝（3200﹣2500）x ＝700x ，当10＜x≤90时，y ＝[3200﹣5（x ﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x 2+750x ， 当x ＞90时，y ＝（2800﹣2500）•x＝300x ；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y 随x 增大而增大， 函数y ＝700x ，y ＝300x 均是y 随x 增大而增大，而y ＝﹣5x 2+750x ＝﹣5（x ﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y 随x 增大而增大． 由上述分析得x 的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价， 最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元， 答：公司应将最低销售单价调整为2875元． 【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 20．（1）-4（2）x=-32【解析】 【分析】(1)按顺序分别进行乘方运算、负指数幂运算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可； (2)方程两边都乘以(x+1)(x ﹣1)，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得. 【详解】(1)原式＝1+24×18⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1﹣3﹣2＝﹣4；(2)方程两边都乘以(x+1)(x ﹣1)，约去分母，得2(x+1)+x2＝x2﹣1，整理，得2x＝﹣3，解得：x=32 -，检验：当x＝32-时，(x+1)(x﹣1)≠0，∴x＝32-是原方程的解．【点睛】本题主要考查了实数的加减运算以及分式方程的解法，解分式方程是需要注意验根．21．（1）90°；（2）4；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，可得∠PBC+∠PCB的值，于是可求∠BPC的值；（2）在△ABP，△PCD和△BCP中，利用特殊角在直角三角形中的边关系可求AB+CD的值．（3）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．【详解】（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC12=∠ABC，∠PCB12=∠BCD，∴∠PBC+∠PCB12=⨯（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD12=∠BCD=30°，∴∠ABP12=∠ABC=60°．在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，Rt△PCD中，PD=CD=3，∴AB+CD=4．（3）如图，作PQ⊥BC．∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．∴△ABP≌△BQP（AAS）．同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．22．（1）另一个公共点的坐标是（3，0）．m1＝1，m2＝3．（2）4．【解析】【分析】（1）求出二次函数对称轴，根据二次函数图像的对称性可得与x轴的另一个交点坐标，将x＝－1，y＝0代入函数解析式可求出m；（2）求出函数图像顶点坐标，根据函数图像平移规律即可得到平移方式.【详解】解：（1）在函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 中，∵a ＝1，b ＝－2，∴该二次函数图像的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线．∵点A （－1，0）是函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 的图像与x 轴的一个公共点，根据二次函数图像的对称性，∴该函数与x 轴的另一个公共点的坐标是（3，0）．将x ＝－1，y ＝0代入函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 中，得0＝3＋m 2－4m ．解这个方程，得m 1＝1，m 2＝3．（2）函数解析式为：y ＝x 2－2x －3，当x=1时，y=－4，∴将该函数图像沿y 轴向上平移4个单位后，该函数的图像与x 轴只有一个公共点.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性以及对称轴的求法是解题关键.23．或；(2)t=4；(3)当4≤t<6时，；当6<t≤8时，；当8<t≤12，S=22t -+-(4)t=125或t=3或t=10. 【解析】【分析】 (1)分两种情况讨论：①当点G 在AD 上时，②当点G 在DC 上时，分别计算即得.(2)当点G 与点D 重合时 ，可得AE=t ，从而可得AG=2t ，由AG=AD=8，从而求出t 值.(3)当4≤t<6时 ，重叠面积是矩形EFHG ， EF=12-2t ，利用矩形的面积公式直接计算即得.当6<t≤8时，重叠面积是矩形EFGH ，EF=2t-12，利用矩形的面积公式直接计算即得。

类比探究1.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P 处，将三角板绕点P旋转．（1）如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于点M，N，此时PN和PM的数量关系是( )A. B. C. D.（2）如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC的延长线于点M，N，此时PN和PM的数量关系是( )A. B. C. D.（3）如图3，若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处，三角板的两直角边分别交AB，BC的延长线于点M，N，当时，PN和PM的数量关系是( )A. B. C. D.2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE 交AB于点F．（1）如图1所示，若AC=BC，CE=EA，则EF与EG的数量关系是( )A. B. C. D.（2）如图2所示，若AC=BC，CE=nEA（n为实数），则EF与EG的数量关系是( )A. B. C. D.（3）如图3所示，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为任意实数），则EF与EG的数量关系是( )A. B. C. D.图1 图2 图33.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q，则（1）BP:PQ:QR等于( )A.3:2:1B.3:2:4C.3:1:2D.2:1:2（2）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于点P，Q，R，则BP:PQ:QR:RS等于( )A.5:1:3:2B.4:1:3:2C.5:1:4:2D.3:1:3:2（3）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于点P，Q，R，S，则BP:PQ:QR:RS:ST等于( )A.5:1:4:2:3B.5:1:5:2:3C.4:1:4:2:3D.5:1:4:3:2、4.问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，则HF，AH，CF之间的数量关系为( )A.HF=AH+CFB.C.HF=2AH+CFD.