数值分析课件14

第一章 绪 论
主要内容： 主要内容： 一些概念； 一些概念； 数值计算中的误差 数值算法的复杂度与稳定性； 数值算法的复杂度与稳定性； 数值算法设计的若干原则； 数值算法设计的若干原则；
1.计算方法中一些概念 1.计算方法中一些概念
数值问题 数值解 算法
数值问题、 数值问题、数值解 、算法
由一组已知数据（输入数据），求出一组结果 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果 ）， 数据（输出数据）， ），使得这两组数据之间满足 数据（输出数据），使得这两组数据之间满足 预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。 预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。 数值问题 经过计算机的计算求出的解， 经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公 数值解。 式得出的解称为数值解 一般数值解是近似值。 式得出的解称为数值解。一般数值解是近似值。 由给定的已知量， 由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规 定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解， 定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解， 这样所构成的整个计算步骤，称为数值算法 这样所构成的整个计算步骤，称为数值算法 简称算法 算法）。 （简称算法）。
2. 数值计算中的误差
用计算机进行实际问题的数值计算时， 用计算机进行实际问题的数值计算时， 往往求得是问题的近似解，都存在误差。 往往求得是问题的近似解，都存在误差。 误差是不可避免的，即要允许误差， 误差是不可避免的，即要允许误差，又 要控制误差。 要控制误差。
3. 数值计算中的误差
模型误差、参数误差、 来源及种类 --- 模型误差、参数误差、 截断误差、舍入误差 截断误差、舍入误差。 1. 模型误差(描述误差) Modeling Error 模型误差(描述误差) 模型误差是在建立数学模型时， 模型误差是在建立数学模型时，由于忽略了一些 次要因素而产生的误差。 次要因素而产生的误差。 参数误差( 2. 参数误差(观测误差) Measurement Error 通过测量或实验而得到模型中参数的值而产生 的误差

对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。 则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然， 若不然，则 存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。 为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！ 阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }， ， 两两（ 使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交， 和 两两 带权）正交， 改进： 改进： 对角阵！ 就化为对角阵 则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造： 正交多项式的构造： 多项式的构造 取为k 多项式，为简单起见， 将正交函数族中的ϕk 取为 阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小 尽可能小。 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。 常见做法： 常见做法：
m
不可导， 不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小 使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义 最佳平方逼近：即连续型 逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近 平方逼近 逼近，

辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。

a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,