类比探究专题(四)——中点结构(含答案)

中考数学类比探究（二）——旋转、中点（习题）1.（1）如图1，菱形AEGH 的顶点E，H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB 的结果（不必写出计算过程）．（2）将图1 中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB．（3）把图2 中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB 的结果与（2）小题的结果相比有什么变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写出计算过程）；若无变化，请说明理由．2.（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EFC=90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE，AF，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB=AC=2，△CEF 旋转到B，E，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．3.已知直线m∥n，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A，B，当点A 与点C 重合时（如图1 所示），连接PB，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：．（2）猜想证明：在图1 的情况下，把直线l 向上平移到如图2 的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2 的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB=90°（如图3 所示），若两平行线m，n 之间的距离为2k．求证：PA·PB=k·AB．4.已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1 中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D，E，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．5 2 157 37 【参考答案】 1. （1）HD :GC :EB =1: （2） HD :GC :EB =1::1；:1；（3） 有变化，HD :GC :EB =1: :2．2. （1）BE = AF ；（2） 无变化，证明略； （3） 线段 AF 的长为 3. （1）PA =PB ；-1或+1．（2） 仍然成立，证明略；（3） 证明略．4. （1）DM =EM ，DM ⊥EM ；（2） 仍然成立，证明略；（3） 图略，MF 的长为 或 ．3 3 3 3。

八数类比探究专题(人教）知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造． 3. 类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点 平行夹中点 见中点，要倍长 多个中点， 斜边中线 延长证全等 倍长之后证全等 考虑中位线 （2）旋转结构 常见模型1如图，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构，所以连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ． 常见模型2CEDC B AEDC B A如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°，则EF =BE +DF ．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD =AB ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．（3）直角结构直角结构——斜直角放正FEFG E B C ABCD E DECBA精讲精练 【中点结构】1. 已知P 是Rt △ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．图1BCQ (P )EF A AFE PQCB 图2（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．3. 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA的延长线上时，如图1所示，易证． （1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．12MF FN BE +=图1ADBCNMEF 图2A DBCN M EF图3ADBC NMEF4. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ． （1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系为__________． （2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明． （3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE5. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ． （1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N 图2N M F EDCBA6.已知，在四边形ABCD中，点E，点F分别为AD，BC的中点，链接EF．（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB，CD，EF之间的数量关系为________________；（2）如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB，CD，EF之间的数量关系？AB C DEFG 图1AB CDEF图2图1ABDEFG图2ABCDEFG图3AB CD EFG 【旋转结构】7. 以四边形ABCD 的边AB ，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE ，连接EB ，FD ，交点为G ．（1）问题发现：当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是___________．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．图1A BCDE F图2AB EC FD图3B A DCEF8. 已知四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF =60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出．．．．线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点F 到BC 的距离．图1GF ED CBA 图2ED CB A图3GFED CBA9. 如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．小明是这样解决的：延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接AG ，再证明△GAF ≌△EAF ，可证得结论． 感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，且∠BAE =45°，DE =4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式 BD 2+CE 2=DE 2始终成立，请说明理由．G FEDCBA图1FED CBA图210. 问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______． （2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF =70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】11. （1）观察猜想如图1，点B ，A ，C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE =90°，AD =AE ，则BC ，BD ，CE 之间的数量关系为_______________； （2）问题解决如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，CB =4，AB =2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连接BD ，求BD 的长；图1 图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，CB =4，AB =2，DC =DA ，请直接写出BD 的长．EDCBADCB ADCBA12. 情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC ≌△DEF ，且∠C =∠F =90°，现如图放置，则∠ABE =___________． 问题探究：如图2，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF ，过点E ，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M ，N ，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：如图，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF ，连接EF 交射线HA 于点G ，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．图1AB (D )CEF图2AB CEFHN M 图3M13.的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长；如果不能，试说明理由．AB CDPEF备用图FEPDCBA【其他类型】14.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P(1，2)，Q(2，-2)，N(12，-1)中，是“垂点”的点为______；（2）点M(-4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值______；（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标______；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为______．图1图215. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA =PE ，PE 交CD 于F ． （1）证明：PC =PE ； （2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．图1ABC PD EF图2APDEFBC16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ． （1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S △，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDC B ADCABFEN图2D CABFEN图3。