（2）类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，则的值为( )A. B. C. D.（3）延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记，且点D，E的运动速度相等，则的值为( )（用含m的代数式表示）A. B.C. D.5.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC边上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，且AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG之间的数量关系．（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG之间的数量关系．（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG之间的数量关系．（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG之间的数量关系．6.（1）如图1，正方形AEGH的顶点E，H在正方形ABCD的边上，求的值．（2）如图2，将图1中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，求的值．（3）如图3，把图2中的正方形都换成矩形，当，时，求的值．7.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，则△OMN的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.含30°角的直角三角形（2）如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上，且AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G．若∠EFC=60°，连接GD，则△AGD的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.含30°角的直角三角形8.（1）如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，过点E作EF⊥AB，交BD于点F，取DF的中点G，连接EG，CG．为了研究线段EG和CG之间的数量和位置关系，可通过作辅助线：延长EG，交AD的延长线于点H，连接EC，HC，来进行分析．则得到的结论是( ) A.EG=CG且EG⊥CG B.EG=CG但EG与CG不垂直C.EG⊥CG但EG≠CGD.（2）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，如图2，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1）中的辅助线和证明思路，需要作出的辅助线是( )A.延长EG，交AD于点H，连接HCB.延长BG，交AD于点H，连接HCC.延长EG，交CD的延长线于点HD.延长EF，交DA的延长线于点H，连接HC（3）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，其他条件不变，如图3，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1），（2）中的辅助线和证明思路，需要证明两个直角三角形全等，则判断该三角形全等时使用的条件是( )A.AASB.ASAC.HLD.SAS9.（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF．（2）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是边BC，CD上的点，且，则当∠B和∠D满足什么条件时，EF=BE+DF成立？（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，则此时两舰艇之间的距离为( )海里．10.[问题情境]张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C 作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP的面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．[变式探究]如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请探究PD，PE，CF之间的数量关系，并证明该结论．请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：[结论运用]如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．[迁移拓展]图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且，．M，N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，求△DEM与△CEN的周长之和．11.（1）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，求∠C 的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．那么小红的发现是正确的吗？猜想是正确的吗？（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．12.问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．（1）发现证明：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG（如图2），经过推理和计算发现BE，EF，FD 之间的数量关系，请判断BE，EF，FD之间的数量关系．（2）类比引申：如图3，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E，F分别在边BC，CD 上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD？（3）探究应用：如图4，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD，米，现要在E，F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：，）．。

三角形全等之类比探究（习题）➢ 例题示范例1：已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，AD =AF ，∠DAF =90°，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF +CD =BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．图2图1ABCDEFFED CBA【思路分析】结合题目特征，本题为类比探究问题． 解决方法：（1）根据题目条件及（1）问中D 在线段BC 上，证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，结论可证．（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．如图2，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CD =CF ； 如图3，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CF =CD ． 