b第二章平稳时间序列模型

Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q
该式表明：
（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。
（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。
§9.2 随机时间序列分析模型
一、时间序列模型的基本概念及其适用性 二、随机时间序列模型的平稳性条件 三、随机时间序列模型的识别 四、随机时间序列模型的估计 五、随机时间序列模型的检验
• 经典计量经济学模型与时间序列模型
• 确定性时间序列模型与随机性时间序列 模型
一、时间序列模型的基本概念及其适用性
所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
1、AR(p)过程
(1)自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)
Xt=Xt-1+ t 的k阶滞后自协方差为：
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
2、时间序列分析模型的适用性
• 经典回归模型的问题： • 迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，
是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的， 由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因 此也常称为结构式模型（structural model）。 • 然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因 素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来 解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量 化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。

平稳时间序列模型的建立概述第一步是数据的预处理。

在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。

去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。

去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。

第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。

这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。

通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。

第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。

常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。

第四步是模型参数的估计与诊断。

对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。

这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。

估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。

常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。

第五步是模型预测与评估。

通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。

预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。

若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。

总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。

通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。

平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。

在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。

去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。

去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。

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§7.3 MA模型的预测
对于MA(q)模型 Xt t 1t1 qtq 我们有X tl tl 1tl1 qtlq
当预测步长 l q ，X tl 可以分解为
X tl tl 1tl1 l1t1 lt qtlq
xˆt l E X tl X t , X t1, lt qtlq
并未利用xt
G02 G12
G2 l 1
2
由当件此前最，样小我本方们差Xt可预和以测历看 值史到。样在其本预预X测测t , 方方Xt差差1, 最只小与已的预知原测条则步件下长下，lxˆ得t有l到关是的，X条tl
而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。
xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E 1Xt p Xt1p tl Xt , Xt1,
1xt pxt p1
当 l p，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, E 1Xtl1 p Xtlp tl Xt , Xt1,
1xˆt l 1 p xˆt l p
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计算预测方差
var e100 1 G02 0.0025
var e100 2 2 G02 G12 0.0026
var e100 3 2 G02 G12 G22 0.002664
计算 xˆ100 l 1.96 var e100 l , xˆ100 l 1.96 var e100 l
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例7.3
已知某地区每年常住人口数量近似的服从 MA(3)模型（单位：万人）

第二章 平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。

2．1 平稳性时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。

如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。

如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。

下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是11ˆkt jt j y k μ==∑但对大多数过程来说，得不到更多的实现。

如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。

对一个实现，不可能估计出t μ。

为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。

如果对任何t, t-s, 都有μ==-)()(s t t y E y E222)()(y s t t y E y E σμμ=-=--s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。

这样的随机过程称为协方差平稳。

可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。

在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。

（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。

一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。

这是一个较难理解的一个概念。

遍历性是指，按时间平均11nn t t y y n ==∑是总体均值μ的无偏、一致估计。

即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。