扫一扫看视频对答案类比探究（二）——旋转、中点（讲义）➢知识点睛1.若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征、不变结构．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．2.不变结构既是类比迁移的前提，也是类比迁移过程中发现的结果．①对比连续两问特征，考虑类比的前提条件是否存在；②对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合；③对比结论，往往先从图上验证上一问结论；或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．➢ 精讲精练1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ． （1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？图2QPFCBEA图3Q PF CBEA图1Q P FC BE A2.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF= 12AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．图2NQFEPDC BA图1N QPFE DC BA图3ABC D3. 已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m ，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点． （1）操作发现：直线l ⊥m ，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时（如图1所示），连接PB ，请直接写出线段P A 与PB 的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向上平移到如图 2的位置，试问（1）中的P A 与PB 的关系式是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使 得∠APB =90°（如图3所示），已知两平行线m ，n 之间的距 离为2k ．求证：PA PB k AB ⋅=⋅．图1lmn A (C )BD P 图2PDBCA n m l l m n ACB DP图34. 在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB =∠AEF =90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE ．特殊发现：如图1，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC =PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转． （1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）记ACk BC，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形（请 直接写出k 的值，不必说明理由）？图1PFEC BAP A BCEF图2图3PCBAEF【参考答案】1.（1）EF⊥AB（2）成立（3）∠QPE=∠CPF=∠B 2.（1）DE+DF=AD（2）证明略（3）当点E落在AD上时，DE+DF12AD =；当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=12 AD3.（1）P A=PB（2）成立，证明略（3）证明略4.（1）成立，证明略（2）成立，证明略（3）33 k=。

类比探究之中点结构中点结构当类比探究问题题干中出现中点时，一般要考虑中点的组合搭配，例如：等腰+中点见中点，要倍长平行夹中点三线合一倍长之后证全等延长证全等1.如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE（CD>BC）中，点C，B，D在同一直线上，点M是AE的中点，连接MD，MB．（1）探究线段MD，MB的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．图1图2图32.（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________________．（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．图1图2图33.已知△ABC，以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，M是BC 中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，探究线段AM与DE的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，且△ABC为一般三角形，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．。