【过程书写】 证明：如图，图3ABC DEF图1FEDCBA∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BD +CD =BC ∴CF +CD =BC （2）BC +CD =CF（3）BC +CF =CD ，理由如下： ∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BC +BD =CD ∴BC +CF =CD➢ 巩固练习1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ，如图1．图3AB CDF（1）求证：AC =CE ．（2）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图2的位置（C 1，C 2不重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由． （3）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图3的位置（B ，C 2重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．2. （1）【问题发现】小明学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 的中点，且满足∠ADE =60°，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD 与DE 的数量关系：图3图2图1ABC DEEDB AEDB 2)A2C 1C 1_______________；（2）【类比探究】如图2，当点D 是线段BC 上（除B ，C 外）任意一点时（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】如图3，当点D 在线段BC 的延长线上（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．图1FED CB A图2EDCBA图3EDC B A3. 如图1所示，在△A B C 和△A D E 中，A B =A C ，A D =A E ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ． （1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1A BCDE M N【参考答案】1. 证明略路线图： (AAS) A DCEABC CDE AC CE∠=∠↓↓=△≌△ 提示：（1）AC=CE ，由垂直转互余可以得到∠A =∠DCE ， 结合BC=DE 证明△ABC ≌△CDE ，得到对应边相等， 可以得到AC=CE ．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ． （3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ．2. 证明略D DF AC AB F 过点作∥，交于点路线图(AAS)BDF BF BD AF CDADF DEC AD DE ↓==↓↓=△为等边三角形，△≌△ 提示：（1）AD =DE（2）AD =DE 成立，根据△ABC 以及△BDF 是等边三角形，得到AF =DC ，再结合∠ADE =60°，倒角，得到∠DAF =∠EDC ，结合外角平分线，知∠DCE =∠AFD =120°，得到△ADF ≌△DEC ，得到对应边相等，可得AD =DE ．（3）成立，照搬第二问的字母、思路和过程可以得到AD =DE ．3. 证明略路线图(SAS) (SAS) BAE CAD BE CD ABE ACD ABM ACN AM AN AMN ↓=∠=∠↓↓=↓△≌△，△≌△△是等腰三角形提示：（1）由已知条件先证明△BAE ≌△CAD (SAS)，得到BE=CD ，结合第一次全等提供的条件证明△ABM ≌△ACN (SAS)得到AM=AN ，因而△AMN 是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD ，△AMN 是等腰三角形．。

第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD=_____BC ； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．βαC'B'DCA图1图2AB CDB'C'DC BA2. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC=a ，BC 边上的高AD=h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）． 【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB=50cm ，BC=108cm ，CD=60cm ，且4tan tan 3B C ==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．FEDC BAAB C D EMNPQ ABCDE图（2）图图1 图2 图3E DCBAADBA图（4）AB CDBA3. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．D C B A FED C BAE FGPDCBA图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．PD C BADCB A图4图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ．4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB． （2）如图2，若∠ABC=120°，cos ∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC=cos ∠ADC=35，CD=5，CF=ED=n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．EDCBA图1E DCBA图2F EDCB A图3【参考答案】1.（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明略；（3）存在，2.【探索发现】12；【拓展应用】14 ah；【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1944 cm2．3.（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；（3）略；（4）165．4.（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为75-（3）AD的长为5256nn++．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，内有一点D，且，若，则的大小是( )A．B．C．D．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．3．如图，⊙O与BC相切于点B，弦AB∥OC，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°4．如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为（）A．B．2 C．4 D．25．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，点M 从点D 出发，沿D→C→A 以1cm/s 的速度匀速运动到点A ，图2是点M 运动时，△MAB 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则边AB 的长为（ ）cm ．A ．136B ．13C ．52D ．1326．如图，在等腰ABC ∆中，3,5AB AC BC A ===,则AB 的长为（）A ．