数值分析全册完整课件

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数值分析学习课件

对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然，若不然，则存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }，，两两（使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交，和两两带权）正交，改进：改进：对角阵！就化为对角阵则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造：正交多项式的构造：多项式的构造取为k 多项式，为简单起见，将正交函数族中的ϕk 取为阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小尽可能小。这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。常见做法：常见做法：
m
不可导，不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义最佳平方逼近：即连续型逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近平方逼近逼近，

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辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适应数值积分方法，能够根据函数性质自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过逐步逼近的方式求解近似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造龙格-库塔曲线来逼近解。
03
阿达姆斯-图灵方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造阿达姆斯-图灵曲线来逼近解。
04
自适应步长控制方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长控制方法，能够根据误差自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，同时也可以帮助我们更好地理解和应用数学理论。

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§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。

数值分析ppt

例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
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服务特权
共享文档下载特权
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在四中误差中，模型误差和观测误差是客观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍入误差。
例如在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )

数值分析课件

n=20 需要运算多少次？
➢ 存贮量 ➢ 逻辑结构
n=100?
§2 误差来源与误差分析的重要性
一、误差的来源与分类
➢ 从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落，其下落距离s 与时间t 的关系是：
m
d 2s dt2
mg
其中 g 为重力加速度。
➢ 通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果 D 0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果
x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21
（1）如果 D 0，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 a11, a12, a21, a22,b1,b2
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
例如，当函数 f 用 xTaylor多项式
Pn x
f
0
f 0
x 1!
f 0 x2
2!
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
（在与x0之间）。
Rn x
f
x Pn x

数值分析PPT精品课程课件全册课件汇总

实际问题
模型设计
算法设计
程序设计实例求
2
上机计算
问题的解
牛顿法 x 1 ( x 2 ) k 1 K
2 xK
方程求根 x 2
2
程序设计
工科研究生公共课程数学系列
上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动上页下页首页结束
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
r x| x | e | r * r | * |x | |x |

上例中
x
x

10%与
y
y

0.1%分别为x与y的对误差
限，可见y 近似y的程度比x近似x的程度好。
3、有效数字定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x 的有效数字.
XX学院 XX 专业
数值分析
【全套课件】
授课人：XX XX
第 1章绪论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
工科研究生公共课程数学系列
机动

数值分析全册完整课件

似算法的收敛性和数值稳定性；要有好的计算复杂性，节省时间及存储量；有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法离散化方法递推化方法迭代法近似替代方法以直代曲法化整为零的处理方法外推法
数学基础：
微积分的若干定理：罗尔定理和微分中值定理；介值定理及推论；泰勒公式（一元、二元）；积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：

数值分析(浙江大学)全套课件

➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析（第七版影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法郑慧娆等编著（武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析（英文版第3版）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似：由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵？

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

【全版】数值分析课件( )推荐PPT

多要的通情过况例•，子我，注们学不习重知使道用各准各确种章值数值x节。方法所解决研实际究计算算问题法。的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。
例如： 3.1用 41近 59似代，替产生的误差 R3.141 509.0000 026
研究生公共课程数学系列
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• 考试方式：
•
笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊焱（辽宁科技大学理学院）
研究生公共课程数学系列
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第1章数值分析与科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
研究生公共课程数学系列
本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
研究生公共课程数学系列
机动上页下页首页结束
三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。

数值分析课件(第1章)

计算机专业基础课程: 计算方法
使用教材:数值分析华南理工大学出版社韩国强林伟健等编著
数值分析
林伟健
制作
华南理工大学计算机学院
本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。
《数值分析》目录
第 1 章误差第 2 章代数插值与数值微分第 3 章数据拟合第 4 章数值积分第 5 章解线性代数方程组的直接法第 6 章解线性代数方程组的迭代法第 7 章非线性方程和非线性方程组的数值解第 8 章矩阵特征值和特征向量的数值解法第 9 章常微分方程初值问题的数值解法
2
从而得到
p n 3
而
3.1415 0.31415101 p 1
近似值 3.1415 的误差限为该值小数点后
第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，
具有4位有效数字。顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效
数字。
4. 有效数字与误差限的关系
设准确值 x 的近似值为 x* ，且将 x* 表示为
x 0.1 2 m 10 p（p为整数，1,2,,m
3.1416 1 104
2 3.14159
1 105
2
2
这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差
限是它末位的半个单位。
可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。
定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，
例如， 0.045678 0.0457 3 位具有3 位有效数字又如， 8.0005 8.00 3 位具有3位有效数字
例1-2 若的近似值为 3.141，5 则有多少位有效数字?

