高数 第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

(二) 线面积分的计算方式 1．曲线积分的计算⑴ 大体方式：曲线积分−−−→转化定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】 求yLxe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解（法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】 求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为极点的三角形(图边界.解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰111xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lxy ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分） 点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如下图解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dydx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰解（法二） 因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故 原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】 求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解 当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，那么dy dx =； 当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，那么dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图⑵ 大体技术① 利用对称性简化计算； 【例1】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解 利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技术)；【定理】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段滑腻的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶持续偏导数，那么有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算关于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必需利用代入技术,消去分母,不然工作量太大.因为L 是反向的,因此利用格林公式是需要补加一个负号.解 将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x Le x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 依照格林公式， 原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰22a π=-。

高数下册第十章-曲线积分与曲面积分练习题（一）・复2填1・设曲线L:x2 +y2 =4 ,则曲线积分j（x- y + V）^x2 + y2ds = 8兀・2 2复3填1・设椭圆厶：—1的周长为Q,且椭圆厶上任意一点处的质量密度为3 4厂（兀,刃=4兀2+3尸+2心，则该椭圆构件的质量M = \2a・2 21 •设椭圆厶:—+ ^- = 1的周长为°,则L（1+4兀2 + 3y2 + 3兀2y）ds = 13a・3.设曲线厶：，+）/=]上任意一点处的质量密度p（x,y） = （x+y）2,则该曲线构件的质量M = 27V ・复5填1・设曲线厶：/+）'二]上任意一点处的质量密度。

（兀，刃=X2 4- y2 + 2 ,则该曲线构件的质量M= _______________ ・(二)・复1选1・设有向曲线厶为y = x2,从点(1,1)到点(0,0),则J /(x, y)dy = ( C )・J厶A . f(x,x2)clx; B. ^2xf(x,x2)clx ;C. J：/(V7，y)dy；D. 芳・复2选1.设有向曲线厶为『=仮，从点(1,1)到点(0,0),则\L y)dx = ( B ).A. [/（兀仮）如D.复1三、（5分〉计算曲线积分J/Fyh,其中厶为连接两点（1,0）及（0,1）的直线段.解：厶的方程为y = \-x（ 0 < x < 1 ）, y = -1 （1分）『厶x2yds = J。

%2（1 - x）y[2 dx（3 分）复2三、（6分）设曲线L:y = 2x+l （0<x<l ）上任意一点处的质量密度为p （x, y ） = xy ,求 该曲线构件的质量M. 解：_/ = 2 , ds = yfidx ,M = j xy ds= 7A /5 复5三•计算曲线积分£ y(l - x)ds , 三角形的整个边界.解：OA:y = 0 （0 < x< 1）AB \ y = \- x (0 < x < 1) , ds - 4^dx ,L y(1 一 x)d$ = J ； (1 一 x) 2 y[2dx = ¥ ' OB : x = 0 (0 < y < 1) , ds = dy, \oB y(\-x)ds = \\)y dy=^1 J? 所以 $ y(l - x)ds =——i--—・2 3复3三、计算曲线积分削xds,其中厶为由及所围成区域的边界. 解：厶：y =兀(0 井 x 1) , ds -4^dx,（3分）L 2 : y= x 2 (01) , ds = Jl + 4x 2 dx,12（5分）（1分）J （）x （2x+1）亦心（5分） （6分）其中厶为0（0,0）,A （1,0）,B （0,1）三点所^xds=xj 1 + 4x 2 dxo=J1+ 4才 d(l+ 4x 2)（3分）1 2 护+4“5A /5- 1 12y(l - x)ds = 0 ,所以 51 xds =竺5—I +. （1 分）5 1226. 计算\L Jyds,其中厶是抛物线y = X 2上点0（0,0）与点B （l,l ）之间的一段弧.解厶的方程y = x 2（0 < x < 1）,ds = y]l + (x 2 )fl dx = 71 + 4x 2 dx. 因此J y[yds = j V? • J1 + 4” dx=J xy) 1 + 4x 2 dx= ±(575-1).0丄厶7.设曲线厶是y = 2x, y = 2和x = 0所围三角形区域的边界，求线积分7 =xyds .解令厶=/j + /2 + /3 ,其中厶为 y = 2%, 0 < x < 1 , ds = y[5dx ；厶为 = 2, 0 < x < 1, ds - dx ； 厶为 x = 0, 1 < y < 2 , ds - dy /二 J x2x>/5dx + j 2xdx + 0 二—V5 +0 0（三）・复2四、（6分）求质点在平面力场F （x, y ） =y7 + 2xy 作用下沿抛物线L : y = \-x 2从点（1,0）移 动到点（0,1）所做的功W 的值.=|] [1 - x 2 + 2^(-2x)]t/x =j (l-5x 2)rfx（6分）复1四、（7分〉验证平面力场F （x,y ） =cosxsin y ~i + sinxcosy;所做的功与路径无关，并求质所以解:W = ^yclx + lxdy（2分） （4分） （5分）点在力戸的作用下沿直线厶从点(。