类比探究（三）——中点结构及综合应用1. （2017·河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出△PMN 面积的最大值．ABCDE N PM图1N 图22.（2020·德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是________；（2）AD的取值范围是___________；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF 并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，12ABBC=，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且12EFBE=，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG．图1ED CBAFAB CDE图2G图3EDCBAF3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点D ，E 分别在边AC ，AB上，∠DEA =90°，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ． （1）观察猜想图1中，线段CF 与EF 的数量关系是________，位置关系是__________； （2）探究证明把△DEA 绕点A 按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（提示：先延长EF 至点G ，使FG =EF ，再连接BG ，CE ，CG ） （3）拓展延伸把△DEA 绕点A 在平面内自由旋转，若ACAD =2，请直接写出当点B ，D ，E 在一条直线上时CE 的长．图1ABC DEF图2FEDCBA备用图ABC4. （2019·郑外三模）如图，已知点E 是射线BC 上的一点，以BC ，CE 为边作正方形ABCD 和正方形CEFG ，连接AF ，取AF 的中点M ，连接DM ，MG ．（1）如图1，判断线段DM 和GM 的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）如图2，在图中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC =10，CE=正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当A ，F ，E 共线时，直接写出△DMG 的面积．ABCDEFGM图1图2M GFE DCBABDA备用图C5.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是__________，位置关系是__________．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，不成立请说明理由．（3）【拓展延伸】若AD=4，AB=使△ADE绕点A在平面内自由旋转．①在△ADE绕点A在平面内自由旋转过程中，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值；②当C，D，E三点共线时，请直接写出BE的长度．图1PEDC BA图2PEDC BAAB C备用图6. 已知如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB交BC 于E ，点F 是AE 的中点．（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明； （2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC =4，BE=段BF 的范围．图1FEDCBA 图2F EDCBA7. （1）问题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠A =∠DEB =30°，BC =BE =3，Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转，H 为CD 边的中点，当点C 与点E 重合时，BH 与AE 的位置关系是__________，BH 与AE 的数量关系是__________． （2）问题证明在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理由． （3）拓展应用在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，当DE ∥AB 时，请直接写出BH 的长．图1H DC (E )B AE图2H DC BAC备用图BA8. （2019·河南）在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想如图1，当α=60°时，BDCP的值是__________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是__________． （2）类比探究如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当α=90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．图1D CBAP图2DCBAP备用图FEABC【参考答案】1. （1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形，理由略； （3）△PMN 面积的最大值为492． 2. （1）SAS ；（2）1＜AD ＜5； （3）证明略； （4）证明略．3. （1）CF =EF ，CF ⊥EF ；（2）仍然成立，理由略； （3）CE 的长为2或4． 4. （1）DM =GM ，DM ⊥GM ；（2）仍然成立，理由略； （3）△DMG 的面积为20或50． 5. （1）AP =12BE ，AP ⊥BE ； （2）仍然成立，证明略；（3）①AP 的最大值为22；②线段BE 的长为 6. （1）FD =FC ；FD ⊥FC ；（2）不变，FD =FC ；FD ⊥FC ，证明略；（3≤BF ≤7. （1）BH ⊥AE ；AE =；（2）仍然成立，证明略；（3）BH 的长为2或2． 8. （1）1；60°；（2）BDCP BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数45°，理由略；（3）AD CP的值为22。

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．EDAB C条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.如图，在△ABC，△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB，CD=CE，点D在AB边上．若AD=5，BD=12，则AE=______，DE=_______．ADEB2. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，AD =4，BD =3，CD =5．以BD 为一边作等边三角形BDE ，连接CE ． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．EDCBA3. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5ABC DE4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE =AD ，连接CE ，AF 平分∠DAE 交BC 于F ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若BD =3，CF =4，则DF =_________．ECFDBA5. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2，DB2，DE2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D满足14ADAB，直接写出DEDB的值：_________．图1ECBA图2ECAA BC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1）， 求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD ＜BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（提示：在BD 上截取BN =CD ，连接AN ） （3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD CBA图1OD BA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+ANAM．（提示：过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P）AEB D FC图1ADNMB C图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132.（1）△DEC是直角三角形，理由略；（2）∠ADB=150°3. C4.（1）略；（2）55.（1）222DA DB DE；（2）略；（3+=6.（1）略；（2）存在，证明略；（3）27.（1）略；（2）略。

八年级思维拓展：类比探究之中点结构（讲义）【知识点睛】类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质 类比与探究．处处皆类比！！！一、类比探究问题的处理思路1．类比上一问思路，迁移解决下一问．2．对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证．二、常见中点结构等腰+中点，直角+斜边中点，三线合一斜边中线等于斜边一半C平行夹中点，见中线，要倍长，延长证全等倍长之后证全等多个中点，考虑中位线【精讲精练】1. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BD ，CD ，AC的中点．若AD =10，BD =8，CD =6，则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．24B ．20C ．12D ．10ABCD EF GH2. （2017·天津）如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为__________．FA BCDEG P3. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．（1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N图2N M F EDCBA4. （2019·辽宁沈阳改）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点B 的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD =200米，那么A，B间的距离是_____________米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是___________；②如图3，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③在②的条件下，若BC=3，DE=1，则PC的长为__________．图1图2E D CBAP图3PAB CDE【参考答案】1. B2.3.（1）证明略；（2）MD=MN；MD⊥MN；（3）仍成立，证明略4.（1）200；（2）①PC=PE，PC⊥PE；②PC=PE，PC⊥PE，证明略；。