15B ．C ．20D ．7．下列四个命题中，错误的是（ ）A ．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B ．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C ．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D ．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补8．如图，//AB CD ，150∠=°，245∠=︒，则CAD ∠的大小是（ ）A ．75︒B ．80︒C ．85︒D ．90︒9．已知几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则构成该几何体的小正方体个数最多是（ ）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个10．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边AC 与AB 上，DE ∥BC ，BD 、CE 相交于点O ，13EO OC =，AE ＝1，则EB的长为( )A．1 B．2 C．3 D．411．点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（）A．25B．15C．14D．1212．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二、填空题13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点D是边AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE 翻折，使点A落在点A′处，当线段AE的长为_______时，A′E∥BC．14．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为_____．15．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是_____16．计算：232()xy＝____．17．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值________.18．已知一次函数1y kx =+（k 为常数，0k ≠），点()11,A y -和点()22,B y 是其图象上的两个点，且满足12y y >，写出一个符合条件的k 的值为____________. 三、解答题19．如图，△ABC 的边BC 为⊙O 的直径，边AC 和⊙O 交点D ，且∠ABD ＝∠ACB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，AB ＝5，则BC 的长为 ．20．我市今年中考体育测试，男生必考项目是1000米跑，男生还须从以下六个项目中任选两个项目进行考核：①坐位体前屈、②立定跳远、③掷实心球、④跳绳、⑤50m 、⑥引体向上． （1）男生在确定体育选项中所有可能选择的结果有 种；（2）已知某班男生只在①坐位体前屈、②立定跳远、④跳绳中任选两项，请你用列表法或画树状图法，求出两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率．21．如图，一次函数y 1＝kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象与反比例函数y 2＝mx（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M （1，4）和点N （4，n ）． （1）反比例函数与一次函数的解析式． （2）函数y 2＝mx的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交x 轴于点A ，交y 轴点B ，若BC ＝2CA ，求OA•OB 的值．22．我市中小学学生素养提升五项工程自启动以来，越来越受到教师、家长和学生的喜爱．为进一步了解学生对“规范书写”、“深度阅读”、“课堂演讲”、“阳光体艺”、“实验实践”的喜爱程度，某学生总数是1800人的九年一贯制学校，从每个年级随机抽取了部分学生进行了调查（每位学生只可选其中一项），并将结果整理、绘制成统计图如下：根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有 人，补全条形统计图； （2）求扇形统计图中a 的值；（3）估计该校全体学生中喜爱“实验实践”的人数．23．问题情境1：如图1，AB ∥CD ，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B ，∠P ，∠D 之间的关系？ 小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB ∥CD ，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题： 已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F （1）如图4，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；（2）如图5中，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论． （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，设∠E ＝m°，用含有n ，m°的代数式直接写出∠M ＝ ．24．已知：21(1)()12x x x +-=+ （1）请计算（ ）内应该填写的式子； （2）若（ ）代数式得值为3，求x 的值.25．某班数学兴趣小组对函数y ＝|x 2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x 的取值范围取足全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中m ＝ ．（2）根括上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，现在画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的一条性质；（4）进一步探究函数图象解决问题：①方程|x2﹣2x|＝12有个实数根；②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为．（精确到0.1）【参考答案】***一、选择题二、填空题13．92或1214．72°15．716．－63 8x y17．1 518．-2（答案不唯一）三、解答题19．（1）见解析；（2）203. 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BDC ＝90°，求得∠C+∠DBC ＝90°，等量代换得到∠ABD+∠DBC ＝90°，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到AD ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠C+∠DBC ＝90°， ∵∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD+∠DBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠ADB ＝90°，BD ＝4，AB ＝5， ∴AD ＝3，∵∠ADB ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠ABD ， ∴△ABD ∽△BCD ，AB ADBC BD ∴= 534BC ∴= 203BC ∴=故答案为：203．