《数值分析》课件-第三章

数值分析
数值分析
A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ;
2 AAT AT A E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
正交矩阵的性质
(1) A是正交阵,则A是非奇异的,det( A) 1;
(2) A是正交阵,则AT A1也是正交阵，且同阶正交阵的乘积仍是正交阵；
( , ) 由Schwarz不等式可以证明内积范数公理中的三角不等式.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
数值分析
数值分析
定理2-6 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当和是线性相关时才成立.
证明 : 任取实数k, 考虑内积
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k (k R,非零),显然定理中等号成立;反之, 如果等号成立,则 , 必线性相关.因为若 , 线性无关,则k R, 非零, 都有 k 0.从而( k , k ) 0 所以等号不成立,矛盾.
数值分析
第三章
数值分析
数值分析
第一节内积空间与内积空间中的正交系

一、内积和内积空间的基本概念
定义2-12:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V

数值分析学习课件

i = 2,3,..., n − 1
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在上是三次多项式，上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数，上是线性函数，故有

《数值分析》ppt课件

a 312
e r(b) e (b) 0.5 2.08%,
b 24
311.5mm x 312.5mm, 23.5mm y 24.5mm
例2 设 a=-2.18 ， b=2.1200 是分别由准确值x和y
经过四舍五入而得到的近似值，
问： e(a)，e(b)，e r(a)，er(b) 各是多少？
e(u)

n i 1
f
(a1
,ห้องสมุดไป่ตู้
a2 , xi
,a
n
) e(ai
)
e (u)
n i 1
f
(a1, a2 xi
,
,
an
)
e
(ai
)
（ 5）（ 6）
问题三：四则运算结果的误差估计
设a,b 分别是准确值x,y 的近似值，则
1. e (a b) e (a) e (b)
解： e (a) 0.005 , e (b) 0.000 05 e r(a) e (a) 0.005 0.23%,
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
有效数字 ( significant digits)
四舍五入带来的绝对误差限
凡是由准确值 x 经四舍五入而得到近似值 x*，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义有效数字
设 x* 是数 x 的近似值，如果 x* 的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 x* 近似 x 时，具有 n 位有效数字。
有效数字的确定方法
提问：数值分析是做什么用的？

数值分析全套课件

Ln n si n

ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一个球体, 设R为地球半径,h为卫星高度,D为覆盖面在切痕平面上的投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)

为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε

，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬关治白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)

数值分析第一章PPT课件

= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%，这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x

《数值分析》ppt课件

7.
er

a b

er
(a)

er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er

e x

x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er

e x
.
❖定义近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr

|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)

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0
解：将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法；有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰，黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社；
能够与实际问题相结合，利用所学算法解决一些实际的数学模型问题；
能够利用数学软件编程实现所学算法（可用 MATLAB，MATHEMATICA等）。
课程内容
引论（误差、有效数字等）非线性方程求根线性方程组的直接解法线性方程组的迭代解法数值插值方法数据拟合方法数值积分与数值微分常微分方程的数值解法
高等代数的若干概念和结论：多项式；行列式；初等矩阵；特殊三角阵。
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
固有误差：建立模型时已存在。
•模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差。
称为截断误差
这里
R4
1 1 0.005 4! 9
S4
1
1 3
1 10
1 42
1 0.333
0.1 0.024
0.743
舍入误差 0.0005 2 0.001
1 e-x2 dx 的总体误差 0.005 0.001 0.006 0
误差的传播与积累：
•例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
该问题是一病态问题。
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。
似算法的收敛性和数值稳定性；要有好的计算复杂性，节省时间及存储量；有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法离散化方法递推化方法迭代法近似替代方法以直代曲法化整为零的处理方法外推法
数学基础：
微积分的若干定理：罗尔定理和微分中值定理；介值定理及推论；泰勒公式（一元、二元）；积分中值定理；
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。
1.2.2 误差与有效数字: 1. 绝对误差与相对误差：
计算方法（第二版），邓建中，刘之行，西安交通大学出版社；
数值分析与实验学习指导，蔡大用编，清华大学出版社。
教学要求
了解计算方法研究的主要内容；掌握计算方法的基本概念和基本原理，进一步提
高抽象思维和逻辑推理的能力；
掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本思想，进一步提高数值计算能力；
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对误差，简称误差。
计算误差：计算过程中出现的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差；
例如：
ex 1 x x2 ... xn ...
2!
n!
Sn
(x)
1
x
x2 2!
...
xn n!
由泰勒余项定理得其截断误差为：
ex
Sn (x)
xn1 ex ,0 (n 1)!
• 计算方法是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b ,
b f (x)dx,
d f (x), ......
a
dx
近似解
计算机
计算方法
研究对象：用计算机求解各种数学问题的数值计算
方法及其理论与软件实现。
计算机解决科学计算的过程：
实际问题数学模型数值计算方法程序设计结果
实际上述过程可分两部分：
说明：
学时：授课48＋上机16 （课程设计）
成绩评定：
期末考试（60%）半期考试（20%）平时成绩（20%）
第一章引论
第一章
引论
1.1 计算方法研究的对象与特点 1.2 数值计算的误差与有效数字 1.3 数值运算的误差估计 1.4 数值计算中的一些基本原则
1.1 计算方法研究的对象与特点
1
•舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
3.14159265
3.1415927
2 1.414213562
2 1.4142136
1 1 0.166666666 3! 6
1 0.16666667 3!
例：近似计算
1 e x2 dx （= 0.747…）

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