类比探究中熟悉的特征（中点、全等等）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：如图，在等边三角形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，则( )A.45°B.60°C.62°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）如图，在正方形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，且_________．( )A.AD，90°B.ND，90°C.MD，60°D.MD，90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）如图，在正五边形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，_________．( )A.ND，90°B.ME，100°C.ME，108°D.ND，120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点P是BD所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．如图1，当点P与点O重合时，猜测AP=EF且AP⊥EF，小明在证明AP=EF时想到了下列思路，你认为比较合理的是( )①延长FO与交AB于点M，证明△AMO≌△FOE②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③证明四边形PDFE是平行四边形，通过AO=OD=EF来证明A.①②③B.①②C.②③D.①③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图2，当点P在线段BD上（不与点D，O，B重合）时，探究AP与EF 的数量关系与位置关系，则下列思路中可以走通的是( )①延长FP交AB于点M，延长AP交BC于点N，证明△AMP≌△FPE，然后通过全等来倒角；②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③连接OA，证明△OAP≌△FPEA.①②③B.①②C.①③D.①答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究6.（上接第4,5题）当点P在DB的延长线上时，请你帮小明将图3补充完整，并说明在证明结论的过程中，需要证明的全等三角形是( )A.△AEB≌△FBMB.△APM≌△FEPC.△APB≌△PFBD.找不出来答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。

类比归纳专题：有关中点的证明与计算遇中点，定思路，一击即中♦类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1. （2017高邑县期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A .变小B. 不变C. 变大D. 无法判断O BM2. 如图，在厶ABC中，BD丄AC于D, CE丄AB于E, M , N分别是BC, DE的中点.求证：MN丄DE（提示：连接ME , MD）.♦类型二结合或构造三角形的中位线解题3. （2017宁夏中考）如图，在△ ABC中，AB = 6,点D是AB的中点，过点D作DE // BC, 交AC于点，点M在DE上，且ME = 3DM .当AM丄BM时，则BC的长为 _____________ .34. 如图，在四边形ABCD中，M , N分别是AD, BC的中点，若AB = 10, CD = 8,求MN 的取值范围.5. 如图，AD, BE分别是△ ABC的中线和角平分线，AD丄BE于点G , AD = BE = 6, 求AC的长.♦类型三中点与特殊四边形6. 如图，等腰△ ABC中，AB= AC, BD , CE分别是边AC, AB上的中线，BD与CE 相交于点0,点M , N分别为线段BO和CO的中点.求证：四边形EDNM是矩形.参考答案与解析1. B2. 证明：连接ME,MD.T CE丄AB, /•△ BCE为直角三角形.•/ M为BC的中点，/• ME1 1=2BC.同理可证MD = 2BC,.・. ME = MD. •/ N 为DE 的中点，二MN 丄DE.1 16. 证明：•/ BD , CE 分另【J是AC, AB 边上的中线，/• AE = ?AB, AD = qAC, ED >△ ABC1的中位线，••• ED // BC, ED =尹C.v点M , N分别为线段BO和CO的中点，二OM = BM ,1ON = CN , MN 是厶OBC 的中位线，• MN // BC, MN = -BC,A ED // MN , ED = MN，•四边形EDNM 是平行四边形，• OE = ON, OD = OM.v AB = AC, • AE= AD.在厶ABD 和厶ACE AB= AC,中，/ A=Z A, ABD◎△ ACE, • BD = CE, • EO + ON+ CN = BM + OM + OD , • 3OE AD = AE,=3OM，即OE = OM •又T DM = 2OM , EN= 2OE ,• DM = EN,.四边形EDNM 是矩形.3. 84. 解：取BD的中点P,连接PM , PN.v M是AD的中点，二PM是厶ABD的中位线，二PM = 2AB = 5•同理可得PN = 2CD = 4•在△ PMN 中，PM —PN V MN V PM+ PN ,二1 V MNV 9.5. 解：过D点作DF // BE，交AC于点F.v AD是厶ABC的中线，AD丄BE ,二F为CE1的中点，AD 丄DF.A DF 是厶BCE 的中位线，/ ADF = 90°T AD = BE = 6,二DF = ?BE = 3, ••• AF = AD2+ DF2= 3_5.T BE 是厶ABC 的角平分线，/-Z ABG = Z DBG .v AD 丄BE,二AG =DG，即G 为AD 的中点.••• BE / DF，•/ E 为AF 的中点，• AE = EF = CF = "F，•/ AC =3 4 5AF = 3X 3质=也2 2 2 '。