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．（1）30；（2）16. 【解析】 【分析】（1）画树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）根据题意画图如下：一共有30种不同的情况， 故答案为：30； （2）画树状图如下：由树状图知，共有18种等可能结果，其中两名男生在体育测试中所选项目完全相同的有3种结果，所以两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率为31 186=.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）y＝4x，y＝﹣x+5；（2）OA•OB的值为18或2．【解析】【分析】（1）将点M（1，4）代入y2＝mx（m为常数，m≠0）求反比例函数解析式，再求得N的坐标，将M与N两点坐标代入y1＝kx+b，即可求解；（2）过C作CH⊥y轴于点H，分三种情况结合三角形相似可求得OA和OB的值，则可求得OA•OB．【详解】（1）将点M（1，4）代入y2＝mx（m为常数，m≠0），∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x，将N（4，n）代入y＝4x，∴n＝1，∴N（4，1），将M（1，4），N（4，1）代入y1＝kx+b，得到k b44k b1+=⎧⎨+=⎩，∴k1 b5=-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）设点C（a，b），则ab＝4，过C点作CH⊥OA于点H．①当点B在y轴的负半轴时，如图1，∵BC＝2CA，∴AB＝CA．∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∠OAB＝∠CAH，∴△ACH∽△ABO．∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝12a，∴OA•OB＝12ab＝2．②当点B在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，∵BC＝2CA，∴13 CA AB=∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO．∴13 CH AH CA OB OA AB===∴OB＝3b，OA＝32a∴9A OB ab182O⋅==；③当点A在x轴的负半轴时，BC＝2CA不可能．综上所述，OA•OB的值为18或2．【点睛】本题为反比例函数和一次函数的交点，用C点的坐标表示出OA和OB是解题的关键．22．(1)80;图见解析；（2）20；（3）360.【解析】【分析】（1）用阳光体艺的人数除以对应的百分比即可得到接受调查的总人数. 用总人数减去其余各人数可得课堂演讲的人数，据此补全条形统计图. （2）根据样本中总人数及课堂演讲的人数即可求a 的值.（3）求出样本中学生中喜爱“实验实践”的人数的百分比，乘以学校总人数即可. 【详解】（1）32÷40%＝80（人）， 故答案为80，课堂演讲人数：80﹣8﹣8﹣32﹣16＝16（人） 补图如下（2）16100%20%a%80⨯==， 所以a ＝20；（3）根据题意得：161800100%36080⨯⨯=（人）， 答：该校全体学生中喜爱“实验实践”的人数约为360人． 【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键． 23．问题情境1：∠B+∠BPD+∠D ＝360°，∠P ＝∠B+∠D ；（1）140°；（2）16∠E+∠M ＝60°（3）360m 2nM ︒︒-∠=【解析】 【分析】问题情境1：过点P 作PE ∥AB ，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠P+∠D=360°；问题情境2：过点P 作EP ∥AB ，再由平行线的性质即可得出结论； ②，③根据①中的方法可得出结论； 问题迁移：（1）如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=12∠ABE ，∠EDF=12∠CDE ，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；（2）设∠ABM=x ，∠CDM=y ，则∠FBM=2x ，∠EBF=3x ，∠FDM=2y ，∠EDF=3y ，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．【详解】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为：∠B+∠P+∠D＝360°；问题情境2如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为：∠P＝∠B+∠D；问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝12∠ABE，∠EDF＝12∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如图5，16∠E+∠M＝60°，理由是：∵设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝2x ，∠EBF ＝3x ，∠FDM ＝2y ，∠EDF ＝3y ， 由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE ＝360°， ∴6x+6y+∠E ＝360°，16∠E ＝60﹣x ﹣y ， ∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM ＝360°， ∴6x+6y+∠E ＝∠M+5x+5y+∠E ， ∴∠M ＝x+y ， ∴16∠E+∠M ＝60°； （3）如图5，∵设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝（n ﹣1）x ，∠EBF ＝nx ，∠FDM ＝（n ﹣1）y ，∠EDF ＝ny ，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE ＝360°， ∴2nx+2ny+∠E ＝360°，∴x+y ＝360m 2n︒︒-，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM ＝360°，∴2nx+2ny+∠E ＝∠M+（2n ﹣1）x+（2n ﹣1）y+∠E ，∴∠M ＝360m 2n ︒︒-；故答案为：∠M ＝360m 2n︒︒-．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n 等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 24．（1）2x+2（2）x=12【解析】 【分析】根据已知等式确定出（ ）内的式子，进而确定出x 的值即可． 【详解】（1）21(1)(22)12x x x x +-+=+； （2）当223x+=时，12x =.【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（1）0.75；（2）详见解析；（3）当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；（4）①2；②0.5． 【解析】 【分析】（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，进行计算即可得到答案；（2）先将表中的正数点标在图上，再依次连接各点即可；（3）观察函数图象，当由函数图象知：当x＜0时，y随x的增大而减小；【详解】解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，得y＝|0.52﹣2×0.5|＝0.75，即m＝0.75，故答案为：0.75；（2）如图所示；（3）由函数图象知：当x＜0时，y随x的增大而减小；【点睛】本题考查二次函数和绝对值的综合问题，解题的关键是掌握二次函数图象的画法和绝对值的计算.