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3.
e a
b
a e (b) b e (a)
, b2
b0
设a,b 分别是准确值x,y 的近似值，则
4.
er
(a
b)
e (a)
a
e (b)
b
5.
er
(a
b)
e (a)
a
e (b)
b
6. e r (ab) e r (a) e r (b)
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
➢截断误差
求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种 近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差。
➢舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0, 后者的准确结果是 4 1012。
分析 x x *
= f '( )(x x *)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f '( ) f '(x*) ，则有：
|e(y)| | f '(x*)|·|e(x)|
(1)
e ( y) f ' (x*) e (x)
(2)
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f '(x*)|
注: 1、同一个准确值的不同近似值，有效数字 越多，其绝对误差和相对误差都越小.
2、准确值的有效数字可看做有无限多位.
例 3.1415926535897932 ; * 3.1416
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明：
0.31416 101 and 0.5104 0.51015 有 5 位有效数字 ， 精确到小数点后第 4 位。
经过四舍五入而得到的近似值，
问： e(a)，e(b)，e r(a)，er(b) 各是多少？
解： e (a) 0.005 , e (b) 0.000 05 e r(a) e (a) 0.005 0.23%,
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
例:近似计算 1 ex2 dx = 0.747… … 0
解法之01一e大：x2 d家将x 一1e/1起x0e12作(1猜13T？axy212l!or01展215xe4!开x312后!dx3!x6再71积x4!分481!119
)
dx
取
1
e
x
2
dx
0
S4
,
S4
R4 ( Remainder )
倍。故称| f '(x*)|为放大因子 ( amplification factor ) 或
绝对条件数 ( absolute condition number ).
| er ( y) |
e( y) f (x*)
f (x) f (x*) x * x x * x x * f (x*) x *
e x x 其中 x 为精确值，x* 为 x 的近似值。|e|的上界
记为e , 称为绝对误差限 (accuracy),工程上常记为
x = x* ± e .
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
x * f (x*) f (x*)
er (x)
| er (x) |
e(x) x*
相对误差条件数
( relative condition number)
f 的条件数在某一点是小\大，则称 f 在该点是好条件的 ( well-conditioned ) \坏条件的 ( ill-conditioned )。
s0
s1
sn
n
p(x) ai xi i0
算法二（秦九韶法）
Tn an Tk xTk1 ak , (k n 1, n 2, ,1, 0) p(x) T0
秦九韶法原理
p(x) an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 =(an xn1 an1xn2 a2 x1 a1)x a0
= (an xn2 an1xn3 a2 x0 )x a1 x a0
❖定义算法的计算复杂性 是指在达到给定精度时, 该算法所需的计算量和所占的内存空间. 前者叫时 间复杂性，后者叫空间复杂性.
例子 计算下面多项式的值。输入数据为ai和x， 输出数据为 p(x) 的值。
n
p(x) ai xi i0
算法一
s0 a0
sk
ak xk
, (k
1, 2,
, n)
p(x)
数值分析
理学院
刘秀娟
第1章 绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
➢有效数字 ( significant digits)
❖四舍五入带来的绝对误差限
凡是由准确值 x 经四舍五入而得到近似值 x*，其绝对误差 限等于该近似值末位的半个单位。
❖定义 有效数字
设 x* 是数 x 的近似值，如果 x* 的绝对误差限是它的某一 位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 x* 近似 x 时，具有 n 位有效数字。
实际长度 x 和 y 在什么范围内？
解： e (a) e (b) 0.5mm , e r(a) e (a) 0.5 0.16%,
a 312
e r(b) e (b) 0.5 2.08%,
b 24
311.5mm x 312.5mm, 23.5mm y 24.5mm
例2 设 a=-2.18 ， b=2.1200 是分别由准确值x和y
1、采用“构造性”方法； 2、采用“离散化”方法； 3、采用“递推化”方法； 4、采用“近似代替”方法等等。
• 研究内容
线性方程组的数值解 矩阵特征值与特征向量计算 非线性方程的数值解 数值逼近 数值积分 常微、偏微的数值解
• 研究方法
理论分析 算法分析 误差分析 收敛性分析 收敛速度
例如
y 5x 6 sin x8, 0 x 106
是实际问题的解，而若数学模型的解是
y 5x 6, 0 x 106, 由此产生的误差叫作模型误差。
➢观测误差
数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压 等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到 的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测 误差。
—— 观测误差 ( Measurement Error )
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 ( Truncation Error ) )
➢ 机器字长有限 —— 舍入误差 ( Roundoff Error )
➢模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。
如果有f ' (a) f '' (a) f (k1) (a)， f (k ) (a) 0, 则有
e( y) f (k ) (a) [e(a)]k
(3)
k!
f (k) (a)
e (y)
[e (a)]k
(4)
k!
问题二：对于n 元函数 u f (x1, x2 ,, xn ), ai是xi的近似值 ， 用a将i 代对替uxi产，生什么影响？
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？
例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
在工程技术的计算中，估计计算结 果的精确度是十分重要的工作，而影响 精确度的是各种各样的误差。误差的来 源是复杂的，但主要有以下四种：
➢ 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 ( Modeling Error )
➢ 通过测量得到模型中参数的值
➢有效数字的确定方法
用科学计数法，记
x* 0.a1a2 an 10m （其中 a1 0 ）, 若| x x* | 0.510mn (即 an 的截取按四舍五入规则)，
则 x* 至少有n 位有效数字，且精确到10mn.
有效数字的位数 n = 近似数科学记数法的幂指 数－绝对误差限科学记数法的幂指数.
注：1、由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位 数字到第一位非零数字都是有效数字。 2、0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。 12300有5位有效数字，如果写成0.123105，则表示只有 3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