几何结构之中点（北师版）（专题）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线.当AC=6，BD=8时，四边形EFGH的周长为( )A.10B.12C.14D.16答案：C解题思路：∵F，G分别是BC，CD的中点∴FG=BD=4，FG∥BD∵E，H分别是AB，DA的中点∴EH=BD=4，EH∥BD∴FG∥EH，FG=EH∴四边形EFGH为平行四边形∴EF=GH=AC=3∴四边形EFGH的周长为3+3+4+4=14故选C试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB=7，DE=1，则AC的长度是( )A.5B.4C.3D.2答案：A解题思路：如图，延长CE，交AB于点F∵AE平分∠BAC，AE⊥CE∴△ACF是等腰三角形（三线合一），AC=AF∴点E为CF的中点∵点D是BC边的中点∴DE∥BF，且DE=BF=1∴BF=2，AF=7-2=5∴AC=AF=5故选A试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．若AE过BC的中点O，则平行四边形ABCD的面积等于( )A.48B.C. D.答案：C解题思路：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1=∠3，又∵△ACD折叠得到△ACE，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，OA=OC又∵OB=OC，∴OA=OB=OC∴∠2+∠3=∠B+∠BAO==90°∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°∵AB=6，BC=8，∴∴平行四边形ABCD的面积为6×=故选C试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在长方形ABCD中，AB=1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M是CD的中点，如果∠ABC=50°，那么∠BAM 的度数为( )A.75°B.65°C.25°D.50°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=135°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若AB=8，AD=，则FP=( )A.4B.C. D.答案：C解题思路：∵∠A=135°∴∠D=45°过点A作AH⊥CD交CD于点H，在Rt△ADH中，AD=，∠D=45°，得AH=DH=3∵EP⊥CD，AB∥CD，AH⊥CD∴EP∥AH，四边形AEPH是平行四边形∴EP=AH=3∵E是边AB的中点，AB=8∴AE=BE=4∴HP=4∴BG=CP=8-3-4=1在Rt△PEG中，EP=3，EG=5得PG=PF=故选C试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，AF⊥CD于点F，AE=4，AF=6，则△AEF的面积是( )A.6B.C. D.9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共1道，每道14分)8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，点M是AB的中点．若CM=6.5，CD=5，BC=7，则AD的长为____．答案：5解题思路：试题难度：知识点：略。