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知直线y ＝334x -，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ，则△PAB 面积的最小值是（ ）A.6B.5.5C.5D.4.52．已知P 是反比例函数8(0)y x x=>图象上一点，点B 的坐标为（1，0），A 是y 轴正半轴上一点，且AP⊥BP ，AP ：BP ＝1：2，那么四边形AOBP 的面积为（ ）A.6.5B.8C.10D.73．（11·孝感）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,12），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜. 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44．下列算式的运算结果为a 6的是( ) A ．a 3•a 2B ．(a 3)2C ．a 3+a 3D ．a 6÷a5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝，则斜边上的高等于（ ）A. B. C. D.6．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.7．下列运算正确的是 A ．236a a a =B ．()239aa =C ．2142-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()0sin 301π-=8．下列运算正确的是（ ） A ．a 8÷a 2＝a 6 B ．（a+b ）2＝a 2+b 2 C ．a 2•a 3＝a 6D ．（﹣a 2）3＝a 69．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，侧得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为点O ，顺次连接四边形ABCD 各边中点E ，F ，G ，H ，则所得四边形EFGH 的形状为（ ）A.对角线不相等的平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11．如图，A 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB ．点P 从A 点出发，在⊙O 上以每秒一个的速度匀速单位运动：回A 点运动结束．设运动时间为x ，弦BP 长为y ，那么图象中可能表示数关y 与x 的函数关系的是（ ）A ．①B ．②C ．①或④D ．③或④12．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a ＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a 和除数b 确定，则商q 和余数r 也唯一确定，如：a ＝11，b ＝2，则11＝2×5+1此时q ＝5，r ＝1．在实数范围中，也有a ＝bq+r(a≥b 且b≠0，商q 为整数，余数r 满足：0≤r＜b)，若被除数是，除数是2，则q 与r 的和( )A ．﹣4B ．﹣6C ．-4D ．-2二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于F ，连接CF ，当CDF ∆为等腰三角形时，则BE 的长是_____________.14．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 均为格点，点P ，Q 分别为线段AB ，BC 上的动点，且满足AP BQ =．(1)线段AB 的长度等于__________；(2)当线段AQ CP +取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段AQ 和CP ，并简要说明你是怎么画出点Q ，P 的：_______________________．15．如图所示的网格是正方形网格，点E 在线段BC 上，ABE ∠_____DEC ∠.(填“＞”，“＝”或“＜”)16．如图，直线A l A ∥BB 1∥CC 1，若AB=8，BC=4，A 1B 1=6，则线段A 1C 1的长是________．17．011(260()23x tan -+︒--+． 18．-8的相反数是 . 三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A ：书法；B ：绘画C ：象棋；D ：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率 20．解方程：32x -﹣12x x--＝1 21．已知点E 、F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 的中点． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC ＝10，∠BAC ＝90°，求▱AECF 的周长．22．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。

类比探究（一）（习题）1. 现有正方形ABCD 和一个以O 为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC ，CD 交于点M ，N ．如图1，若点O 与点A 重合，容易得到线段OM 与ON 的关系． （1）观察猜想：如图2，若点O 在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM 与ON 的数量关系是_______________；（2）探究证明：如图3，若点O 在正方形的内部（含边界），且OM =ON ，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O 可组成什么图形，并说明理由；（3）拓展延伸：若点O 在正方形的外部，且OM =ON ，请你在图4中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O 所组成的图形”，写出正确的结论．（不必说明 理由）图1A BCD M (O )NNO M DCBA图2NOM DCBA 图3ABCD图4复习巩固2. （1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_________，∠ACF 的度数为________． （2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AEFC的值． （3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时，AEFC的值．3. 如图，在Rt △ABC 中，AC =BC =4，∠ACB =90°，正方形BDEF 的边长为2，将正方形BDEF 绕点B 旋转一周，连接AE ，BE ，CD ． （1）猜想：CDAE的值是___________，直线CD 与直线AE 相交所成的锐角度数是_____________． （2）探究：直线DE 与AF 垂直时，求线段CD 的长；（3）拓展：取AE 的中点M ，连接FM ，直接写出线段FM 长的取值范围．图1ABCD EF图2AB CD EF图3AB CDE F图1FEDCBA图2A B C图3ABC【参考答案】1. （1）OM =ON ；（2）三角板移动过程中所有满足条件的点O 可组成对角线AC ，理由略；（3）图略；三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O 所组成的图形是直线AC 或过点C 且与直线AC 垂直的直线． 2. （1）AE =FC ；60°；（2）AEFC = （3）1AE FC m=．3. （1）2；45°；（2）CD ；（3FM ≤。