10曲线积分和曲面积分习题与答案第十章曲线积分和曲面积分（A）1、计算下列对弧长的曲线积分1）«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中T为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2）4）«Skip Record If...»其中L：«Skip Record If...»2 、计算下列对坐标的曲线积分1）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»上从（0，0）到（2，4）的一段弧2）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»及x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向）3）«Skip Record If...»其中T为有向闭折线ABCA，这里A，B，C依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）4）«Skip Record If...»，其中L是«Skip Record If...»上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分1）«Skip Record If...»其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界2）«Skip Record If...»其中L为正向星形线«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中L为抛物线«Skip Record If...»上由（0，0）到（«Skip Record If...»的一段弧4、验证下列«Skip Record If...»在整个«Skip Record If...»面内是某个«Skip Record If...»的全微分，并求这样的«Skip Record If...»1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»5 、计算下列对面积的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为平面«Skip Record If...»在第一卦限中的部分2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Record If...»被柱面«Skip Record If...»所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是球面«Skip Record If...»的下半部分的下侧2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为球面«Skip Record If...»的外侧2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为界于«Skip Record If...»之间的圆柱体«Skip Record If...»的整个表面的外侧8 、求下列向量的散度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»9、求下列向量场A的旋度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»(B)1、一段铁丝成半圆形«Skip Record If...»，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量.2、把«Skip Record If...»化为对弧长的曲线积分，其中L为«Skip Record If...»从点A（-1，1）到B（1，1）的弧段.3、把«Skip Record If...»化成对弧长的曲线积分，其中«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»一段弧.4、求心形线«Skip Record If...»所围图形的面积.5、求«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»为«Skip RecordIf...»从A（1，0）到B（0，1）.6、把«Skip Record If...»化为对面积的曲面积分，其中1）«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»在第二卦限部分上侧2）«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上侧7 、«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Rec ord If...»的上侧.8、«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为柱面«Skip RecordIf...»与平面«Skip Record If...»的交线，从z轴正向看«Skip Record If...»为逆时针方向.（C）1、计算«Skip Record If...»其中：L：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»从X轴正向看去L为逆时针.2、已知曲线积分«Skip Record If...»其中L为«Skip Record If...»正向，求（1） R为何值时«Skip Record If...»;（2）求«Skip Record If...»的最大值.3 、计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»,其中：«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在第Ⅳ卦限部分的上侧.第十章曲线积分和曲面积分习题答案（A）1、1）«Skip Record If...» 2)«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»2、1）«Skip Record If...» 2）«Skip Record If...» 3）«Skip Record If...» 4）«Skip Record If...»3、 «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»4、«Skip Record If...» «Skip Record If...»5 、«Skip Record If...» «Skip Record If...»6 、«Skip Record If...» «Skip Record If...» 7、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»8、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»9、«Skip Record If...» «Skip Record If...»（B）1、提示：«Skip Record If...»，上半圆«Skip Record If...»2、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»3、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»4、«Skip Record If...»5、连OA，OB，（O（0，0）），使OA，OB，L构成«Skip Record If...»圆周，«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»=0而«Skip Record If...»6、«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CA.0B.2C.4D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2πC.0D. π4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B.π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑的值为 [ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A.21 B. 21- C. 22 D. 22- 8. 设I=⎰L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdy ydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑83π。