2020-2021学年八年级数学人教安徽专版类比归纳专题：有关中点的证明与计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小B．不变C．变大D．无法判断二、解答题2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE(提示：连接ME，MD)．3．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．4．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．三、填空题6．如图，在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=13DM．当AM⊥BM时，则BC的长为____．参考答案1．B【分析】连接OP，易知OP就是斜边AB上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么OP=12AB，由于AB不变，那么OP也就不变．【详解】不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP=12 AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道木棍AB的长度不变，也就是斜边不变．2．见解析【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=12BC，DM=12BC，从而根据等腰三角形三线合一的性质解答．试题解析：连接ME，MD.∵CE⊥AB∴△BCE为直角三角形．∵M为BC的中点∴ME＝12 BC.同理可证MD＝12BC∴ME＝MD.∵N为DE的中点∴MN⊥DE.点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．3．1<MN<9.【解析】试题分析：AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的取值范围．试题解析：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线，∴PM＝12AB＝5.同理可得PN＝12CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN∴14．【解析】试题分析：过D点作DF∥BE，交AC于点F.根据平行线分线段的性质，可得DF的长，然后根据勾股定理求出AF的长，再根据三角形的中位线的性质和等腰三角形的性质和判定求解即可.试题解析：过D点作DF∥BE，交AC于点F.∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE∴F为CE的中点，AD⊥DF.∴DF是△BCE的中位线，∠ADF＝90°. ∵AD＝BE＝6，∴DF＝12BE＝3∴AF＝∵BE是△ABC的角平分线∴∠ABG＝∠DBG.∵AD⊥BE∴AG＝DG，即G为AD的中点．∵BE∥DF，∴E为AF的中点∴AE＝EF＝CF＝12AF∴AC＝32AF＝32× .5．见解析【分析】由题意得出ED是△ABC的中位线，得出ED∥BC，ED=12BC，由题意得出MN是△OBC的中位线，得出MN∥BC，MN=12BC，因此ED∥MN，ED=MN，证明四边形EDNM是平行四边形，再由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，证出DM=EN，即可得出四边形EDNM是矩形．【详解】证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线∴AE＝12AB，AD＝12AC，ED是△ABC的中位线∴ED ∥BC ，ED ＝12BC. ∵点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点∴OM ＝BM ，ON ＝CN ，MN 是△OBC 的中位线∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ∴ED ∥MN ，ED ＝MN∴四边形EDNM 是平行四边形∴OE ＝ON ，OD ＝OM.∵AB ＝AC∴AE ＝AD.在△ABD 和△ACE 中，AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE∴BD ＝CE∴EO ＋ON ＋CN ＝BM ＋OM ＋OD∴3OE ＝3OM ，即OE ＝OM.又∵DM ＝2OM ，EN ＝2OE ，∴DM ＝EN∴四边形EDNM 是矩形【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．8【分析】根据直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），求出DM=12AB=3，即可得到ME=1，根据题意求出DE=DM+ME=4，根据三角形中位线定理可得BC=2DE=8．【详解】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=12AB=3，∵ME=13 DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．点睛：本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．。

类比探究—中点结构一、单选题(共5道，每道20分)1.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，则△OMN的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.含30°角的直角三角形答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）（2）如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上，且AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G．若∠EFC=60°，连接GD，则△AGD的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.含30°角的直角三角形答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.（1）如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，过点E作EF⊥AB，交BD于点F，取DF的中点G，连接EG，CG．为了研究线段EG和CG之间的数量和位置关系，可通过作辅助线：延长EG，交AD的延长线于点H，连接EC，HC，来进行分析．则得到的结论是( )A.EG=CG且EG⊥CGB.EG=CG但EG与CG不垂直C.EG⊥CG但EG≠CGD.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（2）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，如图2，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1）中的辅助线和证明思路，需要作出的辅助线是( )A.延长EG，交AD于点H，连接HCB.延长BG，交AD于点H，连接HCC.延长EG，交CD的延长线于点HD.延长EF，交DA的延长线于点H，连接HC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（3）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，其他条件不变，如图3，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1），（2）中的辅助线和证明思路，需要证明两个直角三角形全等，则判断该三角形全等时使用的条件是( )A.AASB.ASAC.HLD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