类比探究专题例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中,CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．（1）如图2,将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变,则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．MEDCBA图2ABC DE M图1图3ABCDEM例2 如图1,在ABC △中，AC BC =,120C ∠=︒,D 在BC 边上。

BDE △为等边三角形,连接AE ,F 为AE 中点，连CF DF ，。

⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由;⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90︒，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立?并说明理由。

图1AB C DEFFDCBAE图2例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中,E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图2,将（1)中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ,过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时,猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论,不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由；(3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．ABMNCC NMBAABCDEMNl lNMEDCB A图1 图2 备用图 备用图例5 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C,BE ⊥DE,垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．(1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系,并加以证明；(2）当AB ＝kAC 时(如图2），求BEFD 的值（用含k 的式子表示）．图1 图2例6 如图1，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F,AC=mBC ，CE=nEA （m ，n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系．(1）如图2，当m=1，n=1时,求EF 与EG 的数量关系．（2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系． （3）如图1，当m ，n 均为任意实数时,求EF 与EG 的数量关系．C EFD A B G图1CEFD A G 图2EFD ABGC 图3例7 在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1,DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP ． (1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P,则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立,请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图1ADNPECBM图2M BCEPNDA图3A D NPECBM例8 如图1，在Rt △ABC 中,∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．(1）求证：ABF COE △∽△；（2）如图2,当O 为AC 边中点，2AC AB =时,求OFOE 的值;（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC nAB =时，请直接写出OFOE 的值．DEO CFBA图2AEO D FB图3AED FB图1例9 如图1，已知∠MAN=120°,AC 平分∠MAN ，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：①DC=BC;②AC = AB+AD ．（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变,证明结论①和结论②仍然成立．（2）如图3,如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明;不成立，请说明理由．图1A BCDM图2NMDCB A图3NMDCB A例10 如图,在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD,作∠ADN=60°,直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1,求证：CF+BE=CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE,CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，43ABC S △,则BE=_________，CD=________．图1N MFEDCB ADCABFEN图2例11已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB=∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；(2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3)如图3,当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠A CB 、∠DAC 之间存在的等量关系．AA FFEDC BA图1 图2 图3例12(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：D CABFEN图3如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中,D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证:BE+CF＞EF；②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．图1 图2 图3例13 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1,梯形ABCD中,AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE,那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行,S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能,请画出面积等分线，并给出证明;若不能，说明理由．图1 图2阅读下列材料:问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点,且90∠=︒，试判断AB＋CD与AD之间的大小AMD关系。