第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段 AB 为，则曲线积分有关系( ).(A )(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B ) (,)d (,)d A B B Af x y sf x y s =⎰⎰；(C ) (,)d (,)d 0A B B Af x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23ttC x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A )10t ⎰; (B )1tt ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A ).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分O MI s=⎰不相等的积分是( ).(A )10x ⎰; (B )10y ⎰;(C)d rr ⎰; (D )1er ⎰ 答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A )43d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)33d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A )x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A ); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰..3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d nLx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)2e --.7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)Ls ⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABC D ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅ (5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤.答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A )2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).2. 设C 表示椭圆22221x y ab+=,其方向为逆时针,则2()d Cx y x +=⎰ ( ).(A )ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B).3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)220cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C). 二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-.3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y =(2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰.答：43.5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32aπ-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰ ,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧;(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0.3．计算22()d ()d Lx y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针).答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-.§10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)23d d R r r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)23d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)22d d R R r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰ = ( ).(A )323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D).3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A )0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q P x y ∂∂-=∂∂; (C)0P Q xy∂∂-=∂∂; (D)0P Qxy∂∂+=∂∂. 答(B).5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4Lx y y x x y-=+⎰( ).(A )4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4Lx y y x I x y-==+⎰( ).(A )因为Q P xy∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q P xy∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A )P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂;(C)P Qxy∂∂=-∂∂; (D)P Q yx∂∂=-∂∂. 答(D).8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A )0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B).9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段, 则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A )2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰.答(A ).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A )1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰ .答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14xD y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰ .答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针,则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰ .答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d Lax y by x x y-+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABC D A 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx y x y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d yLe y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14LP xQs x++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d xLf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答:2x xe e--.三、解答题1. 计算22d d 2()Ly x x y x y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-.2. 计算(24)d (536)dLx y x y x y -+++-⎰ ，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2c o s )d (12s i n 3)d Lx y y x x y x x yy -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y =上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52.(2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-. 答: (1)22222xyxy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y =(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y =(1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x Sx S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (B )1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z Sz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (D )1d 4d x y z S x y z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d xy S ∑+=⎰⎰12d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分,则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ). (A)4d d xyD x y ⎰⎰; (B)4d d 3xyD x y ⎰⎰;(C)234d d 3x y ⋅⎰;(D)324d d 3x y ⎰;. 答(B).6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰( ).(A)2222d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)22200d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)22d )d r r r πθ-⋅⎰⎰;(D)220d d r r r πθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰ ; (B )22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰ ;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C).二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰ .答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑=⎰⎰ .答: 0.3. 设∑为上半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰ .答: 23a π.6. 设∑为上半球面z =,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答: 8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:6.9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-.三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)136π; (2)14930π; (3)11110π.2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰ ,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:2.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答: .5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰;(C)2d d zx y ∑=⎰⎰ 0; (D ) (A)(B)(C)都不对. 答(C).2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 303d y x ⎰⎰; (B)3002d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d z x ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=,∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y ax y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(C)2222222()d d 2d d x y ax y z x y ax y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰; (C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ ..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343a π.5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R-+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343R π.6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ .答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答:32π.3. 计算d d d d d d x z x y x y y z y zz x ∑++⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18.4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.答:(1)32d 555P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰;(2) S ∑⎰⎰.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B )1d d d d d d 3x y z y z xz x y∑++⎰⎰ ; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D)1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰ .答(B).2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ ( ).(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ ;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰ (cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ .答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d xy z z y x y ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰ 2(321)d d d xx x y z Ω-+⎰⎰⎰;(C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d xx y z y y z ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ .答:343a π.2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答:525a π.3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: ()a b c abc ++.5. 向量A y z i z x j x y k =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π.三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a .2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.答:525a π.3. 计算2232d d ()d d (2)d d x z y z x y z z x x y y z x y ∑+-++⎰⎰ ,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.答:525a π.4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32.6. 计算22d d (2)d d d d 2z x y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰ ,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:4π.7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z =z =.答: 326(1cos 2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xyy z z z x z x x y ∑++-⎰⎰ ,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧.答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y zz x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(B)d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z PQRαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R αβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰;(D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d ij k x y z x y z PQR∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰ ( ).(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰ ( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u =.答: 0 .3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A = .答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++ ,则rot A =.答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+- .三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业学号 姓名从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰ ,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)xya b a b +=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x x z y y z z Γ-+⎰ ,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰ ,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰ 化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++ ,∑为上半球面z =的上侧, n 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+- ,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。