类比探究（二）——旋转、中点（讲义）➢知识点睛1.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问．（2）尝试类比解决下一问，探索过程中确定__________．①如果能类比，根据条件变化，则确定______________．②如果不能类比，分析两问间关系，__________________，并尝试、验证．注：类比过程中，往往要在不变结构的框架下去思考分析，有时也会进行适当的探索来解决图形变化过程中产生的一些新问题．比如在第3问，会需要根据前2问发现的不变结构去补全图形．2.常见结构（1）旋转结构（2）中点结构平行夹中点（类）倍长中线中位线➢精讲精练1.（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF=90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合），则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______________________________．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF=60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD=120°，OD=34，OB=4，OA平分∠BOD，ABOB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD=60°，求OC的长．ABCDO图32.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为_____________；②∠AMB的度数为_____________．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB C与点M重合时AC的长．3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．4. 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，则AC =12AB ．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB 边上中线CE ，由于CE =12AB ，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE 与CE 之间的数量关系为___________．（2）如图2，点D 是边CB 上任意一点，连接AD ，作等边△ADE ，且点E 在∠ACB 的内部，连接BE ．试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D 为边CB 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE 与DE 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论___________． 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(，1)，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC ．当点C 在第一象限内，且B (2，0)时，求点C 的坐标．备用图ABC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是__________，位置关系是__________．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，不成立请说明理由．（3）【拓展延伸】若AD=4，AB=，使△ADE绕点A在平面内自由旋转．①在△ADE绕点A在平面内自由旋转过程中，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值；②当C，D，E三点共线时，请直接写出BE的长度．∠DEA=90°，连接BD，点F是BD的中点，连接CF，EF．（1）观察猜想图1中，线段CF与EF的数量关系是_________，位置关系是____________；（2）探究证明把△DEA绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）拓展延伸把△DEA绕点A在平面内自由旋转，若AC=，AD=2，请直接写出当点B，D，E在一条直线上时CE的长．【参考答案】1. （1）CE +CF =BC ；（2）不成立，CE +CF =12BC ，证明略； （3）OC 的长为14． 2. （1）①1；②40°；（2）AC BD=AMB =90°；证明略；（3）线段AC 的长为3. （1 （2）AF BE的大小无变化，证明略；（3）线段BD 的长为5． 4. （1）BE =CE ；（2）BE =DE ，证明略；（3）BE =DE ；点C 的坐标为(1，2)．5. （1）AP =12BE ，AP ⊥BE ；（2）仍然成立，证明略；（3）①AP 的最大值为22；②线段BE 的长为或 6. （1）CF =EF ；CF ⊥EF ；（2）仍然成立，理由略； （3）CE 的长为2或4．。

图1AB C D GEFM图2ABCDGEFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1. 小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． （3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF ，MD =MF等腰Rt △DFH ，M 为DH 中点FD =FH ，∠DFH =90°DM =MH ，AD =EH △ADM ≌△EHM延长DM ，交EF 于点H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？扫一扫 看视频 对答案2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________． 提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BDCEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．M FE DC B A➢知识点睛类比探究问题的处理思路1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2.若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢精讲精练1.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________．（2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．A(P)DQCB图1AP BCQD图2AB C D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD =2．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，AEBD=______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCD ECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）25．（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5． （4）存在，最小值为2(4)2n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ． （3）点A 到BP 的距离为312+或312-． 4. （1）①52；②52． （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略． （3）线段BD 的长为45或1255．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型①根据题干条件，结合___________________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．结合所求目标，依据_____________，大胆猜测、尝试、验证问题2：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？问题3：中点的思考角度：①遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半；③遇到三角形一边上的中点，考虑倍长中线；④遇到“平行夹中点”，考虑延长证全等；⑤遇到多个中点，考虑（构造）中位线．想一想，在类比探究之中点结构中一般用的比较多的是哪些？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，类比（，，）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型①根据题干条件，结合先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找．结合所求目标，依据，大胆猜测、尝试、验证答：问题2：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：问题3：中点的思考角度：①遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半；③遇到三角形一边上的中点，考虑倍长中线；④遇到“平行夹中点”，考虑延长证全等；⑤遇到多个中点，考虑（构造）中位线．想一想，在类比探究之中点结构中一般用的比较多的是哪些？答：类比探究—中点结构一、单选题(共5道，每道20分)1.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，则△OMN的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.含30°角的直角三角形答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）（2）如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上，且AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G．若∠EFC=60°，连接GD，则△AGD的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.含30°角的直角三角形答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.（1）如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，过点E作EF⊥AB，交BD于点F，取DF的中点G，连接EG，CG．为了研究线段EG和CG之间的数量和位置关系，可通过作辅助线：延长EG，交AD的延长线于点H，连接EC，HC，来进行分析．则得到的结论是( )A.EG=CG且EG⊥CGB.EG=CG但EG与CG不垂直C.EG⊥CG但EG≠CGD.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（2）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，如图2，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1）中的辅助线和证明思路，需要作出的辅助线是( )A.延长EG，交AD于点H，连接HCB.延长BG，交AD于点H，连接HCC.延长EG，交CD的延长线于点HD.延长EF，交DA的延长线于点H，连接HC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（3）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，其他条件不变，如图3，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1），（2）中的辅助线和证明思路，需要证明两个直角三角形全等，则判断该三角形全等时使用的条件是( )A.AASB.ASAC.HLD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

