第三章-晶格振动

n-2
n-1
n
n+1
n+2
用 n和 k 分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平 衡位臵的位移，用nk= n- k表示在t时刻第n个和第k个原 子的相对位移。
(2) 振动方程和解 平衡时，第n 个原子与第k个原子相距
n k a r0
ν(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ν(r0) 。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
本章主要讨论晶格的动力学，即晶体中的离子实或原子 围绕其平衡位臵的振动，以及这种振动对固体性质的影响。
----从体系的总哈密顿量出发，求解离子实部分，即晶格 的薛定谔方程，发现离子实之间的相互作用势包括离子实 之间直接的库仑相互作用以及电子的贡献，为多体问题。 ----本章将利用离子实对平衡位臵的瞬时偏离很小这个事
---在简谐晶体的量子力学处理中，强调了引进简正坐标将 多体问题化为单体问题的方法，并建立了声子的概念。在 此基础上，讨论了晶格系统的平衡态性质-晶格比热以及相 关的近似模型。 ---另外，还将讲述晶格振动谱的实验测定。 ---离子实相互作用势对瞬时位移展开式中的高次项（3次 项或以上），称为非简谐项（anharmonic term）。本章
3.2 简谐晶体的量子理论
3.2.1 简正坐标 3.2.2 声子 3.2.3 晶格比热 3.2.4.声子态密度
3.3 非简谐效应
3.3.1 热膨胀 3.3.2 晶格热导率
3.1 简谐晶体的经典运动
主要内容: 3.1.1 简谐近似 3.1.2 一维单原子链(简单格子)的振动，声学支 3.1.3 一维双原子链(复式格子)的振动，光学支 3.1.4 三维晶格的振动 3.1.5 离子晶体的长光学波
2. 色散关系

2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总

看作是连续媒质.
25
na x a Δx Δx 为小量
Un(t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+Δx,t)
第三章节晶格振动
把这些关系式代入式（3－4），得
m 2 U t(2 x,t) 2 U x (2 x,t)a2
令 v02= a2β/m, 则上式成为
2U(x,t)
情况下可不同，在均匀各向同性介质中三者相同。
（二）色散关系
• 本来色散关系是指vp～ω间的关系，
因 vp = ω／q 也可以用ω～q 之间的关系来表征色散关系。 若ω～q 间为线性关系，则vp为常数，即各种频率 的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色 散。
第三章节晶格振动
把式（3－8）代入式（3－4）并用尤拉公
式整理得到 （3－11）式
22(1co q)sa 4si2n qa
m
m2
4
1
2
s
inq a
m
2
m
sin
qa 2
ωm称为截止频率。
第三章节晶格振动
（3-11）
第三章节晶格振动
上式又可改写为
q [a m 12|sq iq /n a 2 /a 2|]q [v0|sq iq /n a 2 /a 2|]qpv
第三章 晶格振动
主要目的：
搞清材料热性能有关的物理概念， 学习分析问题的方法。
对象：
晶体大量原子的热振动及在晶体中的传 播（格波）等。
第三章节晶格振动
方法：
易
难
一维
三维（推广）
经典
量子（修正）
间断 连续 比较而定）
间断（依原子间距和波长的

ω 4β m
sin
qa 2
q
在长波长极限区，即 q → 0 时，格波就是弹性波。 qa qa sin ≈ Y 2 2 和弹性波的结果一致。 vs = = ρ β ω= aq m
βa m a
随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓， 在布里渊区边界，格波频率达到极大值。
π q→± a
相速和群速：
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文， 理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并 与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化 激元”概念的最早阐述者 。
ω → ωmax =
4β m
相速度 v p是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的 距离。群速度
vq 是平均频率为ω，平均波矢为q
dω vq = dq
的波包的
传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。
ω vp = λ ⋅ f = q
在
q → 0 的长波极限下： v p
= vq = vs
即声速。
π 在布里渊区边界处： q = ± , λ = 2a, vq = 0 a
Na L ρ (q) = = 2π 2π