类比探究专练之中点结构（三）
一、解答题(共2道，每道10分)
1.问题发现：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A=∠DEB=30°，BC=BE=6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为；BH与AE 的数量关系为．
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的值．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：旋转
2.在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C 重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若|CF-AE|=2，EF=，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：类比探究。

类比探究------中点模型11、（2013本溪）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？2、（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．3．（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC ，Rt △CEF ，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ；（2）如图1，若CB=a ，CE=2a ，求BM ，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．4、（2013山西）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G 。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】类比归纳专题：有关中点的证明与计算——遇中点，定思路，一击即中◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线 1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离( )A ．变小B ．不变C ．变大D ．无法判断2．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，M ，N 分别是BC ，DE 的中点．求证：MN ⊥DE (提示：连接ME ，MD )．◆类型二 结合或构造三角形的中位线解题3．(2017·宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点，点M 在DE 上，且ME ＝13DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．5．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．◆类型三 中点与特殊四边形6．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点．求证：四边形EDNM 是矩形．参考答案与解析1．B 2．证明：连接ME ，MD .∵CE ⊥AB ，∴△BCE 为直角三角形．∵M 为BC 的中点，∴ME ＝12BC .同理可证MD ＝12BC ，∴ME ＝MD .∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE . 3．84．解：取BD 的中点P ，连接PM ，PN .∵M 是AD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线，∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，PM －PN ＜MN ＜PM ＋PN ，∴1＜MN＜9.5．解：过D 点作DF ∥BE ，交AC 于点F .∵AD 是△ABC 的中线，AD ⊥BE ，∴F 为CE 的中点，AD ⊥DF .∴DF 是△BCE 的中位线，∠ADF ＝90°.∵AD ＝BE ＝6，∴DF ＝12BE ＝3，∴AF ＝AD 2＋DF 2＝3 5.∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABG ＝∠DBG .∵AD ⊥BE ，∴AG＝DG ，即G 为AD 的中点．∵BE ∥DF ，∴E 为AF 的中点，∴AE ＝EF ＝CF ＝12AF ，∴AC＝32AF ＝32×35＝952.6．证明：∵BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的中线，∴AE ＝12AB ，AD ＝12AC ，ED 是△ABC的中位线，∴ED ∥BC ，ED ＝12BC .∵点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，∴OM ＝BM ，ON ＝CN ，MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴ED ∥MN ，ED ＝MN ，∴四边形EDNM 是平行四边形，∴OE ＝ON ，OD ＝OM .∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD .在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，∴EO ＋ON ＋CN ＝BM ＋OM ＋OD ，∴3OE＝3OM ，即OE ＝OM .又∵DM ＝2OM ，EN ＝2OE ，∴DM ＝EN ，∴四边形EDNM 是矩形．中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。